INFERENCIA ESTADÍSTICA

Transcripción

1 INFERENCIA ESTADÍSTICA DECISIÓN ESTADÍSTICA. CONTRASTE DE HIPÓTESIS. Introduión 1 La Inferenia Estadístia persigue la obtenión de onlusiones sobre un gran número de datos, en base a la observaión de una muestra obtenida de ellos; también intenta medir su signifiaión, es deir, la onfianza que nos mereen. Dos son los temas que trata de resolver la Estadístia Inferenial en torno a la toma de deisiones: 1. Deidir si un valor obtenido a partir de la muestra es probable que perteneza a la poblaión. 2. Deidir, en términos de probabilidad, si las diferenias observadas entre dos muestras signifian que las poblaiones de las que se han obtenido las dos muestras son realmente diferentes. (Este año estudiaremos el primer apartado) Los métodos de deisión estadístia están ligados a los de estimaión de parámetros mediante los intervalos de onfianza, aunque se apoyan en nuevos oneptos omo signifiaión de hipótesis y otros. Reuerda: En la estimaión de parámetros, intentábamos obtener un valor o un intervalo de valores que onstituyesen la mejor estimaión del parámetro desonoido, a partir de la informaión muestral. Para estimar puntualmente la media poblaional, utilizamos x (la media de la muestra). Para estimar puntualmente la proporión poblaional, utilizamos p (la proporión de la poblaión). Y si haemos la estimaión por intervalos, utilizamos para la media, x z, x z 2 n 2 y n para la proporión p. q p. q p z, p z 2 n 2 n Reopilado por Regina Jiménez

2 1. DECISIONES ESTADÍSTICAS. HIPÓTESIS ESTADÍSTICAS En la Teoría de la Deisión Estadístia se trata de utilizar los datos obtenidos a partir de una muestra para tomar una deisión sobre la poblaión. Por ejemplo, deidir si un nuevo fármao es efetivo, si un método de aprendizaje es mejor que otro, si una moneda está o no argada, et. 2 Estas deisiones se llaman deisiones estadístias. Hay que tener en uenta que estas deisiones están tomadas sobre una base probabilístia, es deir, el aierto de la deisión se mide en términos de probabilidad. Tenemos que realizar determinados supuestos o onjeturas aera de las poblaiones que se estudian. Estos supuestos que pueden ser o no iertos se denominan hipótesis estadístias. Hipótesis nula es la denominaión que reibe la hipótesis a ontrastar, que se onsidera provisionalmente omo verdadera y que es revisada tras haber obtenido informaión de los datos muestrales. Se designa por H 0. Hipótesis alternativa es la denominaión que reibe el onjunto de situaiones restantes posibles, o admitidas omo posibles, en una situaión experimental dada. Se designa por H 1. En la toma de deisiones estadístias, toda hipótesis nula H 0 ha de ir aompañada de una alternativa H 1, que es la que aspira a desplazar a la nula. Todo ontraste de hipótesis nos lleva a aeptar o rehazar la hipótesis nula planteada, y pueden ourrir los siguientes asos: 1. Aeptar la hipótesis nula siendo verdadera. Esta deisión es orreta. 2. Rehazar la hipótesis nula siendo falsa. Esta deisión también es orreta. 3. Rehazar la hipótesis nula siendo verdadera. Cometemos un error de tipo I. 4. Aeptar la hipótesis nula siendo falsa. Cometemos un error de tipo II. Está laro que si supiésemos la veraidad o falsedad de la hipótesis no sería neesario haer el ontraste, así que nuna sabremos si estamos ometiendo algún error. Reopilado por Regina Jiménez

