EJERCICIOS. Ejercicio 1.- (P.L.I.) Representar el conjunto de puntos que satisfacen simultáneamente las inecuaciones: x 2; x 2; y 1 (León.

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1 EJERIIOS Ejercicio 1.- (P.L.I.) Representar el conjunto de puntos que satisfacen simultáneamente las inecuaciones: x 2; x 2; y 1 (León. Junio 1990) Ejercicio 2.- (P.L.I.) escribir mediante un sistema de desigualdades la región interior del polígono convexo con vértices en los puntos: O(0,0), (0,4), (4,0), (3,3). (Madrid. Junio 1995) x 0; y 0; 3x + y 12; x + 3y 12. Ejercicio 3.- (P.L.I.) Escribe inecuaciones que definan una región plana cerrada de modo que los puntos (1,0) y (0,1) pertenezcan a dicha región, y que los puntos (0,0) y (2,2) no pertenezcan. Haz una representación gráfica de la región que elijas. (León. Junio 1993) x 0; y 0; x + y 3; x + y 1. Ejercicio 4.- (P.L.I.) Escribe un conjunto de inecuaciones que tengan como solución común el interior de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 y 2 respectivamente y se apoyan en los ejes coordenados X e Y. (Puedes elegir cualquiera de las posibles colocaciones) (antabria. Junio 1991) x 0; y 0; 2x + y 2. Ejercicio 5.- (P.L.I.) Se considera el recinto plano de la figura en el que están incluidos los tres lados y los tres vértices de las rectas asociadas a las desigualdades. Hallar las inecuaciones que definen el recinto. Maximizar la función Z = 3x 6y sujeta a las restricciones del recinto. El recinto queda delimitado por las inecuaciones: y 3; x y 0; 3x y 0. El máximo se alcanza en O y vale 0. I.E.S. ajo Guadalquivir 1

2 Ejercicio 6.- ada la región del plano definida por las inecuaciones: x + y 1 0; 0 x 3; 0 y 2. Para qué valores de la región es máxima la función Z = 5x + 2y? (Universidades de Galicia. Junio 1996) El máximo se alcanza en el punto (3,2) y vale 19. Ejercicio 7.- Se considera la región del primer cuadrante determinada por las inecuaciones: x + y 8; x + y 4; x + 2y 6 a) ibujar la región del plano que definen, y calcular sus vértices. b) Hallar el punto de esa región en el que la función F(x,y) = 3x + 2y alcanza el valor mínimo y calcular dicho valor. (Universidades ndaluzas. Junio 1996) El mínimo se alcanza en el punto (0,4) y vale 8. Ejercicio 8.- Hallar los valores máximo y mínimo de la función f(x,y) = x + 2y 2, sometida a las restricciones: x + y 2 0; x y + 2 0; x 3; y 1; y 3 (Madrid. 1990) El máximo se alcanza en el punto (3,3) y vale 7. El mínimo se alcanza en el punto (1,1) y vale 1. Ejercicio 9.- Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa le paga 5 ptas. por cada impreso repartido y la empresa, con folletos más grandes, le paga 7 pesetas por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos, en la que caben 120, y otra para los impresos, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: cuántos impresos habrá de repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? (ataluña. Junio 1996). Tiene que repartir 50 impresos de la empresa y 100 de la empresa, y su beneficio será de 950 ptas. Ejercicio 10.- Una compañía aérea tiene dos aviones y para cubrir un determinado trayecto. El avión debe hacer más veces el trayecto que el avión pero no puede sobrepasar 120 viajes. Entre los dos aviones deben hacer más de 60 vuelos pero no menos de 200. En cada vuelo consume 900 litros de combustible y 700 litros. En cada viaje del avión la empresa gana ptas. y por cada viaje del. uántos viajes debe hacer cada avión para obtener el máximo de ganancias? uántos vuelos debe hacer cada avión para que el consumo de combustible sea mínimo? (Murcia. Junio 1991) Las ganancias son máximas cuando el avión hace 120 vuelos y el 80. El consumo de combustible es mínimo cuando cada avión hace 30 vuelos. I.E.S. ajo Guadalquivir 2

3 Ejercicio 11.- En una fábrica de bombillas se producen dos tipos de ellas, las de tipo normal valen 450 pesetas y las halógenas 600 pesetas. La producción está limitada por el hecho de que no pueden fabricarse al día más de 400 normales y 300 halógenas ni más de 500 en total. Si se vende toda la producción, cuántas de cada clase convendrá producir para obtener la máxima facturación? (Universidad de Murcia. Junio 1996) eberá producir 200 bombillas normales y 300 halógenas, y su facturación será de ptas. Ejercicio 12.- Maximizar la función F(x,y) = 3x + 2y en el dominio: y + 2x 0; 3y x 1 ; 2 x 0; y 0 (órdoba. Junio 1995) El máximo se alcanza en el punto (2,1) y vale 8. Ejercicio 13.- Maximizar la función Z = 0.75x + y, sujeta a: x + 3y 15; 5x + y 20; 3x + 4y 24; x 0 ; y 0 Es única la solución? (licante. Junio 1990) El máximo se alcanza en el segmento que une los puntos, 5 5 y 56 10, Ejercicio 14.- Un pastelero tiene 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 27.5 kg de mantequilla para hacer dos tipos de pasteles P y Q. Para hacer una docena de pasteles de tipo P necesita 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1 de mantequilla y para hacer una docena de tipo Q necesita 6 kg de harina, 0.5 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla. El beneficio que obtiene por una docena de tipo P es 20 y por una docena de tipo Q es 30. Halla, utilizando las técnicas de programación lineal, el número de docenas que tiene que hacer de cada clase para que el beneficio sea máximo. (Universidades de astilla y León. Septiembre 1997) ebe hacer 16 docenas y media de pasteles de tipo P y 11 docenas de tipo Q. Ejercicio 15.- Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene dos naves. En la nave, para hacer la carrocería de un camión, se invierten 7 días-operario, para fabricar la de un coche se precisan 2 días-operario. En la nave se invierten tres días operario tanto en carrocerías de camión como de coche. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, la nave dispone de 300 días operario, y la nave de 270 días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de 6 millones de pesetas y por cada automóvil 2 millones de pesetas, cuántas unidades de cada uno se deben producir para maximizar las ganancias? eben fabricar 66 coches y 24 camiones. I.E.S. ajo Guadalquivir 3

