Vectores aleatorios (distribuciones multivariantes)

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1 Vectores aleatorios (distribuciones multivariantes) Tema 9. Distribución conjunta de un vector aleatorio. Distribuciones marginales y condicionadas Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III Objetivos Manejar vectores aleatorios y funciones de distribución y densidad conjuntas. Obtener distribuciones marginales y condicionadas a partir de la conjunta. Obtener la distribución de una transformación de un vector aleatorio. Manejar la distribución normal multivariante.. Distribución conjunta de un vector aleatorio. Distribuciones marginales y condicionadas Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 3 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 4

2 Distribución conjunta de un vector aleatorio Dadas e Y dos variables aleatorias definidas sobre el mismo espacio muestral E, la aplicación (,Y):E IR es un vector aleatorio bidimensional. La distribución de probabilidad que describe simultáneamente el comportamiento de e Y se llama distribución de probabilidad conjunta. Función de distribución conjunta Dado un vector aleatorio (,Y) y dados x,y IR, la función de distribución conjunta de (,Y) evaluada en (x,y) se define como F,Y (x,y) = P( x, Y y) = P(( x) (Y y)) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 5 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 6 Vectores aleatorios discretos Dadas e Y dos variables aleatorias discretas, el vector aleatorio (,Y) será discreto y tiene función de probabilidad conjunta p(x,y) = P( = x, Y = y). Tenemos:. p(x,y) 0. Σ x Σ y p(x,y) = Función de distribución conjunta F(x 0,y 0 ) = P( x 0, Y y 0 ) = Σ x x0 Σ y y0 p(x,y) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 7 Distribución Multinomial Dado un experimento aleatorio con k resultados posibles, de tal modo que la probabilidad de cada resultado p, p,, p k se mantinene constante, un vector aleatorio (,,, k ) sigue distribución multinomial si cada i representa el número de veces que ocurre el resultado i-ésimo en n experimentos independientes. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 8

3 Distribución Multinomial Dados 0 x,x,,x k n y 0 p,p,,p k con x +x + +x k = n y p +p + +p k =. Si (,,, k ) sigue distribución multinomial, tenemos n! x x P ( = x, = x,..., k = xk ) = p p... p x! x!... x! k k x k Vectores aleatorios continuos Dadas e Y dos variables aleatorias continuas, el vector aleatorio (,Y) será continuo y tiene función de densidad conjunta f(x,y) que satisface. f(x,y) 0 ;. f(x,y) =. Función de distribución conjunta x F(x 0,y 0 ) = P( x 0, Y y 0 ) = 0 y 0 f(x,y) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 9 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 0 Vectores aleatorios continuos Tenemos que P(a b, c Y d) = b a d c f(x,y) Y además f(x,y) = F(x,y)/ x y. Distribución conjunta de un vector aleatorio. Distribuciones marginales y condicionadas Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

4 Distribuciones marginales Distribuciones marginales A la distribución de cada variable de las que componen un vector aleatorio se le denomina distribución marginal. Dado el vector aleatorio (,Y) podemos hablar, por tanto, de la distribución marginal de y de la distribución marginal de Y. Variables discretas. Dadas e Y con función de probabilidad conjunta p(x,y), las funciones de probabilidad marginales de ambas variables son p (x) = P(=x) = Σ y P(=x,Y=y) = Σ y p(x,y) p Y (y) = P(Y=y) = Σ x P(=x,Y=y) = Σ x p(x,y) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 3 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 4 Distribuciones marginales Distribuciones condicionadas Variables continuas. Dadas e Y con función de densidad conjunta f(x,y), las funciones de densidad marginales de ambas variables son f (x) = + f(x,y) Dado el vector aleatorio (,Y) podemos construir la distribución de probabilidad de una variable (por ejemplo ) condicionada a que la otra tome un valor fijo (Y = y 0 ). f Y (y) = + f(x,y) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 5 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 6

5 Distribuciones condicionadas Distribuciones condicionadas Variables discretas. Si la función de probabilidad conjunta de (,Y) es p(x,y), la función de probabilidad de Y condicionada a = x 0 con p (x 0 ) > 0 viene dada por p(y x 0 ) = p(x 0,y)/p (x 0 ) = P(=x 0,Y=y)/P(=x 0 ) Variables continuas. Si la función de densidad conjunta de (,Y) es f(x,y), la función de densidad de Y condicionada a = x 0 viene dada por f(y x 0 ) = f(x 0,y)/f (x 0 ) si f (x 0 ) >0. En general, para cualesquiera x e y tenemos p(x,y) = p(y x)p (x) En general tenemos f(x,y) = f(y x)f (x) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 7 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 8. Distribución conjunta de un vector aleatorio. Distribuciones marginales y condicionadas Variables aleatorias independientes Dos variables aleatorias e Y se dicen independientes si el conocimiento del valor que toma una, no nos aporta información sobre el valor que tomará la otra. Para cualesquiera A,B IR, P(( A) (Y B)) = P( A)P(Y B) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 9 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 0

