Teóricas de Análisis Matemático (28) Práctica 9 Integrales. Tal como vimos en la introducción al curso este problema tiene una formulación elemental:

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1 Teórcs de Aálss Mtemátco (8) Práctc 9 Itegrles Práctc 9 Prte Itegrles El prolem de clculr áres y volúmees permecó estcdo, s progresos sgctvos durte cs 000 ños. E el sglo XVII Newto y Lez dero comezo l sstemtzcó y l desrrollo del cálculo derecl e tegrl que permtero elzr, e u cuerpo de pesmeto, l dervd y l tegrl y cosegur sí procedmetos ecces y mejles pr estudr dversos eómeos de l turlez. L tegrl, juto co l dervd, se costtuyó e u herrmet poderos pr epresr y clculr dversos coceptos de l cec. El áre ue el prmero de tod u sere de plccoes y os servrá pr troducr este mportte cocepto.. Itroduccó. El prolem del áre Tl como vmos e l troduccó l curso este prolem tee u ormulcó elemetl: A Dd u regó como l de l gur, socrle u úmero A que represete el áre de l msm e lgu udd de medd Este prolem será sólo u motvcó pr der el cocepto de tegrl que es mucho más rco que u herrmet pr clculr áres de regoes más o meos complcds. E eecto, modo de ejemplo, cosderemos l sguete stucó: kw Ejemplo: El gráco represet l potec, e kw (klovtos) que se está empledo e cd stte e u tller co mqur lo lrgo de u dí Como se puede oservr, l ctvdd comez por ls 4 de l mñ, tee su myor tesdd etre el medodí y ls 8hs y prtr de llí ce hst que ls Tempo e hors Áre de Mtemátc Cclo Básco Comú Uversdd de Bueos Ares

2 Teórcs de Aálss Mtemátco (8) Práctc 9 Itegrles hs vuelve ser mím ( kw promdmete) que puede represetr ls máqus que qued ucodo durte l oche hst l mñ sguete. El áre de l regó somred jo l curv represet el cosumo de eergí durte todo el dí. Es u ue mometo pr hcer los ejerccos y de l Práctc.. L de de Arquímedes Como lo hemos hecho e vrs ocsoes e este curso, resolveremos u prolem más ácl pr después plcr ls des desrrollds l prolem geerl. Cocretmete, cosderremos u ucó cotu y postv e el tervlo [, ]. Nos propoemos der y clculr el áre compredd etre el gráco de l ucó y el eje A Seguremos ls msms des que Arquímedes desrrolló pr clculr el áre del trágulo prólco hce más de 300 ños: Apromcó por eceso Se tpz l regó A co rectágulos. L sum de ls áres de estos rectágulos prom (por deecto) l áre de l regó. Apromcó por deecto Tmé se puede promr el áre de l regó A por eceso curédol co rectágulos y sumdo sus áres (ver gur). L de es tomr l meor de ls promcoes por eceso y l myor de ls promcoes por deecto y esperr que ms cocd.. Sums erores y superores Pr ormlzr est de es ecesro troducr lgu que otr decó y l otcó decud. E lo que sgue l úc hpótess sore es que es u ucó cotd ( m () M ) e el tervlo [, ] (uque l pesremos cotu y postv pr poder segur co l motvcó de clculr el áre jo el gráco de ). Áre de Mtemátc Cclo Básco Comú Uversdd de Bueos Ares

3 Teórcs de Aálss Mtemátco (8) Práctc 9 Itegrles Prtcó. U prtcó P del tervlo [, ] : 0... es u cojuto de l orm P Ejemplos Itervlo [0,]. P 0,,, Itervlo [0,]. P 0,,,...,, Itervlo [, ]. P,, Se P u prtcó de [, ] pr 8 m () :,,,... (el ímo es u mímo s l ucó es cotu) Llmmos sum eror (de co respecto P) l sum de ls áres de todos los rectágulos zules: s ()()...()() m m m P 0 (est sum prom l áre de l regó A por deecto) De l msm mer s M sup() :,,..., se dee sum superor S ()() M P (est sum prom l áre de l regó A por eceso). Áre de Mtemátc Cclo Básco Comú Uversdd de Bueos Ares 3

