TEORÍA DE CÁLCULO I. Para Grados en Ingeniería. Capítulo 3: Sucesiones y series. Domingo Pestana Galván José Manuel Rodríguez García

Transcripción

1 TEORÍA DE CÁLCULO I Para Grados e Igeiería Capítulo 3: Sucesioes y series Domigo Pestaa Galvá José Mauel Rodríguez García Figuras realizadas co Arturo de Pablo Martíez

2 TEMA 3. Sucesioes y series 3. Sucesioes de úmeros Prelimiares - Ua sucesió es la image de ua aplicació cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales. f : N R a = f() - Los térmios de la sucesió se escribe a, a 2, a 3, (e ocasioes se cosidera tambié sucesioes comezado por a 0 o a k ). El térmio geeral es a = f(). La sucesió se suele escribir {a }. - Tambié se puede cosiderar sucesioes defiidas e forma recurrete a + = g(a ),, a dado. - Ua sucesió {a } es moótoa creciete si a + a para todo N. Aálogamete para moótoa decreciete. - Ua sucesió {a } es acotada superiormete si a C para todo N. Aálogamete para acotada iferiormete. Límites Defiició: Se dice que ua sucesió {a } es covergete, co a = l si = 0. ε > 0 N 0 N : a l < ε N 0. - Se dice que ua sucesió o es covergete cuado el ite o existe (la sucesió es oscilate si acercarse a igú valor) o el ite existe pero es ifiito (o meos ifiito). La defiició de ite ifiito es la aáloga sustituyedo la expresió a l < ε por a > M. a = ( ), a = Propiedades de los ites Cuado exista los ites ivolucrados, se tiee las siguietes propiedades - Liealidad: el ite de la suma es la suma de los ites; las costates multiplicativas comuta co el ite. - El ite del producto es el producto de los ites. El ite del cociete es el cociete de los ites si el deomiador o es cero. - El ite comuta co las fucioes cotiuas. Es decir, si a = l y h es ua fució cotiua e l, etoces h(a ) = h( a ) = h(l). 2

3 Para calcular ites de sucesioes utilizaremos algua de las siguietes técicas: Cocepto de ites de fucioes y cálculo diferecial. Lema del sadwich. Criterio de Stolz. Fórmula de Stirlig. Sucesioes moótoas y acotadas. Teorema del puto fijo. Si a = f(), dode f es ua fució defiida e todos los reales (o al meos e los positivos), etoces a = f(x) x si este último ite existe. Para calcularlo se puede utilizar las técicas del cálculo diferecial, como la regla de L Hôpital o el Teorema de Taylor. Es especialmete útil e la forma a = g(/), e cuyo caso a = g(x). x 0 ( ) 2 ( ) /x 2 cos(3x) cos(3/) = cos(3x) = exp[ x 0 x 0 x 2 ] = e 9/2. Lema del sadwich. Si a = c = l y a b c para todo k, para algú k N, etoces b = l. se = 0 pues se. Criterio de Stolz. Si se verifica algua de las dos propiedades - b = creciete, o - a = b = 0, decrecietes, etoces a a + a ( = o b b + b a a ) b b siempre que este último ite exista. Es útil cuado aparezca sumas cuyo úmero de sumados depede de = = 2. Fórmula de Stirlig. El siguiete ite es útil para calcular ites que ivolucre factoriales:! (/e) 2π =. 3

4 ! = e = e. (2π) /2 Sucesioes moótoas y acotadas. Teorema: Toda sucesió moótoa creciete y acotada superiormete es covergete. Aálogamete toda sucesió moótoa decreciete y acotada iferiormete es covergete. a = es moótoa creciete, pues f (x) = (x + 2) 2. Además a para todo. Por tato es ua sucesió covergete. El ite es fácil de calcular a + x = x 0 + 2x =. Sucesioes recurretes. - Si a + = g(a ), co g ua fució defiida e R derivable, etoces la sucesió es moótoa si g 0 y oscilate si g 0. a + a = g(a ) g(a ) = g (c)(a a ), para algú c. - Si la sucesió es covergete, el ite l = a debe verificar l = g(l). a + = 2a co a = es moótoa creciete, pues g (x) = 2x y a 2 a = 2 > 0. Además es acotada (por iducció) a 2. Por tato es covergete y el ite debe verificar l = 2l, es decir l = 0 o l = 2. Pero l > a =, por lo que a = 2. Teorema del puto fijo: Si a + = g(a ), co g ua fució defiida e R derivable, co g (x) λ < e algú itervalo I R, y se verifica a I para todo k para algú k, etoces {a } es ua sucesió covergete y su ite l es el úico puto fijo l = g(l) e I. a + = a 2, co a = 0, es ua sucesió covergete, pues g (x) = 2 (oscilate pues g < 0) co ite la solució de l = l, es decir, 2 a =

