GUÍA METODOLÓGICA PARA ARQUITECTURA

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1 Dpartamnto d Cincias Eactas GUÍA METODOLÓGICA DE MATEMÁTICA APLICADA II PARA ARQUITECTURA Marzo0-Julio 0 Campus Matriz Quito: Burgois N-0 y Rumipamba Tléfonos 6 /58/59 Et. 68/66 Quito Ecuador

2 Dpartamnto d Cincias Eactas ASIGNATURA NIVEL CRÉDITOS PRERREQUISITO : MATEMÁTICA APLICADA II : SEGUNDO : CUATRO : MATEMÁTICA APLICADA I OBJETIVO GENERAL DE LA ASIGNATURA: Rsolvr problmas inhrnts al prfil profsional mdiant la aplicación dl Cálculo Difrncial intgral. CAPÍTULOS: I. CÁLCULO DIFERENCIAL II. CÁLCULO INTEGRAL TOTAL DE HORAS: 6 TEXTO GUÍA: LARA, J. y ARROBA J. (007). Análisis Matmático. Quinta dición. Edit. Univrsitaria U.C.E. (Quito). PROGRAMA ANALÍTICO DE CÁLCULO DIFERENCIAL CAPÍTULO I CÁLCULO DIFERENCIAL OBJETIVOS ESPECÍFICOS Al finalizar l prsnt capítulo l studiant stará n capacidad d:. Dsarrollar la ida d lína tangnt a una curva para dfinir su pndint. Intrprtar gométricamnt la drivada. Intrprtar una razón d cambio promdio Campus Matriz Quito: Burgois N-0 y Rumipamba Tléfonos 6 /58/59 Et. 68/66 Quito Ecuador

3 Dpartamnto d Cincias Eactas. Intrprtar la drivada como una razón d cambio instantána. Aplicar las propidads básicas d difrnciación n l cálculo d drivadas d funcions 5. Aplicar la rgla d la cadna 6. Rlacionar la difrnciabilidad con la continuidad 7. Analizar l concpto d función implícita y calcular su drivada 8. Calcular drivadas d ordn suprior 9. Aplicar la drivación logarítmica 0. Aplicar la drivación trigonométrica. Trazar funcions: polinomials, racionals, con radicals, ponncials, logarítmicas, utilizando los critrios d la drivada. Rsolvr problmas d maimización y minimización: optimización, ingrsos, costos, utilidads, punto d quilibrio y producción.. Encontrar las raícs rals d una cuación aplicando l método d Nwton-Raphson.. Introducir la rgla d L Hôpital, como ayuda n l cálculo d límits indtrminados. CONOCIMIENTOS PREVIOS: Para l dsarrollo dl prsnt capítulo,l studiant dbrá tnr conocimintos d: Opracions algbraicas básicas Toría d límits Toría funcional Ecuacions ponncials y logarítmicas Ecuacions idntidads trigonométricas CONTENIDO. LA DERIVADA Dfinición. Notacions. Intrprtación gométrica. Razons d cambio. Tasa promdio d cambio. Tasa instantána d cambio. Tormas básicos d drivación: Drivada d una función constant. Drivada d una suma. Drivada d un producto. Drivada d un cocint. Drivadas d las funcions logarítmicas y ponncials. Drivadas d las funcions trigonométricas. Drivadas d las funcions compustas. Rgla d la cadna. Drivadas d funcions implícitas. Drivación logarítmica. Drivadas d órdns supriors. Método d Nwton Raphson para rsolvr cuacions. Rgla d L Hôpital, para l cálculo d límits indtrminados. Campus Matriz Quito: Burgois N-0 y Rumipamba Tléfonos 6 /58/59 Et. 68/66 Quito Ecuador

