Son los segmentos, cada uno de ellos con extremos en un vértice y en el punto medio del lado opuesto.
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- Encarnación Lidia Toledo Carrasco
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1 TRIÁNGULOS: LÍNEAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO: Medianas Son los segmentos, cada uno de ellos con extremos en un vértice y en el punto medio del lado opuesto. Notación: A la mediana correspondiente al vértice A le llamamos: m A Las medianas de un triángulo concurren en un punto llamado baricentro (G) o centro de gravedad (punto de equilibrio). Propiedad del baricentro: El baricentro G de un triángulo divide a cada una de ellas en dos partes, de modo que el segmento con extremos en G y el punto medio del lado mide 1/3 de la mediana. d(m,g)=1/3.d(m,), d(p,g)=1/3.d(p,b), d(n,g) =1/3.d(N,A). Mediatrices Son las rectas perpendiculares a cada lado en su punto medio. Notación: A la mediatriz del segmento AB le llamamos: m = mz AB Las mediatrices de un triángulo concurren en un punto llamado circuncentro (O). Observación: Al equidistar O de los tres vértices, existe una circunferencia de centro O que pasa por los tres vértices. A dicha circunferencia le llamamos circunscripta al triángulo.
2 Alturas Son los segmentos, cada uno de ellos con extremos en un vértice y en el pie de la perpendicular trazada por dicho punto a la recta que contiene al lado opuesto. Notación: A la medida de la altura correspondiente al vértice A le llamamos h A. Observación: La medida de la altura por A del triángulo es la distancia de A a la recta B. Las rectas que contienen las alturas de un triángulo concurren en un punto llamado ortocentro (H). Bisectrices Son las semirrectas que dividen cada ángulo interior del triángulo en dos iguales. Notación: A la bisectriz del ángulo BA le llamamos: bz. BA Las bisectrices de un triángulo concurren en un punto llamado incentro (I).
3 IGUALDAD DE TRIÁNGULOS: Son iguales aquellos triángulos con los tres ángulos y lados iguales. RITERIOS DE IGUALDAD DE TRIÁNGULOS. LLL Dos triángulos que tienen sus tres lados iguales, son iguales. Los triángulos < AB y A ' B < ' ' son iguales por tener respectivamente iguales sus tres lados. LAL Dos triángulos que tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo comprendido entre ambos, son iguales. < Los triángulos AB y A ' B < ' ' son iguales por tener respectivamente iguales dos de sus lados y el ángulo comprendido entre dichos lados. ALA Dos triángulos que tienen respectivamente iguales un lado y los dos ángulos adyacentes a dicho lado, son iguales. < Los triángulos AB y A ' B < ' ' son iguales por tener respectivamente iguales un lado y los dos de ángulos adyacentes a dicho lado.
4 4º riterio: Dos triángulos que tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo opuesto al mayor de dichos lados, son iguales. AB = A ' B ' A = A ' ' A > AB AB = A ' B ' ' ES EL ÁNGULO OPUESTO AL MAYOR DE LOS LADOS RESPE TIVAMENTE IGUALES. Ejercicio > Sobre los lados de un triángulo equilátero AB se toman los puntos M, P, Q (s/f) tales que AM = BQ = P. Investigar la naturaleza del triángulo SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS: > MPQ. Son semejantes aquellos triángulos con los tres ángulos iguales. Es propiedad de los mismos tener los lados proporcionales. =, B B A A RITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS: 1) Dos triángulos que tienen respectivamente iguales dos ángulos, son semejantes. 2) Dos triángulos que tienen un ángulo igual y los dos lados adyacentes al mismo respectivamente proporcionales, son semejantes. 3) Dos triángulos que tienen sus tres lados proporcionales, son semejantes.
5 LASIFIAIÓN DE TRIÁNGULOS: Por sus lados: Escaleno: Isósceles: Equilátero: Tres lados distintos. Dos lados iguales. Tres lados iguales. Propiedad: En un triángulo isósceles una altura con extremo en un vértice correspondiente a lados iguales, es también mediana, y está contenida en la bisectriz del ángulo y en la mediatriz del lado opuesto. A B Observaciones : 1) Un triángulo equilátero es también isósceles, por lo tanto hereda sus propiedades. 2) En un triángulo equilátero, circuncentro, baricentro, ortocentro e incentro coinciden. Por sus ángulos: Triángulo acutángulo : tres ángulos agudos.(<90º) Triángulo obtusángulo: un ángulo obtuso (>90º) Triángulo rectángulo: con un ángulo recto. Recordemos que : Los ángulos de un triángulo cualquiera suman un llano (180º) En los triángulos rectángulos se cumple el conocido: Teorema de Pitágoras : En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa : a 2 =b 2 +c 2 b a A c B
6 Teorema de Thales y aplicación a triángulos A A B B Un conjunto de rectas paralelas que cortan a otras dos; lo hacen determinando segmentos proporcionales : AB = A A' B' A' ' PARALELA MEDIA EN UN TRIÁNGULO En un triángulo AB cualquiera, si M y N son puntos medios de, respectivamente, entonces: 1) AB // MN 2) =2 (investigar recíprocos)
7 UADRILÁTEROS PLANOS: 1) PARELELOGRAMOS : son aquellos con dos pares de lados opuestos paralelos. (definición) i) tienen sus lados opuestos iguales ii) tienen sus ángulos opuestos iguales. iii) sus diagonales se cortan en el punto medio de ambas (O) PARALELOGRAMOS PARTIULARES: a) ROMBO: es aquel cuadrilátero plano con los cuatro lados iguales. (Def.) i) es un paralelogramo (tiene sus propiedades) i) ii) es sus un diagonales paralelogramo son perpendiculares. (tiene sus propiedades) b) RETÁNGULO: cuadrilátero con sus ángulos rectos.(def.) (si tiene tres rectos el cuarto también lo será) i) es un paralelogramo (tiene sus propiedades). ii) sus diagonales son iguales. c) UADRADO: es rombo y rectángulo a la vez (def.). i) Al ser rombo y rectángulo tiene entonces las propiedades de ambos. ii) Es el único rombo con sus diagonales iguales. 2) uadriláteros no paralelogramos: a) Trapecios : Un par de lados paralelos. asos particulares: trapecio isósceles (lados no paralelos iguales). trapecio birrectángulo. (dos ángulos consecutivos rectos)
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