3 2. CONTRASTES DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA Se tiene una poblaión N, y a la vista de los resultados obtenidos en una muestra de tamaño n, hay que tomar una deisión, on un nivel de signifiaión N s = 1 - N, sobre el valor original de la media de la poblaión. Vamos a onsiderar tres asos. 3 a) Contraste bilateral 1º) Enuniamos la hipótesis nula y la alternativa Hipótesis nula H o : o Hipótesis alternativa H 1 : o 2º) Calulamos z que verifique Pz z 2 3º) Calulamos el intervalo de aeptaión z N 2 2., z. n n 4º) Tomamos la deisión y la interpretamos: Si x 0 z., 0 z. 2 n 2 n, aeptamos la hipótesis nula H o (si nos estamos equivoando, ometeríamos un error de tipo II ) Si x 0 z., 0 z., rehazamos la hipótesis nula y tomamos la hipótesis 2 n 2 n alternativa (y podríamos estar ometiendo un error de tipo I ) Ejeriios: 1º) (Pau 2010) Se sabe que el preio de los libros de bahiller es una variable aleatoria normal on media 38.2 euros y desviaión típia de 5.25 euros. Una muestra aleatoria simple de 16 libros de Químia de distintas editoriales tiene un preio medio de 42.3 euros. Se quiere deidir si existe diferenia signifiativa entre la media del preio de los libros de Químia y la media del preio de los libros de bahiller en general on un nivel de signifiaión = º) (Pau 2010) Se sabe que las alifiaiones de los alumnos de segundo de bahiller en matemátias es una variable aleatoria normal de media 5.5 y varianza Se extrae una muestra aleatoria de 81 alumnos que ursan el bahiller bilingüe obteniéndose una media muestral de 6.8 puntos en las alifiaiones de dihos alumnos en la asignatura de matemátias. Se quiere deidir si existe una diferenia signifiativa entre la media de las alifiaiones en matemátias de los alumnos del bahiller bilingüe y la media de las Reopilado por Regina Jiménez

4 alifiaiones en matemátias de los alumnos de segundo de bahiller en general on un nivel de signifiaión = º) (Pau 2011) Se sabe que el ingreso anual por hogar en España es una variable normal de media euros y desviaión típia de euros. Se extrae una muestra aleatoria simple de 400 hogares de la Comunidad de Muria obteniéndose un ingreso anual medio por hogar de euros. Suponiendo que el ingreso anual por hogar en la Comunidad de Muria es una variable normal on la misma desviaión típia, deidir on un nivel de signifiaión del 5% si existe una diferenia signifiativa entre el ingreso anual medio por hogar en España y el ingreso anual medio por hogar en la Comunidad de Muria. 4 4º) (Pau 2011) Se sabe que la edad de los profesores de una Comunidad Autónoma sigue una distribuión normal on varianza de 5 años. Una muestra aleatoria de 200 profesores de diha Comunidad tiene una media de 45 años. Se puede afirmar on un nivel de signifiaión del 0,05 que la edad media de todos los profesores de la Comunidad es de 46 años? b) Contraste unilateral Primer aso: Hipótesis nula H o : 0 Región de aeptaión z., n Con z que verifique Pz z N Hipótesis alternativa H 1 : 0 Ejemplo: Se quiere ontrastar si el nivel de olesterol en sangre de un grupo de enfermos es mayor que el que tiene una poblaión que se ha tomado omo referenia, y que es de 160 u. Se sabe que la desviaión típia de la antidad de olesterol en sangre es de 20 u. a) Estableer el ontraste dando la hipótesis nula y la alternativa. b) Si el tamaño de la muestra es de 50 y la media muestral es de 165 u, se rehazará la hipótesis on un nivel de signifiaión de 0,0025? 1º) Enuniamos las hipótesis nula y alternativa Hipótesis nula H o : 160 Hipótesis alternativa H 1 : 160 2º) Como se trata de un ontraste unilateral, alulamos 3º) Calulamos el intervalo de aeptaión P z z N z que verifique z., n ,96., 154,5; 50 4º) Tomamos la deisión y la interpretamos Como la media muestral es 165 u, y ae dentro de la zona de aeptaión154,5;, podemos deir que el nivel de olesterol ha aumentado. Aeptamos la hipótesis nula. Reopilado por Regina Jiménez

