27 Tensores (Resumen) Notación tensorial

Transcripción

1 27 Tensores (Resumen) 27. Notacón tensoral Medante la convencón de Ensten para sumas, el cambo de base e = n j= S je j, con S = [I] e e una matrz de n n no sngular, se escrbe e = S j e j donde S j e j n j= Sj e j y n es la dmensón del espaco. El índce superor en S denota fla y el nferor columna. En forma matrcal, la relacón anteror equvale pues a (e,...,e n) = (e,...,e n )S Por otro lado, la transformacón x = n j= S j xj de las componentes de un vector v = n = x e = n = x e, se escrbe en la forma x = Rjx j, R = S donde Rj xj n j= R j xj. En forma matrcal, la relacón preva equvale pues a x x... = R... x n x n lo que está tambén de acuerdo con el supraíndce como índce de fla. Notemos que R js j k = S jr j k = δ k que es la expresón tensoral de la relacón matrcal RS = SR = I. El vector v se escrbe entonces como v = x e = x e Como verfcacón, reemplazando x = R j xj, e = Sk e k, se tene x e = R j Sk xj e k = δ k j xj e k = x j e j. En general, n componentes a que se transforman como a = S j a j se denomnan covarantes, mentras que n componentes b que se transforman como b = R jb j con R j Sj k = δ k (o sea, R = S ) se denomnan contravarantes. En tal caso, el producto b a = b a (donde la suma sobre está mplícta) permanece nvarante frente a cambos de base. Notemos fnalmente que las relacones nversas están dadas por a = R j a j, b = S jb j Transformacón de las dervadas parcales: Dado el cambo de varables lneal x = R j xj y su relacón nversa x j = S j x, con S = R, y R,S ndependentes de las coordenadas, tenemos S j = xj x, R j = x x j En vrtud de la regla de la cadena, se obtene entonces o sea, en notacón covarante, n x = x j x x j j= = S j j donde, x j. Las dervadas respecto de componentes contravarantes se transforman pues de x j manera covarante.

2 27.2 Transformacón de vectores del dual Dada una base e = (e,...,e n ) de V, los elementos de la base dual f = (f,...,f n ) del espaco dual V (el conjunto de formas lneales de V en K) quedan defndos por (f,e j ) = δ j (utlzamos la notacón f (v) = (f,v). Esto mplca la ley de transformacón contravarante de forma que f = R jf j (f,e j) = R k Sl j(f k,e l ) = R k Sl jδ k l = R l Sl j = δ j donde e j = S j e. Un elemento arbtraro h V puede entonces ser escrto como donde Notemos que s v = x e, h = a f, h = a f = a f a = S j a j a = (h,e ), x = (f,v) Fnalmente, menconemos que s (e,...,e n ), (f,...,f n ) son bases arbtraras de V y V respect., con R j = (f,e j ) una matrz no sngular, la base dual de V asocada a la base f de V está dada por e = S j e j con S = R, ya que (f k,e ) = (f k,e j )S j = Rk j Sj = δk. Análogamente, la base dual de V asocada a la base e de V está formada por f = S jf j ya que (f,e k ) = Sj (f j,e k ) = Sj Rj k = δ k. Ejemplo: Sea V = R 2 y sean (f,f 2 ) las formas lneales defndas por f (x,y) = 2x y, f 2 (x,y) = 3x+y donde hemos escrto v = (x,y) = xe +ye 2, con (e,e 2 ) la base canónca de R 2. Hallar la base dual de V asocada a f,f 2. Podemos escrbr f = Rk fk, con R = ( 3 2 ) y (f,f 2 ) la base dual asocada a (e,e 2 ) (f (x,y) = x, f 2 (x,y) = y). Es claro que (f,f 2 ) es base de V pues R = 5 0. La base dual asocada de V está entonces dada por e = Sj e j, con S = R = ( 3 2 )/5: e = 5 (e 3e 2 ), e 2 = 5 (e +2e ) verfcándose que f (e ) = f 2 (e 2 ) =, f (e 2 ) = f 2 (e ) = Tensor métrco Dado un espaco eucldeo V de dmensón fnta, con el producto escalar denotado por (v,w), y dada una base arbtrara e = (e,...,e n ) de V, el tensor métrco se defne como g j = (e,e j ) Es una matrz smétrca (g j = g j ) no sngular ( g 0). En tal caso, la norma al cuadrado de un vector v = x e (es decr, la dstanca al cuadrado del extremo del vector al orgen) está dada por v 2 = (x e,x j e j ) = x (e,e j )x j = x g j x j 2

