Campos Vectoriales. = 2(x2 + y 2 ) = 1. θ = arc cos 2

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Campos Vectoriales. = 2(x2 + y 2 ) = 1. θ = arc cos 2"

Dolores Carrizo Rojo
hace 6 años
Vistas:

Un cmpo vectoril en el espcio tridimensionl R 3 es un función F : R 3 R 3 que sign cd vector x D R 3 un único vector F (x) R 3 con F (x) = P (x)i + Q(x)j + R(x)k en donde P,Q y R son funciones

1 Unidd Integrl de Líne. Integrl de funciones vectoriles Cmpos Vectoriles Denición. Un cmpo vectoril en el plno R es un función F : R R que sign cd vector x D R un único vector F (x) R con F (x) = P (x)i + Q(x)j en donde P,Q son funciones esclres de dos vribles Denición. Un cmpo vectoril en el espcio tridimensionl R 3 es un función F : R 3 R 3 que sign cd vector x D R 3 un único vector F (x) R 3 con F (x) = P (x)i + Q(x)j + R(x)k en donde P,Q y R son funciones esclres de tres vribles Ejemplo Describir lgunos de los vectores del cmpo vectoril F : R R ddo por F (x, y) = (x y, x + y) Solución L función F trnsform puntos del plno en puntos del plno Cd vector (x, y) y su imgen formn un ángulo θ que podemos determinr cos θ = F (x, y) (x, y) (x y, x + y) (x, y) = F (x, y) (x, y) (x y, x + y) (x, y) = x + y (x + y ) = por tnto cos θ = ( ) θ = rc cos θ = π 4 hor bien F (x, y) = (x + y ) = (x, y) Asi, l función F gir cd vector (x, y) del plno un ángulo π 4 veces rdines y luego ument su tmño Fcultd de Ciencis UNAM Cálculo Diferencil e Integrl IV Prof. Estebn Rubén Hurtdo Cruz

correspondiente preimgen (x, y) Integrl de line (Cmpos vectoriles) Si F = P î+qĵ +Rˆk es un cmpo de fuerz en el espcio (que puede ser electrico o grvitcionl) continuo lo lrgo de un tryectori C : [,

2 Unidd Integrl de Líne. Integrl de funciones vectoriles Se represent un cmpo vectoril dibujndo el vector F (x, y) ncldo en el punto (x, y), o se, l imgen F (x, y) se dibuj conservndo su mgnitud y dirección ncld en su correspondiente preimgen (x, y) Integrl de line (Cmpos vectoriles) Si F = P î+qĵ +Rˆk es un cmpo de fuerz en el espcio (que puede ser electrico o grvitcionl) continuo lo lrgo de un tryectori C : [, b] R R 3 que tiene primer derivd continu en el intervlo [, b] sobre l cul un prtícul se mueve mientrs ctu sobre ell un fuerz F. Se P = { = t, t,..., t n } un prtición del intervlo [, b] Si C es un desplzmiento en line rect ddo por el vector d y F es un fuerz constnte, entonces el trbjo relizdo por F l mover l prtícul lo lrgo de l tryectori es F d F d = mgnitud de l fuerz por desplzmiento, entonces T = F (c(t)) s F (c(t)) c (t) t entonces el trbjo relizdo es c(t + t) c(t) es el desplzmiento c(t + t) c(t) t = c (t) teorem del vlor medio c(t + t) c(t) = c (t) t T F (c(t i )) s = F (c(t i )) c (t) t el trbjo relizdo pr ir de c(t) c(t + t) Fcultd de Ciencis UNAM Cálculo Diferencil e Integrl IV Prof. Estebn Rubén Hurtdo Cruz

3 Unidd Integrl de Líne. Integrl de funciones vectoriles y cundo n tenemos que T = b F (c(t)) c (t)dt Ejemplo Clculr el trbjo relizdo por l fuerz F (x, y) = xyî+senyĵ y cundo el punto de plicción de est recorre el rco de prábol y = x cundo recorre el segmento de l rect y = x entre los puntos de corte entre mbs curvs. Solución Los puntos de corte son (, ) y (, ). Un prmetrizción de l prábol y = x es c(t) = (t, t ), tɛ[, ] F (c(t)) = F (t, t ) = (t 3, sent ) c (t) =)(, t) (t 3, sent ) (, t)dt = t 3 + tsent dt = t4 4 cost = = 4 cos() ( ) = 4 cos() + = 5 4 cos() Pr el segundo trbjo Un prmetrizción es c(t) = (t, t), tɛ[, ] F (c(t)) = (t, sent) y c (t) = (, ) (t, sent) (, )dt = t + sentdt = t3 3 cost = 3 cos() [ ] = 4 3 cos(). El vlor de l integrl curviline h vrido l cmbir l curv. Fcultd de Ciencis UNAM Cálculo Diferencil e Integrl IV Prof. Estebn Rubén Hurtdo Cruz 3

4 Unidd Integrl de Líne. Integrl de funciones vectoriles Teorem. Cmbio de Prmetrizción pr integrles de líne. Se F un cmpo vectoril continuo en l tryectori c : [, b ] R 3 de clse C y se ρ : [, b] R 3 un reprmetrizción de C. Si ρ conserv l orientción, entonces F ds = F dt c ρ Demostrción. Por hipótesis, tenemos l plicción h tl que ρ = c h. Por l regl de l cden ρ = c (h(t)) h (t) de modo que b F ds = [F (c(h(t))] h (t)dt ρ Cmbindo vrible s = h(t) se convierte en h(b) b F (c(s)) c (s)ds = F (c(s)) c (s)ds = F ds. h() c Teorem. Si en F ds est prmetrizd por g(t) pr t b podemos denotr l curv prmetrizd por g (t) = g( + b t) pr t b. Es clro que como conjunto, es igul, pero invierte l orientción es decir de g(b) g(). Entonces F ds = F ds Demostrción. Como g (t) = g( + b t) (g ) (t) = g ( + b t) se tiene que F ds = b F (g( + b t)) g ( + b t)dt = }{{} b s=+b t t= s=b t=b s= F (g(s)) g (s)ds = F ds b F (g(s)) g (s)( )ds Fcultd de Ciencis UNAM Cálculo Diferencil e Integrl IV Prof. Estebn Rubén Hurtdo Cruz 4

5 Unidd Integrl de Líne. Integrl de funciones vectoriles Grdiente de un Cmpo Esclr Denición 3. Consideremos un función f : U R n f R denid en U. Se x U y supongmos que en dicho punto existen tods ls derivds prciles i =,..., n. x i Se dene el grdiente de f en el punto x como el vector ( f f =, f,..., f ) x x x n Si f es un función esclr de clse c denid en un bierto U, el grdiente es un cmpo vectoril continuo Teorem 3. Se f : U R n R de clse c y α : [, b] R n un tryectori de clse c. Entonces f = f(α(b)) f(α()) α Demostrción. Consideremos l función g(t) : [, b] R dd por g(t) = (f α)(t) = f(α(t)) que es de clse c por se composición de funciones de clse c. Aplicndo l regl de l cden se obtiene g (t) = (f α) (t) = (f(α (t), α (t),..., α n (t)) = f(α(t)) x f(α(t)) α (t) α (t) + f(α(t)) α x (t) f(α(t)) α x n(t) = n por lo tnto f = b f(α(t)) α (t)dt = b α g (t)dt = g(b) g() = f(α(b)) f(α()) Fcultd de Ciencis UNAM Cálculo Diferencil e Integrl IV Prof. Estebn Rubén Hurtdo Cruz 5

Documentos relacionados

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que