4 Ejercicio 16.- Sea el recinto poligonal convexo definido por el sistema de inecuaciones: x 4y 4; x + 2y 4 0; x 0 ; y 0. Se pide: a) ibujarlo y hallar sus vértices. b) Razonar si es posible maximizar en él la función f(x,y) = x + 2y. c) En caso afirmativo, calcular el valor óptimo correspondiente y puntos donde se alcanza. (Jaén. Junio 1995) 4 4 a) (0.0); (4,0);, ; (0,1) 3 3 b) El máximo se alcanza porque el recinto es acotado. 4 4 c) Se alcanza en el segmento que une los puntos (4,0) y,. 3 3 Ejercicio 17.- a) Representar gráficamente el conjunto de puntos que satisfacen las siguientes inecuaciones lineales: x + 2y 10; x + y 2; x 8; x 0; y 0 b) Hallar el máximo y el mínimo de F(x,y) = x 3y, sujeto a las restricciones representadas por las inecuaciones del apartado anterior. (Zaragoza. 1991) El máximo se alcanza en el punto (8,0) y vale 8. El mínimo se alcanza en el punto (0,5) y vale 15. Ejercicio 18.- Una empresa fabrica dos tipos de rotuladores, de la clase a 200 ptas. la unidad y de la clase a 150 ptas. En la producción diaria se sabe que el número de rotuladores de la clase no supera en 1000 unidades a los de la ; además, entre las dos clases no superan las 3000 unidades y la de la clase no bajan de 1000 unidades por día. Hallar el costo máximo y mínimo de la producción diaria. (La Laguna. 1992) El coste mínimo de la producción es de ptas. fabricando 1000 unidades de la clase y ninguno de la. El coste máximo de la producción es de ptas. fabricando 2000 unidades de la clase y 1000 de la clase. Ejercicio 19.- Un hipermercado necesita como mínimo 16 cajas de langostinos, 5 cajas de nécoras y 20 de percebes. os mayoristas, y, se ofrecen al hipermercado para satisfacer sus necesidades, pero sólo venden dicho marisco en contenedores completos. El mayorista envía en cada contenedor 8 cajas de langostinos, 1 de nécoras y 2 de percebes. Por su parte, envía en cada contenedor 2, 1 y 7 cajas respectivamente. ada contenedor que suministra cuesta ptas., mientras que los del mayorista cuestan pesetas cada uno. uántos contenedores debe pedir el hipermercado a cada mayorista para satisfacer sus necesidades mínimas con el menor coste posible? (Universidades Públicas de la omunidad de Madrid. Septiembre 1997) ebe pedir 3 contenedores al mayorista y 2 al. I.E.S. ajo Guadalquivir 4

5 Ejercicio 20.- Una compañía fabrica dos modelos de sombrero: ae y Viz. La fabricación de los sombreros se realiza en las secciones de moldeado, pintura y montaje. La fabricación de cada modelo ae requiere 2 horas de moldeado, 3 de pintura y una de montaje. La fabricación del modelo Viz requiere tres horas de moldeado, 2 de pintura y una de montaje. Las secciones de moldeado y pintura disponen, cada una, de un máximo de 1500 horas cada mes, y la de montaje de 600.Si el modelo ae se vende a pesetas y el modelo Viz a pesetas, qué cantidad de sombreros de cada tipo ha de fabricar para maximizar el beneficio mensual? ebe fabricar 300 sobreros de cada tipo para obtener el máximo beneficio ( ptas.) Ejercicio 21.- ada mes una empresa puede gastar. omo máximo, ptas. en salarios y ptas. en energía (electricidad y gasoil). La empresa sólo elabora dos tipos de productos y. Por cada unidad de que elabora gana 80 ptas. y 50 ptas. por cada unidad de. El coste salarial y energético que acarrea la elaboración de una unidad del producto y una del aparece en la siguiente tabla: oste salarial oste energético Se desea determinar cuántas unidades de cada uno de los productos y debe producir la empresa para que el beneficio sea máximo. (Universidades ndaluzas. Septiembre 1997). ebe producir 3600 unidades del producto y 5200 del. Ejercicio 22.- Una industria vinícola produce vino y vinagre. El doble de la producción de vino es siempre menor o igual que la producción de vinagre más cuatro unidades. Por otra parte, el triple de la producción de vinagre sumado con cuatro veces la producción de vino se mantiene siempre menor o igual a 18 unidades. Halla el número de unidades de cada producto que se deben producir para alcanzar un beneficio máximo, sabiendo que cada unidad de vino deja un beneficio de 800 ptas. y cada unidad de vinagre de 200 ptas. (Universidades ndaluzas. Junio 1996) Se deben producir 30/7 unidades de vino y 2/7 de vinagre. El beneficio máximo es de 24000/7 ptas. Ejercicio 23.- La casa X fabrica helados y, hasta un máximo diario de 1000 kg. La fabricación de un kg de cuesta 180 ptas., y uno de, 150. alcule cuántos kg de y deben fabricarse, sabiendo que la casa dispone de ptas/día y que un kg de deja un margen igual al 90% del que deja uno de.(las Palmas de Gran anaria. Junio 1991) eben fabricarse 100 kg de helado del tipo. I.E.S. ajo Guadalquivir 5

6 Ejercicio 24.- Imaginemos que las necesidades semanales mínimas de una persona en proteínas, hidratos de carbono y grasas son 8, 12, 9 unidades respectivamente. Supongamos que debemos obtener un preparado con esa composición mínima mezclando los productos y cuyos contenidos por kilogramo son los que se indican en la siguiente tabla: Proteínas Hidratos Grasas oste(kg) Producto Producto uántos kilogramos de cada producto deberán comprarse semanalmente para que el costo de preparar la dieta sea mínimo? (Universidad de La Laguna. Junio 1997). ebe comprar 3 kg. del producto y 2 del. Ejercicio 25.- Una empresa fabrica dos tipos de colonia: y. La primera contiene un 15% de extracto de jazmín, un 20% de alcohol y el resto es agua y la segunda lleva un 30% de extracto de jazmín, un 15% de alcohol y el resto es agua. iariamente se dispone de 60 litros de extracto de jazmín y de 50 litros de alcohol. ada día se pueden producir como máximo 150 litros de la colonia. El precio de venta por litro de la colonia es de 500 pesetas y el de la colonia es 2000 pesetas. Hallar los litros de cada tipo que deben producirse diariamente para que el beneficio sea máximo. (Universidades Públicas de la omunidad de Madrid. Septiembre 1996) eben producirse 150 litros de colonia del tipo y ninguno del. El beneficio máximo es de ptas. Ejercicio 26.- Una persona tiene pesetas para invertir en dos tipos de acciones y. El tipo tiene bastante riesgo con un interés anual del 10% y el tipo es bastante seguro con un interés anual del 7%. ecide invertir como máximo pesetas en y como mínimo pesetas en, e invertir en por lo menos tanto como en. ómo deberá invertir sus pesetas para maximizar sus intereses anuales? (Universidad de astilla y León. Junio 1996). ebe invertir ptas. en acciones del tipo y en acciones del tipo. Ejercicio 27.- Podemos comprar paquetes de abono o. ada paquete contiene las unidades de potasio (K), fósforo (P) y nitrógeno (N) indicadas en la tabla, donde se da el precio del paquete. Marca K P N Precio En qué proporción hay que mezclar ambos tipos de abono para obtener al mínimo precio un abono que contenga 4 unidades de K, 23 de P y 6 de N? (Valencia. 1993) Hay que mezclar medio paquete del abono con 2 paquetes del abono. I.E.S. ajo Guadalquivir 6