3 Podemos escrbr lo anteror tambén en la forma v 2 = x x, x g j x j Frente a un cambo de base, el tensor métrco se transforma como g j = (e,e j) = S k S l j(e k,e l ) = S k S l jg kl que corresponde a un tensor de rango (2,0) (dos veces covarante), como se verá en breve. Las componentes x se transforman pues en forma covarante: x = g jx j = S k S l jr j mg kl x m = S k g kl x l = S k x k En espacos eucldeos V de dmensón fnta, podemos dentfcar con cada elemento h del dual V uno y sólo un vector w h V tal que (h,v) = (w h,v) v V, donde el segundo paréntess denota producto escalar: S h = a f y w h = a e, con (f,e j ) = δ j, de modo que a g j = a j. Por lo tanto, (h,e j ) = a j = (w h,e j ) = a (e,e j ) = a g j a = g j a j donde g j denota los elementos de la matrz nversa de la matrz de elementos g j : g k g kj = δ j En lo sucesvo denotaremos a w h drectamente como h. Por consguente, podemos escrbr los elementos de la base dual como combnacón lneal de los e. En notacón tensoral, con Notemos tambén que f = g k e k (f,e j ) = g k (e k,e j ) = g k g kj = δ j (f,f j ) = g jk (f,e k ) = g j por lo que g j es el tensor métrco en la base dual. Un vector v puede pues escrbrse en las formas v = x e = x f donde x = g j x j, f = g k e k, ya que x f = g k g j x j e k = δ k j xj e k = x j e j. Para el producto escalar de dos vectores v = x e, w = y j e j se tenen pues las expresones 27.4 Tensores (v,w) = x g j y j = x y = x y = x g j y j Un tensor general depíndcescovarantesyq ndcescontravarantes (quedenotaremos aquí comotensor ( q p)) en un espaco de dmensón n, es un conjunto de n p+q números T j... dependentes de una base ordenada B = (e,...,e n ) de un espaco vectoral V, que se transforman frente a cambos de base e = Sj e j en la forma T j,...j q... p = S...S p p Rj j T j... con R = S. Por ejemplo, para un tensor ( ), T l k = Rl j S k Tj, que nvolucra una suma sobre y j. Una posble realzacón de un tensor ( q p) es una forma multlneal T : V p (V ) q K de p vectores de V y q vectores del espaco dual V (una funcón es multlneal s es lneal en cada uno de sus argumentos: 3

4 T(α v + α v,v 2,...,v p,w,...,w q ) = α T(v,v 2,...,v p,w,...,w q ) + α T(v,v 2,...,v p,w,...,w q ), y smlar para los restantes argumentos). En tal caso, s v = x j e j y w = a j fj, T(v,...,v p,w,...,w q ) = x...x p p a j...a q T(e,...,e p,f j,...,f jq ) S los f son los vectores de la base dual ((f,e j ) = δj ), los elementos T j... T(e,...,e p,f j,...,f jq ) se transforman como un tensor ( q p) frente a cambos de base: S e = Sj e j, entonces f = R j fj y T j...j q... p = T(e,...,e p,f j,...,f j q) = T(S e,...,s p p e p,r j j f j,...,r j q f jq ) = S...S p p Rj j T j... Otra posbldad es consderar a T j... como las coordenadas de un vector T pertenecente al producto tensoral de espacos V }... V {{} V }... V {{} en una base B = {e j... e jq f... f p }, donde q veces p veces nuevamente (f,e j ) = δj : T = T j... e j... e jq f... f p S e = R j e j y f = S j f j (tal que e = Sj e j, f = R j fj, con R = S ), tenemos T = T j... R j j S...S p p e j... e j q f... f p = T j...j q e... p j... e f... f p por lo que T j...j q... p = S...S p p Rj j T j... Un tensor ( 0 0 ) es un escalar. Permanece nvarante frente a cambos de base: T = T Un tensor ( 0 ) representa el conjunto de coordenadas contravarantes de un vector. Se transforman como T = R jt j En forma matrcal esto corresponde a T = RT, con T un vector columna. Por ejemplo, las coordendas x de un vector v = x e V se transforman como x = R j xj. Un tensor ( 0 ) representa el conjunto de coordenadas covarantes de un vector. Se transforman como T = S j T j En forma matrcal esto corresponde a T = TS, con T un vector fla. Por ejemplo, las coordenadas a de un vector h = a f V se transforman como a = Sj a j. Un tensor ( ) se transforma como T j = R j l Sk T l k En forma matrcal, esto corresponde a T j = (RTS) j, es decr, T = RTS, con R = S. Un ejemplo son pues las matrces que representan operadores lneales F : V V. Estos pueden expresarse como F = F j e jf, de forma que F(e k ) = F j e j(f,e k ) = F j k e j, sendo F j = [F(e )] j = ([F] e e) j la matrz que lo representa en la base e. Recordemos que esta matrz se transforma precsamente como F = RFS con R = S, o sea, F j = R j l Sk Fl k. 4

5 Un tensor ( 0 2 ) se transforma como T j = S k S l jt kl En forma matrcal, esto equvale a T j = (S t TS) j, es decr, T = S t TS. Un ejemplo son pues las matrces que representan formas cuadrátcas (funcones de V V K), de elementos A j = A(e,e j ), las que se transforman como A = S t AS, es decr, A j = Sk A kls l j. En forma análoga se ve el caso de un tensor (2 0 ) (funcones de V V en K) Producto Tensoral de Espacos Vectorales. Recordemos aquí que el producto tensoral V W de dos espacos vectorales V, W sobre el msmo cuerpo K, de dmensones n y m respectvamente, es el espaco generado por los productos {e ẽ j }, =,...,n, j =,...,m, donde {e,...,e n } es una base de V y {ẽ,...,ẽ m } una base de W. Se verfca, v V, w W y α K, S u V W α(v w) = (αv) w = v (αw) (v +v 2 ) w = v w +v 2 w, v (w +w 2 ) = v w 2 +v w 2 u = 0 w = v 0 = 0 n = j= m c j e ẽ j, c j K Destaquemos que esto ncluye vectores producto u = v w, con v V y w W, como así tambén vectores que son combnacones lneales de productos pero que no pueden ser escrtos como un únco producto. La dmensón de V W es n m (y no n+m, como sucede con V W). En mecánca cuántca, el espaco de estados de un sstema compuesto por dos substemas dstngubles es justamente el producto tensoral de los espacos de estados de cada subsstema, sendo estos últmos espacos de Hlbert (K = C). Para e ẽ j se emplea la notacón j o drectamente j o j. Los estados producto u = v w se denomnan estados separables, mentras que los estados que no pueden ser escrtos como producto se denomnan correlaconados o entrelazados Producto y Suma de tensores Sea T un tensor ( q p) y U un tensor ( q p ) sobre el msmo espaco. Su producto es un tensor ( p+p q+q ) dado por (TU) j...+q +p = T j... U +...