1.- ALGORITMOS RÁPIDOS PARA LA EJECUCIÓN DE FILTROS DE PILA

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1 hp:// 1.- ALGORITMOS RÁPIDOS PARA LA EJECUCIÓN DE FILTROS DE PILA INTRODUCCIÓN Los filros de pila consiuyen una clase de filros digiales no lineales. Un filro de pila que es usado comúnmene para eliminar ruido mienras se preserva los bordes en la señal es el filro mediana. Para un filro mediana con venana de longiud res, su salida y, donde denoa el índice de iempo, puede ser expresada en érminos de la secuencia de enrada x como sigue: [ min[ x x ], min[ x, x ], min[ x x ] y (1) = max 1, , 1 En general, odo filro de pila opera eligiendo primero un número de subconjunos de los punos en la venana, deerminando el valor mínimo en cada uno de esos subconjunos, y enonces usando el máximo de odos esos mínimos como la salida. Las maneras posibles de elegir esos subconjunos se realiza por combinaoria y de hecho, hay más de b/ filros de pila de venana con amaño b. Los filros de pila poseen una débil propiedad de superposición llamada como descomposición por umbral. Como resulado, los filros de pila pueden ser implemenados en una arquiecura de descomposición por umbral, como se muesra a coninuación: En esa arquiecura, la señal de salida es descompuesa por umbral en una pila de señales binarias. La operación de filrado es aplicada a cada una de las señales binarias en 1

2 hp:// paralelo con el uso de la lógica de Boole. La salida del filro es la suma de la salida binaria sobre cada nivel. Para represenar simples implemenaciones de filros de pila, la propiedad de descomposición por umbral facilia el desarrollo de meodología de diseño de filros para filros de pila (caracerísicas esadísicos y esrucural). Los filros de pila designados usando esas dos caracerísicas han sido mosrados y son muy efecivos en la supresión de ruido impulsivo y la simulánea preservación de los dealles en la imagen. Oras aplicaciones de los filros de pila incluyen inerpolación de señales, deección de bordes y memoria asociaiva. Algunos esudios recienes en el filrado no lineal consideran el uso de lógica por umbral en la arquiecura de descomposición por umbral. La consecuencia viene por la búsqueda de una subclase úil de filros de pila que sean efecivos en aplicación y simple en implemenación. Esa clase de filros son llamados filros esadísicos de orden ponderado (WOS) y se uilizará basane en los poseriores algorimos FILTROS DE PILA Sea R(n) el proceso iempo discreo a la enrada de un filro de pila. Asumiremos que R(n) oma valores eneros en Q = {0, 1,,..., M -1}. Una venana de amaño b, donde b es algún enero impar, se desplaza a ravés de la enrada de proceso R(n). Sea ( ) R n el vecor coneniendo las b muesras de la venana en un iempo n. R( n) = R n b 1 R( n) R n + b + 1 () A cada iempo de insane n, el filro de pila ( ) S f mapea ( ) R n a algún enero en Q. b El mapeado S ( ) : Q Q se define en érminos de la arquiecura de descomposición f por umbral mosrada en la fig. 1. ( ( )) S ( R( n) ) = f T R( n) f = 1 (3) donde

3 hp:// T ( R( n) ) T R n b T ( R( n) ) T R n b = (4) en la cual T ( R( n) ) = 1 0 si R( n) cualquier oro (5) y ( ) f es la función booleana usada en cada nivel de la arquiecura. Eso es, la señal de enrada es descompuesa por umbral en M - 1 señales binarias, cada una de las señales binarias es filrada por ablas booleanas. La salida es la suma de las salidas binarias de odos los niveles. Nóese que la función booleana en cada nivel esá sujea a una condición de consisencia llamada como la propiedad de pila. Ese propiedad requiere la salida sobre un nivel l que debería ser mayor o igual a la salida en un nivel impondremos la siguiene condición: l +1. Maemáicamene, ( ) ( ) f α f α cuando α α (6) i j i j para cualquiera de las dos longiudes binarias b en las secuencias α α i,. Aquí, j α α i j implica que cada enrada de α i es menor o igual que la correspondiene enrada en α j. Por ejemplo, ( 010) ( 110) y la propiedad de pila dica que f ( 010) f ( 110) EJECUCIÓN RÁPIDA DE ALGORITMOS PARA FILTROS DE PILA Aquí, para enconrar un ópimo filro de pila bajo el significado del crierio de error absoluo dado por C = E S( n) f ( T R( n) ( ) = 1 (7) 3