7 Ejercicio 28.- (P.T.) os mataderos, P y Q, se encargan de suministrar la carne consumida semanalmente en tres ciudades, R, S y T: 20, 22 y 14 toneladas, respectivamente. El matadero P produce cada semana 26 toneladas de carne, y el Q, 30. Sabiendo que los costes de transporte, por tonelada de carne, desde cada matadero de a cada ciudad, son los reflejados en la siguiente tabla: R S T P Q eterminar cuál es la distribución de transporte que supone un coste mínimo. (Extremadura. 1993) La distribución en toneladas de carne es la siguiente: R S T P Q Ejercicio 29.- (P.T.) esde dos almacenes y, se tiene que distribuir fruta a tres mercados de la ciudad. El almacén dispone de 10 toneladas de fruta diarias y el de 15 toneladas, que se reparten en su totalidad. Los dos primeros mercados necesitan, diariamente, 8 toneladas de fruta, mientras que el tercero necesita 9 toneladas diarias. El coste del transporte desde cada almacén a cada mercado viene dado por el siguiente cuadro: lmacén Mercado 1 Mercado 2 Mercado Planificar el transporte para que el coste sea mínimo. (Salamanca. Junio 1992). La distribución, en toneladas, debe ser la siguiente: lmacén Mercado 1 Mercado 2 Mercado Ejercicio 30.- Se desea obtener tres elementos químicos a partir de las sustancias y. Un kilo de contiene 8 gramos del primer elemento, 1 gramo del segundo y 2 del tercero; un kilo de tiene 4 gramos del primer elemento, 1 gramo del segundo y 2 del tercero. Si se desea obtener al menos 16 gramos del primer elemento y las cantidades del segundo y del tercero han de ser como mucho 5 y 20 gramos respectivamente y la cantidad de es como mucho el doble que la de, calcule los kilos de y los de que han de tomarse para que el coste sea mínimo si un kilo de vale 200 ptas. y uno de 1000 ptas. Puede eliminarse alguna restricción? (Zaragoza. Junio 1990) El coste es mínimo tomando 2 kg de la sustancia y ninguno de. Se puede eliminar la restricción/condición sobre el tercer elemento. I.E.S. ajo Guadalquivir 7

8 Ejercicio 31.- una persona que quiere adelgazar se le ofrecen dos productos y para que tome una mezcla de ambos con las siguientes recomendaciones: No debe tomar más de 150 g de la mezcla ni menos de 50 g. La cantidad de debe ser igual o superior a la de. No debe incluir más de 100 g de. Si 100g de contiene 450 calorías y 100 g de 150, cuántos gramos de cada producto debe mezclar para obtener el preparado más pobre en calorías? (País Vasco. 1992) ebe mezclar 25g de cada producto. Ejercicio 32.- Los 400 alumnos de un colegio van a ir de excursión. Para ello se contrata el viaje a una empresa que dispone de 8 autobuses con 40 plazas y 10 con 50 plazas, pero sólo de 9 conductores para ese día. ada la diferente capacidad y calidad, el alquiler de cada autobús de los grandes cuesta 8000 ptas. y el de cada uno de los pequeños, 6000 ptas. uántos autobuses de cada clase convendrá alquilar para que el viaje resulte lo más económico posible? (País Vasco. Junio 1990) El viaje será más económico alquilando 5 autobuses pequeños y 4 grandes. Ejercicio 33.- Un carpintero tiene que construir mesas rectangulares cuyas dimensiones no sobrepasen 2 metros y tales que la suma de su dimensión mayor y el doble de la menor no sobrepase 4 metros. uál es el máximo valor del perímetro de dichas mesas? (Universidad de Murcia. Septiembre 1996) El perímetro máximo es 6 m. Ejercicio 34.- Los precios de venta de dos productos y están en la misma relación que 7 y 6. La producción de estos está definida por las siguientes condiciones: La producción de es mayor o igual que la mitad de y menor o igual que el doble de. La producción total es tal que si sólo se produce, se producen 10 kg, y si sólo se produce, se producen 15 kg. Y si se producen conjuntamente, la producción máxima se encuentra en la recta que une los puntos anteriores. ar la función objetivo de la venta de ambos productos. Expresar mediante inecuaciones el recinto definido. eterminar los kilos que se han de producir de cada producto para obtener el máximo beneficio. (Universidad de antabria. Junio 1997). Si x representa los kilos del producto e y los de, la función objetivo es: f(x,y) = 7mx + 6my. Las inecuaciones son: y 2x; x 2y; 0 x 10; 0 y 15; 3x + 2y 30. Hay que producir 15/2 kg del producto y 15/4 del. I.E.S. ajo Guadalquivir 8

9 Ejercicio 35.- Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos; por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 20 electricistas y 30 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es ptas. por electricista y por mecánico. uántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio? (Universidad de Murcia. Junio 1998) eben elegirse 20 electricistas y 30 mecánicos. Ejercicio 36.- Un fabricante de alfombras dispone de las siguientes existencias de lana: 500 kg. de color azul, 400 kg. de color verde y 225 kg. de color rojo. esea fabricar alfombras de dos tipos que llamaremos y. Las del tipo llevan 1 kg. de lana azul, y 2 kg. de lana verde. Las del tipo, 2 kg. de lana azul, 1 kg. de verde y 1 kg. de lana roja. Por cada alfombra del tipo obtiene un beneficio de 2000 ptas. y 3000 por cada una del tipo. uántas alfombras debe fabricar de cada clase para que la ganancia sea máxima? ebe fabricar 100 alfombras de la clase y 200 de la clase. Ejercicio 37.- Minimizar la función F = 12x + 4y sujeta a las siguientes restricciones: x + y 2; 2x 1; y 4; x y 0 No tiene solución. Ejercicio 38.- Minimizar la función F = 12x + 4y sujeta a las siguientes restricciones: x + y 2; 2x 1; y 4; x y 0 El mínimo se alcanza en el punto (-2,4). Ejercicio 39.- Minimizar la función F = 12x + 4y sujeta a las siguientes restricciones: x + y 2; 2x 1; y 4; x y 0 El mínimo se alcanza en el punto 1 3,. 2 2 Ejercicio 40.- Minimizar la función F = 12x + 4y sujeta a las siguientes restricciones: x + y 2; 2x 1; y 4; x y 0 El mínimo se alcanza en el punto 1 1, 2 2 I.E.S. ajo Guadalquivir 9

