E. P. E. T. N 20 CUADERNILLO DE MATEMÁTICA TERCER AÑO PROF.: JIMENA CARRAZCO MARÍA ANGÉLICA NETTO

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1 E. P. E. T. N 0 CUADERNILLO DE MATEMÁTICA TERCER AÑO PROF.: JIMENA CARRAZCO MARÍA ANGÉLICA NETTO

2 E. P. E. T. N 0 MATEMÁTICA AÑO Undad N I: Epresones algebracas PROGRAMA DE MATEMÁTICA 0 TERCER AÑO Revsón: operacones con polnomos. Regla de Ruffn. Teorema del resto. Factorzacón de polnomos. Epresones algebracas fracconaras: smplfcacón. Operacones: suma, resta, multplcacón y dvsón. Ecuacones fracconaras de prmer grado. Undad N II: Números reales Revsón de las propedades de la potencacón y la radcacón de números reales. Números rraconales. Etraccón de factores. Reduccón a mínmo común índce. Multplcacón y dvsón de radcales. Suma algebraca de radcales. Raconalzacón de denomnadores. Eponente raconal. Operacones combnadas. Undad N III: Números complejos Necesdad de su creacón. Propedades y gráfco. Formas: cartesana, bnómca, polar y trgonométrca. Representacón gráfca. Operacones: suma, resta, multplcacón y dvsón. Ejerccos y problemas de aplcacón. Undad N IV: Funcones y ecuacones de segundo grado Revsón: funcón lneal: pendente y ordenada al orgen. Representacón gráfca y análss (Domno, Imagen, raíz, crecmento). Ecuacón de segundo grado completa e ncompleta. Ceros o raíces. Propedades de las raíces. Reconstruccón de la ecuacón de segundo grado. Ecuacón factorzada. Problemas de aplcacón. Funcón de segundo grado: gráfca. Formas polnómca, factorzada y canónca. Pasaje de una forma a otra. Coordenadas del vértce. Raíces reales y complejas. Domno e magen. Eje de smetría. Parámetros. Intervalos de crecmento. Interseccón con otras funcones. Problemas de aplcacón. Undad N V: Matrces Defncón. Tpos de matrces. Operacones y propedades. Matrz dempotente. Trasposcón de matrces. Determnantes. Regla de Cramer. Problemas de aplcacón. Undad N VI: Funcón eponencal y logarítmca Logartmacón: defncón. Propedades: logartmo de: producto, cocente, potenca y raíz. Ecuacones eponencales y logarítmcas. Problemas de aplcacón. Estudo de la funcón eponencal y logarítmca: análss y gráfco. Undad N VII: Funcones trgonométrcas Funcones trgonométrcas: ampltud, período, ángulo de fase, ceros, domno, magen. Representacón gráfca de las funcones: seno, coseno y tangente. Resolucón de trángulos oblcuángulos. Problemas de aplcacón. Págna de

3 E. P. E. T. N 0 MATEMÁTICA AÑO EXPRESIONES ALGEBRAICAS ) Sacar factor común: a) + b) 7 + c) ) Descubran cuales de las sguentes epresones algebracas son dferencas de cuadrados y a las que lo sean eprésenlas como producto de la suma por la dferenca de las bases: a) = b) 9 = c) 9 0 = d) + 9 = e) + 8 = ) Epresen los sguentes trnomos como cuadrados de bnomos cuando sea posble: a) + + = b) 9 = c) 8 + = d) = Suma y resta de potencas de gual eponente: P () = n a n Dvsor/es n mpar n + a n ( + a) n - a n ( - a) n par n - a n ( + a) ( + a) n + a n No tene dvsores de la forma ( a) ) Tenendo en cuenta la tabla anteror factoreen los sguentes polnomos: a) P () = 7 + = b) P () = = c) P () = - = d) P() = - = 8 e) P () = 8 + ) Factorcen los sguentes polnomos: Págna de

4 E. P. E. T. N 0 MATEMÁTICA AÑO Págna de a) = b) + = c) = d) = e) + + = f) = g) + = h) + = ) 9 + = j) + = k) 7 = l) - + = m) 8 00 = n) + = o) = p) + = q) m + 9m n + 8m n + 8n r) m 8 y s) 0y + y t) ( y) ( y) + u) + ) Smplfca las sguentes epresones: a) 8 = b) = c) = 7) Resuelve las sguentes epresones algebracas: a) b) c) d) + = e) 0 f) g) 8 0 h) ) 9 9 j) k) l) 9

