LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

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Magdalena Arroyo García
hace 6 años
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1 LÍITE DE UNA FUNCIÓN. Limite de un unción en un punto.. Límites lterles.. Limites ininitos.. Límites en el ininito.. Propieddes de los límites. 6. Operciones con ininito. 7. Cálculo de límites. 8. Cálculo de límites cundo tiende. 9. Límite de un número prtido por cero.. Indeterminciones.. LÍITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO El límite de l unción en el punto =, es el vlor l que se cercn ls imáenes ls y cundo los oriinles ls se cercn l vlor. Es decir el vlor l que tienden ls imáenes cundo los oriinles tienden. Vmos estudir el límite de l unción = en el punto =, dndo vlores l derech y l izquierd de : X,9,6,.,99,96,,,999,996,, Tnto si nos cercmos por l izquierd o l derech ls imáenes se cercn. Se dice que l unción tiene como límite el número L, cundo tiende, si ijdo un número rel positivo ε, myor que cero, eiste un numero positivo δ dependiente de ε, tl que, pr todos los vlores de distintos de que cumplen l condición - < δ, se cumple que - L <ε. L, L. LÍITES LATERALES Diremos que el límite de un unción cundo tiende hci por l izquierd es L, si y sólo si pr todo ε > eiste δ > tl que si +δ,, entonces - L <ε. L,, L CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Límite de unciones

2 Diremos que el límite de un unción cundo tiende hci por l derech es L, si y sólo si pr todo ε > eiste δ > tl que si, + δ, entonces - L <ε. L,, L TEOREA: El límite de un unción en un punto si eiste, es único. Por tnto, El límite de un unción eiste si eisten y coinciden los límites lterles Pr clculr el límite de un unción en un punto, no nos interes lo que sucede en dicho punto sino su lrededor.. LÍITE INFINITO LÍITE INFINITO POSITIVO Un unción tiene por límite + cundo tiende hci, si ijdo un número rel positivo > se veriic que > pr todos los vlores próimos., EJEPLO: LÍITE INFINITO NEGATIVO Un unción tiene por límite - cundo tiende hci, si ijdo un número rel netivo < se veriic que < k pr todos los vlores próimos., EJEPLO: CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Límite de unciones

3 CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Límite de unciones. LÍITES EN EL INFINITO LÍITE CUANDO X TIENDE A AS INFINITO L L,,, LÍITE CUANDO X TIENDE A ENOS INFINITO L L,,, EJEPLOS:.

4 CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Límite de unciones.. PROPIEDADES DE LOS LÍITES. Límite de un constnte. Límite de un sum. Límite de un producto. Límite de un cociente si. Límite de un potenci 6. Límite de un unción compuest puede ser un ríz, un lo, sen,cos, t, etc.

5 6. OPERACIONES CON INFINITO. Sums con ininito k Indet. Productos con ininito k, k Indet. Cocientes con ininito y cero. Potencis con ininito y cero k k ind k k ind, INDET, INDET, INDET si si, positivo, netivo Si > Si < < 7. CÁLCULO DE LÍITES Si no es un unción deinid trozos, y está deinid en el punto, entonces se suele cumplir que Es decir, pr clculr el límite se sustituye en l unción el vlor l que tienden ls. Ejemplo: Sólo si l solución que se obtiene es un indeterminción, hbrá que plicr otros procedimientos. CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Límite de unciones

6 Cálculo del límite en un unción deinid trozos - Si tiende un punto interior de uno de los intervlos de deinición, se clcul iul que ntes, usndo l unción que se h deinido pr ese intervlo. - Si tiende uno de los puntos donde cmbi l unción, tenemos que estudir los límites lterles, si coinciden este es el vlor del límite y si no coinciden, el límite no eiste. Ejemplo: si si si no eiste 9 8. CÁLCULO DE LÍITES CUANDO X TIENDE A. Pr clculr el límite de un unción cundo se sustituyen ls por. Csos: Límite de unciones polinómics en el ininito El límite cundo de un unción polinómic es + o - dependiendo únicmente del término de myor rdo. Ejemplo: Límite de l unción eponencil Hy que tener en cuent que: Si > Si < < CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Límite de unciones 6