4 hp:// donde ( ) S n es el proceso deseado, se podrá solucionar por un programa lineal. El algorimo sería: Algorimo Lin s inicio Desde n = 1 hasa n = N hacer Desde = 1 hasa = M -1 hacer a la enrada T R( n) ( ( ) ( ( ) )) 1. Calcula el par de umbral T R( n), T S n y acualiza la abla booleana ( ).. Aplica la propiedad de pila. Conviere la abla booleana de débil a fuere Se ha diseñado un algorimo similar a ese pero mucho más rápido Algorimo rápido inicio Desde n = 1 hasa n = N hacer Desde i = 1 hasa i = b + hacer paso i ( n) 1. Acualiza la abla booleana a la enrada T ( R n ). Aplica la propiedad de pila. Conviere la abla booleana de débil a fuere R( i ) ( n ( ) por la longiud del ) Similar al Algorimo Lin s, el Algorimo rápido requiere solamene operaciones ariméicas (incremeno, decremeno y comparaciones locales). 4

5 hp:// Teorema 3.1: Sean las enradas de salida de la abla suave booleana en un iempo n, se represena como un vecor de longiud b y es denoada como X ( n). La evolución de X ( n) puede ser descria por ( ) X ( n + 1 ) = h X ( n), R( n), S( n) (8) donde h( ) denoa el Algorimo rápido viso aneriormene ALGORITMOS DE EJECUCIÓN RÁPIDA PARA FILTROS WOS Los filros WOSA son una subclase de filros de pila donde la lógica por umbral se usa en cada nivel en la arquiecura de descomposición por umbral. Una lógica de umbral es una función booleana donde la salida es deerminada comparando la suma ponderada de sus bis de enrada con algún valor umbral. Específicamene, la salida de una lógica por umbral con el vecor de ponderación v y umbral α para cualquier enrada r puede ser expresada como ( ) f r 1 = 0 si v r α cualquier oro (9) donde el superíndice significa ranspuesa y α es un escalar. La venaja de la lógica por umbral es que es simple de implemenar para largas longiudes de venanas y sólo el peso y el umbral necesian ser almacenados. Cuando una lógica por umbral es usada en una arquiecura de descomposición por umbral, la salida de un filro de pila para un iempo n es ( ) S ( R( n) ) = T v r ( n) f α = 1 (10) donde ( ) r ( n) = T R( n) 1. (11) 5

6 hp:// Aquí, la represenación simérica es adopada por la enrada binaria en la lógica por umbral. Nóese que si odos las ponderaciones son resringidas para ser no negaivas, enonces la propiedad de pila se maniene. Al menos que esa condición sea suficiene pero no necesaria, se adopará en ese esudio por simplicidad. La ponderación y el umbral deben ser elegidos lo mejor posible para minimizar C = E ( d ( n) v r ( n) ) α = 1 (1) donde ( ) d ( n) = T S( n) 1. (13) En la prácica, es conveniene manener el umbral α como una de las ponderaciones a ser ejecuadas y su correspondiene bi de enrada es siempre igual a -1, por ejemplo, sea x ( n) = ( r ( n), 1) (14) w = ( v, α ) enonces C es equivalene a C = E ( d ( n) w x ( n) ) = 1 (15) Claramene, el w que minimiza (15) puede ser enconrado usando algorimos de adapación en filros lineales, como los algorimos LMS y RLS (véase más adelane). El procedimieno acualizado en esos algorimos es similar a un algorimo de adapación para filros de pila. En un iempo n, cada uno de los umbrales M - 1 de par d ( n), x ( n), = 1,,, es 6