5 E. P. E. T. N 0 MATEMÁTICA AÑO 8) Indquen la condcón de estenca y resuelvan las sguentes ecuacones: a) + = b) + = 0 c) = d) = e) = f) = NÚMEROS IRRACIONALES ) Completar la sguente tabla: - 0 π ) Etraer factores del radcal: ) Resolver las sguentes sumas y restas: a) a) b) b) c) c) d) d) e) e) f) f) 0, g) = g) h) h) ) Resolver las sguentes multplcacones y dvsones de radcales: a). f).. = b) : c). = g). : = d). = e). = h) ( + ) : = Págna de

6 E. P. E. T. N 0 MATEMÁTICA AÑO ) Raconalzar los denomnadores: a) = e) = b) = f) = c) = g) = d) = h) = ) Resolver: a) ( ) = d) ( ).( - ) = b) ( + )² = e) ( - )³ = c) ( )² = 7) Hallar el valor del perímetro y de la superfce de un rectángulo dadas las meddas de sus lados en cm: Base: - Altura: + 8) Resolver aplcando propedades de la potencacón: a) :. = b) : 0 : = c).. = d). : (. )² = e)... = 9) Calcular el valor del perímetro y de la superfce de un trángulo sósceles sabendo que la base es de cm y cada uno de los lados guales mden cm. NÚMEROS COMPLEJOS ) Epresar los sguentes números complejos en forma bnómca, trgonométrca y polar: Representar gráfcamente. a) Z = ( ; ) b) Z = ( ; -) c) Z = (- ; ) d) Z = e) Z = ( ; ) f) Z = ) Calcular las sguentes sumas algebracas: a) ( + ) + ( +) = b) ( ) + = c) + (- + ) = Págna de

7 E. P. E. T. N 0 MATEMÁTICA AÑO Págna 7 de d) ( ) + ( + ) = e) ( ) ( + ) = f) ( + ) ( ) = g),, h) ) j) 8 k) ) Calcular los sguentes productos: a) ( ) (- + ) = b) ( + ) (- ) = c) d) e) f) g) 8 9 h) ) j) ) Calcular los sguentes cocentes: a) b) c) d) = e) f) g) h) ) j) k)

8 E. P. E. T. N 0 MATEMÁTICA AÑO ) Calcular las sguentes potences: a) b) c) d) 7 9 e) 0 0 f) = g) 0 9 ) Resuelve las sguentes epresones: a) b) c) d) 7) Hallar el valor de C que satsface las sguentes ecuacones: a) 0 b) 8 c) d) ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO ) Identfquen según la gráfca cual es la epresón correspondente a) y b) y y y y y y y Págna 8 de

9 E. P. E. T. N 0 MATEMÁTICA AÑO ) Representen la curva y señalen en el gráfco el vértce y el eje de smetría de cada una de las sguentes funcones cuadrátcas: a) f b) f GRÁFICA DE LA PARÁBOLA ) Completen las sguentes oracones correspondentes a la gráfca y a) Los coefcentes de los térmnos de la funcón son a =... b =... c =... b) El vértce de la parábola es el punto... c) El eje de smetría de la parábola es la recta... d) La ordenada al orgen de la funcón es el punto... e) Las raíces de la funcón son... y... ) Completen el sguente cuadro: Funcón a b c Raíces Vértce Eje smetría de Ordenada al orgen a) y 9 b) y c) y ) Representa gráfcamente las parábolas del ejercco anteror con los datos obtendos apromadamente. ) Hagan los cálculos necesaros y completen el cuadro: Págna 9 de

10 E. P. E. T. N 0 MATEMÁTICA AÑO Forma polnómca Forma factorzada A b c f () - g - - h (-) (+) 7) Hallen la epresón de la funcón de segundo grado que cumple con las condcones peddas en cada caso y grafíquenla: a) Su gráfco pasa por el punto ( ; -); su eje tene ecuacón = - y la ordenada del vértce es. b) El vértce es el punto ( ; ) y su ordenada al orgen es. c) Una raíz es y la otra es 0. El vértce es ( ; -). 8) Hallen la epresón polnómca de la funcón de segundo grado que cumple con las condcones ndcadas en cada caso. a) La suma de sus raíces es ; el producto de ambas es y tene ordenada al orgen. b) La ordenada al orgen es ; la suma de las raíces es y el producto. c) El coefcente prncpal es ; la suma de raíces es y el producto es 0. MÁXIMOS Y MÍNIMOS 9) Completen las frases que fguran debajo de cada uno de los gráfcos: a) b) Págna 0 de

