Espacio descriptivo S: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
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- Óscar Rojo Rivas
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1 Modelo exponencial ClassPad 330 Prof. Jean-Pierre Marcaillou INTRODUCCIÓN La calculadora CASIO ClassPad 330 dispone de la Aplicación Principal para realizar los cálculos correspondientes al modelo exponencial. El material presentado a continuación reposa sobre el Capítulo 5.- Modelación probabilística: parte I del libro Probabilidad: Elementos para modelar situaciones con incertidumbre Edgar Elías Osuna (obra actualmente en prensa Ediciones IESA). CONCEPTOS, SIMBOLOGÍA Y FÓRMULAS Experimento aleatorio : Es un proceso que genera resultados bien definidos. Espacio descriptivo S: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Evento: Cualquier subconjunto del espacio descriptivo S. Variable aleatoria: Es una función X(a) que asigna un número real x(a) a cada elemento a de S; es decir, es una función que toma valores en un espacio de probabilidades S. En general, las variables aleatorias se representan por las últimas letras del alfabeto, en mayúsculas, mientras que las minúsculas se reservan para el valor que toma la variable aleatoria. Clasificación Variable aleatoria discreta: Es aquella cuando el conjunto de llegada es finito o infinito numerable. Variable aleatoria continua: Es aquella cuando el conjunto de llegada es infinito no numerable. Recorrido R X : Es el conjunto de valores reales que puede tomar la función X(a). Funciones que definen el comportamiento de una variable aleatoria unidimensional discreta: Función de masa de probabilidades: Sean x, x, x 3,..., x n los valores que puede tomar la variable aleatoria X. Se define la función de probabilidad de la variable aleatoria X como p( x ) P( X x ) (i,,3,...,n). Propiedades: ) 0 p(x i ) p(x ) ) n i i i i 3) P(a X b) p( x i ) i:axi b Función de distribución acumulativa: Propiedades: F( x ) P( X x ) p( x i ) i:xi x ) 0 F( x ) para todo x. ) F(x) es no decreciente
2 3) lim F( x ) x 4) lim F( x ) 0 x 5) Si a b, P(a X b) F(b) F(a) Funciones que definen el comportamiento de una variable aleatoria unidimensional discreta: Función de densidad de una variable aleatoria continua: Es una función f(x) tal que a) f( x ) 0 b) f( x )dx c) Para a b, P(a X b) f( x )dx Función de distribución acumulativa: Propiedades: b a x F( x ) P( X x ) f( x )dx ) df( x) / dx f( x) ) F(x) es no decreciente 3) lim F( x ) x 4) lim F( x ) 0 x 5) Si a b, P(a X b) F(b) F(a) Esperanza matemática E(X): La esperanza matemática de una variable aleatoria X se define como: Variable aleatoria discreta: E( X ) xip( xi ) i Variable aleatoria continua: E( X ) xf ( x) dx Propiedades de la esperanza matemática: ) Si X C, siendo C una constante, E( X) C ) Si C es una constante, E( CX ) CE( X) 3) E H ( X) H ( X)... H ( X) E H ( X) E H ( X)... E H ( X ) n 4) Para A y B constantes, E( AX B) AE( X) B 5) Desigualdad de Jensen: Si H(X) es una función convexa y si E(X) existe, E H( X) H E( X) 6) Interpretación geométrica: E( X ) F( X) dx F( X ) dx 0 0 n
3 Varianza V(X): La varianza de una variable aleatoria X, se define como la esperanza matemática del cuadrado de su desviación con respecto a la media, es decir, Variable aleatoria discreta: V( X) E X E( X) E( X ) E( X) V( X ) xi E( X ) p( xi) i Variable aleatoria continua: Propiedades de la varianza: V( X ) x E( X ) f ( x) dx ) Si X C, siendo C una constante, V( X) 0 ) Si C es una constante, V( X C) V( X) 3) Si C es una constante, V( CX ) C V( X) 4) Para A y B constantes, V( AX B) A V( X) Desviación estándar : La desviación estándar de una variable aleatoria X se define como la raíz cuadrada de su