PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E

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1 PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E CURSO CONVOCATORIA: SEPTIEMBRE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (como máximo) a cuatro de las cinco preguntas. - Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2.5 PRUEBA A 1.- Un estudio indica que la proporción de individuos que enferman después de suministrarles una determinada vacuna es del 5%. Se toma una muestra de 400 individuos vacunados. Determinar: i) El número esperado de individuos que no enfermaran. X = nº de individuos que enferman después de vacunarlos, en una muestra de 400 La probabilidad de que un individuo enferme después de vacunarlo es p=0,05 X B(400, 0,05) Para una variable binomial de parámetros n y p, su valor medio esperado es n p=400 0,05=20. Es decir, se espera que enfermen 20, por lo tanto se esperan que no enfermen 380 individuos, ( n (1-p)=400 (1-0,05)=400 0,95=380 ). ii) La probabilidad de que el número de individuos que enferman sea como mínimo igual a 24 Se dan las condiciones para aproximar la variable binomial X, por una normal. i) np= 400 0,05 = 20 > 5 ii) n (1 p) > 5; 400 (1 0,05) = 380 > 5 La variable X se puede aproximar por una normal, (, (1 ) ) ( 20, 4.359) Y N n p n p p = N Nos piden calcular la probabilidad de que el numero de individuos que enferman sea como mínimo 24. Con lo cual, aplicando la Corrección de Yates, se tiene 23,5 20 P( X 24) P( Y 23,5) = P Y = P( Z > 0,8) = 0, ,359 Si no se hubiese aplicado la Corrección de Yates P( X 24) P( Y 24) = P Y = P( Z > 0,92) = 0,1788 4,359 iii) La probabilidad de que el número de individuos que NO enferman sea como mínimo igual a 372. Nos piden calcular la probabilidad de que el número de individuos que enferman sea como máximo =28. Con lo cual, aplicando la Corrección de Yates, se tiene 28,5 20 PX ( 28) PY ( 28,5 ) = PY = PZ ( < 1,95) = 1 PZ ( > 1,95) = 1 0,0256 = 0,9744 4,359 Si no se hubiese aplicado la Corrección de Yates PX ( 28) PY ( 28) = PY = PZ ( < 1,84) = 1 PZ ( > 1,84) = 1 0,0329 = 0,9671 4,359

2 2.- El sueldo, en miles de euros de los empleados de una multinacional, es una variable normal de media µ y desviación típica 0,3. Se toma una muestra aleatoria simple de 36 empleados para los que se obtiene un sueldo medio de 2,23. Se pide: i) Determinar un intervalo de confianza para µ de nivel de confianza igual a 0,9. El intervalo de confianza para una media muestral es: σ σ x zα /2, x + zα /2 n n Datos del problema: n = 36; x = 2, 23; σ = 0,3; α = 0,1; α/ 2 = 0, 05; z = 1, 64 0,05 σ σ 0,3 0,3 x zα /2, x + zα /2 = 2,23 1,64, 2,23 + 1,64 = 2,15, 2,31 n n ( ) ii) Hallar la longitud del intervalo de confianza si el nivel de confianza es igual a 0,99. n = 36; x = 2, 23; σ = 0,3; α = 0, 01; α/ 2 = 0, 005; z = 2,58 La longitud del intervalo de confianza es: σ 0,3 2 zα /2 = 2 2,58 = 2( 0,129) = 0, 258 n 36 0,005

3 3.- Se quiere construir el marco de una valla publicitaria rectangular de 12 metros cuadrados. El metro lineal de tramo horizontal cuesta 1,5 euros, mientras que el metro lineal de tramo vertical cuesta dos euros. Determinar: i) Las dimensiones de la valla para que el coste sea mínimo. Se trata de minimizar la función Cxy (, ) = 1,5(2 x) + 2(2 y) con la condición xy= 12 x y 12 xy = 12 y= x Tenemos pues que maximizar la función f( x) = 3x+ 4 = 3x+ x x Derivamos e igualamos a cero f '( x) = x x 16 x x = x = = = = ± Obviamente solo nos sirve la solución x = 4, y en ese punto es un mínimo ya que la segunda 48 derivada de f, f ''( x) =, evaluada en x = 4, es positiva. 3 x con lo cual y = 3 x = 4 = Solución óptima (x,y) = (4,3) ii) Cuanto cuesta el marco? C (4,3) = = 24