11 E. P. E. T. N 0 MATEMÁTICA AÑO La funcón alcanza un...en = ; La funcón alcanza un...en = -; Crece en el ntervalo... y Crece en el ntervalo... y Decrece en el ntervalo... Decrece en el ntervalo... 0) Los ngresos mensuales de un fabrcante de zapatos están dados por la funcón I. 000z z, donde z es la cantdad de pares de zapatos que fabrca en el mes. Realcen el gráfco apromado de la funcón y respondan. a) Qué cantdad de pares debe fabrcar mensualmente para obtener el mayor ngreso?. b) Cuáles son los ngresos s se fabrcan pares de zapatos?. Y 7 pares?. c) A partr de qué cantdad de pares comenza a tener pérddas?. ) En el crco Mundo Rodante actúa el malabarsta Evarsto. La fórmula que permte calcular la altura en funcón del tempo que alcanzan los objetos que lanza Evarsto en su número es: Dt, t, t 0, 7, (donde D es la altura medda desde el pso, en metros, y t es el tempo, en segundos, tomado a partr del nstante en el que el objeto es lanzado). a) Confecconen el gráfco de la funcón. b) Busquen las coordenadas del vértce. c) Cuál es la altura máma alcanzada por los bolos que lanza Evarsto?. d) Desde qué altura son lanzados?. ) La empresa Santagueña S.A. es una mportante productora de cestos de mmbres del mercado naconal. El costo promedo (en $) por undad al producr una cantdad de cestos es C 0 0, 0 0, 000. a) Qué número de cestos producdos mnmzaría el costo promedo?. b) Cuál sería el costo promedo s se produjera dcha cantdad?. ) Cuál es el tempo empleado por un móvl anmado con M.U.A. para recorrer 0 m, s parte con una velocdad ncal de V 0 cm/seg y se mueve con una aceleracón 0 de cm/seg. La fórmula para calcular la dstanca en el M.U.A. es: d V 0 t a. t ) Cuánto tarda un móvl, anmado con M.U.A., en adqurr una velocdad ( V f = velocdad fnal) de m/seg, s parte con una velocdad ncal ( 0 V ) de m/seg y se mueve con una aceleracón ( a ) de 0, m/seg. La fórmula de la aceleracón es: Págna de

12 E. P. E. T. N 0 MATEMÁTICA AÑO V f v0 a. Además calcular la dstanca que recorre en ese tempo. Usa la fórmula t del ejercco anteror. ) Observen las gráfcas y completen el cuadro: Dom: Im: Raíces: a = Vértce: Ordenada al orgen: Má ó Mn: Crec: y Decrec: C+ y C- Forma factorzada, polnómca y canónca. Dom: Im: Raíces: a = Vértce: Ordenada al orgen: Má ó Mn: Crec: y Decrec: C+ y C- Forma factorzada, polnómca y canónca. Págna de

13 E. P. E. T. N 0 MATEMÁTICA AÑO ECUACIÓN POLINÓMICA, CANÓNICA Y FACTORIZADA ) Epresen cada una de las sguentes funcones en la forma que se pde: a) f en forma canónca f en forma polnómca b) c) f en forma polnómca d) f en forma canónca 7) Escrban las sguentes funcones en la forma más convenente, de acuerdo con los datos dados y luego hallen las epresones polnómcas de cada una. a) El vértce es (- ; -) y el coefcente prncpal es a =. b) Las raíces son y el coefcente prncpal es c) El vértce es (- ; ) y pasa por el punto (0 ; 7) d) Corta al eje X en ( ; 0) y ( ; 0) y pasa por el punto ( ; ). RAÍCES 8) Resuelvan las sguentes ecuacones de º grado: a) 0 0 b) 7 c) 8 7 d) 9 f e) f 9 f) y POSICIONES RELATIVAS DE LA PARÁBOLA CON RESPECTO AL EJE DE LAS ABSCISAS. USO DEL DISCRIMINANTE 9) Completen con >, < ó =, según corresponda en cada caso: a) 0 b) 0 c) 0 Págna de

14 E. P. E. T. N 0 MATEMÁTICA AÑO 0) Calculen el valor del dscrmnante y marquen con una X el tpo de raíces de f a b c a B c b ac Raíces reales guales a) - - b) c) - - d) 0 - Raíces reales dstntas No tene raíces reales e) ) Sn calcular sus raíces, ndquen el número de solucones reales (dos, una o nnguna) de cada una de las sguentes ecuacones: a) 0 b) 0, 0 0 c) 9 0 d) 0 e) 0 f) 9 0 Págna de