FRACCIONES ALGEBRAICAS. Matemáticas 3º ESO
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- Natividad Muñoz Rivero
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1 FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 3º ESO
2 1. Fracciones algebraicas valor numérica Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos polinomios, el denominador debe ser un polinomio no nulo. Ejemplos de fracciones algebraicas P(x) = 5x +1 x 3 1 Q(x) = x +1 x 2 + y
3 2. Valor numérico de una fracción algebraica. El valor numérico de una fracción algebraica se calcula sustituyendo las variables por números y realizando luego las operaciones. Fracción algebraica A(x) = 2x 5 x 2 1 B(x) = x +1 2x + 6 C(x) = x + 3 x 2 9 x=-3 A( 3) = 2( 3) 5 ( 3) 2 1 B( 3) = 3+1 2( 3) + 6 C( 3) = ( 3) 2 9 Valor numérico A( 3) = 11 8 B( 3) = 2 0 C( 3) = 0 0 NO EXISTE NO EXISTE
4 3. Simplificación de fracciones Dos fracciones algebraicas son equivalentes si el producto de sus medios es igual al producto de sus extremos. EJERCICIO a a c b b d c MEDIOS EXTREMOS a d = b c d
5 EJEMPLO Comprueba si las siguientes parejas de fracciones son equivalentes. x 2 x 2 2x 2x 2x 4 3x 3 x 3 x 3 x EXTREMOS x 2 (2x 4) = 2x 3 4x 2 MEDIOS 2x(x 2 2x) = 2x 3 4x 2 x 2 (2x 4) = 2x 3 4x 2 SON EQUIVALENTES EXTREMOS (3x 3) x = 3x 2 3x MEDIOS (x 3 x) 3 = 3x 3 3x 3x 2 3x 3x 3 3x NO SON EQUIVALENTES
6 Simplificación de fracciones con números enteros Cuando estudiasteis fracciones con números enteros aprendisteis que Si se multiplican o dividen el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número distinto de cero, se obtiene otra fracción equivalente simplificar amplificar : 3 : 4 2 7
7 Simplificar fracciones algebraicas Si establecemos una equivalencia con las fracciones algebraicas: Para simplificar fracciones algebraicas se divide el numerador y denominador por un mismo polinomio no nulo simplificar amplificar 3x 2 2 x 5 15x 3 10x 5x 2 25x 30x 4 20x 2 10x 3 50x 2 30x 5 30x 4 20x x 2 10x 4 60x x 2 : 5x 2x (x 1)
8 Simplificación de fracciones con números enteros Las fracciones con números enteros se simplificaban descomponiendo numerador y denominador para buscar los factores comunes. De la misma forma en fracciones algebraicas tenemos que factorizar numerador y denominador para buscar los factores que se repiten en numerador y denominador.
9 Simplificación FRACCIÓN CON ENTEROS = = = 2 21 Tachar los dos cincos corresponde con la operación de dividir entre 5 numerador y denominador Lo que estamos haciendo es aprovechar que numerador y denominador están factorizados para realizar la simplificación. FRACCIÓN CON POLINOMIOS (FRACCIÓN ALGEBRAICA) (x 2 1) (x +1) = (x 1) (x +1) (x +1) = (x 1)
10 EJEMPLO Factorizamos el denominador: 1 x 4 x 3 9x 2 + 9x x(x 3 x 2 9x + 9) x 5 3x 4 x 3 + 3x 2 x 4 x 3 9x 2 + 9x Factorizamos el numerador: 1 x 5 3x 4 x 3 + 3x 2 x 2 (x 3 3x 2 x + 3)
11 EJEMPLO (continuación) x 5 3x 4 x 3 + 3x 2 x 4 x 3 9x 2 + 9x = x x (x 1)(x +1)(x 3) x(x 1)(x 3)(x + 3) = = x (x +1) x + 3 = x 2 + x x + 3 Esta fracción, que no podemos simplificar más, es la fracción irreducible
12 EJERCICIO 9 (Pág. 111) Comprueba si son equivalentes las siguientes fracciones: (x +1)(x 2 x) = x 3 x 2 + x 2 x = x 3 x x (x 2 x) = x 3 x Las fracciones son equivalentes.