7 Ejemplos: Límite de l unción lorítmic En los loritmos hy que tener en cuent el dominio, hy intervlos donde no eiste unción y por tnto puede no eistir uno de los límites lterles ni el límite enerl no eiste el loritmo de números netivos ni de cero. Además, hy que tener en cuent que - Si > es el cso del Ln lo lo - Si < < lo lo Ejemplo: ln Dom,,, por tnto: ln ln ln ln ln ln ln no eiste unción l derech de, por tnto no eiste el límite ln no eiste porque no eiste uno de los límites lterles. ln ln no eiste 9. LÍITE DE UN NÚERO PARTIDO POR CERO k El límite puede ser +, ó no tener límite. Hy que estudir los límites lterles tomndo vlores próimos l derech y l izquierd de CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Límite de unciones 7

8 Ejemplos:. Tommos los límites lterles pr determinr el sino de. Límite por l izquierd: Si le dmos l un vlor que se cerque por l izquierd como.999; el numerdor es positivo y el denomindor es netivos, por lo que el límite por l izquierd será: - : Límite por l derech: Si le dmos l un vlor que se cerque por l derech como,. Tnto el numerdor como el denomindor serán positivos, por lo que el límite por l derech será:. Como no coinciden los límites lterles, l unción no tiene límite cundo.. Tommos los límites lterles pr determinr el sino de. Límite por l izquierd: Si le dmos l un vlor que se cerque por l izquierd como -. el numerdor como el denomindor serán positivos, por lo que el límite por l izquierd será: + : Límite por l derech: Si le dmos l un vlor que se cerque por l derech como,. Tnto el numerdor como el denomindor serán positivos, por lo que el límite por l derech será:. Como coinciden los límites lterles, eiste CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Límite de unciones 8

9 CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Límite de unciones 9. INDETERINACIONES Eisten siete tipos de indeterminciones que y se vieron en el prtdo 6. Un indeterminción no siniic que el límite no eist o no se pued determinr, sino que l plicción de ls propieddes de los límites tl como ls hemos enuncids no son válids. En estos csos hy que eectur operciones prticulres pr resolver cd un de ls indeterminciones. INDETERINACIÓN INFINITO PARTIDO INFINITO Q P Podemos resolver est indeterminción por dos métodos: I. Teniendo en cuent que el término que determin el límite es el de myor rdo de cd polinomio, nos quedmos con estos términos y simpliicmos l rcción. Después sustituimos l por ininito y resolvemos:... II. Dividimos todos los términos por elevd l rdo del denomindor :...

10 CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Límite de unciones INDETERINACIÓN CERO PARTIDO CERO Dos csos: A. Función rcionl sin rdicles: Se descomponen en ctores los polinomios y se simpliic l rcción...? Hy que clculr los límites lterles dndo vlores próimos l izquierd y l derech ver prtdo 9: Límite por l izquierd: Si le dmos l un vlor que se cerque por l izquierd como.999; el numerdor es positivo y el denomindor es netivos, por lo que el límite por l izquierd será: - : Límite por l derech: Si le dmos l un vlor que se cerque por l derech como,. Tnto el numerdor como el denomindor serán positivos, por lo que el límite por l derech será:. Como no coinciden los límites lterles, l unción no tiene límite cundo. B. Función rcionl con rdicles: En primer lur multiplicmos numerdor y denomindor por el conjudo de l epresión irrcionl. Relizmos ls operciones y simpliicmos l rcción. Recuerd b b b

11 CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Límite de unciones INDETERINACIÓN INFINITO ENOS INFINITO A. Con unciones rcionles. Ponemos común denomindor. 8? Clculmos los límites lterles: No coinciden, por tnto no eiste límite. B. Cundo se trt de unciones irrcionles Podemos multiplicr y dividir por el conjudo. Nos quedmos con los términos de myor rdo de cd polinomio:

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