+q p+... p+p La suma está defnda para tensores del msmo rango ( p q): (T +U) j... = T j... +U j Producto tensoral de operadores. S F : V V y G : W W son operadores lneales en espacos V, W, entonces F G : V W V W es un operador lneal en el espaco producto tensoral V W, defndo por (F G)(v w) = F(v) G(w) S F(v ) = λ F v, G(w j ) = λ G w j, entonces (F G)(v w j ) = λ F λ G j v w j por lo que s F y G son dagonalzables, (F G) tambén lo es, con n m autovalores λ F λg j, =,...,n, j =,...,m. Además, Det(F G) = Det(F) m Det(G) n. Notemos fnalmente que (F G) k = F k G k, váldo para k N y tambén k Z s F y G son nvertbles. S F = Fj e f k, G = G k lẽk f l, F G = Fj Gk l (e ẽ k )(f j f l ), por lo que (F G) k jl = Fk Gj l. Esto corresponde pues al producto tensoral de las matrces que representan a F y G, denomnado tambén producto Kronecker: Ordenando la base en la forma b = (e ẽ,e ẽ 2,...,e n ẽ m ), la matrz de nm nm que representa a F G en esta base es [F G] b = [F] e [G]ẽ = F [G] ẽ... Fn[G]ẽ..... F n[g] ẽ... Fn[G]ẽ n En notacón de Mecánca Cuántca, e, f j j y F,j F j j, G = k,l G kl k l, con F G =,j,k,l F jg kl j k l. 5

6 27.8 Contraccón de tensores La contraccón de un tensor ( p q), con p, q, queda defnda por una suma de la forma T j...k......k... p (donde la suma es sobre el índce repetdo k), la cual se transforma como un tensor ( p q ), pues S k Rk j = δ j. Por ejemplo, s U j = Tkj k entonces U j = T k j k = S Sl k Rk k Rj j Tkj l = S δl k Rj j Tkj l = S Rj j Tkj k = S Rj j Uj donde hemos utlzado Sk l R k k = δl k. Vemos pues que se transforma como un tensor ( ). Así, dado un tensor T j kl (tensor ( 2 2 )) son posbles las 4 contraccones T kj k, Tjk k, Tkj k, Tjk k que orgnan 4 tensores ( ) (en general dstntos). Por otro lado, las dos posbles contraccones dobles que dan lugar a un escalar (tensor ( 0 0 )) son T Por ejemplo, dado el tensor T j la matrz T: kj kj, Tjk kj, la únca contraccón posble es el escalar T. Este representa la traza de TrT = T Esta es, como hemos vsto, nvarante frente a cambos de base. Dado el tensor producto T jk l = F j Gk l, el escalar Tjk jk = Fj j Gk k de trazas: (TrF)(TrG) = F Gk k, mentras que el escalar Tjk kj = F j k Gk j representa, matrcalmente, el producto representa la traza del producto: Tr(FG) = F j k Gk j. Además, la contraccón T jk k = F j k Gk es un tensor ( ), que representa el producto matrcal FG. Un tensor es smétrco respecto a dos índces del msmo tpo s T...j = T...j... T...j = T...j......, y es antsmétrco s... (Defncón smlar respecto de índces nferores). Esta propedad es ndependente de la base: Por ejemplo, s T j kl = Tj kl, T j k l = R R j j Sk k Sj j T j kl = R R j j Sk k Sj j T j kl = T j k l Un tensor es completamente smétrco (antsmétrco) s es smétrco (antsmétrco) respecto de todo par de índces del msmo tpo Determnante: Consderemos una forma multlneal completamente antsmétrca de V n K. En tal caso, s v = x j e j, F(v,...,v n ) = x...x n n F,..., n donde F,..., n = F(e,...,e n ). Se tene F...,,...,j,... = F...,j,...,,... para cualquer par de índces,j. Es claro entonces que F...,,...,j,... = 0 s = j, es decr, s dos (o más) índces concden, y que s los índces son todos dstntos, F,..., n = ( ) n,...,n F,2...,n, donde n,..., n es el número de permutacones necesaras para llevar (,..., n ) al orden normal (,2,...,n). Podemos pues escrbr F,..., n = λǫ,..., n donde λ = F,2,...,n y ǫ,..., n es el símbolo completamente antsmétrco que satsface ǫ,2,...,n = (símbolo de Lev-Cvta). Por lo tanto, F(v,...,v n ) = λx...x n n ǫ... n = λdet[x] donde Det[X] = x...x p nǫ... n 6

