PARTE 2 - ESTADISTICA. Parte 2 Estadística Descriptiva Introducción

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1 Parte Estadístca Descrptva Prof. María B. Ptarell PARTE - ESTADISTICA 7- Estadístca Descrptva 7. Itroduccó El campo de la estadístca tee que ver co la recoplacó, orgazacó, aálss y uso de datos para tomar decsoes razoables basadas e tal aálss. Al recoger datos relatvos a las característcas de u grupo de dvduos u objetos, sea alturas y pesos de estudates de ua uversdad o tuercas defectuosas producdas por ua fábrca, suele ser mposble o poco práctco observar todo el grupo, e especal s es muy grade. E vez de eamar el grupo etero, llamado poblacó o uverso, se eama ua pequeña parte del grupo, llamada muestra. E muchos problemas estadístcos es ecesaro utlzar ua muestra de observacoes tomadas de la poblacó de terés co objeto de obteer coclusoes sobre ella. A cotuacó se preseta la defcó de alguos térmos Ua poblacó está formada por la totaldad de las observacoes e las cuales se tee certo terés. Ua muestra es u subcojuto de observacoes seleccoada de ua poblacó S ua muestra es represetatva de ua poblacó, es posble ferr mportates coclusoes sobre la poblacó a partr del aálss de la muestra. La parte de la estadístca que trata sobre las codcoes bajo las cuales tal fereca es válda se llama estadístca ductva o fereca estadístca. Ya que dcha fereca o es del todo eacta, el leguaje de las probabldades aparecerá al establecer uestras coclusoes. La parte de la estadístca que estuda la muestra s ferr algua coclusó sobre la poblacó es la estadístca descrptva. E partcular la estadístca descrptva trata sobre los métodos para recolectar, orgazar y resumr datos. La estadístca descrptva puede a su vez dvdrse e dos grades áreas: métodos gráfcos y métodos umércos. E lo referete a la otacó, represeta el úmero de observacoes e u cojuto de datos, las observacoes está represetadas por ua varable co subídce (por ejemplo,,, ). Así la represetacó de los cco valores, 5, de la velocdad de u chp de computadora e MHz medda por u geero, será: 48.5, 493.7, , , , 7. Dstrbucó de frecuecas e hstogramas Supogamos que los sguetes datos represeta la vda de 40 baterías para automóvl smlares, regstradas al décmo de año más cercao. Las baterías se garatza por tres años. 8

2 Parte Estadístca Descrptva Prof. María B. Ptarell Para orgazar los datos buscamos el mímo y el mámo de la muestra, e este caso el mímo es.6 y el mámo es 4.7 Elegmos u tervalo (a, b) que cotega todos los datos, por ejemplo a.5 y b 5.0. Dvdmos el tervalo (a, b) e subtervalos que puede ser de gual logtud, pero o ecesaramete, y cotamos cuátas observacoes cae e cada subtervalo, esa será la frecueca del tervalo. Para esto debemos decdr cuátos subtervalos utlzaremos. E geeral se puede usar la regla de tomar apromadamete subtervalos. Los subtervalos se llama tervalos de clase o smplemete clases. Resulta satsfactoro utlzar o meos de 5 clases más de 0. E el ejemplo 40 6, etoces 6 o 7 clases será ua eleccó satsfactora. Como b a , s tomamos r 7 clases etoces la logtud de cada ua sería b a r Costrumos ua tabla de frecuecas de maera tal que, por ejemplo, e el tervalo (.5,.0) está las observacoes mayores o guales a.5 y meores que.0. Los etremos de los tervalos de clase so los límtes de clase feror y superor. Itervalo de clase Marca de clase Frecueca f Frecueca relatva Frecueca acumulada Frecueca Acumulada relatva El puto medo de cada clase es la marca de clase. La logtud de cada tervalo de clase es el acho de clase. El gráfco de la tabla de frecuecas es el hstograma. Se costruye e u sstema de ejes cartesaos. Sobre el eje de abssas se marca los límtes de clase, y e cada clase se costruye u rectágulo cuya base es el tervalo de clase y el área del msmo debe ser proporcoal a la frecueca de la clase. S los tervalos de clase tee el msmo acho se puede costrur cada rectágulo de maera que su altura sea gual a la frecueca de la clase correspodete. Estos hstogramas so más fácles de terpretar. E la fgura sguete se muestra el hstograma referdo a la tabla de frecuecas ateror geerado por el paquete Statgraphcs. 9