5 Diagrama de la telaraña. E las siguietes figuras represetamos dos sucesioes defiidas e forma recurrete covergetes, ua moótoa y otra oscilate. x + = 2x, x = 2. x = 2. 3 Ý Ü 2 Ý Ô ¾Ü ÜÒ ½ Ô 0 0 ¾ 2 3 ÜÒ x + = x 2, x = 0. x = 2/ Ý Ü ÜÒ ½ Ý ½ Ü ¾ ¾ ÜÒ 5

6 3.2 Series de úmeros Prelimiares - Ua serie (ifiita) es la suma de todos los térmios de ua sucesió. Defiició: Se dice que ua serie parciales existe a es covergete si el ite de las sumas N N a = L. Se dice etoces que la suma de la serie es L. r = N N r r N+ r = N r = r r siempre que r <. Si r el ite es ifiito; si r el ite i siquiera existe. - Ua codició ecesaria para la covergecia de ua serie es que el térmio geeral tieda a cero. Pero o es ua codició suficiete. El ejemplo estádar es la serie armóica, que diverge. Series de térmios positivos E geeral, dada ua serie cocreta covergete, o se podrá determiar el valor exacto de la suma, pero es imprescidible poder coocer su covergecia para aplicar algú método umérico de aproximació. Veremos pues criterios que determie cuádo ua serie es covergete o o. Comezamos estudiado series de térmios positivos Serie geométrica. La serie r se deomia serie geométrica de razó r. Se verifica r < r r coverge, r diverge. Serie p-armóica. La serie armóica (p = ). Se verifica p p > se deomia serie p-armóica, geeralizació de la serie p coverge, p p diverge. 6

7 a + Criterio del cociete. Supogamos que existe l < a a coverge, = l. Etoces l > a diverge, si l = el criterio o decide. 3! a + coverge pues a 3 = + = 0 <. Criterio de la raíz. Supogamos que existe a = l. Etoces l < a coverge, l > a diverge, si l = el criterio o decide. (Si al itetar aplicar el criterio del cociete se obtiee l =, o se debe aplicar el criterio de la raíz pues el ite será el mismo). ( 2 + ) diverge pues + 5 a = 2 >. Criterio de comparació directa. Supogamos que se verifica a b para todo k para algú k. Etoces b coverge a coverge, a diverge b coverge. a Criterio de comparació e el ite. Supogamos que se verifica = c, dode 0 < c < b. Etoces ambas series tiee el mismo carácter, es decir, ambas coverge o ambas diverge. Series alteradas a arc se(/ ) diverge pues =, y la serie /2-armóica diverge. /2 Ua serie alterada tiee la forma ( ) b, dode b 0. Si la serie de térmios positivos b coverge etoces la serie alterada ( ) b tambié coverge, pero el recíproco o es cierto. Así pues se cosidera, para ua serie de térmios co sigo cualquiera a : - Se dice que coverge absolutamete si la serie a coverge. E ese caso la serie dada tambié coverge. - Se dice que coverge codicioalmete si coverge pero o absolutamete. 7

8 Criterio de Leibiz. Si la sucesió {b } es decreciete co b alterada ( ) b coverge. = 0, etoces la serie ( ) Suma de alguas series Serie geométrica. coverge codicioalmete. r = ( r, si r < r = Serie aritmético-geométrica. r = =k r, si r <. ( r) 2 rk ). r Serie telescópica. (b + b ) = b b. 8

9 3.3 Series de Taylor Prelimiares - Ua serie de potecias es ua suma de la forma S(x) = a (x x 0 ) = a 0 + a (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) El cojuto de covergecia es el cojuto de putos x R para los cuales la serie es covergete. Siempre es u itervalo simétrico (x 0 ρ, x 0 + ρ), auque puede icluir o o los extremos. El úmero ρ [0, ] se deomia radio de covergecia. El radio de covergecia se calcula co la fórmula ρ = a + a dode se utiliza la coveció /0 =, / = 0. = a. Teorema: Si f admite todas las derivadas e u cierto itervalo I x 0, y el resto del poliomio de Taylor de f, R,x0 f(x) tiede a cero cuado para todo x I, etoces f coicide e I co su serie de Taylor f(x) = f ) (x 0 ) (x x 0 ).! - Alguas series de Taylor: e x = se x = cos x = x! = + x + x2 2! + x3 3! +, x R. ( ) x 2+ (2 + )! ( ) x 2 (2)! = x x3 3! + x5 5! +, x R. = x2 2! + x4 4! +, x R. x = x = + x + x 2 + x 3 +, < x <. log( + x) = ( ) + x = x x2 2 + x3 +, < x. 3 9