Límite de funciones. Continuidad MATEMÁTICAS II 1

Transcripción

1 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II LÍMITE FINITO DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Cómo determinr el límite de un función cundo l vrible se proim un vlor 0? En generl, pr tener un ide de l respuest bst evlur l función en puntos cd vez más próimos 0, tomndo: -Vlores inferiores 0, es decir, proimándonos por l izquierd. -Vlores superiores 0, es decir, proimándonos por l derech. Ejemplo Consideremos l función y f(). Medinte un tbl de vlores, construimos l gráfic de est función, que es un prábol con vértice en el origen de coordends f() Nos hcemos l siguiente pregunt: Si se proim 0, qué vlor se proim l función? Fijándonos en l gráfic, podemos responder fácilmente l pregunt formuld. Aproimándonos 0 por l izquierd, l función se proim f()? Diremos entonces que el límite lterl por l izquierd de l función cundo tiende 0 es 0. Simbólicmente, se escribe f( ) 0 0 Aproimándonos 0 por l derech, l función se proim f()? Diremos entonces que el límite lterl por l derech de l función cundo tiende 0 es 0. Simbólicmente, se escribe f( ) 0 Observ que l proimrse 0, tnto por l derech como por l izquierd, los vlores correspondientes de l función se proimn 0. 0 Por tnto, el nº 0 se llm límite de l función f() en 0. Se denot: f( ) 0 0

2 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II Formlizmos el concepto de límite medinte el uso de entornos. Definimos: Entorno de centro y rdio r, E(, r), l intervlo bierto E(, r) ( r, r) Entorno reducido de centro y rdio r, E*(, r), l intervlo bierto E*(, r) ( r, r) { } Es decir; un vlor pertenece l entorno E(, r) si: E(, r) ( r, r) r < < r r < < r < r Se dice que el número L es el límite de l función f cundo tiende 0 cundo l tomr vlores muy próimos 0, pero distinto de 0, los vlores de l función tmbién están muy próimos L, de mner que dich distnci se puede hcer tn pequeñ como se quier. Es decir, Otrs definiciones más ehustivs: f ( ) L si se verific que f() L cundo 0 0 f ( ) L si E(L, ε), E( 0, δ) / E*( 0, δ) f() E(L, ε) 0 f ( ) L si ε > 0, δ > 0 / 0 < δ f() L < ε 0 Si eiste el límite de l función f cundo 0, se dice que l función es convergente en 0. Ejemplo Consideremos l función y f() Vemos gráficmente que f ( ) 4 : Tommos culquier entorno de centro, ( λ, λ). Considerndo culquier punto de dicho entorno se verific que su imgen se encuentr muy próim 4, es decir, en un entorno de centro 4.

3 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II.. LÍMITES LATERALES Definiciones: Límite por l izquierd: límite de l función tomndo vlores de próimos 0 pero inferiores 0. f( ) f( ) L si se verific que f() L cundo 0 (tomndo vlores < 0 ) 0 < 0 0 Límite por l derech: límite de l función tomndo vlores de próimos 0 pero superiores 0. f( ) f( ) L si se verific que f() L cundo 0 (tomndo vlores > 0 ) 0 > 0 0 Un definición más ehustiv: f( ) L si ε > 0, δ > 0 / 0 δ < < 0 f() L < ε 0 f( ) L si ε > 0, δ > 0 / 0 < < 0 δ f() L < ε 0 o Condición necesri y suficiente de convergenci. Pr que eist el límite de un función f() cundo tiende un punto ddo, tienen que eistir los dos límites lterles y ser igules: f( ) L f( ) f( ) L o Cundo los límites por l izquierd y por l derech de un función en un punto son distintos, no eiste el límite de l función en dicho punto. Ejemplo Se l función prte enter de : f() E() Se define como el número entero inmeditmente inferior o igul que él. Pr culquier entero z se verific que no eiste el límite de l función y que se verific: f( ) z z f( ) z z