3 Parte Estadístca Descrptva Prof. María B. Ptarell 5 frecueca ,5,5 3,5 4,5 5,5 vda de la batería e años S se tee pocos datos los hstogramas puede cambar de apareca al varar el úmero de clases y el acho de las msmas. S se hubera grafcado el hstograma de frecuecas relatvas el aspecto sería el msmo co la dfereca de la otacó e el eje de ordeadas. També se puede grafcar u polígoo de frecuecas al ur los putos medos del lado superor de cada rectágulo co segmetos y agrgar e los etremos dos clases adcoales de frecueca cero como dca la sguete fgura 5 frecueca ,5,5 3,5 4,5 5,5 vda de la batería e años La fgura sguete muestra u hstograma de frecuecas acumuladas dspoble e el paquete Statgraphcs. E esta gráfca la altura de cada rectágulo represeta el úmero total de observacoes que so meores o guales al límte superor de la clase respectva. 0

4 Parte Estadístca Descrptva Prof. María B. Ptarell 40 frecueca ,5,5 3,5 4,5 5,5 vda de la batería e años Los hstogramas so útles al proporcoar ua mpresó vsual del aspecto que tee la dstrbucó de las medcoes, así como formacó sobre la dspersó de los datos. Al costrur ua tabla de frecuecas se perde formacó, s embargo esa pérdda de formacó es a meudo pequeña s se le compara co la cocsó y la facldad de terpretacó gaada al utlzar la dstrbucó de frecuecas y el hstograma. Las dstrbucoes acumuladas també so útles e la terpretacó de datos; por ejemplo e la fgura ateror puede leerse de medato que este apromadamete 5 baterías co duracó meor o gual a 3.5 años. 7.3 Dagrama de tallo y hoja El dagrama de tallo y hoja es ua buea maera de obteer ua presetacó vsual formatva del cojuto de datos,,,, dode cada úmero está formado al meos por dos dígtos. Para costrur u dagrama de este tpo los úmeros se dvde e dos partes: u tallo, formada por uo o más dígtos prcpales, y ua hoja, la cual cotee el resto de los dígtos. Para lustrar lo ateror cosderamos los datos que especfca la vda de 40 baterías para automóvl dados aterormete. Dvdmos cada observacó e dos partes de maera que el tallo represeta el dígto etero que atecede al decmal, y la hoja correspode a la parte decmal del úmero. Por ejemplo, para el úmero 3.7 el dígto 3 desga el tallo, y el 7 la hoja. Para uestros datos los cuatro tallos,, 3 y 4 se lsta vertcalmete del lado zquerdo de la tabla, e tato que las hojas se regstra e el lado derecho correspodete del valor del tallo adecuado. Etoces la hoja 6 del úmero.6 se regstra efrete del tallo, la hoja 5 del úmero.5 efrete del tallo, y así sucesvamete. Tallo Hoja Podríamos aumetar el úmero de tallos para obteer ua forma mas adecuada de la dstrbucó de los datos, para esto escrbmos dos veces cada valor del tallo y después regstramos las hojas 0,,, 3 y 4 efrete del valor del tallo adecuado dode aparezca