4 2 4.- Una zona está delimitada en un determinado mapa por las funciones y = x e y = 2x. Si x e y están expresados en decámetros: i) Representar gráficamente la zona. ii) Hallar el área de la zona. Dicha área se obtiene como la integral de la diferencia de las dos funciones, la superior menos la inferior, entre sus puntos de corte. Los puntos de corte de igualar las dos funciones y resolver la ecuación que se obtiene: 2 2 x = 2x x 2x = 0 x = 0 o x = x x ( ) x 2x dx = 2 2 1,333 0 = = = Dm Es decir, la superficie de la zona son m

5 5.- En un edificio viven 82 personas en edad de trabajar clasificada en tres grupos parados, de baja por enfermedad y activos. Entre esas personas, el número de parados duplica el número que están de baja por enfermedad, mientras que el número de activos es igual a 9 veces al número de los que están de baja más 10. Cuántas personas están en paro? Cuántas de baja? Cuántas activas? A+ P+ B = 82 9B B+ B = 100 B = 6 P = 2B P = 2B P= 12 A= 9B+ 10 A= 9B+ 10 A= 64

6 PRUEBA B 1.- Los gastos mensuales, en euros, en actividades de ocio de las personas que viven en una determinada ciudad siguen una normal de media desconocida y desviación típica igual a 25. i) Se toma una muestra de 225 personas y se obtiene que la media muestral de gastos en actividades de ocio es igual a 95. Hallar un intervalo de confianza, de nivel de confianza igual a 0,95, para la media de los gastos mensuales en actividades de ocio. El intervalo de confianza para una media muestral es: σ σ x zα /2, x + zα /2 n n Datos del problema: n = 225; x = 95; σ = 25; α = 0, 05; α/ 2 = 0, 025; z = 1,96 0,025 σ σ x zα /2, x + zα /2 = 95 1,96, ,96 = 91.73, n n ( ) ii) Si se toma un nivel de confianza del 99% cuál es el tamaño muestral necesario para estimar la media de gastos mensuales en actividades de ocio con un error menor de 1 euro?. σ = 25; E = 1; α = 0,01; α/ 2 = 0,005; z = 2,58 0,005 σ zα /2 < E z0,05 < 1 2,58 < 1 n n n 64,5 < 1 64,5 < n n > 4160, 25 n 4161 n

7 2.- Se afirma que el 18% de los hogares de una ciudad tienen televisión de pago. Después de una campaña publicitaria se estima que dicho porcentaje ha aumentado y para corroborarlo se hace una encuesta eligiendo una muestra de 121 hogares, resultando que en 28 de ellos había televisión de pago. i) Se puede afirmar, tomando α = 0, 01, que la proporción de hogares que tienen televisión de pago ha aumentado después de la campaña publicitaria? Se nos plantea un contraste del tipo: H0 : p = p0 H0 : p = 0,18 H1 : p > p0 H1 : p > 0,18 ( ) p0 1 p 0 Para este contraste la región de rechazo es R.R.= p0 + zα, n Si pˆ RR.. rechazamos la hipótesis nula y en caso contrario la aceptamos. Datos del problema: 28 n = 121; pˆ = = 0.231; p0 = 0,18; α = 0, 01; zα = z0,01 = 2, ,18( 1 0,18) RR.. = 0,18 + 2,33, = ( 0,261, ) 121 Como 0,231 ( 0,261, ) no rechazamos la hipótesis nula, es decir, aceptamos que p = 0,18. La resolución de este contraste se podía haber hecho de forma equivalente utilizando el estadístico de prueba, z = p p0 p0(1 p0) y ver si cae en la región de rechazo para este n estadístico, que a un nivel de confianza 0,01 z α, = 2,33,. α =, es ( ) ( ) z = 0,231 0,18 0,18( 1 0,18) = 1, 46 ; 121 como 1,46 ( 2,33, ), no rechazamos la hipótesis nula, es decir, aceptamos la hipótesis nula, p = 0,18. ii) Responder al apartado anterior si α = 0,1 El estadístico de prueba sigue siendo z = 0,231 0,18 0,18( 1 0,18) = 1, 46 y la región de rechazo 121 para este estadístico, a un nivel de confianza α = 0,1, es ( z α, ) = ( 1,28, ). 1,46 1,28,, rechazamos la hipótesis nula, es decir, no aceptamos la hipótesis Como ( ) nula, p = 0,18.