4 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 4 El vlor que tom un función en un punto no influye en el vlor del límite. Pr que eist el límite de un función en un punto en 0, no hy que tener en cuent lo que ocurre ectmente en dicho puntos sino en sus proimiddes. De hecho hy csos en los que no está definid l función en un punto pero sí eiste el límite. En muchs ocsiones, el límite de un función en un punto ddo 0, coincide con su imgen f( 0 ). En tl cso, se dice que l función es continu en 0. f continu en 0 si f( ) f( ) 0 0 Ejemplo 4 Se l función: Estudimos f ( ) 0 f() si 0 si < 0 Clculmos los límites lterles: f( ) f( ) ( ) > 0 f( ) f( ) ( ) < 0 Ambos límites coinciden, por tnto, eiste el límite: f ( ) 0 Además coincide con su imgen f(0) Ejemplo 5 Se l función: Estudimos f ( ) f() si > si < Clculmos los límites lterles: f( ) f( ) ( ) > f( ) f( ) ( ) < Ambos límites coinciden, por tnto, eiste el límite: f ( ) Sin embrgo, l función no está definid pr

5 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 5 Ejemplo 6 Dd l función f definid trozos, determinr si eiste f ( ) si > f( ) si si < Estudimos los límites lterles: f( ) f( ) ( ) 4 < f( ) f( ) ( ) 4 > Coinciden los límites lterles, por tnto, eiste f ( ) 4 Pero no coincide con l imgen de : f() Ejemplo 7 Dd l función f( ) determinr si eiste ( ) f 0 Recordemos que si 0 si < 0 Con lo cul l función f() es un función definid trozos: si 0 f( ) si < 0 Estudimos los límites lterles: f( ) f( ) ( ) < 0 f( ) f( ) ( ) > 0 No coinciden los límites lterles, por tnto, no eiste f ( ) 0 Sin embrgo l función está definid en el punto: f(0)

6 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 6 LÍMITE INFINITO DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Consideremos un función rel de vrible rel y f(). Vmos estudir ls diferentes situciones que se puede presentr si f() se proim ó cundo se proim un vlor finito 0. Ejemplo 8 Se l función: f(). Estudimos f ( ) 0 En l gráfic podemos observr que medid que nos proimmos 0 por l izquierd, los correspondientes vlores que tom l función son cd vez myores. En tl cso, diremos que: f( ) 0 Del mismo modo, si nos proimmos 0 por l derech, los vlores que tom l función son cd vez myores. En tl cso, diremos que: f( ) 0 Al tomr vlores de próimos 0, su imgen f() se proim : f ( ) 0 Ejemplo 9 Se l función: f() ( ). Estudimos f ( ) Si nos proimmos por l izquierd, los vlores que tom l función son cd vez menores. Es decir: f( ) Del mismo modo, si nos proimmos por l derech, sus imágenes correspondientes son cd vez menores. Por tnto, diremos que: f( ) Al tomr vlores de próimos, su imgen f() se proim : f ( )

7 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 7 Ejemplo 0 Consideremos l función f( ) Sbemos que un función rcionl no está definid pr los vlores de que nulen el denomindor, y que no tiene sentido l división. Sin embrgo, l función sí está definid pr los vlores próimos ellos, qué comportmiento tiene l función en esos vlores próimos? Dom(f) { / 0 } R {} Vemos qué ocurre con l función cundo tom vlores próimos. Pr ello construimos un tbl de vlores pr estudir l proimción por l izquierd: f() Vemos que l tomr vlores próimos, pero inferiores él, l función se v hciendo cd vez myor en vlor bsoluto pero negtivo. Diremos que f( ) Del mismo modo se puede comprobr que f( ) Por tnto, diremos que no eiste f ( ) Gráficmente, dibujd l rect se observ: f( ) : l proimrse l curv por l izquierd se dispr hci bjo, decrece indefinidmente. f( ) : l proimrse l curv por l derech se dispr hci rrib, crece indefinidmente. En mbs situciones, l curv no cort nunc dich rect (y que l función no está definid pr dicho vlor) Cundo se produce est situción de crecimiento o/y decrecimiento indefinido de l función cundo l vrible se proim un vlor 0, se dice que l función present un síntot verticl de ecución 0. En nuestro ejemplo, l función tiene un síntot verticl en y que f ( )

