CONTRASTES DE HIPÓTESIS EN DATOS DE PANEL

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1 Contrastes de hpótess en datos de panel COTRASTES DE HIPÓTESIS E DATOS DE PAEL Cobacho Tornel Mª Belén Unversdad Poltécnca de Cartagena Bosch Moss Marano London School of Economcs RESUME Una de las prncpales aportacones del análss de datos de panel es que permte medr efectos y comportamentos que no es posble dentfcar en datos puros de seres temporales o de corte transversal. Cuando se plantea la cuestón de cuál es la especfcacón más adecuada a nuestra stuacón de estudo con datos de panel o cuál el método de estmacón más apropado los contrastes de hpótess suponen una herramenta útl que permte dar soporte o rechazar determnados supuestos. La doble dmensonaldad de los conjuntos de datos de panel permte en algunos casos adaptar los contrastes de hpótess ya planteados para alguna de sus dos dmensones y en otros ha requerdo el planteamento de tests propos de los datos de panel. En este trabajo se recogen algunos de los contrastes más frecuentes que pueden plantearse cuando se trabaja con datos de panel y se presenta una aplcacón al estudo de los efectos de la nversón públca federal mexcana con datos de los estados mexcanos durante el perodo 97-. XIII Jornadas de ASEPUMA

2 M.B. Cobacho y M. Bosch. ITRODUCCIÓ Un panel de datos es un conjunto de datos que combnan seres temporales con undades de seccón cruzada o de corte transversal (países regones empresas hogares etc.) de forma que un estudo de los datos consderando estas dos dmensones por separado (tempo y seccón cruzada) deja cuestones sn resolver. En Baltag () se enumeran algunas de las ventajas e nconvenentes del uso de los datos de panel. Entre las ventajas se mencona el control sobre la heterogenedad ndvdual; más varabldad menos colneardad entre las varables más grados de lbertad y mayor efcenca; mejor adecuacón al estudo de las dnámcas de ajuste; mejor capacdad de dentfcar y medr efectos que no son detectables en datos puros de seccón cruzada o de seres temporales y tambén mejor capacdad de análss en comportamentos más complcados. Como desventajas los datos de panel presentan el problema de recoleccón de datos dstorsones por errores de medda y la corta dmensón temporal que se tene generalmente en los conjuntos de datos. Tenendo en cuenta sus lmtacones y a pesar de las ventajas que presentan cuando nos enfrentamos al análss de un panel de datos exsten gran cantdad de cuestones que cabe plantearse a la hora de mantener determnados supuestos y de elegr un método de estmacón para poder así dar un mayor soporte al estudo que se está realzando. Estas cuestones se nos plantearon como parte de un estudo de un panel de datos de los estados mexcanos durante el perodo 97- con el que se pretende analzar s la nversón públca federal en Méxco ha tendo algún efecto sobre determnados ndcadores de desarrollo. En este trabajo se muestran algunas de las cuestones que cabe plantearse a la hora de enfrentarse a un estudo aplcado de datos de panel y se recogen contrastes de hpótess exstentes en la lteratura que pueden ayudar a dar respuesta a tales cuestones. Un estudo en mayor profunddad de estos y otros contrastes así como referencas bblográfcas a estudos teórcos y empírcos puede encontrarse en Baltag (). El trabajo se estructura de la sguente manera: en las seccones y 3 se comentan los contrastes de hpótess de los modelos estátcos y dnámcos respectvamente. En la seccón 4 se presenta una aplcacón al estudo del efecto de la nversón públca federal en Méxco. En la seccón 5 se exponen las conclusones. XIII Jornadas de ASEPUMA