4 Teórcs de Aálss Mtemátco (8) Práctc 9 Itegrles. Propeddes de ls sums erores y superores Ls sguetes oservcoes llev l decó de tegrl. Tods ells se puede vsulzr e u gráco por lo que o dmos u demostrcó orml:. sp ()() SP (pues m M ). S le grego u puto P (o l prtcó) R P { c} P se tee Al gregr u puto l sum eror se grd s ()(),()() s S S P R P R c E otrs plrs, cudo o l prtcó, ls sums erores se grd, ls superores se chc. E geerl s R P vle ls desgulddes de rr. E prtculr vle m()(),()() sp SP M (dode m () : [, ] y M sup() : [, ] 3. S P y Q so dos prtcoes culesquer del tervlo vle s ()() S P ) Es decr tods ls sums erores so meores que culquer sum superor. Esto se deduce de ls oservcoes terores, usdo que R P Q cotee P y Q, co lo cul s ()()()() s S S P PQ PQ Q 3. L decó de tegrl Podemos tomr etoces l myor de ls sums erores y l meor de ls sums erores y esperr que estos dos úmeros se los msmos: el áre jo el gráco de. Lo que ps es que, e geerl estos dos úmeros o so gules. Demos pues l tegrl eror y l tegrl superor de respectvmete: Clrmete I I I sup() s: P prtcó P I () S: Q prtcó Q Áre de Mtemátc Cclo Básco Comú Uversdd de Bueos Ares 4 Q por l oservcó 3. Pero como djmos tes, o sempre es gul. Cudo so gules decmos que l ucó es tegrle y poemos

5 Teórcs de Aálss Mtemátco (8) Práctc 9 Itegrles I I I () d Est otcó es ded Lez. El sgo tegrl es u deormcó del símolo de sumtor, el símolo d jueg el ppel de l se de rectágulos tmete pequeños y () jueg el ppel de l ltur de esos rectágulos. Pr osotros es u pquete que v juto y que result ser muy decudo pr los cálculos, lo que podrá verse e ls clses práctcs. Notr que pr l decó sólo se requró l cotcó de. De hecho, s es egtv (o tom vlores egtvos) l tegrl es egtv o puede tomr vlores egtvos. Pr ver cómo uco l decó e u ejemplo podemos ver el Aeo A. Tmé podremos ecotrr u ejemplo de u ucó que o es tegrle e el Aeo B. 3. Fucoes tegrles Los sguetes teorems os dce que l decó de tegrl rc u gr ctdd de ucoes, lo que hce l cocepto útl e l práctc. No dmos su demostrcó quí. Teorem: S es moóto etoces es tegrle. Teorem: S es cotu etoces es tegrle. tegrle. Es más, s es cotu e [, ] slvo tl vez e u úmero to de putos, etoces es 3. Propeddes Ls propeddes sguetes, l tegrl ls hered de ls sums superores e erores. S, g so ucoes tegrles etoces ) (()())()() g d d g d ) k ()() d k d culquer se k c) () d 0 Áre de Mtemátc Cclo Básco Comú Uversdd de Bueos Ares 5

6 Teórcs de Aálss Mtemátco (8) Práctc 9 Itegrles c culquer se c [, ] d) ()()() d d d c e) ()() d d Usemos lgu de ests propeddes e el sguete ejercco Ejercco. Sedo que ls ucoes y g so tegrles y que (5() ()) g 3 d y que (3() ()) g d, clculr () d y g() d Solucó Usdo ls propeddes ) y ) se tee que: Por u ldo Y por el otro ldo 3(5() ()) g5() d() d g d (3() ()) g3() d() d g d Nos qued u sstem de ecucoes leles co ls dos cógts X () d e Y g() d, ser 5X Y 3 3X Y Que se resuelve áclmete, restdo u ecucó de l otr: X 5X 3X 3 6 X 3. Etoces X () d 3 Co lo cul Y g() d 4 Co ests propeddes se puede resolver el ejercco 3 de l Práctc. Áre de Mtemátc Cclo Básco Comú Uversdd de Bueos Ares 6