10 Ejercicio 41.- En una urbanización se va a construir casas de dos tipos, y. La empresa constructora dispone de 300 millones de ptas. siendo el coste de las casas del tipo de 6.5 millones de ptas. y el de las del tipo, 4 millones. demás las casas del tipo han de ser al menos el 40% del total y las del tipo, al menos el 20%. eterminar cuántas casas hay que fabricar de cada tipo para que, siendo 1.5 millones de ptas. el beneficio producido por cada casa tipo, y 1 millón el proporcionado por las del tipo, el beneficio se máximo. eben construirse 24 casas del tipo y 36 del tipo. Ejercicio 42.- En una fábrica de dulces se producen dos tipos de pasteles. Uno de ellos lleva 2 huevos, 50 gr. de harina y 20 gr. de azúcar. El otro tipo lleva 2 huevos, 40 gr. de harina y 25 gr. de azúcar. Si se dispone de 15 kg. de harina, 7 kg. de azúcar y 50 docenas de huevos, y el fabricante ha de servir al menos 100 pasteles del primer tipo y 150 del segundo, se pide: alcular el número de pasteles que deben producirse de cada clase para que, siendo 12 ptas. el beneficio que produce cada pastel del primer tipo y 10 las del segundo, el beneficio sea máximo. eben producirse 375 pasteles de la primera clase y 250 de la segunda. Ejercicio 43.- (P.T.) Una empresa posee dos fábricas F1 y F2 que producen 80 y 100 unidades respectivamente de un determinado producto. eben abastecer a tres centros de consumo 1, 2 y 3, que necesitan 50, 70 y 60 unidades respectivamente. El coste del transporte de cada fábrica a cada centro de consumo, en euros por unidad, viene dado en la siguiente tabla: F F ómo ha de realizarse el transporte para que sea lo más económico posible? F F Ejercicio 44.- Los abonos y se obtienen mezclando cierto sustrato con dos fertilizantes F1 y F2 en las siguientes proporciones: F1 100 g/kg 50 g/kg F2 70 g/kg 80 g/kg La cantidad disponible de los fertilizantes F1 y F2 son 39 kg y 24 kg. El beneficio que producen los abonos y son 75 céntimos/kg y 60 céntimos/kg. uántos kilos se deben fabricar de cada tipo de abono para maximizar el beneficio? Se deben fabricar 320 kg de abono del tipo y 100 del tipo. I.E.S. ajo Guadalquivir 10

11 Ejercicio 45.- Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m 2 de tejido de algodón y 1000 m 2 de tejido sintético. ada pantalón precisa de 1 m 2 de algodón y 2 m 2 de tejido sintético, y cada chaqueta de 1.5 m 2 de algodón y 1 m 2 de tejido sintético. Si el precio de venta del pantalón es de 5000 ptas. y el de la chaqueta 4000 ptas., cuántos pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante para que el importe de la venta sea máximo? ebe suministrar 300 chaquetas y ningún pantalón. Ejercicio 46.- Una persona desea adelgazar. En la farmacia le ofrecen dos compuestos y para que tome una mezcla de ambos en la comida, con las siguientes condiciones: No debe tomar más de 150 g de la mezcla, ni menos de 50 g. La cantidad de debe ser mayor o igual que la de. No debe incluir más de 100 g del compuesto. Se sabe que cada 100 g de contienen 30 mg de vitaminas y cada 100 g de contienen 20 mg de vitaminas. a) (2 puntos) Formule matemáticamente el conjunto de restricciones, dibuje la región factible y determine sus vértices. b) (1 punto) uántos gramos debe tomar de cada compuesto para obtener el preparado más rico en vitaminas? ebe tomar 100 g. del compuesto y 50 del compuesto. Ejercicio 47.- En una confitería se dispone de 24 kg de polvorones y 15 de mantecados, que se envasan en dos tipos de cajas de la siguiente forma: aja 1: 200 g de polvoron es y 100 de mantecados. Precio 4. aja 2: 200 g de polvorones y 300 de mantecados. P recio 6. uántas cajas de cada tipo se tendrán que preparar y vender para obtener el máximo ingreso? Se deben preparar 105 cajas del tipo 1 y 15 del tipo 2, y los ingresos serán 510. Ejercicio 48.- (P.T.) os fábricas F1 y F2 que produ cen 40 y 50 unidades respectivamente de un determinado producto. eben abastecer a tres centros de consumo 1, 2 y 3, que necesitan 20, 45 y 25 unidades respectivamente. El coste del transporte de cada fábrica a cada centro de consumo, en euros por unidad, viene dado en la siguiente tabla: F F ómo ha de realizarse el transporte para que sea lo más económico posible? F F I.E.S. ajo Guadalquivir 11

12 Ejercicio 49.- Un ganadero debe suministrar un mínimo diario de 4 mg de vitamina y 6 mg de vitamina en el pienso que da a sus reses. ispone para ello de dos tipos de pienso P1 y P2 cuyos contenidos vitamínicos por kilogramo son los siguientes: P1 2 6 P2 4 3 Si el kg de pienso P1 vale 0.4 euros y el de P2 vale 0.6 euros, cómo debe suministrar las vitaminas requeridas en un coste mínimo? Proporcionando 2/3 Kg. de cada pienso.. Ejercicio 50.- (3 puntos) Una fábrica produce dos tipos de juguetes, muñecas y coches teledirigidos. La fábrica puede producir, como máximo, 200 muñecas y 300 coches. La empresa dispone de 1800 horas de trabajo para fabricar los juguetes y sabe que la producción de cada muñeca necesita 3 horas de trabajo y reporta un beneficio de 10 euros, mientras que la de cada coche necesita 6 horas de trabajo y reporta un beneficio de 15 euros. alcule el número de muñecas y de coches que han de fabricarse para que el beneficio global de la producción sea máximo y obtenga dicho beneficio. Han de fabricarse 200 muñecas y 200 coches, y en tal caso el beneficio es euros. Ejercicio 51.- (3 puntos) Una empresa gana 150 euros por cada Tm de escayola producida y 100 euros por cada Tm de yeso. La producción diaria debe ser como mínimo de 30 Tm de escayola y 30 Tm de yeso. La cantidad de yeso no puede superar en más de 60 Tm a la de escayola. El triple de la cantidad de escayola, más la cantidad de yeso, no puede superar 420 Tm. alcule la cantidad diaria que debe producirse de cada material, para obtener la máxima ganancia y determine dicha ganancia. ebe producirse 90 Tm de escayola y 150 de yeso, y la ganancia será Ejercicio 52.- Las restricciones pesqueras impuestas por la EE obligan a cierta empresa a pescar como máximo 2000 toneladas de merluza y 2000 toneladas de rape, además, en total, las capturas de estas dos especies no pueden pasar de las 3000 toneladas. Si el precio de la merluza es de 1000 ptas/kg y el precio del rape es de 1500 ptas/kg, qué cantidades debe pescar para obtener el máximo beneficio? 2000 kg de rape y 1000 de merluza. Ejercicio 53.- Minimizar z = 15x + 33y, sujeta a 3x + 2y 6; 6x + y 6; x 0; y 0 El mínimo de z es 30 y se alcanza en el punto (2,0). I.E.S. ajo Guadalquivir 12