3 Contrastes de hpótess en datos de panel. COTRASTES E MODELOS ESTÁTICOS Los modelos de datos de panel se clasfcan en dnámcos o estátcos según ncluyan o no en sus ecuacones varables pertenecentes a dferentes perodos temporales. En la especfcacón estátca el modelo de regresón de un solo factor supone que el error aleatoro se descompone en εt = αí + ν t donde cada α es el efecto ndvdual (nobservado) de cada undad de seccón cruzada nvarante en el tempo. El modelo a estmar es el sguente: y = α + X β+ ν (.) ' t t t La presenca del efecto fjo en esta ecuacón hace que una estmacón de β por MCO no sea consstente. Los métodos que se utlzan para solventar ese problema son la estmacón de efectos fjos (EF) o entre grupos (wthn groups) y la estmacón de efectos aleatoros (RE) por Mínmos Cuadrados Generalzados (MCG). La estmacón de EF puede llevarse a cabo transformando el modelo (.) en otro en térmnos de las medas de grupo: y y = ( X X )' β+ ( ν ν ) (.) t. t. t. y estmando por MCO o tambén medante una estmacón por mínmos cuadrados de varables fctcas α. En este contexto pueden plantearse los sguentes contrastes... Contraste de efectos ndvduales en modelos de componentes de error de un solo factor La sgnfcatvdad conjunta de las varables fctcas en un modelo de componentes de error de un factor puede ser contrastada medante un test F con la hpótess nula H : α= α = K = α =. El estadístco de contraste y su dstrbucón bajo la hpótess nula son los sguentes: ( ) ( ) F = que es un test de Chow en el que : F (.3) R U H ( T ) K U ( T K) obtene de la estmacón MCO en el modelo agrupado y R es la suma de cuadrados de resduos que se U es la suma de cuadrados de los resduos de la estmacón por mínmos cuadrados de varables dummy. α y ν t verfcan los supuestos: t y α ndependente de ν jt j t. :...( σ ) sobre α d α :...( σ ) sobre y ν t d ν XIII Jornadas de ASEPUMA 3

4 M.B. Cobacho y M. Bosch. Contraste de efectos ndvduales y de tempo en modelos de componentes de error de dos factores Un modelo de regresón de componentes de error de dos factores ncluye además de un efecto ndvdual nvarante en el tempo α un efecto común a todos los ndvduos µ t el cual captura efectos temporales o macroeconómcos nobservables. El modelo de regresón es por tanto : y = α + X β + µ + ν (.5) ' t t t t El modelo de estmacón wthn groups conlleva tomar medas en (.5) tanto en los ndvduos como en el tempo y transformar el modelo en: y y y + y = ( X X X + X ) β + ( ν ν ν + ν ) (.6) t.. t.. t.. t.. t.. t.. En este modelo de componentes de error de dos factores se puede tambén contrastar la sgnfcatvdad conjunta de las dummes de forma smlar a como se ndca para los modelos de un solo factor pero para los dos grupos de varables fctcas: El estadístco para este caso es: donde ahora H : α= α = K = α = y µ = µ = K = µ T = ( ) ( + T ) F = : R U H + T ( )( T ) K U [( )( T ) K] R es la suma de cuadrados de los resduos de la estmacón por MCO en el modelo agrupado y regresón wthn en (.6). F U es la suma de los cuadrados de los resduos de la Es posble además contrastar la exstenca de efectos ndvduales de grupo dada la exstenca de efectos temporales: H : α= α = K = α = dado que µ µ K µ T En este caso R procede de la regresón que ncluye úncamente dummes temporales o ben de la regresón en yt y. t = ( X t X. t ) β+ ( ν t ν. t ) mentras que U sgue sendo la suma de cuadrados resduales de la regresón wthn en (.6). La dstrbucón del estadístco es en este caso: α y ν t verfcando las msmos supuestos que en el modelo de un solo factor y además µ t.. d. : ( σµ ) para todo t y α µ y jt t ν mutuamente ndependentes para todo j t. 4 XIII Jornadas de ASEPUMA