7 Teórcs de Aálss Mtemátco (8) Práctc 9 Itegrles 4. Teorem udmetl del cálculo (TFC) El uso de l decó pr el cálculo de tegrles result por lo geerl egorroso e coveete. De tods mers hy que destcr que los métodos umércos resct y se poy e l decó de tegrl. El ejercco de l práctc que es opttvo, lustr est stucó. Veremos como se puede sorter el uso de l decó de tegrl pr hllr su vlor e cd cso. E lo que sgue es cotu (y por lo tto tegrle). Presetmos l cuestó de clculr u tegrl ded como u prolem. Prolem: Clculr el vlor de () t dt. Pr cd [, ] estudmos l ucó áre ded como Mrádol jo se oserv que: A()() t dt.. A()(). A() 0 t dt es el vlor que uscmos. Se puede pror que A() es u ucó cotu (pr lo cul sólo se requere que se tegrle). Pero vmos clculr drectmete el cocete cremetl de A co vsts clculr su dervd. Omtremos sutlezs e el cálculo pr resctr l de que hy detrás de ellos. A()() h A h S poemos h h () t dt h () t dt m() h m() : t[, t ] h y M () h m() : t[, t ] h +h Se puede ver que (o pretede ser u demostrcó orml) A()() h A m()() h h M h (se ve pr h 0 mrdo el dujo, pr h 0 rregl) se Áre de Mtemátc Cclo Básco Comú Uversdd de Bueos Ares

8 Teórcs de Aálss Mtemátco (8) Práctc 9 Itegrles lm() m hlm()() M h (grcs l cotudd de ) h0 h0 Etoces se deduce que d A () ()() A d Teorem udmetl del Cálculo. S es u ucó cotu vle d d ()()() t dt t dt Este teorem costtuye el resultdo más mportte del curso. Lg e orm muy estrech los dos prolems hstórcos del cálculo que, e térmos geométrcos, so: el prolem del áre y el prolem de hllr rects tgetes horzotles (el Teorem de Fermt). L regl de Brrow que cotucó eucremos, poe de mesto l potec de este teorem y term de resolver el prolem pltedo más rr. E delte os reerremos este teorem como l TFC. Ates de eucr est mportte regl que será udmetl pr el cálculo de tegrles, trjemos u poco sore cómo oper el TFC. Solucó Ejercco. Clculr ls dervds de ls sguetes ucoes: cost cost () A() dt, () B() dt t, (c) t 0 0 C() cost dt t () Como l ucó que tegrmos es cotu, podemos plcr el TFC e orm drect: A () cos Oservemos que l dervr l tegrl recupermos l ucó que se está tegrdo. Por eso se suele decr que los operdores de dervd y de tegrl so uo el verso del otro. () El tegrdo es el msmo, pero el etremo superor tee u ucó de. Podemos pesr l ucó B como u composcó de ucoes. Más precsmete B()() A sedo A l ucó de l prte (). Así pesd, podemos plcr l regl de l cde comdo co el TFC: cos cos B () A () 3 E l práctc, se lo puede pesr sí: reemplzo l vrle de tegrcó por lo multplco por l dervd de. y lo que me d Áre de Mtemátc Cclo Básco Comú Uversdd de Bueos Ares 8

9 Teórcs de Aálss Mtemátco (8) Práctc 9 Itegrles (c) E est ucó, demás de teer u ucó de ( ) e el etremo superor, teemos e el etremo eror. Pr poder plcr el TFC, usmos ls propeddes de l tegrl y escrmos C() de l sguete orm: 0 cost cost cost cost cost C() dt dt dt dt dt t t t t t Propedd d) Propedd e) Ahor estmos e codcoes de plcr el TFC drectmete e el prmer térmo y comdo co l regl de l cde e el segudo: cos cos C() 4 E l práctc se lo puede pesr sí: L dervd de u tegrl es el tegrdo evludo e el etremo superor por l dervd del etremo superor, meos el tegrdo evludo e el etremo eror por l dervd del etremo eror. Ejercco. Sedo que l ucó cotu stsce 5, hllr (4). 3 Solucó 35 t.()( t dt) 3 pr todo Usmos el TFC pr dervr l guldd, ddo que vle pr todo. Por u ldo teemos d d 35 Por el otro ldo, usdo l regl del producto t.() t dt (3 5)(3 5). 3 El tegrdo evludo e el etremo superor L dervd del etremo superor evludo e el d 3 3 ( ) 3( )(4 6) d De modo que, guldo ms dervds, os qued (3 5)(3 5).3(4 6) El ejercco os pde oteer (4) y esto se logr hcedo 3 Hgmos ls cuets que propoe el reemplzo: (3 3 5)(3 3 5).3 3(4 3 6) Áre de Mtemátc Cclo Básco Comú Uversdd de Bueos Ares 9 e l últm guldd:

10 Teórcs de Aálss Mtemátco (8) Práctc 9 Itegrles (4) De dode se otee 9 (4) Oservemos que de l guldd se otee (3 5)(3 5).3(4 6) que o está ded pr 5 3 t 3 5, podemos oteer () t (4 6) (3 5) 3(3 5) y de llí l restrccó e el eucdo del ejercco. Hcedo pero o lo pde el prolem. Se puede resolver los ejerccos del 5 l 0 de l Práctc. 4. Regl de Brrow Pr eucrl decudmete, dmos prevmete l sguete decó Prmtv. U prmtv de es u ucó G co l propedd Por ejemplo G() G ()() es u prmtv de ().. Ls prmtvs de u ucó so eseclmete gules etre sí. Más precsmete, dere e u costte. E eecto, s F y G so dos prmtvs de result F () G ()(). Por lo tto F G () 0 Por el Teorem del Vlor Medo result F()() G k El prolem que teímos er el de clculr el vlor de A()() t dt El TFC permte clculr tl vlor coocedo u prmtv de. E eecto, se G u prmtv de. Se tee que E prtculr k G()()() A G. Luego G()() A k. ()()() t dt G G G()() ()() A 0, etoces Regl de Brrow E otrs plrs st coocer u prmtv de pr clculr l tegrl. Áre de Mtemátc Cclo Básco Comú Uversdd de Bueos Ares 0

11 Teórcs de Aálss Mtemátco (8) Práctc 9 Itegrles Ejemplo. Clculr d. 0 L ucó G() es u prmtv de (). Usdo l Regl de Brrow se otee 0 d G()(0) G Áre de Mtemátc Cclo Básco Comú Uversdd de Bueos Ares

12 Teórcs de Aálss Mtemátco (8) Práctc 9 Itegrles A. Uso de l decó ANEXO L decó de tegrl es u cocepto muy rco desde el puto de vst teórco y tmé desde el puto de vst práctco y que los métodos umércos utlzdos pr cálculos complcdos, us est decó pr su udmetcó. S emrgo tee el coveete que ú e los ejemplos más secllos, mplc muchos cálculos que o sempre se puede relzr. Dmos u ejemplo quí pr mostrr ests dcultdes, que sgue áscmete ls des que Arquímedes esozó 300 ños tes de uestr er y que recé Rem pudo drle orm e el sglo XIX. Vmos usr l decó de tegrl que cmos de dr pr clculr el áre jo el gráco de (), [0,]. Es decr que clculremos el áre de u trágulo de se y ltur. Es ovo que o ecestmos el cocepto de tegrl pr ser que el áre es gul, pero el cálculo os lustrrá sore ls dcultdes práctcs que tee l decó. Uo de los prolems de l decó es el de cosderr tods ls prtcoes. Veremos, que, tl como lo hzo Arquímedes, se puede trjr co u ml de prtcoes, e lugr de teer que cosderr tods ls prtcoes. Se P 0,,,...,,, So ls prtcoes que dvde el tervlo e prtes gules. Result ser Pr clculr ls sums erores y ls sums superores, sp () y SP () respectvmete, como es crecete y grcs que cd prtcó es equespcd, se tee que Áre de Mtemátc Cclo Básco Comú Uversdd de Bueos Ares

13 Teórcs de Aálss Mtemátco (8) Práctc 9 Itegrles, m, M,,,...,. Etoces De l msm orm Vemos que ( ) s m crece p ()()( ) ( ) S M decrece P ()() sp () es u sucesó crecete de úmeros reles y que SP () es u sucesó decrecete de úmeros reles. lm() s lm() S P P Etoces vle que: I sup() s: P prtcó sup() : s lm() lm() s S P P P P P Q () S: () : S Q prtcó I Luego es tegrle y vle 0 d Volver Áre de Mtemátc Cclo Básco Comú Uversdd de Bueos Ares 3

14 Teórcs de Aálss Mtemátco (8) Práctc 9 Itegrles B. U ucó o tegrle L ucó de Drchlet e el tervlo [0,] es u ejemplo de ucó o tegrle: () 0 s s Por l desdd, e todo tervlo de u prtcó culquer, se tee que m 0, M, etoces I 0, I. Volver Ct Buto, Ls D Aloso, Flor Guterrez, Grel Jeromo, Gustvo Msscces, Ju Crlos Pedrz y Ju S (05), Itegrles, Teórcs de Aálss Mtemátco (8). Áre de Mtemátc Cclo Básco Comú Uversdd de Bueos Ares 4

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