13 Ejercicio 54.- Para abonar una parcela de huerta se necesitan, por lo menos, 8 kg de nitrógeno y 12 kg de fósforo. Se dispone de un producto M cuyo precio es de 3 euros por kilogramo y que contiene un 10 % de nitrógeno y un 30 % de fósforo y otro producto N que contiene un 20 % de nitrógeno y un 20 % de fósforo, y cuyo precio es de 4 euros por kilogramo. Qué cantidades se de ben tom ar de M y N para abonar la parcela con el menor gasto posible? 20 kg de producto M y 30 de N. Ejercicio 55.- Un barco se dedica al transporte de mercancías y pasajeros entre dos puertos de la costa mediterránea. En concreto, transporta vehículos de dos modelos X e Y. ada coche del modelo X ocupa 7 m 2 y cada uno del modelo Y ocupa 4 m 2. La superficie disponible para transporte de coches es de 28 m 2, y, por otra parte, existe un contrato que prohíbe transportar en cada trayecto más de 5 coches. Si el beneficio neto por transportar cada coche del modelo X es de 200 y de 150 por cada uno del modelo Y, cuántos coches deberá transportar por trayecto con el fin de maximizar los beneficios? ebe transportar 3 coches del tipo X y 2 del tipo Y. Ejercicio 56.- Una empresa fabrica dos clases de lápices. e la clase a 20 ptas. unidad y de la clase a 15 ptas. unidad. En la producción diaria se sabe que: el número de la clase no supera en 1000 unidades a los de ; entre las dos clases no superan a 3000 unidades y los de la clase no bajan de 1000 unidades. Hallar el costo máximo y mínimo de la producción diaria. El coste mínimo de la producción es de ptas. fabricando 1000 unidades de la clase y ninguno de la. El coste máximo de la producción es de ptas. fabricando 2000 unidades de la clase y 1000 de la clase. Ejercicio 57.- Sea el siguiente sistema de inecuaciones: 5x +3y 2; x + 2y 6; 2x + 3y 37 a) (2.25 puntos) Represente el conjunto solución y determine sus vértices. b) (0.75 puntos) Halle el punto del recinto anterior en el cual la función F(x, y) = 2x + 5y alcanza su valor máximo. El máximo se alcanza en el punto (5,9) y vale 35. (2,4) (5,9) (8,7) Ejercicio 58.- e todas las soluciones posibles del sistema 2x + 5y 20; 5x + 2y 20; x 0; y 0, hallar la que maximiza la función objetivo z = 2x + 7y. El máximo se alcanza en el punto (0,4) y vale 28. I.E.S. ajo Guadalquivir 13

14 Ejercicio 59.- (3 puntos) Una empresa fabrica sofás de dos tipos, y, por los que obtiene un beneficio, por unidad, de 1500 y 2000 euros, respectivamente. l menos se deben fabricar 6 sofás del tipo y 10 del tipo, por semana, y además, el número de los del tipo no debe superar en más de 6 unidades al número de los del. uántas unidades de cada tipo se deben fabricar semanalmente para obtener beneficio máximo, si no se pueden fabricar más de 30 sofás semanalmente? Se deben fabricar 6 sofás del tipo y 24 del tipo, y el beneficio será Ejercicio 60.- a) (1 punto) ibuje el recinto definido por el siguiente sistema de inecuaciones: x 6; y 8; x + 2y 10; x 0; y 0 b) (1 punto) alcule sus vértices. c) (1 punto) alcule el máximo de la función F(x,y) = 20x + 60y b) (6,2), (6,8), (0,8), (0,5) c) El máximo se alcanza en y vale 600. Ejercicio 61.- (1 punto) ibuje el recinto definido por el siguiente sistema de inecuaciones: x 6; y 8; x + 2y 10; x 0; y 0 a) (1 punto) alcule sus vértices. b) (1 punto) alcule el máximo de la función F(x,y) = y en dicho recinto. b) (6,2), (6,8), (0,8), (0,5) c) El máximo se alcanza en el segmento y vale 500. Ejercicio 62.- a) (1 punto) ibuje el recinto limitado por las siguientes inecuaciones: x + y 27; x 12; y 6 b) (1 punto) etermine los vértices de este recinto. c) (1 punto) uáles son los valores máximo y mínimo de la función F(x,y) = 90x + 60y en el recinto anterior y en qué puntos alcanza dichos valores? b) (12,6), (21,6), (12,15) c) El máximo se alcanza en el punto y vale 2250 y el mínimo en y vale Ejercicio 63.- Minimizar z = 2x + 3y, sujeta a las condiciones: 3x + y 3; 2x + 8y 6; x 0; y El mínimo se alcanza en el punto, 36 y vale I.E.S. ajo Guadalquivir 14

15 Ejercicio 64.- os abonos y, están compuestos por los tres mismos componentes: P, Q y R, aunque en distinta proporción. El abono tipo, cuyo precio es de 12 ptas/kg. consta de 2 unidades de P, 2 de Q y 1 de R; el abono tipo, cuyo precio es de 15 ptas./kg. consta de 1 unidad de P, 2 de Q y 2 de R. Si el abono necesario para determinada plantación es de 8, 10 y 6 unidades de P, Q y R, respectivamente, cuál es la combinación de los abonos tipo y que supone un coste mínimo? 4kg del abono y 1kg del abono y el coste mínimo es 63 ptas. Ejercicio 65.- Maximizar z = 3x + 2y sujeta a: 7x + 5y 10; 7x + 3y 15; 2x 3y 10; x 0; y 0 El máximo es 47.5 y se alcanza en el punto (7.5, 12.5) Ejercicio 66.- Maximizar z = x + y sujeta a: x + 3y 26; 4x + 3y 44; 2x + 3y 28; x 0; y 0 El máximo es 12 y se alcanza en el punto (8, 4). Ejercicio 67.- Una empresa fabrica dos tipos de televisores: en color y en blanco y negro. Todos ellos han de pasar por los departamentos de electrónica y de montaje; cada departamento dispone semanalmente de 100 horas. Un televisor en color necesita 3 horas en el departamento de electrónica y de 1 hora en el de montaje, mientras que uno en blanco y negro requiere 1 y 2 horas respectivamente. Qué cantidad de televisores de cada tipo han de fabricarse semanalmente para que, siendo el beneficio que produce uno de color de 5000 ptas. y uno de blanco y negro 4000 ptas., el beneficio sea máximo? 20 en color y 40 en blanco y negro y el beneficio es de ptas. Ejercicio 68.- Se considera la región del plano determinada por las inecuaciones: x + 3 y ; 8 x + y ; y x - 3 ; x 0; y 0 a) ibujar la región del plano que definen, y calcular sus vértices. b) Hallar el punto de esa región en el que la función F(x,y) = 6x + 4y alcanza el valor máximo y calcular dicho valor. a) (5.5, 2.5), (2.5, 5.5), (0, 3), (0, 0), E(3, 0) b) El máximo se alcanza en el punto y vale 43. E I.E.S. ajo Guadalquivir 15