5 Contrastes de hpótess en datos de panel F : F H ( )( )( T ) K Obsérvese que la dferenca entre este test y el contrastes de efectos ndvduales en los modelos de un solo factor (estadístco (.3)) es que allí se está contrastando la hpótess H : α = = K suponendo que µ t = para todo t= K T mentras que aquí la hpótess es H : α = = K sabendo que µ t = para todo t= K T. De forma análoga se puede contrastar la exstenca de efectos temporales conocendo la exstenca de efectos ndvduales: donde ahora H : µ = µ = K = µ T = dado que α α K α R vene dado por la regresón en (.) y en (.6). El estadístco de contraste en ese caso es: F : F H ( T )( )( T ) K U procede de la regresón Breusch y Pagan (98) plantean un test LM (Multplcadores de Lagrange) para contrastar la hpótess: H : σα σµ = =. Trabajando a partr de la funcón de verosmltud que se emplea para la estmacón por máxma verosmltud en (.5) se construye el estadístco: donde LM LM = LM + LM : χ H ˆ ε ( I ) ˆ JT ε = T ˆ εεˆ LM ( T ) ˆ ε ( J ) ˆ IT ε = T ˆ εεˆ ( ) sendo ˆε los resduos de la estmacón MCO en (.5) I e I T las matrces dentdad de tamaño y T respectvamente y J T J matrces de unos de tamaños T y respectvamente. S lo que se quere es contrastar H σ = el estadístco de : α contraste es precsamente LM que bajo H se dstrbuye asntótcamente según una χ. Análogamente bajo la hpótess H : µ σ = se obtene el estadístco LM cuya dstrbucón asntótca bajo H es tambén una χ..3 Test de especfcacón de Hausman A la hora de elegr el método de estmacón de un modelo de componentes de error de un solo factor (modelo (.)) juega un papel mportante la exstenca de correlacón entre los regresores y los térmnos de error y resulta arresgado suponer que XIII Jornadas de ASEPUMA 5

6 M.B. Cobacho y M. Bosch tal correlacón no exste es decr que E[ ε t X t ] = puesto que εt = α+ ν t contene el efecto fjo nobservado que puede estar correlaconado con los regresores X t (y de hecho suele estarlo) y por tanto conducr a estmadores nconsstentes. Cuando E[ α X ] sólo el estmador por EF es consstente mentras que bajo t H : [ ] E α X t = tanto MCO como EF y MCG son consstentes sendo MCG el estmador lneal nsesgado óptmo. Un contraste de Hausman se utlza para analzar la posble correlacón entre los α y los regresores y poder así decdr entre una estmacón por EF o por RE. Bajo : [ ] H Eα xt = el estadístco de Hausman converge en dstrbucón a una χ T : = ( ˆ β ˆ β )'( ˆ σ ˆ σ ) ( ˆ β ˆ β ) : χ (.7) H Q FE RE FE RE ˆ β ˆ FE RE T FE βre Como se puede observar Q FE RE es el cocente del cuadrado de la dferenca entre los dos estmadores y la dferenca entre las varanzas de éstos. Así bajo H tanto EF como MCG son consstentes y por tanto deben tender al msmo valor cuando T de modo que la dferenca entre los estmadores debe ser pequeña. Puesto que el estmador ˆRE β es más efcente que ˆFE β la varanza de aquél es pequeña en comparacón con la de éste y por tanto la dferenca entre las varanzas es grande. La combnacón de ambas cosas dará como resultado un valor del estadístco Q FE RE cercano a y que por tanto haya que rechazar la hpótess nula. S por el contraro H no es certa entonces ˆFE β es consstente pero ˆRE β no lo es con lo que debe haber dferenca notable entre los valores de estos estmadores. Esto mplcará que el valor del estadístco Q FE RE será alto pudendo así rechazar la hpótess nula (Greene (998)). Hausman y Taylor (98) demostraron que la msma hpótess puede ser contrastada utlzando cualquer par de dferencas ˆ β MCG ˆ β ˆ β EF MCG ˆ β o ˆ β (sendo ˆBE β el estmador de β medante una estmacón entre grupos o between groups) ntercambando estas dferencas y sus varanzas en (.7) dado que los estadístcos que se obtenen dferen unos de otros en una matrz no sngular. EF EF ˆ β Para el modelo de dos factores el test de Hausman se basa gualmente en la dferenca entre el estmador de efectos aleatoros por MCG y el estmador EF (con varables dummy ndvduales y de tempo) sólo que la equvalenca de los contrastes BE 6 XIII Jornadas de ASEPUMA