5 Parte Estadístca Descrptva Prof. María B. Ptarell por prmera vez, y las hojas 5, 6, 7, 8 y 9 efrete de este msmo valor del tallo dode aparece por seguda vez. E la tabla sguete se lustra el uevo dagrama de tallo y hoja dode a los tallos que correspode a las hojas 0 a 4 se les aotó u símbolo *, y al tallo correspodete a las hojas 5 a 9 se les aotó el símbolo. Tallo Hoja 6 9 * * * E cualquer problema específco, se debe decdr cuáles so los valores del tallo adecuados. Se trata de ua decsó que se toma algo arbtraramete, auque os guamos por el tamaño de uestra muestra. Por lo geeral se elge etre 5 y 0 tallos. Cuato meor es el úmero de datos dspobles, meor será la eleccó del úmero de tallos. Observacó: Las tablas de frecueca y los hstogramas també puede emplearse e datos cualtatvos o categórcos, es decr la muestra o cosste de valores umércos (datos cuattatvos) so que los datos se ordea e categorías y se regstra cuátas observacoes cae e cada categoría (las categorías puede ser masculo, femeo o fumador, o fumador o clasfcar segú vel educatvo: prmaro, secudaro, tercaro, uverstaro, guo). Cuado los datos so categórcos las clases se dbuja co el msmo acho. Por ejemplo El gráfco sguete correspode a ua muestra de 55 autos clasfcados segú el año de fabrcacó: 998, 999, 000, 00 y 00. Notar que el modelo 998 es el de mayor frecueca. 40 Grafco de barras por año frecueca E el sguete gráfco se clasfca los autos segú el orge: amercao, europeo o japoés. Notar que hay mayoría de autos amercaos.

6 Parte Estadístca Descrptva Prof. María B. Ptarell Gráfco por orge 00 frecueca EE.UU Europa Japó 7.4 Meddas Descrptvas 7.4. Meddas de Localzacó Del msmo modo que las gráfcas puede mejorar la presetacó de los datos, las descrpcoes umércas també tee gra valor. Se preseta varas meddas umércas mportates para descrbr las característcas de los datos. Ua característca mportate de u cojuto de úmeros es su localzacó o tedeca cetral. Meda La medda más comú de localzacó o cetro de u grupo de datos es el promedo artmétco ordaro o meda. Ya que cas sempre se cosdera a los datos como ua muestra, la meda artmétca se cooce como meda muestral. S las observacoes de ua muestra de tamaño so,,, etoces la meda muestral es Ejemplo: La meda muestral de la vda útl e años de ua batería de las 40 observacoes dadas e ejemplos aterores es La meda tee como vetaja su fácl cálculo e terpretacó, pero tee como desvetaja el hecho de dstorsoarse co facldad ate la preseca de valores atípcos e los datos. S e el ejemplo ateror teemos e lugar de 3.5 etoces. 075 dado así la dea erróea que los datos e su mayor parte se cocetra alrededor de.075 3

7 Parte Estadístca Descrptva Prof. María B. Ptarell Medaa Otra medda de tedeca cetral es la medaa, o puto dode la muestra se dvde e dos partes guales. Sea (), (),, () ua muestra escrta e orde crecete de magtud; esto es () deota la observacó mas pequeña, () la seguda observacó mas pequeña,, y () la observacó mas grade. Etoces la medaa ~ se defe como la + observacó del lugar s es mpar, o el promedo de las observacoes de los lugares y + s es par. E térmos matemátcos (( + ) / ) ~ ( / ) + (( / ) + ) mpar par La vetaja de la medaa es que los valores etremos o tee mucha flueca sobre ella. Ejemplo: Supógase que los valores de ua muestra so, 3, 4,, 7, 6, 8 Ordeamos los valores de meor a mayor:,, 3, 4, 6, 7, 8 Como so 7 valores y 7 es mpar etoces la medaa es el valor del lugar 7+ 4, es decr ( 4) 4 La meda muestral es Ambas catdades proporcoa ua medda razoable de la tedeca cetral de los datos. S ahora teemos la muestra,, 3, 4, 450, 7, 8, etoces la meda muestral es E este caso la meda o dce mucho co respecto a la tedeca cetral de la mayor parte de los datos. S embargo la medaa sgue sedo ( 4) 4, y ésta es ua medda de tedeca cetral más sgfcatva para la mayor parte de las observacoes. Moda La moda es la observacó que se preseta co mayor frecueca e la muestra Por ejemplo la moda de los sguetes datos 3, 6, 9, 3, 5, 8, 3, 0, 4, 6, 3, Es 3, porque este valor ocurre 4 veces y gú otro lo hace co mayor frecueca. 4