6 Variables aleatorias independientes Variables aleatorias discretas. Indep. si. p(y x) = p Y (y) para cualesquiera x,y o bien. p(x y) = p (x) para cualesquiera x,y o bien 3. p(x,y) = p(x y)p Y (y) = p (x)p Y (y) para x,y. Variables aleatorias continuas. Indep. si. f(y x) = f Y (y) para cualesquiera x,y o bien. f(x y) = f (x) para cualesquiera x,y o bien 3. f(x,y) = f(x y)f Y (y) = f (x)f Y (y) para x,y.. Distribución conjunta de un vector aleatorio. Distribuciones marginales y condicionadas Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III Características de un vector aleatorio Esperanza. El vector de medias de es el vector cuyas componentes son las esperanzas de cada componente de E[ E[ E[ ] = M E[ ] ] ] Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 3 n Características de un vector aleatorio Covarianza. La covarianza mide la relación lineal entre dos variables, Cov(,Y) = E[( E[])(Y E[Y])] Propiedades:. Cov(,Y) = E[Y] E[]E[Y] ;. si e Y son independientes, Cov(,Y) = 0 ; 3. Cov(,Y) = 0 no garantiza que e Y sean independientes ; 4. Cov(a+b,cY+d)=acCov(,Y). Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 4

7 Características de un vector aleatorio Correlación. La correlación también es una medida de la relación lineal entre dos variables Propiedades: ρ(, Y ) = Cov(, Y ) Var[ ]Var[ Y ]. si e Y son independientes, ρ(,y) = 0 ;. ρ(,y) = 0 no garantiza e Y independientes ; 3. ρ(,y) ; 4. ρ(,a+b) =. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 5 Características de un vector aleatorio M Matriz de varianzas y covarianzas. M Var[ ] Cov(, ) = M Cov( n, ) = E[( µ )( µ ) Cov( Var[ Cov(,, Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 6 M n ] ) ) t ] L Cov(, n) L Cov(, n) O M L Var[ ] n. Distribución conjunta de un vector aleatorio. Distribuciones marginales y condicionadas Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 7 Transformacionesdevectoresaleatorios Dado el vector aleatorio =(,,, n ) con función de densidad conjunta f (x,x,,x n ), lo transformamos en otro vector aleatorio Y=(Y,Y,,Y n ) con la misma dimensión Y = g (,,, n ) Y = g (,,, n ) Y n = g n (,,, n ) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 8

8 Transformacionesdevectoresaleatorios de tal modo que existan transformadas inversas. La función de densidad conjunta de Y será, fy ( y, K, yn) = f ( g ( y, K, yn)) donde = M Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 9 n L O L M n n n Transformacionesdevectoresaleatorios Convolución. Si e Y son variables aleatorias independientes con funciones de densidad f (x) y f Y (y), la función de densidad de Z=+Y es f Z + ( z) = f ( z x) f ( x) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 30 Y Transformacionesdevectoresaleatorios Transformaciones lineales. Dado un vector aleatorio n-dimensional y A una matriz m ndimensional, el vector aleatorio Y = A (m-dimensional) cumple E[Y] = E[A] = AE[] M Y = E[(A AE[])(A AE[]) t ] = AM A t Transformacionesdevectoresaleatorios Transformaciones lineales. Dado un vector aleatorio n-dimensional y u un vector en IR n, la variable aleatoria Y= u t cumple E[Y] = E[u t ] = u t E[] Var[Y] = Var[u t ] = u t M u E[u +u ] = u E[ ] +u E[ ] Var[u +u ] = u t M u = u Var[ ]+u Var[ ]+u u Cov(, ) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 3 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 3

9 . Distribución conjunta de un vector aleatorio. Distribuciones marginales y condicionadas Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 33 Distribución Normal bivariante Decimos que un vector aleatorio sigue distribución normal bivariante con vector de medias (µ,µ )ymatrizde varianzas y covarianzas Σ si tiene función de densidad f ( x ) = π Σ exp ( x µ x µ ), x /, σ ρσ σ si Σ =, ρσ σ σ exp x x µ µ πσ σ ρ ρ σ σ σ σ Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 34 x µ ( ) x µ x µ x µ + ρ Σ entonces Distribución Normal bivariante Las marginales de una distribución Normal bivariante son normales unidimensionales, ~N(µ,σ ) y ~N(µ,σ ). Distribución Normal bivariante rho=0, sigma=sigma rho=0, sigma), sigma= rho=0.8, sigma=sigma rho=-0.8, sigma=sigma La correlación ρ controla el grado de dependencia lineal entre ellas Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 36

10 Distribución Normal bivariante Propiedades. Dado (, ) un vector aleatorio normal con vector de medias (µ,µ ) y matriz de varianzas y covarianzas σ ρσ σ Σ = ρσ σ σ. si ρ = 0 entonces y son independientes ;. dados a,a IR, a +a es normal ; 3. =x es normal y =x es normal. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 37

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