16 Ejercicio 69.- Una fábrica de muebles tiene almacenada de 1200 m 3 de madera de ébano y 1500 m 3 de madera de pino, con los cuales fabrica dos clases de muebles, y. En la fabricación de los muebles del tipo utiliza 1 m 3 de ébano y 3 m 3 de pino; en la de los del tipo utiliza 3 m 3 de ébano y 2 m 3 de pino. Si el precio de venta de los muebles tipo y es de y ptas. respectivamente, calcular el número de muebles que han de fabricarse de cada tipo para que el importe de la venta sea el máximo posible. 300 muebles de cada tipo y el importe de la venta será 33 millones de pesetas. Ejercicio 70.- ierto laboratorio ha sido informado de que ha de proporcionar como mezcla para la fabricación de un producto H, dos materias primas y. e debe poner 40 mg. y de 45 mg. Se pone en contacto con un fabricante que le ha ofrece dos tipos de producto H, cuyas características son: Producto mg de mg de Precio ptas./mg H H Qué cantidad de cada tipo de producto habrá de comprar el laboratorio si quiere fabricar un producto H idóneo con un coste mínimo? mg. de H 1 y mg. de H Ejercicio 71.- Una empresa produce dos tipos de componentes eléctricos ( y ). El tiempo requerido para la fabricación del componente es el doble que para la, y es conocido que si únicamente fabricara componentes tipo podría hacer un máximo de 5000 al día. El suministro de material para cierto mes hace posible, como máximo, la fabricación de 4000 componentes diarios (incluyendo ambos tipos). Sabiendo que los márgenes comerciales (beneficios) son de 200 ptas. por cada componente tipo y de 150 ptas. por cada componente de tipo, contestar justificando la respuesta: a) uántos componentes de cada tipo deberá fabricar diariamente durante dicho mes con objeto de maximizar su beneficio? b) uál sería el beneficio máximo? a) 2500 componentes y 1500 componentes b. b) pesetas. Ejercicio 72.- Una ganadería desea proporcionar a su ganado una dieta que contenga un mínimo de 24 unidades del pienso y un mínimo de 25 unidades del pienso. En el mercado se comercializan dos tipos de compuestos 1 y 2, elaborados con ambos piensos. El paquete de 1 contiene 1 unidad de y 5 de, siendo su precio 100 ptas. y el de 2 contiene 4 unidades de y 1 de, siendo su precio 300 ptas. Que cantidades de 1 y de 2 deberá emplear la ganadería para preparar su dieta con el mínimo coste? 4 paquetes de 1 y 5 de 2, siendo el coste 1900 ptas. I.E.S. ajo Guadalquivir 16

17 Ejercicio 73.- Maximizar z = x + y sujeta a: x + 3y 26; 4x + 3y 44; 2x + 3y 28; x 0; y 0 El máximo es y se alcanza en el punto (6, 6.666) Ejercicio 74.- Minimizar F(x,y) = 2(x 1) + 3(y + 2) 3x 2y 4, sujeta a las restricciones: x 0, y 0, y x 2, y + x 4, y x 2 El mínimo es 2 y se alcanza en el segmento que une (0, 2) con (1, 3). Ejercicio 75.- Una empresa textil confecciona dos tipos de camisetas, y. El tiempo requerido para la confección de una camiseta tipo es el doble que para una del tipo. Teniendo en cuenta el número de operarios de que dispone, se sabe que si únicamente confeccionara camisetas del tipo, podría hacer 1000 en un día. El suministro de material para determinado mes, sólo hace posible la confección de 800 camisetas diarias, (incluyendo ambos tipos). eterminar el número de camisetas de cada tipo que han de confeccionarse diariamente durante dicho mes con objeto de obtener máximo beneficio, sabiendo que cada camiseta tipo vendida reporta una ganancia de 200 ptas. y cada camiseta tipo, 150 ptas. 500 del tipo y 300 del tipo, con unas ganancias de ptas. Ejercicio 76.- Una marca comercial prepara dos tipos de pintura (P1 y P2). El bote P1 contiene 1 Kg. de la sustancia, 2 Kg. de la y 1 Kg. de la y el bote de P2 contiene 2 Kg. de y 1 Kg. de. La marca comercial dispone en su almacén de 4000 Kg. de, 5000 Kg. de y 3000 Kg. de. Sabiendo que por cada bote de P1 obtiene una ganancia de 200 ptas. y por cada bote de P2, 300 ptas. cuántos botes de cada tipo deberá preparar con objeto de obtener máximo beneficio? Justificar la respuesta botes del tipo P1 y 1000 del tipo P2. Ejercicio 77.- Un comerciante acude a cierto mercado a comprar naranjas con ptas. Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo a 50 ptas. el kg y las de tipo a 80 ptas. el kg. Sabiendo que sólo dispone en su furgoneta de espacio para transportar 700 Kg. de naranjas como máximo y que piensa vender el Kg. de naranjas tipo a 58 ptas. y el Kg. de tipo a 90 ptas. ontestar justificando las respuestas: a) uántos Kg. de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener máximo beneficio? b) uál seria ese beneficio máximo? a) 625 Kg. del tipo y ninguno del tipo. b) pesetas. I.E.S. ajo Guadalquivir 17

18 Ejercicio 78.- Una empresa construye en dos factorías (F1 y F2) tres tipos de barcos deportivos (, y ). La factoría F1 construye en 1 mes: 1 barco tipo, 5 tipo y 1 tipo, siendo su coste de mantenimiento mensual 6 millones de euros. y F2 construye en un mes: 1 barco tipo, 1 tipo y 2 tipo, siendo su coste mensual 3 millones de euros. La empresa se ha comprometido a entregar anualmente a cierto club náutico, 3 barcos tipo, 15 tipo y 12 tipo. uántos meses al año deberá trabajar cada factoría con objeto de que la empresa cumpla su compromiso con el mínimo coste? Justificar la respuesta. La factoría F1 debe trabajar 2 meses y la factoría F2 debe trabajar 5 meses. El coste en ese caso es de 24 millones de euros. Ejercicio 79.- Para la desinfección de cierta piscina es necesario un mínimo de 24 litros del producto y un mínimo de 25 litros del producto. En el mercado se comercializan dos preparados (P 1 y P 2 ) al precio de 1000 y 3000 pesetas el litro, respectivamente. En la composición de P 1 hay un 10% de y un 50% de, y en la de P 2, un 40% de y un 10% de. eterminar, justificando la respuesta: a) uántos litros de P 1 y de P 2 tendremos que utilizar para desinfectar la piscina con el coste mínimo? b) uál será el coste mínimo? a) 40 litros de P 1 y 50 de P 2. b) pesetas. Ejercicio 80.- Sea el recinto poligonal convexo definido por el sistema de inecuaciones: 3x y 2; x + y 10; x + y 0; x 0; y 0. Se pide: (a) (1 punto) ibujarlo y hallar sus vértices. (b) (1 punto) Razonar si es posible maximizar y minimizar en él la función f(x,y) = 3x + y (c) (1 punto) En caso afirmativo, calcular el valor óptimo correspondiente indicando en que puntos se consigue el máximo o el mínimo. a) (10,0), (2,8), (0,2), (0,0). b) Sí, es posible porque la región factible está acotada. c) El mínimo es 0 y se alcanza en el vértice. El máximo es 30 y se alcanza en. Ejercicio 81.- Se considera la región del primer cuadrante determinada por las inecuaciones: x + y 8; x + y 4; x + 2y 6. a) (2 puntos) ibuje la región y determine sus vértices. b) (1 punto) ada la función objetivo F(x,y) = 3x + 2y, halle dónde alcanza dicha función su valor mínimo y calcule éste. E a) (2,2), (6,0), (8,0), (0,8), E(0,4) b) El mínimo vale 8 y se alcanza en el punto E. I.E.S. ajo Guadalquivir 18