7 Contrastes de hpótess en datos de panel ntercambando los estmadores ˆ β ˆ β ˆ β no se mantene en este caso aunque MCG EF BE otro tpo de equvalencas han sdo establecdas (véase Baltag ())..5 Contrastes de agrupabldad de los datos Otra cuestón que se plantea en el análss de datos de panel es s agrupar o no los datos es decr s plantear un modelo como en (.) con todos los β guales para todos los grupos y para todos los perodos (modelo restrngdo) o s nclur un parámetro dferente para cada ndvduo o para cada perodo de tempo (modelo no restrngdo) de modo que se tendría una ecuacón de regresón para cada y = X β + ε o una para cada t yt = X tβt + εt. t t t En el prmero de los casos (sobre s agrupar o no los datos de corte transversal) se trata de contrastar la hpótess: H : β = β = K. S ε : ( σ I) se puede construr un estadístco: ( e e e e e e K e e ) ( )( K+ ) F = : ( e e + e e + K + e e ) ( T K ) H F ( )( K+ ) ( T K ) donde e= I X X X X y y ( T ( ) ) e = I X X X X y para cada que es ( T ( ) ) precsamente un test de Chow extenddo al caso de regresones lneales. Cuando ε : ( Ω) el estadístco de Chow no sgue una dstrbucón F y no es correcto utlzar este test. En este caso s se puede escrbr premultplcar por Ω= σ Σ basta con / Σ las varables en el modelo (.) y aplcar al modelo transformado el test de Chow anteror 3. El estadístco F para el test de Chow en el modelo transformado contene en su expresón la matrz Σ de modo que cuando ésta no es observable se deberá utlzar un estmador consstente de Σ. El estadístco de contraste sgue tambén una dstrbucón F( )( K + ) ( T K ). 4 homoscedástcas. agrupacón. 3 Esto puede hacerse porque las perturbacones transformadas / Σ ε tenen varanzas 4 Véase Baltag () para un estudo detallado de estos y referencas a otros contrastes de XIII Jornadas de ASEPUMA 7

8 M.B. Cobacho y M. Bosch 3. COTRASTES E MODELOS DIÁMICOS Las stuacones en las que las varables presentan un carácter autorregresvo se estudan a través de modelos dnámcos caracterzados por presentar entre los regresores la varable dependente retardada: t δ t tβ εt y = y + X + (3.) En estos modelos las estmacones por MCO EF o MCG no son consstentes debdo a la correlacón de los regresores con el térmno de error. Para solventar este problema Anderson y Hsao (98) sugeren tomar prmeras dferencas en el modelo dnámco: t δ t tβ εt y = y + X + (3.) y realzar una estmacón por varables nstrumentales (IV) con y t como nstrumento dado que y t está correlaconada con y t pero no lo está con el error ε = ν sempre que no exsta correlacón seral entre los errores. Para mejorar la t t efcenca del estmador Arellano y Bond (99) sugeren utlzar todos los nstrumentos dsponbles: y con k > y una estmacón por GMM tambén bajo t k la hpótess de no correlacón seral de las perturbacones. Este contexto da lugar a los sguentes contrastes. 3. Contrastes de correlacón seral de las perturbacones Es mportante estudar la exstenca de correlacón seral en las perturbacones dado que ésta provoca que un estmador por IV con varables retardadas como nstrumentos no sea consstente. Arellano y Bond (99) sugeren tres contrastes con la ausenca de correlacón seral en los errores como hpótess nula. Un prmer test trabaja bajo la hpótess de no correlacón seral de segundo orden en las perturbacones del modelo en dferencas: E[ ν ν ] =. Bajo H el estadístco m construdo por Arellano y Bond (99) se dstrbuye asntótcamente según una (). 5 Este estadístco es flexble en el sentdo de que puede estar basado en cualquer estmador consstente GMM no necesaramente efcente aunque la potenca del test m sí depende de la efcenca del estmador utlzado. t t 5 Puede consultarse la expresón del estadístco en Arellano y Bond (99). 8 XIII Jornadas de ASEPUMA