8 Parte Estadístca Descrptva Prof. María B. Ptarell Puede estr más de ua moda. Por ejemplo cosdérese las observacoes 3, 6, 9, 3, 5, 8, 3, 0, 4, 6, 3,, 6,, 5, 6 La moda so 3 y 6, ya que ambos valores se preseta cuatro veces., y gú otro lo hace co mayor frecueca. Se dce e este caso que los datos so bmodales. S los datos so smétrcos etoces la meda y la medaa cocde. S además los datos tee ua sola moda etoces la meda, la medaa y la moda cocde. S los datos está sesgados (esto es, so asmétrcos, co ua larga cola e uo de los etremos), etoces la meda, la medaa y la moda o cocde. Geeralmete se ecuetra que moda < medaa < meda s la dstrbucó está sesgada a la derecha, metras que moda > medaa > meda s la dstrbucó está sesgada haca la zquerda. Eso se represeta e la sguete fgura ~ Sesgo a la zquerda ~ Smétrca ~ Sesgo a derecha Percetles y cuartles La medaa dvde los datos de ua muestra e dos partes guales. També es posble dvdr los datos e más de dos partes. Cuado se dvde u cojuto ordeado de datos e cuatro partes guales, los putos de dvsó se cooce como cuartles. El prmer cuartl o cuartl feror, q, es u valor que tee apromadamete la cuarta parte (5%) de las observacoes por debajo de él, y el 75% restate, por ecma de él. El segudo cuartl, q, tee apromadamete la mtad (50%) de las observacoes por debajo de él. El segudo cuartl cocde co la medaa. El tercer cuartl o cuartl superor, q 3, tee apromadamete las tres cuartas partes (75%) de las observacoes por debajo de él. Como e el caso de la medaa, es posble que los cuartles o sea úcos. Por smplcdad e este caso, s mas de ua observacó cumple co la defcó se utlza el promedo de ellas como cuartl. Ejemplo: E 0 automóvles elegdos aleatoramete se tomaro las emsoes de hdrocarburos e velocdad al vacío, e partes por mlló (ppm) Prmero ordeamos los datos de meor a mayor: 5

9 Parte Estadístca Descrptva Prof. María B. Ptarell 05, 4, 88, 90, 00, 0, 3, 4, 4, 47, 300, 306, 359, 380, 435, 494, 880, 88, 940, 940 Buscamos la medaa o segudo cuartl, como 0 y es úmero par etoces la medaa es el promedo de la observacoes que se ecuetra e los lugares 0 y +, es decr ~ q Ahora buscamos el prmer cuartl, para esto tomamos las prmeras 0 observacoes 05, 4, 88, 90, 00, 0, 3, 4, 4, y de éstas calculamos la medaa, por lo tato q 05 Aálogamete, para calcular el tercer cuartl, tomamos las últmas 0 observacoes y calculamos la medaa de éstas 300, 306, 359, 380, 435, 494, 880, 88, 940, 940 q Cuado u cojuto ordeado de datos se dvde e ce partes guales, los putos de dvsó recbe el ombre de percetles. E térmos matemátcos el 00k ésmo percetl p k se defe: El 00k ésmo percetl p k es u valor tal que al meos el 00k% de las observacoes so meores o guales a él, y 00(-k)% so mayores o guales a él. Notar que p0.5 q, p0.5 q,.75 q p0 3 Ua regla práctca para calcular los percetles de u cojuto de datos es la sguete: para calcular p k hacemos el producto k ( ) + ( + ) s k es u úmero etero etoces pk s k o es u úmero etero etoces tomamos la parte etera de k : [ k ] y etoces p ( + k ) Co los datos aterores calculamos p k p k la parte etera es [.6] 7 7 etoces 6

10 Parte Estadístca Descrptva Prof. María B. Ptarell Calculamos p 0. 0 : 0 k 0. 0 k etoces () + (3) p Meddas de varabldad La localzacó o tedeca cetral o ecesaramete proporcoa formacó sufcete para descrbr datos de maera adecuada. Por ejemplo, supogamos que teemos dos muestras de ressteca a la tesó (e ps) de aleacó de alumo-lto: Muestra : 30, 50, 45, 58, 65, 40 Muestra : 90, 8, 05, 40, 65, 60 La meda e ambas muestras es 48 ps. S embargo la dspersó o varabldad de la muestra es mucho mayor que la de la muestra. para lustrar esto hacemos para cada muestra u dagrama de putos: Muestra * Muestra o * * * * * * o o o o o o Rago de la muestra y rago tercuartílco Ua medda muy seclla de varabldad es el rago de la muestra, defdo como la dfereca etre las observacoes más grade y más pequeña. Es decr rago ma( ) m( ) Para las muestras aterores Muestra rago Muestra rago Está claro que a mayor rago, mayor varabldad e los datos. El rago gora toda la formacó que hay e la muestra etre las observacoes más chca y más grade. Por ejemplo las muestras, 4, 6, 7, 9 y, 5, 5, 5, 9 tee el msmo rago (rago 8), S embargo e la seguda muestra sólo este varabldad e 7