19 Ejercicio 82.- Un laboratorio utiliza las sustancias y en la elaboración de dos vacunas. La primera se prepara con 2 unidades de y 1 de, siendo su precio 3000 ptas. y la segunda se elabora con 2 unidades de y 3 de, siendo su precio 4000 ptas. Sabiendo que dicho laboratorio dispone de un total de 400 unidades de y 300 de, cuántas vacunas de cada tipo deberá preparar para obtener el máximo beneficio? 150 unidades de la primera y 50 de la segunda, con un beneficio de ptas. Ejercicio 83.- Se dispone de tierras de abono, pero éstas no contienen ni calcio ni potasio. El agricultor necesita que cada Kg. de tierra de abono tenga al menos 12 unidades de a y 13 de K. ispone en el mercado de dos tipos de pastillas y cuyos contenidos en unidades de calcio y potasio se dan en el cuadro siguiente: a K Sabiendo que cada pastilla de tipo cuesta 10 ptas. y cada una del tipo, 20 ptas. y que no se pueden añadir más de 6 pastillas por Kg. de tierra (ello "quemaría" la cosecha) uantas pastillas de tipo y de tipo debe añadir a cada Kg. de tierra de abono para cumplir los requisitos a un costo mínimo? uánto costaría producir una tonelada de tierra de abono (sin contar el costo de la tierra)? l ser un problema de programación lineal entera la región factible es un conjunto discreto de puntos. Hay 3 combinaciones posibles para minimizar el coste 2 pastillas de cada tipo, 4 de tipo y una de tipo y 6 pastillas de tipo. El coste de una tonelada de tierra de abono es ptas. Ejercicio 84.- El dueño de una papelería dispone de 700 cuadernos, 1200 bolígrafos y 1100 lápices. esea ponerlos a la venta en lotes de dos tipos, L 1 y L 2. ada lote del tipo L 1 está formado por 10 cuadernos, 20 bolígrafos y 10 lápices, y se venderá a 1000 ptas. ada lote L 2 está formado por 10 cuadernos, 10 bolígrafos y 20 lápices, y se venderá a 700 ptas. alcule: a) (2 puntos) uántos lotes conviene hacer de cada tipo para alcanzar un ingreso máximo. b) (1 punto) uánto dinero se obtendrá por la venta de todos esos lotes. a) 50 lotes L 1 y 20 lotes L 2. b) pesetas. Ejercicio 85.- Se considera la región del plano determinada por las inecuaciones: x + 3 y ; x + y 8 ; y x - 3 ; x 0; y 0 a) ibujar la región del plano que definen, y calcular sus vértices. b) Hallar el punto de esa región en el que la función F(x,y) = 4x + 4y alcanza el valor mínimo y calcular dicho valor. a) (5.5, 2.5), (2.5, 5.5) b) El mínimo es 32 y se alcanza en el segmento. I.E.S. ajo Guadalquivir 19

20 Ejercicio 86.- Un joyero fabrica dos tipos de anillos de boda. ada anillo del primer tipo requiere 2 gramos de platino y 1 gramo de oro; cada anillo del segundo tipo requiere 1 gramo de platino y 2 gramos de oro. Los anillos del primer tipo se venden a 6000 ptas./unidad y los del segundo tipo a 4000 ptas./unidad. El joyero dispone de 150 gramos de cada metal y desea fabricar anillos de forma que el beneficio que obtenga sea máximo. a) (1 punto) Plantee el problema y dibuje la región factible. b) (1 punto) Halle cuántos anillos de cada tipo debe vender el joyero para que obtenga el máximo ingreso. c) (1 punto) alcule dicho ingreso. b) 50 anillos de cada tipo. c) pesetas. Ejercicio 87.- Una empresa agrícola necesita almacenar sus dos clases de productos, y. Una 3 unidad de producto ocupa 1.6 m y una unidad de producto ocupa 2.5 m 3, siendo la capacidad total del almacén 1000 m 3. El precio de una unidad del producto es de 120 ptas. y el de una unidad del es de 130 ptas. alcule cuantas unidades de cada clase deben producirse para que la diferencia entre los ingresos por venta y los gastos por almacenamiento sea máxima, sabiendo que el coste de cada m 3 de almacén es de 5 ptas. El beneficio máximo es ptas. y se obtiene produciendo 625 unidades del producto y ninguna del. Ejercicio 88.- Una empresa fabrica dos artículos, y. El artículo cuesta 2000 ptas. y el artículo cuesta 1500 ptas. Se sabe que el número de unidades fabricadas diariamente del artículo no supera en 10 unidades a las del artículo, y que entre los dos artículos no se superan diariamente las 30 unidades. También se sabe que la producción del artículo no baja diariamente de 10 unidades. a) (1 punto) Formule el sistema de inecuaciones asociado al enunciado. b) (1 punto) ibuje la región factible y determine sus vértices. c) (1 punto) Halle los costes máximo y mínimo de la producción diaria. a) y x + 10; x + y 30; y 10; x 0. b) (0, 10); (20,10); (10,20) c) El coste mínimo es pesetas (fabricando sólo 10 artículos ) y el máximo (fabricando 20 artículos y 10 ). Ejercicio 89.- ierto taller se dedica a la revisión mecánica y eléctrica de dos marcas de utomóviles ( y ). La revisión de un automóvil de la marca requiere 1 hora de mecánica y 1 hora de electricidad, siendo el precio de la revisión de 7000 ptas, y la revisión de un automóvil de marca requiere 1 hora de mecánica y 2 horas de electricidad, siendo su precio de ptas. Teniendo en cuenta el numero de operarios de que dispone el taller, el máximo número de horas al día que puede dedicar a las revisiones mecánicas es de 50 hora y las revisiones eléctricas de 70 horas. uántos automóviles de cada marca deberá revisar diariamente el taller con objeto de obtener máxima ganancia? 30 de la marca y 20 de la marca, obteniendo una ganancia de ptas. I.E.S. ajo Guadalquivir 20