7 es el determnante de la matrz de elementos x j (la cual es una funcón multlneal completamente antsmétrca de las columnas de la matrz, que vale para la matrz dentdad). Por ejemplo, para n = 2, Det[X] = x xj 2 ǫ j = x x2 2 ǫ 2 +x 2 x 2 ǫ 2 = x x2 2 x2 x 2, mentras que para n = 3, Det[X] = x xj 2 xk 3 ǫ jk = x x2 2 x3 3 ǫ 23 +x x3 2 x2 3 ǫ 32 +x 2 x3 2 x 3 ǫ 23 +x 2 x 2 x3 3 ǫ 23 +x 3 x 2 x2 3 ǫ 32 +x 3 x2 2 x 3 ǫ 32 = x x2 2 x3 3 x x3 2 x2 3 +x2 x3 2 x 3 x2 x 2 x3 3 +x3 x 2 x2 3 x3 x2 2 x 3. Notemos tambén que x xj 2 ǫ j = x x2 2 x2 x 2 = x x2 2 x 2 x2 = x x2 j ǫj, donde ǫ j = ǫ j, y en general, Det[X] = x j...x jn n ǫ j...j n = n! xj...x jn n ǫ j...j n ǫ... n = x...x n n ǫ... n, donde ǫ... n = ǫ... n. Observemos que frente a un cambo de base general, F,..., n = F(e,...,e n ) transforma como F... n = S...S n n F... n = λs...s n n ǫ... n = λdet(s)ǫ... n = Det(S)F,..., p Subda y bajada de índces y tensores cartesanos. En un espaco eucldeo, es posble bajar o subr índces de un tensor medante el tensor métrcog j = (e,e j ), y su nversa g j = (f,f j ), que son tensores smétrcos de tpo ( 0 2 ) y (2 0 ) respectvamente: T j,...,..., p = T(e,...,e p,f j,...,f jq ) = T(e,...,e p,g j j ej,...,g jqj qe j q ) = g j j...g j qt(e,...,e p,e j,...,e jq ) = g j j...g j qt..., p,j,...,j q Por ejemplo, s T j es un tensor ( ), Tj = g k T j k es un tensor (2 0 ) y T j = g jk T k es un tensor ( 0 2 ). Tensores cartesanos: En un espaco eucldeo V, s nos restrngmos a transformacones sométrcas entre bases ortonormales, entonces g j = (e,e j ) = δ j, g j = δ j y f = g j e j = e. En tal caso no se puede dstngur entre índces covarantes y contravarantes y se tene T = T, Tj = Tj = T j, T j kl = T jkl, etc. Notemos precsamente que para transformacones entre bases ortonormales (sometrías) R = S = S t, es decr, Rj = Sj. En tal caso, T j = R j T = S j T, verfcándose que T j se transforma gual que T j. Pseudotensores cartesanos: S frente a un cambo de base sométrco en un espaco eucldeo se tene T... p = Det(S)S...S p p T se dce que T es un pseudotensor cartesano de rango p. Se comporta como un tensor de rango p frente a cambos de base que satsfacen Det[S] = + (rotacones) pero exhbe un cambo de sgno adconal s Det[S] = (reflexones). Por ejemplo, frente a sométrías, el tensor completamente antsmétrco F,... n = F(e,...,e n ) es un pseudoescalar, mentras que (a b) k = a b j ǫ jk es un pseudovector (a b j ǫ j k = R Rj j a a j ǫ j k = R Rj j Rk l Sk la a j ǫ j k = Det(R)Sl k a a j ǫ jl = Det(S)Sk l(a b) l). 28 Campos tensorales, símbolos de Chrstoffel y dervada covarante Consderemos un cambo general de coordenadas x (x,...,x n ) en V = R n. Tenemos La matrz nversa es y satsface dx = R jdx j, R j = x x j = jx S j = x x j = jx S jr j k = R js j k = δ k Tanto S como R dependen ahora de las coordenadas. Podemos consderar en c/punto la base defnda por e = S j e j sendo aquí e = (e,...,e n ) una base de V ndependente de las coordenadas, y e = (e,...,e n) dependente de las coordenadas. 7