11 Parte Estadístca Descrptva Prof. María B. Ptarell los valores de los etremos, metras que e la prmera los tres valores termedos camba de maera cosderable. Al gual que las observacoes máma y míma de ua muestra lleva formacó sobre la varabldad, el rago utercuartílco defdo como q3 q puede emplearse como medda de varabldad. RIC q 3 q Para los datos de las emsoes de hdrocarburos e velocdad al vacío, el rago tercuartílco es q 3 q El rago utercuartílco es meos sesble a los valores etremos de la muestra que el rago muestral. Varaza muestral y desvacó estádar muestral S,,, es ua muestra de observacoes, etoces la varaza muestral es s ( ) La desvacó estádar muestral, s, es la raíz cuadrada postva de la varaza muestral s ( ) Por ejemplo, para los datos de las emsoes de hdrocarburos e velocdad al vacío la meda muestral es 395. ppm y la varaza muestral es s ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) ppm y la desvacó estádar es s 9 ( ) ppm 8

12 Parte Estadístca Descrptva Prof. María B. Ptarell 9 Observacoes: ) La varaza muestral está e las udades de medda de la varable al cuadrado. Por ejemplo s los datos está meddos e metros, las udades de la varaza so metros al cuadrado. La desvacó estádar tee la propedad de estar epresada e las ms- mas udades de medda de las observacoes. ) Se puede epresar la varaza muestral como s pues: ( ) + + ) ( s E el ejemplo ateror volvemos a calcular la varaza muestral pero co esta últma epresó (0)( ) s ppm Coefcete de varacó El coefcete de varacó muestral es útl cuado se compara la varabldad de dos o más cojutos de datos que dfere de maera cosderable e la magtud de las observacoes. Ejemplo: co u mcrómetro se realza medcoes del dámetro de u balero, que tee ua meda de 4.03 mm y ua desvacó estádar de 0.0 mm; co otro mcróme- El coefcete de varacó muestral es s cv

13 Parte Estadístca Descrptva Prof. María B. Ptarell tro se toma medcoes de la logtud de u torllo, que tee ua meda de.76 pulgadas y ua desvacó estádar de pulgadas. Los coefcetes de varacó so 0.0 balero cv torllo cv e cosecueca, las medcoes hechas co el prmer mcrómetro tee ua varabldad relatvamete meor que las efectuadas co el otro mcrómetro. 7.5 Dagramas de caja El dagrama de caja es ua presetacó vsual que descrbe al msmo tempo varas característcas mportates de u cojuto de datos, tales como el cetro, la dspersó, la desvacó de la smetría y la preseca de valores atípcos. El dagrama de caja preseta los tres cuarteles, y los valores mímo y mámo de los datos sobre u rectágulo e poscó horzotal o vertcal. El rectágulo delmta el rago utercuartílco co la arsta zquerda ubcada e el prmer cuartl, y la arsta derecha ubcada e el tercer cuartl. Se dbuja ua líea a través del rectágulo e la poscó que correspode al segudo cuartl. De cualquera de las arstas del rectágulo se etede ua líea, o bgote, que va haca los valores etremos. Éstas so observacoes que se ecuetra etre cero y.5 veces el rago utercuartílco a partr de las arstas del rectágulo. Las observacoes que está etre.5 y 3 veces el rago utercuartílco a partr de las arstas del rectágulo recbe el ombre de valores atípcos. Las observacoes que está más allá de tres veces el rago utercuartílco a partr de las arstas del rectágulo se cooce como valores atípcos etremos. E ocasoes se emplea dferetes símbolos para detfcar los dos tpos de valores atípcos. A veces los dagramas de caja recbe el ombre de dagramas de caja y bgotes. Ejemplo: volvemos a los datos que represeta la vda de 40 baterías para automóvl smlares, regstradas al décmo de año más cercao La fgura sguete preseta u dagrama de caja obtedo co el paquete Statgraphcs tamaño de muestra 40 Meda 3.45 Medaa 3.4 Mímo.6 Mámo 4.7 Rago 3. º cuartl 3. 3º cuartl 3.85 rago utercuartílco (RIC) RIC.5 3 RIC.5,6,6 3,6 4,6 5,6 vda de la batería e años 30