varianza. Desigualdad de Tchebyshev: Si X es una variable aleatoria con una distribución cualquiera cuya esperanza matemática y varianza y son finitas, entonces: P X h ( h 0) h Modelo Exponencial: Describe procesos en lo que interesa saber el tiempo que pasa, t, desde un instante t 0 hasta que ocurre un determinado evento en el instante t 0 t, teniendo en cuenta que, éste no depende de lo que haya ocurrido anteriormente al instante t 0. Distribución exponencial: Sea X una variable aleatoria continua cuya función de densidad es f ( x) e x para x 0 y 0. Diremos en este caso que X tiene una distribución que llamaremos exponencial de parámetro, y lo expresaremos como X ~ exp( ) Función de densidad de probabilidad de la distribución exponencial: 0 para x 0 f( x) x e para x 0 E( X ) V( X ) 3
4 Función de distribución acumulativa de la distribución exponencial: 0 para x 0 F( x) P( X x) x x x e dx e para x 0 0 para x 0 P( X x) P( X x) x e para x 0 Propiedad de falta de memoria: Para fijar ideas que nos permitan interpretar esta propiedad, consideraremos una variable aleatoria T que representa el tiempo transcurrido entre eventos que ocurren aleatoriamente en el tiempo. Supondremos que este proceso es tal que T tiene una distribución exponencial de parámetro, y que desde el último evento ha transcurrido un tiempo t. Cuál es la probabilidad de que el próximo evento ocurra después de transcurrido un tiempo adicional h? Es decir, cuál es la probabilidad de que el próximo evento ocurra después de t + h, (h>0), dado que ha transcurrido un tiempo t sin que ocurra ninguno? Por probabilidad condicional tendremos. ( th) P( T t h, T t) P( T t h) F( t h) e h P( T t h T t) e P( T h) P( T t) P( T t) F( t) t e Como vemos, el resultado es independiente de t. No importa cuánto tiempo ha transcurrido sin que ocurra un evento, la probabilidad de que el próximo no ocurra antes de un tiempo h es P( T h ). Aplicaciones del modelo exponencial: Es muy utilizado en la modelación del tiempo entre fallas de un sistema (muy importante en los estudios de mantenimiento y confiabilidad), del tiempo entre accidentes en general, del tiempo de llegadas de clientes a un sistema, del tiempo de servicio de un cliente en un sistema de colas, del tiempo de vida de algunos componentes de equipos (especialmente electrónicos), etc. La forma de la función de densidad nos muestra una gran concentración de valores muy pequeños, y pocos valores muy grandes. Es fácil verificar que, en efecto, casi las /3 partes de las observaciones son menores que su promedio y, más aún, aproximadamente 40% son menores que la mitad de ese promedio. Por ejemplo, del tiempo de vida de un bombillo se considera que, en general, es una variable aleatoria con distribución exponencial, y es usual que un consumidor subestime marcadamente cuál puede ser el promedio de vida de sus bombillos cuando se le queman dos o tres en corto tiempo; en estas circunstancias es usual que el consumidor considere que la calidad de producción de los bombillos es muy mala, olvidándose de alguno que otro que lleva prestándole servicio más de 0 o 5 años. Ley del estadístico inconsciente: Sea Y H( X) una función cualquiera de la variable aleatoria X; sea f( x) la función de densidad de X (o px ( i ) su función de masa de probabilidades si X es discreta). La esperanza matemática de Y es: EY ( ) H( x) f ( x) dx cuando x es continua i i H( x ) p( x ) cuando x es discreta i Lo cual significa que no se necesita encontrar la distribución de probabilidades de Y a fin de evaluar E(Y); es suficiente conocer la distribución de X. 4