4 Dpartamnto d Cincias Eactas. APLICACIONES DE LA DERIVADA Etrmos d las funcions. Etrmos absolutos. Funcions crcints y dcrcints. Etrmos locals. Trazado d curvas. Sntido d la concavidad d una curva. Puntos d inflión. Asíntotas Análisis gnral d las funcions. Aplicacions a la administración y conomía. Aplicacions a la Arquitctura. EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA SER RESUELTOS EN EL AULA. Drivar las siguints funcions, aplicando la dfinición d la drivada: a. f()= b. f()= c. f() = ln. Drivar: a. f()= a b b. y y a b a c. f()= d. f()= ln ( + a ). f()= ln ln i. f()= 5 5 f. f()= ln j. f()= k. f()= ln +ln l. f()= (por dos métodos). Dadas las funcions: a. y= d y Calcular d Campus Matriz Quito: Burgois N-0 y Rumipamba Tléfonos 6 /58/59 Et. 68/66 Quito Ecuador

5 Dpartamnto d Cincias Eactas b. y= d y Calcular d c. -ay+y =b d y Calcular d d. a +by+cy = d y Calcular d. Drivar: a. y=f()= cos b. y=f()=(sn ) cos + (cos ) sn c. y=f()=tg( ++)sn( ++) 5. El volumn d las vntas d un disco fonográfico particular stá dado como una función dl timpo t por la fórmula: S(t) = t 00t Dond: t s mid n smanas y S s l númro d discos vndidos por smana. Calcular la tasa d cambio d las vntas cuando: a. t = 0 b. t = c. t = 8 6. Calcular l costo marginal y l costo promdio marginal para las funcions d costo total siguints: a. C(q) = 00 + q + q b. C(q) = 5 q lnq 7. Una mprsa madrra plana vndr una cirta cantidad d madra invrtir l dinro obtnido d la vnta. La madra stá aumntando d valor, pro dmorar la vnta pud rsultar n una pérdida d intrss. Al considrar las tasas d intrés y la inflación, la compañía calcula qu sus ingrsos n dólars n l año t t 0.07t por la vnta starán dados por:r = crcindo o dcrcindo st ingrso n: Campus Matriz Quito: Burgois N-0 y Rumipamba Tléfonos 6 /58/59 Et. 68/66 Quito Ecuador a qu razón stá a. 5 años b. 0 años c. 5 años d. 0 años. Con bas n las rspustas a los incisos antriors, aproimadamnt cuánto dbría la compañía vndr? 5

6 Dpartamnto d Cincias Eactas 8. Hallar las dimnsions dl rctángulo d mayor ára qu pud construirs con un alambr d longitud igual a mtros. 9. Las opracions d lína d montaj tindn a tnr una alta rotación d mplados, lo qu obliga a las compañías implicadas a gastar mucho timpo y sfurzo n ntrnar nuvos trabajadors. S ha ncontrado qu un trabajador nuvo n la opración d una cirta tara n la lína d montaj producirá P(t) artículos n l día t, dond: 0.t P(t) = 5 5 a. Cuántos artículos produciría n l primr día b. Cuántos artículos produciría n l octavo día c. Cuál s l númro máimo d artículos qu l trabajador pud producir d acurdo con la función dada. 0. Graficar las siguints funcions aplicando los critrios d la drivada y l método d Nwton para l cálculo d raícs d polinomios: a. f()= b. f()= ln c. f()= d. f()= 6. f()= - f. f()= - g. f()= 5. Aplicando la rgla d L Hôpital, calcular los siguints límits: a. ln lím b. lím c. lím ln. La ganancia total P(q) n mils d dólars, por la vnta d q mils d unidads d un mdicamnto stá dada por: S pid: P(q) = - q + q +7q (0 q 0 ) a. Encontrar l númro d unidads qu dbn vndrs para maimizar la ganancia total b. Calcular la ganancia máima sprada Campus Matriz Quito: Burgois N-0 y Rumipamba Tléfonos 6 /58/59 Et. 68/66 Quito Ecuador 6