13 EJERCICIO 10 (Pág. 111)
14 EJERCICIO 11 (Pág. 111)
15 EJERCICIO 12 (Pág. 111)
16 EJERCICIO 13 (página 111) x 2 + x x +1
17 x = 3 12x12 =144u 2 12 = = 3+1 4x4 =16u 2 x 2 + x x +1 Hemos concluido antes que cabían x 2 cuadritos dentro del cuadrado grande. En este caso x=3 luego deberían caber 3 2 =9 cuadritos Dado que cada cuadradito tiene 16 u 2 de superficie y el cuadrado grande tiene 144u 2 el cálculo no los daría la relación: 144u 2 16u 2 = 9
18 Simplificación de fracciones con números enteros Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador se suman o restan los numeradores y se deja el denominador común SUMA DE FRACCIONES 3x 1 x x +1 x 3 2 = 3x 1 2x +1 x 3 2 = x x 3 2 RESTA DE FRACCIONES 3x 1 x 3 2 2x +1 x 3 2 = 3x 1+ 2x 1 x 3 2 = 5x 2 x 3 2
19 Suma y diferencia de fracciones algebraicas Para sumar o restar dos fracciones algebraicas con diferente denominador se expresan previamente las fracciones con el mismo denominador y después se opera como en el caso anterior.
20 Vamos a establecer un paralelismo entre fracciones de números enteros y fracciones algebraicas Fracción A Fracción B 3 16 Descomposición factorial de los denominadores: Numerador A ( 112 :16) 3 = 21 Numerador B ( 112 :14) 5 = = = 2 7 mcm(16,14) =
21 Fracción A 2x 1 x 2 1 = 2x 1 ( x 1) ( x +1) Descomposición factorial de los denominadores: ( x 1) ( x +1) ( x 1) ( x +1) Fracción B x 2 3 x 1 x 2 1 = (x 1) (x +1) x 1 ( Numerador A (x 2 1) : (x 2 1) ) (2x 1) = 2x 1 Numerador B ((x 2 1) : (x 1) ) (x 2 3) = (x +1) (x 2 3) = x 3 + x 2 3x 3 2x 1 x 3 + x 2 3x 3 + = x 3 + x 2 x 4 x 1 ( )( x +1)
22 EJERCICIO 16 (página 112)
23 EJERCICIO 17 (página 112)
24 EJERCICIO 18 (página 112)
25 EJERCICIO 19 (página 112)
26 4. Producto y cociente de fracciones algebraicas Al multiplicar fracciones algebraicas se obtiene una nueva fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores. A(x) B(x) C(x) D(x) = A(x) C(x) B(x) D(x)
27 División de fracciones algebraicas Para dividir dos fracciones algebraicas se multiplica la primera por la inversa de la segunda. A(x) B(x) : C(x) D(x) = A(x) B(x) D(x) C(x) = A(x) D(x) B(x) C(x)
28 EJERCICIO 22 (página 113)
29 EJERCICIO 23 (página 113)
30 EJERCICIO 24 (página 113)
31 EJERCICIO 25 (página 113)
32 EJERCICIO 25 (página 113)
33 EJERCICIO 43
34 EJERCICIO 44
35 EJERCICIO 45
36 PROBLEMA 85 Hassan vive en un pequeño poblado de Marruecos y le separan de la escuela tres campos de cultivo de trigo, avena y centeno, como indica la figura. Cuál es la expresión algebraica que hace mínimo el trayecto recorrido por Hassan para llegar a la escuela?
37 La diagonal que va desde el punto Poblado hasta el punto Escuela es la que hace mínimo el trayecto. D = (100 + y) 2 + (x + y) 2
38 PROBLEMA 86
39
40 PROBLEMA 88
41 PROBLEMA 89 Partiendo de un rectángulo dado se obtiene otro rectángulo duplicando la longitud de ambos lados. La longitud de la diagonal del nuevo rectángulo también es el doble? Razona la respuesta.
42 EJERCICIO x 4-13x 3 +47x 2-35x x 3-11x 2 +35x-25 3a 2 a 2 9 5a 2a a + 3 Solución x 2 7x x 5 Solución 11a 2 +17a 6 2a 2 18
43 Calcula el valor de las siguientes fracción algebraica para x=-1 y=+2 x 4 -x 2 1 x 3 y 3 2 = Opera A) 2x x 1 1 x x 2 2x +1 = C) " $ t 1 # t 2 % & ' " $ 2t 2 1 # t 2 % ' = & B) 2 z z 4 16 z z 2 1 = D) z3 2z 2 4z z 2 5z : z2 + 2z + 4 z 2 7z +10 = B) D)
44 EJERCICIO 85
45
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