8 S e es la base canónca, el tensor métrco orgnal es g j = (e,e j ) = δ j mentras que en la nueva base, g j = (e,e j ) = Sk Sl j g kl = S k Sl j δ kl, es decr, g = S T S en notacón matrcal. Se obtene entonces ds 2 dx dx = dx dx = dx dx j g j Un campo vectoral v dependente de las coordenadas puede pues escrbrse como v = v (x,...,x n )e = v (x,...,x n )e, v = R jv j Generalzando, s D V, un campo tensoral real ( q p) es una funcón T : D V }... V {{} V }... V {{} : q veces p veces T = T j,...,,..., p (x,...,x n )e j... e jq f f p Frente a un cambo general de coordenadas, se obtene con T = T j,...,j q (x,...,x n )e,..., p j... e f f p T j,...,j q (x,...,x n ) = S,..., p...s p p Rj j T j,...,,..., p (x,...,x n ) Por ejemplo, un campo vectoral es un campo tensoral ( 0 ). Consderemos ahora la dervada de un campo tensoral ( 0 ), jv = j(v e ) = ( jv )e +v ( je ) El segundo térmno da cuenta de la dependenca de la base de las coordenadas. Dado que e = Sk e k, se tene j e = ( j Sl )e l = ( j Sl )Rk l e k y por lo tanto je = Γ k je k donde Γ k j = ( j Sl )Rk l = S l j Rk l son los símbolos de Chrstoffel, que dan cuenta de la varacón de los elementos de la base. Como S j = j x Γ k j = Γk j, pues j Sl = j xl = j xl = Sl j. Se obtene entonces jv = [( jv k )+v Γ k j]e k La expresón v k ;j v k,j +v Γ k j donde v k,j j v k, se denomna dervada covarante de las componentes contravarantes, y satsface las reglas correctas de transformacón. Tenemos pues jv = v k ;je k En el caso de que la base sea ndependente de las coordenadas, Γ k j = 0 y la dervada covarante se reduce a la usual (v ;j = v,j ). Por ejemplo, la dvergenca de un campo vectoral v = v e = v e puede entonces expresarse en la forma (demostrar como ejercco) v = v, = v ; = ( v )+v Γ j j Para componentes covarantes, tenemos v = v f = v f, con f = R k fk, y f k ndependente de las coordenadas. Por lo tanto, jv = ( jv )f +v ( jf ) Pero j f = ( j R l )fl = S l k ( j R l )f k = Γ kj por lo que jv = [( jv k ) v Γ kj ]f k 8

9 La dervada covarante de componentes covarantes debe pues defnrse como para que v k;j = v k,j v Γ kj jv = v k;j f k En forma análoga se defnen las dervadas covarantes de tensores arbtraros de rango ( p q) Dado que g k = Sl Sm k g lm, tenemos, para g lm ndependente de las coordenadas, j g k = ( j Sl )Sm k g lm + S l( j Sm k )g lm = ( j Sl )Rr l Ss rsk mg sm +( j Sm k )Rr msrs s lg ls = Γ r j g rk +Γr kj g r, por lo que g k;j = g k,j g lk Γl j g l Γl kj = 0 De esta forma, s v = g k v k se verfca que v ;j = g k v k ;j. La últma ecuacón permte tambén escrbr los símbolos de Chrstoffel drectamente en térmnos de dervadas del tensor métrco: Γ kl = 2 gm (g mk,l +g ml,k g kl,m ) Ejemplo: Para V = R 2 y coordenadas polares, defndas por x = rcosθ, y = rsnθ se obtene dx = drcosθ rsnθdθ, dy = drsnθ +rcosθdθ, de forma que ( ( cosθ rsnθ rcosθ rsnθ S = snθ rcosθ snθ cosθ ), R = r ), g = ( 0 0 r 2 con dr = dxcosθ +dysnθ, dθ = ( dxsnθ +dycosθ)/r, e r = e x cosθ +e y snθ, e θ = r( e x snθ +e y cosθ), y e x,e y la base canónca. Obtenemos entonces ds 2 = dx 2 +dy 2 = dr 2 +r 2 dθ 2 En este caso, los úncos símbolos de Chrstoffel no nulos son Γ θ rθ = Γθ θr = /r, Γr θθ = r. La dvergenca de un campo vectoral v = v x e x +v y e y = v r e r +v θ e θ ) es entonces x v x + y v y = r v r + θ v θ +v r Γ θ rθ = rv r + θ v θ +v r /r El gradente de un campo escalar φ puede escrbrse en la forma ( φ)e = ( φ)e, donde = g j j. Por lo tanto, φ x e x + φ y e y = φ r e r + φ r 2 θ e θ Fnalmente, el Laplacano de un campo escalar φ (la dvergenca del gradente de φ) puede expresarse como φ = φ+γ j j φ = 2 φ r φ r 2 θ 2 + φ r r 9