MATE Dr. Pedro Vásquez UPRM. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 23
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- Gabriel Revuelta Rodríguez
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1 Dr. Pedro Vásquez UPRM P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 23
2 Cómo la derivada afecta la forma de una grá ca? En muchas de las aplicaciones del cálculo depende de nuestras destrezas para deducir situaciones acerca de una función desde la información relacionada a su derivada. Recuerde f 0 (x) representa la pendiente de la grá ca de la curva y = f (x) en el punto (x, f (x)). Es razonable que f 0 (x) provea información a cerca de f (x). Qué dice f 0 acerca de f? Entre los puntos A y B y entre C y D las rectas tangentes tienen pendientes positivas, i.e., f 0 (x) > 0 Entre los puntos B y C las rectas tangentes tienen pendientes negativas, i.e., f 0 (x) < 0 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 2 / 23
3 De acuerdo a lo anterior, se observa que f crece cuando f 0 (x) es positiva y f decrece cuando f 0 (x) es negaitiva. Prueba de creciente y decrecciente a. Si f 0 (x) > 0 en un intervalo, entonces f es creciente en ese intervalo. b. Si f 0 (x) < 0 en un intervalo, entonces f es decreciente en ese intervalo. Prueba P. Vásquez (UPRM) Conferencia 3 / 23
4 Recuerde, de la sección 4.1, si f tiene un máximo o mínimo local en c, entonces c debe ser un número crítico de f (por el teorema de Fermat), además no todo número crítico representa un máximo o mínimo, ejemplo f (x) = x 3, c = 0 es un número crítico, pero la función no alcanza ni mínimo ni máximo local en 0. Prueba de la primera derivada Suponga que c es un número crítico de una función f : a. Si f 0 cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo local en c. b. Si f 0 cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo local en c. c. Si f 0 no cambia de signo en c, entonces f no tiene ni máximo ni mínimo local en c. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 4 / 23
5 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 5 / 23
6 Ejemplos 1. Si f (x) = 4x 3 + 3x 2 6x + 1, halle los máximos y mínimos locales de f P. Vásquez (UPRM) Conferencia 6 / 23
7 Qué dice f 00 acerca de f? P. Vásquez (UPRM) Conferencia 7 / 23
8 Al observar la grá ca 5, ambas son funciones crecientes entre A y B, sin embargo parecen diferentes porque se doblan en diferentes direcciones. En la gura 6a, las rectas tangentes están debajo de la curva, y se le llama cóncava hacia arriba y en 6 b, las rectas tangentes están sobre la curva y se le llama cóncava hacia abajo. De nición: Si la grá ca de f está sobre todas las rectas tangentes en un intervalo I, entonces se dice que es cóncava hacia arriba en I. Si la grá ca de f está bajo todas las rectas tangentes en un intervalo I, entonces se dice que es cóncava hacia abajo en I. En 6a, si se observa de izquierda a derecha, las pendientes de las rectas tangentes aumentan, lo que signi ca que la derivada de f 0 está aumentando y por lo tanto su dervada f 00 es positiva. En 6b, si se observa de izquierda a derecha, las pendientes de las rectas tangentes disminuyen, lo que signi ca que la derivada de f 0 está decreciendo y por lo tanto su dervada f 00 es negativa. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 8 / 23
9 Prueba de concavidad: MATE 3031 a. Si f 00 (x) > 0 para todo x en I, entonces la grá ca de f es cóncava hacia arriba en I. b. Si f 00 (x) < 0 para todo x en I, entonces la grá ca de f es cóncava hacia abajo en I. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 9 / 23
10 De nición: Un punto P sobre una curva y = f (x) es llamado un punto de in exión si f es continua en c y la curva cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba en P. Prueba de la segunda derivada: a. Si f 0 (c) = 0 y f 00 (x) > 0, entonces f tiene un mínimo local en c. b. Si f 0 (c) = 0 y f 00 (x) < 0, entonces f tiene un máximo local en c. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 10 / 23
11 2. Ejercicio 2 pág. 297 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 11 / 23
12 3. Ejercicio 6 pág. 297 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 12 / 23
13 4. Ejercicio 8 pág. 298 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 13 / 23
14 5. Ejercicio 12 pág. 298, f (x) = x x P. Vásquez (UPRM) Conferencia 14 / 23
15 6. Ejercicio 14 pág. 298, f (x) = cos 2 x 2 sin x, 0 x 2π P. Vásquez (UPRM) Conferencia 15 / 23
16 7. Ejercicio 19 pág. 298, f (x) = 1 + 3x 2 2x 3 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 16 / 23
17 8. Ejercicio 26 pág. 298, trace la grá ca de la función que satisface: f 0 (1) = f 0 ( 1) = 0, f 0 (x) < 0 si jxj < 1; f 0 (x) > 0 si 1 < jxj < 2, f 0 (x) 1 si jxj > 2 f 00 (x) < 0 si 2 < x < 0, punto de in exión en (0, 1) 4 y P. Vásquez (UPRM) Conferencia 3 17 / 23
18 9. Ejercicio 32 pág. 299, P. Vásquez (UPRM) Conferencia 18 / 23
19 10. Ejercicio 40 pág. 299, G (x) = 5x 2/3 2x 5/3 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 19 / 23
20 11. Ejercicio 46 pág. 299, f (x) = x 2 4 x P. Vásquez (UPRM) Conferencia 20 / 23
21 12. La familia de curvas en forma de campanas: y = 1 σ p (x µ) e 2 /(2σ 2 ) 2π se dan en probabilidad y estadística, donde se le llama la función de densidad normal. La constante µ es la media y la constante positiva σ se le llama la desviación constante. Para simplicidad se escala la función y 1 se remueve el factor σ p y se analiza el caso especial µ = 0. Entonces 2π se estudia la función: y = e x 2 /(2σ 2 ) a. Halle la asíntota, el valor máximo y el punto de in exión de f. b. Qué papel juega σ en la forma de la curva? P. Vásquez (UPRM) Conferencia 21 / 23
22 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 22 / 23
23 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 23 / 23
Una función f, definida en un intervalo dterminado, es creciente en este intervalo, si para todo x
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