5 Ejeriios : 5º) Pau Hae veinte años la edad en que la mujer tenía su primer hijo seguía una distribuión normal on media 29 años y desviaión típia de 2 años. Reientemente en una muestra aleatoria de 144 mujeres se ha obtenido, para diha edad, una media de 31 años. Con un nivel de signifiaión de 0,05 se puede afirmar que la edad media en la que la mujer tiene su primer hijo es mayor atualmente que hae veinte años? 5 Segundo aso: Hipótesis nula H o : 0 Región de aeptaión ; z. n Hipótesis alternativa H 1 : 0 Con P z z N z que verifique Ejemplo: La estatura de los varones que estudian 20 de bahillerato en una loalidad muriana sigue una distribuión normal de media desonoida y desviaión típia igual a 8 m. Se toma al azar una muestra de 100 alumnos y se observa que su estatura media es de 175 m. Se puede afirmar, on un nivel de onfianza del 95% que la estatura media de diha poblaión de varones es omo máximo de 176 m? 1º) Hipótesis nula H o : 176 Hipótesis alternativa H 1 : 176 2º) P(z < z ) = 0,95 por lo tanto z = 1,65 3º) La región de aeptaión es ; z. n = , ; = ;177 4º) Como x = 175 ;177 aeptamos la hipótesis de que la estatura media de la poblaión de varones es omo máximo de 176 m Ejeriios : 6º) Pau Se sabe que en una poblaión el nivel de olesterol en la sangre se distribuye normalmente on una media de 160 u. y una desviaión típia de 20 u. Si una muestra de 120 individuos de esa poblaión que siguen una determinada dieta, supuestamente adeuada para bajar el nivel de olesterol, tiene una media de 158 u. Se puede afirmar que el nivel medio de olesterol de los que siguen la dieta es menor que el nivel medio de la poblaión en general, para un nivel de signifiaión de 0,01? Reopilado por Regina Jiménez

6 CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA LA PROPORCIÓN Se quiere ontrastar una hipótesis mediante los resultados de una proporión p de elementos de una muestra de tamaño n que poseen una araterístia determinada. También aquí tenemos tres asos a) Bilateral 6 * Hipótesis nula. H 0 : P = p 0 p * Región de aeptaión 0. q0 p0. q0 p z p z 0., 0. n n 1 N * z / P(z < z ) = 2 Ejeriios : 7º) Pau Hae 10 años, el 65% de los habitantes de ierta Comunidad Autónoma estaba en ontra de la instalaión de una entral nulear. Reientemente, se ha realizado una enuesta a 300 habitantes y 190 se mostraron ontrarios a la instalaión. Con estos datos y on un nivel de signifiaión de 0,01 se puede afirmar que la proporión de ontrarios a la entral sigue siendo la misma? Primer aso Unilateral Hipótesis nula H 0 : P p 0 Región de aeptaión ; p 0 z. p. q 0 n 0 Con P z z N z que verifique Reopilado por Regina Jiménez