8 3.- El peso de la piñas tropicales cultivadas en una determinada finca es una variable normal de media 1,4 kg y una desviación típica de 0,6 kg. Si en la presente cosecha se han recogido un total de kg de piña tropical, determinar: i) La cantidad de piña tropical que pesa más de 1,6 kg. X = Peso de una piña tropical X N(1, 4, 0, 6) Nos piden la probabilidad, PX> ( 1,6), primero tipificaremos y luego buscamos la probabilidad correspondiente en la N(0,1). X 1, 4 1, 6 1, 4 PX ( > 1, 6) = P > = PZ ( > 0.33) = 0,3707 0,6 0,6 Por tanto el 37,07% del peso de la cosecha será de piñas de más de 1,6 kg, en este caso, 37, , = = kg ii) La probabilidad de que una piña tropical recogida en la finca pese entre 1,3 y 1,5 kg. 1, 3 1, 4 X 1, 4 1, 5 1, 4 P(1, 3 < X < 1, 5) = P < < 0,6 0,6 0,6 = = P < Z < = P Z < P Z > = = 1 2 > 0,17 = 1 2 0,4325 = ( 0,17 0,17) 1 ( 0,17) ( 0,17) P( Z ) iii) La cantidad de kg de la cosecha de piñas tropicales difiere 0,5 del peso medio. 0, 9 1, 4 X 1, 4 1, 9 1, 4 P(1, 4 0,5 < X < 1, 4 + 0,5) = P(0,9 < X < 1,9) = P < < 0,6 0,6 0,6 = = P < Z < = P Z < P Z > = = 1 2 > 0,83 = 1 2 0, 2033 = ( 0,83 0,83) 1 ( 0,83) ( 0,83) P( Z ) Por tanto el 59,34% del peso de la cosecha será de piñas de más de entre 0,9 y 1,9 kg, en este caso, 59, , = = Kg

9 4.- Se estima que las ganancias de una empresa (en decenas de miles de euros) para los próximos 10 años, sigue la función: 2t 2 0 t 4 t 1 gt () = + t + 2 4< t 10 t + 1 i) Cuándo es creciente la ganancia? Tenemos que hallar la derivada de la función gt ( ) y ver cuando es positiva. ( t + ) ( t ) ( t + 1) ( t + 1) ( t + ) ( t + ) 2 2 ( t + 1) ( t + 1) = 0 t g'( t) = = 4< t 10 Cono se ve claramente g'( t ) es positiva para 0 t 4, por tanto la ganancia va aumentando durante los 4 primeros años. ii) Cuándo es máxima la ganancia?. Justificar la respuesta Tendríamos que resolver la ecuación g'( t ) = 0 y estudiar el signo de la segunda derivada en los puntos que se obtengan. Y de esta forma obtendríamos los máximos que tuviera la función, pero serían máximos donde la función fuese derivable. En este caso g'( t ) = 0 no tiene ninguna solución. Ahora bien si miramos la gráfica de la función Podemos observar que en x=4 tiene un máximo, lo cual se reafirma con que a la derecha del 4 es creciente y a la izquierda del 4 es decreciente. iii) Si en la función anterior se cambia 4< t 10por 4 < t a que valor se aproxima la ganancia cuando t crece?. Justificar la respuesta. Tenemos que calcular el limite cuando t tiende a infinito de la función de ganancias t t lim ( ) lim lim t t lim t + gt = = = = = 1 t t t + 1 t t 1 t t t t con el paso de muchos años las ganancias se estabilizan en euros.

10 5.- El número total de unidades de dos productos ( A y B ) que un comercio puede vender es, como máximo, igual a 120. Dispone de 85 unidades del producto A, con un beneficio unitario de 3 euros, y de 75 unidades del tipo B, con un beneficio de 4,5 euros. Determinar las cantidades de cada una de los productos A y B que el comercio debe vender par maximizar sus beneficios globales. Se trata de maximizar la función de beneficios globales. Esta función es: f ( xy, ) = 3x+ 4,5y siendo x el número de unidades que se venden de A e y el número de unidades que se venden de B Con las siguientes restricciones siguientes: x+ y 120 x 85 y 75 x 0; y 0 Max f ( x, y) = 3x + 4,5y sa.. : r x+ y 120 r x 85 r y 75 x 0; y 0 Los puntos extremos que se obtienen son: x+ y = 120 x = 85 f (85,35) = ,5 35 = 412,5 x = 85 y = 35 x+ y = 120 x = 45 f (45, 75) = ,5 75 = 472,5 y = 75 y = 75 x = 0 f (0,75) = ,5 75 = 337,5 y = 75 x = 85 f (85, 0) = ,5 0 = 255 y = 0 El beneficio máximo se obtiene vendiendo 45 unidades de A y 75 unidades de B.