14 Parte Estadístca Descrptva Prof. María B. Ptarell El dagrama dca que la dstrbucó de la vda e años de ua batería de automóvl es bastate smétrca co respecto al valor cetral ya que los bgotes zquerdo y derecho, así como la logtud de los rectágulos zquerdo y derecho alrededor de la medaa, so cas los msmos. També se observa la esteca de dos valores atípcos de rago medo e el etremo zquerdo de los datos. Los dagramas de caja so muy útles para hacer comparacoes gráfcas etre cojutos de datos, ya que tee u gra mpacto vsual y so fácles de compreder. Ejemplo: E 0 automóvles elegdos aleatoramete, se tomaro las emsoes de hdrocarburos e velocdad al vacío, e partes por mlló, para modelos de 985 y 995. Modelos 985: Modelos 995: La fgura sguete preseta los dagramas de caja comparatvos geerados por el paquete Statgraphcs 985 Modelo emsoes de hdrocarburos Modelo 985 Meda 395. Medaa 73.5 Mímo 05 Mámo 940 Rago 835 º cuartl 05 3º cuartl rago utercuartílco (RIC) 59.5 Modelo 995 Meda 60.5 Medaa 50 Mímo 0 Mámo 400 Rago 380 º cuartl 6.5 3º cuartl.5 rago utercuartílco (RIC) 59 3

15 Parte Estadístca Descrptva Prof. María B. Ptarell Se observa que ha dsmudo las emsoes de hdrocarburos del modelo 985 al 995. Además los datos correspodetes al modelo 985 tee mayor varabldad que los del modelo 995. Para el modelo 985 hay dos autos co emsoes muy altas. Ejemplo: Los sguetes datos represeta los tempos de operacó, e horas, para tres tpos de calculadoras cetífcas de bolsllo, ates de que requera recarga Calculadora A: Calculadora B: Calculadora C: La fgura sguete preseta los dagramas de caja comparatvos geerados por el paquete Statgraphcs. Queda a cargo del lector cometar las dferecas etre las calculadoras A, B y C. Calculadora A B C 4,3 4,8 5,3 5,8 6,3 6,8 tempo tamaño de Calculadora muestra Meda Medaa Mímo Mámo q q3 RIC A 5 5,0 4,9 4,3 6, 4,6 5, 0,6 B 7 5,4857 5,5 4,8 6, 5, 5,8 0,6 C 6 6, ,45 5,6 6,8 6,3 6,6 0,3 Ejemplo: El cotedo de cota, e mlgramos, e 40 cgarrllos de certa marca se regstraro como sgue: Se muestra la tabla de frecuecas y el hstograma de los datos segú Statgraphcs. Se tomaro 7 clases, dode el límte feror de la prmera clase es 0 y el límte superor de la últma clase es 3. 3

16 Parte Estadístca Descrptva Prof. María B. Ptarell lmte lmte Marca frecueca frec. frec.. ac. Clase feror superor de clase frecueca relatva acum.. relatva ,0 0,4857 0, , ,0000 0,4857 0, , ,0500 0, ,85743,857,0743 0, ,000 4,857,749,5 3 0, ,450 5,749,486, , ,8500 6,486,5743, ,500 40,0000 7,5743 3,0, , , frecueca ,5,5,5 3 cota e mg A cotuacó se da las meddas descrptvas y el gráfco de caja y bgote: Tamaño de muestra 40 Meda,7745 Medaa,77 Moda Varaza 0,5456 Desvacó estádar 0, Mímo 0,7 Mámo,55 Rago,83 º cuartl,635 3º cuartl Rago utercuartílco 0,365 Coef. de varacó,0068% gráfco de caja y bgote 0,7,,5,9,3,7 cota e mg 33