9 Contrastes de hpótess en datos de panel Exsten stuacones en las que el estadístco m no está defndo. Para ese caso Arellano y Bond (99) sugeren un test de Sargan de sobre-dentfcacón de restrccones cuyo estadístco de contraste es: donde : p K = s= ˆ ν Z( Z ˆ ν ˆ ν ) Z ˆ ν χ ˆ ν denota los resduos de la estmacón GMM en dos pasos propuesta por Arellano y Bond (99) Z = [ Z Z K Z ] es la matrz de nstrumentos es decr Z es una matrz dagonal por bloques cuyo bloque en la poscón s es ( y K y ) y p es el número de columnas de Z. 6 Una tercera opcón propuesta por los msmos autores consste en construr un test de Hausman basado en la dferenca de los estmadores de ˆ δ ˆ δ donde ˆ δ es el estmador GMM en dos etapas suponendo que las perturbacones en nveles sguen un proceso e medas móvles MA() y ˆ δ suponendo que son MA(). El estadístco de contraste es: donde ˆ h ˆ δ ˆ δ a ˆ a ˆ ˆ δ ˆ δ χ = ( ) ( var ˆ var ˆ ) ( ) : δ r δ a var ˆ y a var ˆ son estmadores de las varanzas asntótcas de ˆ δ ˆ δ δ y de ˆ δ respectvamente r es el rango de la varanza asntótca de ˆ δ ˆ δ y () ndca la nversa generalzada. s 3. Contraste para efectos ndvduales en modelos autorregresvos Es posble contrastar la exstenca de efectos fjos hacendo uso de restrccones de sobre-dentfcacón del modelo dnámco. Consderando un modelo dnámco sn regresores yt = δ y t + εt y suponendo T=3 (para facltar la explcacón) esta ecuacón puede ser estmada utlzando los dos últmos perodos. Bajo la hpótess H : α = se tenen las condcones: E[ y ε ] = E[ y ε 3] = E[ yε 3] = es decr tres condcones para determnar un únco parámetro. Las dos condcones sobrantes pueden ser utlzadas para contrastar la exstenca de efectos fjos. S reescrbmos las condcones anterores de la forma: 6 Ver Arellano y Bond (99) para una construccón más detallada del estadístco de Sargan. XIII Jornadas de ASEPUMA 9

10 M.B. Cobacho y M. Bosch E[ y ( ε ε )] = (3.3) 3 3 E[ y ε ] = (3.4) E[ y ε ] = (3.5) 3 la prmera de éstas puede ser utlzada para dentfcar δ ncluso bajo la presenca de efectos fjos mentras que la hpótess de no exstenca de efectos fjos mpone sólo las dos condcones adconales (3.4) y (3.5). Se puede entonces reestablecer el sstema ncal en los térmnos sguentes: y en forma vectoral: y y = δ ( y y ) + ( ε ε ) y y 3 3 = δ y + ε 3 3 = δ y + ε y* = Y * δ + ε * (3.6) donde y* = ( y 3 y y 3 y ) Y* = ( y y y y ) y ε* = ( ε 3 ε ε 3 ε ). Generalzando al caso de cualquer T estas expresones serían: y* ( y y y y ) = T T T K T T Y * = ( y y K y ) y ε* = ( ε T ε T ε T K ε ). Hotlz y Eakn (988) estman este sstema de ecuacones smultáneas con varables nstrumentales (dferentes nstrumentos para cada ecuacón). Llamando Z = dag( Z ) a la matrz de nstrumentos y premultplcando (3.6) por Z se obtene por MCG un estmador ˆ δ de δ y con él el estadístco que permte contrastar la exstenca de efectos fjos en el modelo dnámco: ˆ δ ˆ ˆ δ SSQ= ( y * Y * ) ZΩ Z ( y * Y * ) donde r es el número de restrccones de sobre-dentfcacón. : χ r 4. APLICACIÓ EMPÍRICA Algunos de los tests anterores han sdo aplcados en el estudo del mpacto sobre la tasa de mortaldad nfantl de la nversón públca federal en Méxco en actvdades productvas y en el sector socal. Partendo del modelo yt = X tβ + εt donde las varables explcatvas son la nversón per cápta en actvdades productvas y la nversón socal y la varable dependente es la tasa de mortaldad nfantl. La tabla muestra los cálculos realzados para el test de Chow contrastando la hpótess nula de que los coefcentes β son los msmos para las regones de la zona centro-norte que para las regones de la zona centro-sur. XIII Jornadas de ASEPUMA