7 Dpartamnto d Cincias Eactas. El sñor Pards ha hcho dos invrsions: US$00 n la cunta A, qu tin un intrés a la tasa dl % capitalizabl smstralmnt, y US$00 n la cunta B, qu gana intrés a la tasa dl % capitalizabl continuamnt. a. Calcular la tasa d intrés fctiva para cada invrsión b. Cuál invrsión s mjor al final d cinco años y por cuánto s mayor?. Un granjro dsa crcar un trrno rctangular adyacnt a un río. El trrno db tnr 0000 mtros cuadrados d suprfici. Qué dimnsions dbrá tnr l trrno para qu la cantidad d crraminto sa mínima, si l lado dl río no ncsita sr crcado? EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS A SER RESUELTOS POR EL ESTUDIANTE Los siguints jrcicios y problmas corrspondn al tto guía d la asignatura: Pág.:. núms.: (a), d), g), j), m) y o)), Pág.:. núms.: (a) y c)), Pág.:. núms.: (a), d), g), j) y m)), (a) y c)), Pág.:. núms.: 5 (a) y c)), 6 (a) y c)), 8, 0 (a), c), ), g), i) y k)), (a), c), ), g), i) y k)) Pág.: 6. núms.:, (a), d), g), j), m), o), r), u) y )),, (a) y c)) Pág.: 7. y 8. núms.: 5 (a), c) y )), 6, 9,,5, 8, (a), c) y )) Pág.: 9. núms.:,, 5 Pág.: 0 y. núms.: (a), d), g), j), m), o) y s)), (a) y c)), (a) y c)), (a) y c)), 5 Pág.: 8. núms.:, Pág.: 9. núms.: 7, 0,, 6, 9,, 5, 8 Pág.: 5. núms.: (a) y c)),, 5, 7, 9 Pág.: 5. núms.:,, 5, 7, 9,, Pág.: 70. núms.:,, 5 Pág.: 86. núms.:,, 5, 7, 9 Pág.: 50. núms.:,, 7 Pág.: 50. núms.: 0,, 6, 9,, 5, 8, Pág.: 50. y 50. núms.:, 7, 0,, 6, 7 Pág.: 505. y 506. núms.: 50, 5, 5 Pág.: 507. núms.: 57 (a), c) y )) Pág.: 508. núms.: 60, 6, 6 y 65 Pág.: 56. y 57. núms.:,, 7, 0,, 6 Pág.: 58. y 59. núms.: 9,, 6, 9, Pág.: 56. y 57. núms.:,, 7, 0,, 6, 0 Pág.: 58. núms.:, 7, 0 y 9 FIN DEL PRIMER BIMESTRE Campus Matriz Quito: Burgois N-0 y Rumipamba Tléfonos 6 /58/59 Et. 68/66 Quito Ecuador 7

8 Dpartamnto d Cincias Eactas CÁLCULO INTEGRAL OBJETIVOS ESPECÍFICOS CAPÍTULO II Al finalizar l prsnt capítulo l studiant stará n capacidad d:. Dfinir la intgración como opración invrsa d la drivación. Idntificar las parts d una intgral. Aplicar las rglas básicas d intgración. Aplicar las técnicas d intgración: por sustitución, por parts. 5. Dsarrollar l torma fundamntal dl cálculo intgral 6. Eplicar por mdio d un ára la intgral dfinida como l límit d una suma 7. Aplicar las propidads d la intgral dfinida 8. Aplicar la intgral dfinida a la Arquitctura: ára bajo una curva y ntr dos curvas. CONOCIMIENTOS PREVIOS: Para l dsarrollo dl prsnt capítulo, l studiant dbrá tnr conocimintos d: Concpto intrprtación d la drivada Noción d difrncial Rprsntación gráfica d funcions Ecuacions polinómicas d grado n Concptos básicos d gomtría y trigonomtría CONTENIDO. INTEGRAL INDEFINIDA Antidrivada, primitiva, intgral indfinida. Notación, símbolo, constant d intgración. Propidads básicas d intgración: cálculo d intgrals indfinidas inmdiatas.. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN: Cálculo d intgrals indfinidas por sustitución y cambio d variabls. Intgración por parts y artificios.. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL: Cálculo d intgrals dfinidas: concpto, intrprtación gométrica, ára bajo una curva. Campus Matriz Quito: Burgois N-0 y Rumipamba Tléfonos 6 /58/59 Et. 68/66 Quito Ecuador 8