5 CALCULADORA: APLICACIÓN PRINCIPAL. Cómo acceder, limpiar y configurar la Aplicación Principal? () Presione la tecla [ON/OFF] y toque del panel de iconos para mostrar las diferentes Aplicaciones. () Utilice la barra (botón) de desplazamiento e identifique la Aplicación Principal. (3) Toque y se activa la pantalla de la Aplicación Principal donde aparecen: Barra de menús: Barra de herramientas: Barra de estado: (4) Toque en la barra de menús [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] con la finalidad de limpiar el área de trabajo de la Aplicación Principal y aparece la pantalla inicial de dicha Aplicación. (5) Toque en la barra de menús, seguidamente [Formato básico] y realice la siguiente configuración. (6) Toque el botón de flecha hacia abajo de Formato número, y luego toque Fijo 4 en la lista desplegable que aparece con la finalidad de presentar los resultados numéricos con 4 cifras decimales. (7) Toque el cuadro de marcación de Cálculo decimal para activarlo y luego toque los restantes cuadros de marcación activados para desactivarlos. (8) Toque [Def.] para validar la configuración, y se regresa a la ventana inicial de la Aplicación Principal. 5
6 Ejemplo 5.3.7: Tiempo de vida de un bombillo (I) Supongamos que el tiempo X de duración de cierto bombillo tiene una distribución exponencial de parámetro 0,0, para X en meses: a) Cuál es la probabilidad de que un bombillo dure menos de 5 meses? b) Cuál es la probabilidad de que dure más de un año y tres meses? c) Cuál es la esperanza matemática y la desviación estándar de de su duración? d) Para qué valor de x se cumple que la probabilidad de que la vida del bombillo no alcance dicho valor sea 0,90? Solución analítica: a) 5 0,0x 0,0(5) P(X 5) 0,0e dx F(5) e 0,095 0 x b) a) b) 5 0,0 0,0(5) 0,0(5) P( X 5) 0,0 e dx F ( ) F(5) P( X 5) F(5) e e 0, meses. E(X) 50 meses y X V(X) 0,0 0,0x 0,0x 0,0x P(X x) 0,90 e 0,90 e 0,0 ln(e ) ln(0,0) 0,0x ln(0,0) ln(0,0) x x 5,3 meses. 0,0 Solución calculadora: En este Procedimiento se muestra el uso del comando Define de la Aplicación Principal para definir: la función de densidad de una variable aleatoria continua X con distribución exponencial PDE; la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria continua X con distribución exponencial PADE; la fórmula de la esperanza matemática de una variable aleatoria continua X con distribución exponencial EDE; la fórmula de la varianza de una variable aleatoria continua X con distribución exponencial VDE, y ejecutarlas a través del comando Usuario del teclado catálogo una vez definidas. PROCEDIMIENTO: COMANDO DEFINE DE LA APLICACIÓN PRINCIPAL () Presione la tecla [ON/OFF] y toque del panel de iconos para mostrar las diferentes Aplicaciones. () Utilice la barra (botón) de desplazamiento e identifique la Aplicación Principal. (3) Toque y se activa la pantalla de la Aplicación Principal. (4) Toque en la barra de menús [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] con la finalidad de limpiar el área de trabajo de la Aplicación Principal y aparece la pantalla inicial de dicha Aplicación. (5) Presione el teclado virtual, toque y se activa el teclado catálogo, toque el botón de flecha hacia abajo de Forma y toque Todo en la lista desplegable que aparece. (6) Toque si es necesario el botón de la esquina inferior izquierda hasta que la tecla D sea visible. (7) Toque el botón de letra D, toque el comando Define, y luego toque el botón [INTRO] para introducirlo en la ventana de edición. 6