8 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 8 Definiciones: Es decir: Se dice que el límite de un función y f() cundo tiende 0 es más infinito cundo l tomr vlores muy próimos 0, pero distinto de 0, los vlores de f son muy grndes y positivos, de mner que f super culquier número prefijdo ( f crece tnto como se quier). Un definición más ehustiv: Es decir: f ( ) si M > 0, E( 0, δ) / E*( 0, δ) f() > M 0 f ( ) si M > 0, δ > 0 / 0 < δ f() > M 0 Se dice que el límite de un función y f() cundo tiende 0 es menos infinito cundo l tomr vlores muy próimos 0, pero distinto de 0, los vlores de f son muy grndes en vlor bsoluto pero negtivos, de mner que f super culquier número prefijdo (f decrece tnto como se quier). Un definición más ehustiv: f ( ) si K > 0, E( 0, δ) / E*( 0, δ) f() < K 0 f ( ) si M > 0, δ > 0 / 0 < δ f() < K 0 Si eiste el límite de l función f cundo 0, se dice que l función es divergente en 0. Se dice que l función f() tiene un síntot verticl en k si se verific un de ests condiciones: ) f() ± ) k f() ± ) f() ± k k Ejemplo Se l función: f() ln. Estudimos f( ) 0 Dom f (0, ) Si nos proimmos 0 por l derech, l función v tomndo vlores cd vez más pequeño. Por tnto: f( ) 0 No tiene sentido clculr el límite por l izquierd porque l función no está definid pr vlores menores que cero.

9 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 9 LÍMITE FINITO DE UNA FUNCIÓN EN EL INFINITO En muchs ocsiones interes conocer el comportmiento de un función dd, cundo l vrible tom vlores muy grndes. Estrá l función cotd o crecerá (decrecerá) progresivmente? Ejemplo Consideremos l función f( ) Vemos qué ocurre con l función cundo tom vlores grndes. Pr ello construimos un tbl de vlores f() Tnto l tbl de vlores como l gráfic muestrn que cundo crece el vlor de, el vlor de l función se v proimndo. Eistirá lgún vlor de pr el cul f()? f() 0!! Luego l función no tom el vlor. Est tendenci se justific con fcilidd, teniendo en cuent que f( ). Conforme crece, el cociente proimndo. se hce grdulmente más pequeño y, por tnto, l función se v Por este motivo se dice que el límite de l función cundo tiende más infinito es. Se denot: f( ) Gráficmente, este tipo de límites en el infinito se preci por el cercmiento progresivo (sin tocr) de l curv un rect horizontl (en nuestro cso, y ) hst confundirse con ell. Cundo se present est situción se dice que l función present un síntot horizontl de ecución y

10 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 0 Definiciones: Se dice que el límite de l función f cundo tiende es el nº rel L, cundo l tomr vlores positivos suficientemente grndes, l imgen f() se proim L, tnto como se quier. f( ) L ε > 0, podemos encontrr un nº M > 0 tl que si > M entonces f() L < ε Se dice que el límite de l función f cundo tiende es el nº rel L, cundo l tomr vlores negtivos suficientemente pequeños, l imgen f() se proim L, tnto como se quier. f( ) L ε > 0, podemos encontrr un nº K > 0 tl que si < K entonces f() L < ε Se dice que l función f() tiene un síntot horizontl en y k si se verific f() k ó f() k o mbos. OJO!: L gráfic puede cortr l A.H. pr vlores finitos de. Ejemplo Se l función: f(). Estudimos f( ) y f( ), teniendo en cuent su gráfic: En l gráfic podemos observr que medid que l vrible tom vlores negtivos más pequeños, los correspondientes vlores que tom l función se vn proimndo cd vez más l vlor. En tl cso, diremos que: f( ) Del mismo modo, si tommos vlores de positivos lo suficientemente grnde, los vlores que tom l función se vn proimndo. En tl cso, diremos que: f( ) Teniendo en cuent esto, l función present un síntot horizontl de ecución y.