11 Contrastes de hpótess en datos de panel Inv.prod. Std.err. Inv. Soc. Std.err. b.7 (.484) -.83* (.89) b S. (.46) -.4* (.7) T K U R n n F =.8774 prob >F = Tabla. Test de Chow para la gualdad de coefcentes zonas norte y sur Los resultados muestran que no se puede rechazar la hpótess de que los coefcentes sean guales. De hecho puede observarse que los coefcentes obtendos son muy smlares para las dos zonas. Para analzar la posble correlacón de los efectos fjos con los regresores se ha utlzado un test de Hausman cuyos resultados se muestran en la tabla. EF Std.err. RE Std.err. Inv.prod..37 (.3). (.3) Inv.soc. -.6*** (.55) -.49*** (.5) ch(5) = 3.46 Prob>ch =.69 Tabla. Test de Hausman para efectos fjos o aleatoros Puede observarse que en este caso los coefcentes de las estmacones por EF y por RE son muy smlares. De hecho el test no puede rechazar la hpótess nula de no correlacón entre los efectos fjos y los regresores. Fnalmente consderando una especfcacón dnámca yt = δ y t + X tβ + εt los tests de Arellano y Bond (99) permten contrastar la hpótess de no autocorrelacón seral de segundo orden en las perturbacones. Los resultados del test de sargan y del estadístco m se muestran en la tabla 3. Test de Sargan de restrccones de sobre-dentfcacón ch(5) =.7 Prob > ch =.98 Test de Arellano y Bond de no autocorrelacón seral de segundo orden z = -.6 Prob > z =.9554 Tabla 3. Contrastes de no autocorrelacón Ambos contrastes muestran que no se puede rechazar la hpótess nula de que los errores no están seralmente correlaconados lo cual da soporte a una estmacón por IV del modelo dnámco en dferencas. XIII Jornadas de ASEPUMA

12 M.B. Cobacho y M. Bosch 5. COCLUSIOES En este trabajo se realza una recoplacón de dversos contrastes de hpótess exstentes en la lteratura de datos de panel los cuales consttuyen una herramenta útl en la eleccón de la especfcacón de modelos de datos de panel así como en la eleccón del método de estmacón a emplear. Estos contrastes aportan nformacón acerca de s la stuacón de estudo verfca o no los supuestos necesaros para los métodos de estmacón. Varos de estos contrastes han sdo planteados en el estudo del mpacto de la nversón públca federal en Méxco. Encontramos que no se pueden rechazar las hpótess de gualdad de coefcentes para las zonas orte y Sur de no correlacón de los efectos fjos con los regresores (especfcacón estátca) y de no autoccorrelacón seral de las perturbacones para poder llevar a cabo una estmacón por IV en el caso dnámco. REFERECIAS BIBLIOGRÁFICAS ADERSO T.W y C. HSIAO (98): Estmaton of dynamc models wth error components. Journal of the Amercan Statstcal Assocaton ARELLAO M. y S. BOD (99): Some Tests of Specfcaton for Panel Data: Monte Carlo. Evdence and an Applcaton to Employment Equatons. Revew of Economc Studes Vol. 58 pp ARELLAO M. (3): Panel Data Econometrcs (Advanced Texts n Econometrcs). Oxford Press. BALTAGI B. (): Econometrc Analyss of Panel Data. nd Edton. Wley. BREUSCH T. y A. PAGA (98): The Lagrange Multpler test and ts applcatons to model specfcaton n econometrcs. Revew of Economc Studes GREEE W.H. (998). Análss Econométrco. Tercera edcón. Prentce Hall. HAUSMA J.A. y W.E. TAYLOR (98): Panel data and unobservable ndvdual effects. Econometrca HOLTZ-EAKI D. (988): Testng for ndvdual effects n autoregressve models. Journal of Econometrcs XIII Jornadas de ASEPUMA