7 hp:// alimenado al algorimo de adapación secuencialmene para acualizar las ponderaciones. Al final del periodo de desplazado, los pesos negaivos se siúan a cero para manener la propiedad de pila. En lo sucesivo, mosramos las consecuivas acualizaciones como la misma enrada que puede ser reducida a una simple acualización en los algorimos LMS y RLS. A. Algorimo rápido basado en LMS. Sea w( m), x( m) las ponderaciones y las enradas en ejecución en el algorimo LMS para un iempo m (o de forma más precisa, en la ieración m bajo el crierio de error dado en (16) y enonces w( m) es acualizado como sigue: ( ) ( ) ( ) ( ) w m = w m 1 + µ c mm 1 x m (16) donde µ es el amaño de paso y ( ) ( ) ( ) ( ) e mm 1 = d m w m 1 x m (17) es el error de predicción d( m) usando w( m 1) y x( m). Supongamos en las ineracciones desde m hasa m + 1las enradas en el algorimo son repeiivas y por conveniencia se denoan como x y d. Enonces, e( l l 1) iene la siguiene relación recursiva ( µ ) ( 1) ( 1) ( ) ( 1 ) e l l = d w l x = d w l + e l l x x = ( )( ) = e l 1l 1 µ x para m + 1 l m + 1. (18) Aplicando (18) recursivamene, endremos ( ) ( )( ) ( l m ) e l l = e m m µ ( b + ) (19) 7

8 hp:// donde x = b + 1 debido a la represenación simérica en x. Aplicando (16) recursivamene, endremos para m l m + 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) w l = w l 1 + µ e l l 1 x = w l + µ e l 1l x + µ e l l 1 x = l ( 1) µ ( 1) = = w m + e j j x j= m (0) Susiuyendo (0) en la ec. superior y reemplazando l por m+ 1 m+ 1 ( ) ( ) ( ( )) ( j m w m w m e mm b ) + 1 = 1 + µ ( 1) * 1 µ + 1 x = j= m ( ( b + )) = w( m 1) + e( m m 1) 1 1 µ 1 x b + 1 (1) Las funciones de arriba indican que si la enrada en ejecución del algorimo LMS es repeiiva sobre un periodo de iempo [ m, m + ] 1, enonces ésas acualizaciones del vecor de ponderación acorde con (16) pueden ser hechas en un paso como en (1). Las ecuaciones (1) y (16) son similares salvo en el amaño del paso. Para el úlimo, es ( µ ( b )) b + 1, que es aproximadamene igual µ para pequeños µ. Ése sería el lisado del algorimo rápido basado en LMS para filros WOS: Algorimo rápido basado en LMS inicio Desde n = 1 hasa n = N hacer Desde i = 1 hasa i = b + hacer 1. Halla el par de umbral ( x, d ) y el amaño del paso. Halla el error de predicción 8

9 hp:// e = d wold x 3. Acualiza las ponderaciones w de acuerdo con (1): 1 ( 1 µ( b + 1) ) w = w + e new old b + 1 x El conjuno de ponderaciones negaivas, se pasan a cero. B.Algorimo r basado en RLS. El Algorimo RLS encuenra el vecor de ponderación RLS para minimizar la suma del acual error cuadráico N C = ( d ( n) w x ( n) ) n= 1 = 1 donde N es la longiud de los daos en ejecución. El lisado sería el siguiene: Algorimo RLS Inicialización En m = 0: w( 0) = x( 0) = 0 C( 0) = δ I( δ >> 1) inicio Desde m = 1 hasa m = N hacer 1. Obener d( m) x( m) 9

10 hp:// Hallar error de predicción: ( 1) ( ) ( 1) ( ) e mm = d m w m x m 3. Hallar nuevo vecor de ganancia: µ ( m) = x ( m) C( m 1) x( m) C( m 1) x( m) g( m) = 1+ µ ( m) 4. Acualizar el vecor de ponderación: ( ) ( 1) ( ) ( 1) w m = w m + g m e mm 5. Acualizar la mariz inversa C: C( m) = C( m 1) g( m) x ( m) C( m 1 ). Nuevamene, supongamos en el período de iempo [ m, m + ] 1 las enradas en el algorimo son las mismas y esán denoadas como x y d. Asumimos que el índice l esá denro de [ m, m + ] endremos 1 al menos que no se indique lo conrario y por ano, simplificando ( 1) ( 1) e l l = d w l x 10