11 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 4 LÍMITE INFINITO DE UNA FUNCIÓN EN EL INFINITO Vemos otrs situciones que se pueden presentr l estudir l función cundo l vrible tiene infinito. Ejemplo 4 Se l función: f(). Estudimos f( ) En l gráfic podemos observr que medid que l vrible tom vlores positivos lo suficientemente grnde, l imgen f() tom vlores positivos tn grndes como se quier. Escribimos: f( ) Ejemplo 5 Se l función: f(). Estudimos f( ) En l gráfic podemos observr que pr vlores negtivos y muy grndes, en vlor bsoluto, de, los correspondientes vlores f() que tom l función se hce cd vez más pequeños. Escribimos: f( )

12 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II Ejemplo 6 Se l función: f(). Estudimos f( ) y f( ) Teniendo en cuent, l gráfic: f( ) f( ) Definiciones: Se dice que el límite de l función f cundo tiende es, cundo l tomr vlores positivos suficientemente grndes, los vlores que tom l función tmbién lo son. f( ) K > 0, podemos encontrr un nº rel M > 0 tl que si > M entonces f() > K Se dice que el límite de l función f cundo tiende es, cundo l tomr vlores positivos suficientemente grndes, los vlores que tom l función son cd vez más pequeños. f( ) K > 0, podemos encontrr un nº M > 0 tl que si > M entonces f() < K Se dice que el límite de l función f cundo tiende es, cundo l tomr vlores negtivos y muy grndes, en vlor bsoluto, los vlores que tom l función son cd vez más grndes. f( ) K > 0, podemos encontrr un nº rel M > 0 tl que si < M entonces f() > K Se dice que el límite de l función f cundo tiende es, cundo l tomr vlores negtivos y muy grndes, en vlor bsoluto, l imgen f() tmbién lo son. f( ) K > 0, podemos encontrr un nº M > 0 tl que si < M entonces f() < K

13 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 5 OPERACIONES CON LÍMITES Sen f y g dos funciones convergentes en, se verificn ls siguientes propieddes: ) Límite de un producto de un esclr por un función: [ ] k f() k f(), donde k es un número rel. ) Límite de un sum o un diferenci de dos funciones: ) Límite de un producto de dos funciones [ ] f() ± g() f() ± g() [ ] f() g() f() g() 4) Límite de un cociente de dos funciones: f() f() g() g() si g() 0 5) Límite de un potenci de funciones: 6) Límite de l ríz de un función: g() [ f() ] f() g() n Si f() L, entonces n f() n f() L siguiente: ) L 0 y n es culquier número nturl si se cumple lgun de ls condiciones b) L 0 y n es un número nturl impr 7) Límite del logritmo de un función: [ log f() ] log b b f() si b > 0 y f() > 0 8) Límite de funciones trigonométrics: [ sen f() ] sen f() [ cos f() ] cos f() [ tg f() ] tg f()

14 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 4 Operciones con epresiones infinits: En el cso de límites infinitos son plicbles ls operciones nteriores siempre que no se produzc ningun de ls siguientes indeterminciones: ; ; ; 0 ; ; 0 ; 0 L siguiente tbl muestr los diferentes resultdos que obtenemos l operr con límites infinitos: L ( ) L ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L L L 0 si L > 0 si L < 0 ; 0 0 SUMA Y RESTA COCIENTE L ( ) L ( ) PRODUCTO si L > 0 si L < 0 si L > 0 si L < 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) POTENCIA L L ( ) ( ) 0 ( ) L si L 0 si 0 < L < 0 si L si 0 < L < si L > 0 0 si L < 0 Ejemplo 7 ) ) 0 ) 4) ( 4) 5) ( ) 0 6) ( ) ( )

15 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 5 6 CÁLCULO DE LÍMITES ) Límite de un constnte: Si f() k f() k ) Límite de l función identidd: Si f() f() ) Límite de l función potenci: Si f() n, donde n N f() n si n > 0 n si n 0 0 si n < 0 n si n > 0, n pr si n > 0, n impr si n 0 0 si n < 0 4) Límite de un función polinómic, f() P(): P() P() 5) Límite de un función eponencil: Si > Si 0 < < 0 Teniendo en cuent que, deducimos: Si > 0 Si 0 < < 6) Límite de un función logrítmic: Si > log Si 0 < < log Si > log Si 0 < < log 0 Recuerd: Propieddes de los logritmos: ) log 0 ) log log y log ( y) ) log log y log y k log 4) k log log ( ) k R 5) Cmbio de bse: log log 0 Ejemplo 8 ) 0 ) ) 0 0 4) 0 5) 6) ln 7) log ( ) 8) 0 6)