9 Dpartamnto d Cincias Eactas. APLICACIONES DE LA INTEGRAL Ára ntr curvas: rgions limitadas por dos o más funcions Volúmns d rvolución EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA SER RESUELTOS EN EL AULA. Rsolvr las siguints intgrals: 5 d a. b. d 6 ln d. d. d t dt ln c. t f. d h. a g. ln d ln d i. d j d k. d l. d 5 p. d 5 q. d. Un fabricant ha dcidido qu la función d costo marginal stá dada por: dc dq 0.00q 0.q 0, dond q s l númro d unidads qu s fabrican. Si l costo marginal s US$7.50 cuando q s igual a 50 y los costos fijos son US$5.000, cuál s l costo promdio d laborar 00 unidads.. La función d ingrso marginal d un fabricant s dr dq 000. Si R stá n 00q dólars, obtnr l cambio qu s produc n los ingrsos totals dl fabricant si s aumnta la producción d 00 a 900 unidads.. Rsolvr las siguints intgrals: Campus Matriz Quito: Burgois N-0 y Rumipamba Tléfonos 6 /58/59 Et. 68/66 Quito Ecuador 9

10 Dpartamnto d Cincias Eactas log d a. d b. 0 0 d c. d. d log. Hall a y b tals qu: =b+ a t dt f. 0 d g. 0 d h. ln d 5 i. d 6 j d k. 0 ln d 5. Para cirta población supóngas qu P s una función tal qu P() s l númro d prsonas qu alcanzan la dad n cualquir momnto dl año. A sta función s l dnomina función d la tabla d vida. En condicions apropiadas la intgral: n P ( ) d ; dtrmina l númro sprado d prsonas n la población ntr las dads actas d y (+n) inclusiv. Si P()= , dtrminar l númro d prsonas ntr dads actas d 6 y 6 años, inclusiv. Proporcionar la rspusta al ntro más crcano. 6. Una fábrica dtrmina qu pud producir numáticos a una tasa d: r(t)=000-0.t, dond t s l timpo n años. Suponindo qu la firma trabaja para simpr, cuántos numáticos pud producir? 7. Calcular l ára d la rgión acotada por la curva f()= y las rctas g()= h()= 8 8. Calcular l ára bajo la curva: y=f()= -+, dsd =0 a =. 9. Calcular l ára bajo la curva: y=f()= -, dsd =- a =. 0. Calcular l ára bajo la curva: y=f()=-, dsd =- a =.. Calcular l ára d la rgión limitada por las funcions: f()= -8+ y g()= -5. Campus Matriz Quito: Burgois N-0 y Rumipamba Tléfonos 6 /58/59 Et. 68/66 Quito Ecuador 0

11 Dpartamnto d Cincias Eactas. Calcular l ára ntr las funcions: f()= - y g()= +, dsd =- a =. Encuntr l ára ntr los gráficos d f y g para a b n cada uno d los siguints casos: a) f() = sn ; g() = cos, a = 0 y b = π b) f() = ; g() = -, a = - y b = EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS A SER RESUELTOS POR EL ESTUDIANTE Los siguints jrcicios y problmas corrspondn al tto guía d la asignatura y s rlacionan con l Capítulo II: Pág.: 59. núms.:,, Pág.: 556. núms.: (a), d), g), j), m), o), r) y u)), Pág.: 59. y 595. núms.: (a), d), g), j), m), o), r), u) y )), Pág.: 60. y 60. núms.: (a), d), g), j), m), o), r), u) y )), (a), d) y g)), (a), d), g) y j)) Pág.: 67. y 68. núms.: (a), c), g), j), m), o), r), u) y )), (a), c) y )) y Pág.: 578. núms.: (a), c) y )), Pág.: 58. núms.: (a), c), ), g), i) k)),, Pág.: 587. y 588. núms.: (a), c) y )), (a) y c)) Pág.: 595. núms.: (a), c), ) y g)), Pág.: 60. núms.: 7 b) y 0 Pág.: 657. y 658. núms.: (a), c) y )),, 7, 0,, 7 Pág.: 677. núms.:,, 7, 0,, 7 Pág.: 678. y 679. núms.: 0,, 5, 8 y. FIN DEL SEGUNDO BIMESTRE Campus Matriz Quito: Burgois N-0 y Rumipamba Tléfonos 6 /58/59 Et. 68/66 Quito Ecuador