21 Ejercicio 90.- os pinturas y tienen am bas dos tipos de pigmentos p y q; está compuesto de un 30% de p y un 40% de q, está compuesto de un 50% de p y un 20% de q, siendo el resto incoloro. Se mezclan y con las siguientes restricciones: La cantidad de es mayor que la de. Su diferencia no es menor que 10 gramos y no supera los 30 gramos. no puede superar los 30 gramos ni ser inferior a 10 gramos. a) Qué mezcla contiene la mayor cantidad del pigmento p? b) Qué mezcla hace q mínimo? a) 60 gramos de y 30 de. b) 20 gramos de y 10 de. Ejercicio 91.- La mejora de tierra para usos urbanos cuesta 400 /m 2 y para usos agrícolas 300 /m 2. Realizando un proyecto de mejora del suelo, el director del proyecto se encuentra con las siguientes condiciones aprobadas en el yuntamiento: a) Se deben mejorar al menos 4000 m 2 de tierra destinados a usos urbanos. b) Se deben mejorar al menos 5000 m 2 de tierra destinados a usos agrícolas. c) En total se deben mejorar como máximo m 2 de tierra destinada a cualquier uso. Hallar cual es el coste mínimo del proyecto. El coste mínimo es mejorando 4000 m 2 para usos urbanos y 5000 m 2 para usos agrícolas. Ejercicio 92.- (3 puntos) ierta sala de espectáculos tiene una capacidad máxima de 1500 personas, entre adultos y niños; el número de niños asistentes no puede superar los 600. El precio de la entrada a una sesión de un adulto es de 800 pts, mientras que la de un niño es de un 40 % menos. El número de adultos no puede superar al doble del número de niños. umpliendo las condiciones anteriores, cuál es la cantidad máxima que se puede recaudar por la venta de entradas? uántas de las entradas serán de niños? La recaudación máxima es pesetas, que se consigue vendiendo 1000 entradas de adulto y 500 de niño. Ejercicio 93.- Sea la función f( x,y) 2x 3y = definida en la región x 2y 0 2x y 0 0 y 5 x 0 a) Representar la región de factibilidad. b) Hallar el máximo de dicha función. a) (0,0), (10,5), (2.5,5) b) f(10,5) = 5. I.E.S. ajo Guadalquivir 21

22 Ejercicio 94.- a) Representa el conjunto de puntos del primer cuadrante que verifican las inecuaciones: x + 3y 3; x + y 5; x + 2y 8. b) ada la función F(x,y) = 3x + 5y, calcular los puntos del conjunto anterior donde F toma su valor máximo y su valor mínimo. a) (3,0), (5,0), (2,3), (0,4), E(0,1) E b) F alcanza el máximo (21) en y el mínimo (4) en E. Ejercicio 95.- (3 puntos) Se quiere organizar un puente aéreo entre dos ciudades, con plazas suficientes de pasaje y carga, para transportar 1600 personas y 96 toneladas de equipaje. Los aviones disponibles son de dos tipos: 11 del tipo y 8 del tipo. La contratación de un avión del tipo cuesta 4 millones de pts y puede transportar 200 personas y 6 toneladas de equipaje; la contratación de uno del tipo cuesta 1 millón de pts y puede transportar 100 personas y 15 toneladas de equipaje. uántos aviones de cada tipo deben utilizarse para que el coste sea mínimo? 6 del tipo y 4 del tipo y el coste es de 28 millones de pesetas. Ejercicio 96.- Un comerciante desea comprar en un mayorista de modas abrigos de dos tipos: de paño a ptas. y de piel a ptas. unidad. ispone de ptas. para la operación y no precisa más de 20 unidades. Sabiendo que en la venta posterior de cada abrigo gana el 15 % del precio de venta, cuántos abrigos ha de comprar de cada tipo para obtener beneficios máximos? 15 de paño y 5 de piel para obtener unos beneficios de ptas. Ejercicio 97.- Un agricultor dispone de 8 invernaderos de características similares, en cada uno de ellos cultivará pimiento o calabacín. En la tabla siguiente aparecen los recursos de que dispone, los que son necesarios (en unidad de recurso por tonelada) para cada cultivo así como la ganancia en millones de pesetas por tonelada que le da cada cultivo. REURSO UNIES E REURSO POR TONEL TOTL E REURSO Pimiento calabacín Invernaderos bono gua Ganancia por Tm 2 3 alcule las cantidades en toneladas que debe cosechar para que la ganancia sea máxima. ebe cultivar 2 Tm de pimiento y 3 de calabacín. I.E.S. ajo Guadalquivir 22

23 Ejercicio 98.- (P.T.) Una empresa dedicada a la fabricación de componentes de ordenador tiene dos fábricas que producen, respectivamente, 800 y 1500 piezas mensuales. Estas piezas han de ser transportadas a tres tiendas que necesitan 1000, 700 y 600 piezas, respectivamente. Los costes de transporte, en euros por pieza son los que aparecen en la tabla adjunta. ómo debe organizarse el transporte para que el coste sea mínimo? Tienda Tienda Tienda Fábrica I Fábrica II La distribución de las piezas debe ser la siguiente: Tienda Tienda Tienda Fábrica I Fábrica II El coste para esta distribución es Ejercicio 99.- Un industrial quiere invertir hasta un máximo de euros en la elaboración de Plata y ronce, sabiendo que hay unos gastos fijos de euros. El coste de cada kg. de ronce es de 200 euros y el de cada kg. de plata de 300 euros y los beneficios que se espera obtener son 100 euros por cada kg. de ronce y 80 por cada kg. de Plata obtenido. El proceso de fabricación obliga a elaborar un número de kg. de ronce comprendido entre 1 3 y 3 5 del número de kg. de plata. a) Representar el recinto formado por las restricciones del problema. b) eterminar la función objetivo del industrial y calcular el número de kg. de cada tipo que debe elaborar para maximizar su beneficio mensual. a) (0,0), (63,21), (55,33). b) f(x,y)= 80x + 100y, que alcanza su máximo produciendo 55 kg. de plata y 33 de bronce (el máximo es ). Ejercicio En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia y otras 15 de una sustancia. En el mercado sólo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de y cinco de, y el tipo Y, con una composición de cinco unidades de y una de. El precio del tipo X es de 1000 pesetas y el del tipo Y es de 3000 pesetas. Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las n es con un coste mínimo? (Islas 90) ecesidad aleares. Junio 19 a) 2. 5 unidades de cada sustancia. b) onsiderando el problema como un problema de programación lineal entera tiene dos soluciones, 3 unidades de cada sustancia y 5 de la sustancia y 2 de la. I.E.S. ajo Guadalquivir 23