7 Segundo aso 7 Hipótesis nula H 0 : P p 0 Región de aeptaión Con Ejeriios : p 0. q0 z. ; n p0 P z z N z que verifique 7º) Pau 2013 Según un estudio realizado en el año 2000, en una poblaión la proporión de personas que tenía sobrepeso era del 24%. En los últimos años ha disminuido la atividad físia que realizan los individuos, lo que hae sospehar que diha proporión ha aumentado. Para ontrastarlo, se ha tomado reientemente una muestra aleatoria de 1195 individuos, de los uales 310 tienen sobrepeso. Con un nivel de signifiaión del 1%, se puede rehazar que la proporión sigue siendo del 24% e inlinarnos por que diha proporión ha aumentado? 8º) Una empresa dediada a la fabriaión de luminosos publiitarios anunia que, omo máximo, hay un 1% de luminosos defetuosos. Se seleiona una muestra de 100 rótulos publiitarios y se observa que apareen 3 defetuosos. Se pide: a) Con un nivel de signifiaión del 5%, podemos aeptar la hipótesis del fabriante? b) Y on un nivel de onfianza del 99%? 1 Solu: a) Ho : p ; 0,03,0,026 rehazamos la hipótesis del fabriante 100 b) 0,03 ;0,033 para este nivel de onfianza aeptamos la hipótesis. 9º) Según los datos de un enso de 1970, el analfabetismo en ierto país alanzaba el 40%. Una reiente enuesta realizada sobre una muestra aleatoria de 800 personas, arroja el dato de que 300 de ellas son analfabetas. Puede onsiderarse, on un nivel de onfianza del 95% que se ha reduido el analfabetismo? Solu: H o : p 0,4; 0,37 ;0,43 aeptamos la hipótesis. 10º) Una enuesta a 64 profesionales de una instituión reveló que el tiempo medio de empleo en diho ampo era de 5 años, on una desviaión típia de 4. Considerando un nivel de signifiaión del 0,05, sirven esto datos de soporte de que el tiempo medio de empleo de los profesionales de esta instituión está por debajo de los 6 años?. Suponemos que la poblaión de profesionales se distribuye normalmente. 11º) Según un estudio realizado durante el año 2000 en un hospital, la distribuión de los pesos de los reién naidos fue N ( 3,450; 0,52): A lo largo de este año se ha analizado el peso Reopilado por Regina Jiménez

8 de 36 reién naidos tomados al azar, obteniéndose una media de 3,300 Kg. Podemos afirmar que esta diferenia es debida al azar on una onfianza del 95%? Con el mismo nivel de onfianza, Cambiaría la respuesta si la media de 3,300 kg se hubiera obtenido al analizar el peso de 81 reién naidos tomados al azar? (PAU 2001) 12º) El salario medio orrespondiente a una muestra de 1600 personas de ierta poblaión es de 935. Se sabe que la desviaión típia de los salarios en la poblaión es de 200. Se puede afirmar, on un nivel de onfianza del 99%, que el salario medio en diha poblaión es de 950? 8 13º) Un laboratorio afirma que un almante quita la jaquea omo máximo en 14 minutos en los asos orrientes. Con el fin de omprobar esta informaión, se eligen al azar 30 paientes on jaquea y se toma omo variable en el experimento el tiempo que transurre entre la administraión del almante y el momento en que desaparee la jaquea. Los resultados obtenidos en esta muestra fueron, media 17 minutos y desviaión típia 7 minutos. Podemos admitir omo ierta la afirmaión del laboratorio a un nivel de onfianza del 95%? 14º) En una omunidad autónoma se estudia el número medio de hijos por mujer a partir de los datos disponibles en ada muniipio. Se supone que este número sigue una distribuión normal on desviaión típia igual 0,08. El valor medio de estos datos para 36 muniipios resulta ser igual a 1,17 hijos por mujer. Se desea ontrastar, on un nivel de signifiaión de 0,01, si el número medio de hijos por mujer en la omunidad es de 1,25. 15º) El partido X ha heho una enuesta a 100 personas de las que 35 les han omuniado su intenión de votarles. Suponiendo que no les han engañado, se atreven a deir en sus mítines que van a obtener omo mínimo el 40% de los votos. Qué puedes deir de tal afirmaión on un nivel de riesgo del 0,04? 16º) Se sabe que la renta anual en Marbella sigue una distribuión normal de media desonoida y desviaión típia 0,24 millones de. Se ha observado la renta anual de 16 veinos de esa loalidad esogidos al azar, y se ha obtenido un valor medio de 1,6 millones de. Contrasta, a un nivel de signifiaión del 5%, si la media de la distribuión es al menos de 1,45 millones de. a) uáles son las hipótesis nula y alternativa del ontraste? b) Determina la forma de la región rítia. ) Se aeptará la hipótesis nula on el nivel de signifiaión indiado? Reopilado por Regina Jiménez