7 (8) Con la ayuda de los teclados, y introduzca la función PDE( ) tal que PDE( ) e x que calcula la función de densidad de la variable aleatoria continua X con distribución exponencial y luego toque la tecla [Ejec] para guardar la función. (9) Toque, toque el botón de flecha hacia abajo de Forma y toque Usuario en la lista desplegable que aparece. (0) Desplace con el botón la lista de funciones hasta ver la función deseada PDE, toque PDE y luego toque el botón [INTRO] para introducirla en la ventana de edición. () Presione las teclas [0] / [.] / [0] / [] / [)] [EXE] y verifica quepde(0.0,x) 0,0e 0,0x. () Toque el botón de flecha hacia abajo de Forma y toque Todo; toque el botón de letra D, toque el comando Define y luego toque el botón [INTRO] para introducirlo en la ventana de edición. (3) Con la ayuda de los teclados,,, y de la tecla elíptica introduzca la y función PADE(,y) tal que PADE(, y) PDE( )dx que calcula la función de a distribución acumulativa de la variable aleatoria continua X con distribución uniforme y luego toque la tecla [Ejec] para guardar la función. (4) Toque, desplace con el botón la lista de funciones hasta ver la función deseada PADE, toque PADE y luego toque el botón [INTRO] para introducirla en la ventana de edición. (5) Presione las teclas [0] / [.] / [0] / [] / [,] / [5] / [)] / [EXE] y verifica que PADE(0.0,5) e 0 ; seleccione con el cursor e 0 y luego toque para obtener el resultado bajo la forma decimal. Respuesta: a) (6) Presione las teclas [] / [ ]. (7) Toque el botón [INTRO] para introducir la función seleccionada PADE en la ventana de edición. (8) Presione las teclas [0] / [.] / [0] / [] / [,] / [] / [5] / [)] / [EXE] para evaluar 3 3 PADE(0.0,5) e 0 ; seleccione con el cursor e 0 y luego toque para obtener el resultado bajo la forma decimal. Respuesta: b) 7
8 (9) Toque el botón de flecha hacia abajo de Forma y toque Todo; seguidamente toque el botón de letra D, toque el comando Define y toque el botón [INTRO] para introducirlo en la ventana de edición. (0) Con la ayuda de los teclados,,, y de la tecla elíptica introduzca la función EDE( ) tal que EDE( ) x PDE( )dx que calcula la esperanza matemática 0 de la variable aleatoria continua X con distribución exponencial y luego toque la tecla [Ejec] para guardar la función. () Toque, desplace con el botón la lista de funciones hasta ver la función deseada EDE, toque EDE y toque el botón [INTRO] para introducirla en la ventana de edición. () Seleccione la función EDE y toque el botón [INTRO] para introducirla en la ventana de edición. (3) Presione las teclas [0] / [.] / [0] / [] / [)] / [EXE] y verifica que EDU(0.0) 50. Respuesta: c) (4) Toque el botón de flecha hacia abajo de Forma y toque Todo; seguidamente toque el botón de letra D, toque el comando Define y toque el botón [INTRO] para introducirlo en la ventana de edición. (5) Con la ayuda de los teclados,,, y de la tecla elíptica introduzca la función VDE( ) tal que VDE( ) x EDE( ) PDE( )dx que calcula la 0 varianza de la variable aleatoria continua X con distribución exponencial y luego toque la tecla [Ejec] para guardar la función. (6) Toque / /, desplace con el botón la lista de funciones hasta ver la función deseada VDE, toque VDE y luego toque el botón [INTRO] para introducirla en la ventana de edición. (7) Presione las teclas [0] / [.] / [0] / [] / [)] / [EXE] y verifica que X VDE(0.0) 50. Respuesta: c) 8
9 (8) Toque en la barra de menús [Acción] y luego toque [Ecuación] / [solve]. (9) Desplace con el botón la lista de funciones hasta ver la función deseada PADE, toque PADE y toque el botón [INTRO] para introducirla en la ventana de edición. (30) Presione las teclas [0] / [.] / [0] / [] / [,] / [ x ] / [)] / [=] / [0] / [.] / [9] / [)] / [EXE] y verifica que x 50ln(5) 50ln(). (3) Seleccione con el cursor 50ln(5) 50ln() y luego toque para obtener el resultado bajo la forma decimal: 5,93. Respuesta: d) Ejemplo 5.3.8: Tiempo de vida de un bombillo (II) En el ejemplo anterior, en el cual el tiempo X de vida de cierto bombillo tiene una distribución exponencial de parámetro 0,0, para X en meses, entonces: a) Cuál es la probabilidad de que un bombillo dure más de un año y tres meses, dado que ha sobrevivido 5 meses? b) Si el bombillo lleva funcionando correctamente 5 meses, cuál es la probabilidad de que haya que cambiarlo antes de que lleve 5 meses de funcionamiento? Solución analítica: a) 0,0x 0,0e dx 0,0 5 e 0,05 P(X 5, X 5) P(X 5) 5 F(5) e P(X 5 X 5) P(X 5) P(X 5) F(5) 0,05 0,05 0,0x e e 0,0e dx 5 0,0 0 0,0 0 e P(X 0) F(0) e 0,887. Por la propiedad de falta de memoria de la distribución exponencial, podemos escribir directamente que: 0,0 0 P(X 5 X 5) P(X 0) F(0) e 0,887. b) 5 0,0x 0,0e dx 0,05 0,0 5 e P(5 X 5) e 5 F(5) F(5) P(X 5 X 5) P(X 5) F(5) 0,05 0,0x e 0,0e dx 5 9
10 0,0 5 0,0 5 0,05 0,0 0 e e e ( e ) 0,00 e F(0) P(X 0) 0,83. 0,0 5 0,0 5 e e Por la propiedad de falta de memoria de la distribución exponencial, podemos escribir directamente que: 0,0 0 P(X 5 X 5) P(X 0) F(0) e 0,83. Solución calculadora: PROCEDIMIENTO: COMANDO DEFINE DE LA APLICACIÓN PRINCIPAL (3) Presione las teclas [] / [ ]. (33) Toque el botón [INTRO] para introducir la función seleccionada PADE en la ventana de edición. (34) Presione las teclas [0] / [.] / [0] / [] / [,] / [] / [0] / [)] / [EXE] y verifica que PADE(0.0,0) e 5. (35) Seleccione con el cursor e 5 y luego toque forma decimal: 0,887. Respuesta: a) para obtener el resultado bajo la (36) Toque el botón [INTRO] para introducir la función seleccionada PADE en la ventana de edición. (37) Presione las teclas [0] / [.] / [0] / [] / [,] / [] / [0] / [)] / [EXE] y verifica que PADE(0.0,0) e 5. (38) Seleccione con el cursor e 5 y luego toque para obtener el resultado bajo la forma decimal: 0,83. Respuesta: b) 0
11 .- Ejercicio 5-33 Página 436 Cuando falla la fuente principal de suministro de energía eléctrica del Hospital Central de Cari-Cari, entra en operación de inmediato la planta de emergencia. Esta planta tiene un límite de tres horas de trabajo continuo. Es decir, no puede ser operada por más de tres horas continuas, ya que luego de ese tiempo se detiene. Al producirse la falla en la fuente principal se comienza de inmediato su reparación, la cual debe completarse en un tiempo no mayor de tres horas, debido a la restricción que señalamos. El tiempo de reparación T es aleatorio con distribución exponencial, con un promedio de horas. Una vez reparada la falla se retorna a la operación de la fuente principal. a) Determine la probabilidad de que, luego de una falla de la fuente principal, la planta de emergencia se detenga por excederse en su límite de trabajo continuo. b) Si luego de una falla de la fuente principal transcurre una hora si que se complete su reparación, determine la probabilidad de que la planta de emergencia se detenga por excederse en su límite de trabajo continuo..- Ejercicio 5-34 Página 436 Una fábrica de baterías ha lanzado al mercado un nuevo producto, cuya duración tiene una distribución exponencial con una media de horas. Su costo total es de Bs y se vende en Bs , dando un beneficio bruto de Bs por unidad. El producto es lanzado con una garantía que estipula la devolución de todo el dinero si la batería dura menos de.000 horas. Determine la esperanza matemática y la desviación estándar del beneficio bruto por unidad. 3.- Se ha comprobado que el tiempo de viva de cierto tipo de marcapasos sigue una distribución exponencial con media de 6 años. Determine: a) Cuál es la probabilidad de que a una persona a la que se le ha implantado éste marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 0 años? b) Si el marcapasos lleva funcionando correctamente 5 años en un paciente, cuál es la probabilidad de que haya que cambiarlo antes de 5 años?
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