16 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 6 7 RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES Con ls regls dds en el prtdo nterior se nos presentn situciones más complicds en ls que no podemos dr l solución sin hcer un estudio detlldo de l función. Cundo los límites no son finitos no se puede predecir los resultdos en los siguientes csos: ; ; ; 0 ; ; 0 ; 0 Ls técnics necesris pr resolver estos csos indetermindos: ) Por descomposición en fctores de un polinomio. ) Por producto y división de l myor potenci de ) Por producto y división del conjugdo de un binomio. Pero en primer lugr, vemos con ejemplos qué signific que es un indeterminción. Si f() y () g f()? g() El vlor de dicho límite dependerá de ls funciones tomds. Ejemplo 9 ) Se f(), g() f() y g() Relizndo operciones, obtenemos: f() g() f() g() ) Se f(), g() f() y g() f() g() Dividiendo todo por l myor potenci de, obtenemos: f() g() 0 ) Se f(), g() f() y g() Relizndo operciones, obtenemos: f() g() f() g()

17 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II Cálculo de límites 0 0 Este tipo de indeterminciones prece normlmente en cocientes de funciones polinómics o de funciones irrcionles. ) Por fctorizción. Ls indeterminciones de cocientes de funciones polinómics se resuelven fctorizndo los polinomios y simplificndo l frcción. Ejemplo 0 4 ) 0 0 Fctorizmos los polinomios plicndo ls identiddes notbles: ( )( ) ( ) ) Fctorizmos los polinomios plicndo l regl de Ruffini: ( )( ), que no eiste y que: ( ) ( > > 0) ( < < 0) ) Fctorizmos los polinomios del rdicndo plicndo l regl de Ruffini: 7 7 ( )( 4) ( )( 4) ) 9 0 Fctorizmos los polinomios del rdicndo plicndo l regl de Ruffini: 6 6 ( )( ) 5 0 ( )( )

18 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 8 b) Por el conjugdo Ls indeterminciones de cociente de funciones irrcionles se resuelven multiplicndo el numerdor y el denomindor por el conjugdo de l epresión irrcionl. Ejemplo ) 0 0 Multiplicmos y dividimos por el conjugdo de ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ) Multiplicmos y dividimos por el conjugdo de ( ) ( ) ( ) 0 ( )( ) ) Multiplicmos y dividimos por el conjugdo de 7 : ( )( ) 7 ( )( 7 ) ( )( 7 ) ( )( ) ( )( ) 7 9 4) Multiplicmos y dividimos por el conjugdo de : ( )( ) ( )( ) ( )( ) Volvemos obtener un indeterminción, por tnto, volvemos multiplicr y dividir por el conjugdo, en este cso, por : ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

19 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 9 c) Reduciendo ls ríces índice común En ocsiones pr resolver l indeterminción dd por el cociente de funciones irrcionles hy que reducir denomindor común pr poder descomponer los rdicndo y simplificr. Ejemplo ) Descomponemos los dos rdicndo: ( ) 6 ( )( ) Descomponiendo los dos rdicndo, obtenemos fctores comunes que no podemos simplificr y que ls dos ríces son de distinto índice, por este motivo, reducimos índice común: ( ) ( ) 6 6 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ) Reduciendo ls ríces índice común 4 ( )( ) ( ) ( ) ) Reduciendo ls ríces índice común ( ) ( )( ) ( ) ( ) 4 ( )

20 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 0 d) Emplendo infininitésimos equivlentes Este procedimiento se emplendo cundo trbjmos con funciones eponenciles, logrítmics y trigonométrics. En el tem de l derivd de un función estudiremos l regl de L Hôpitl como plicción l resolución de indeterminciones. Definición: Consideremos dos funciones f() y g() que verificn: ( ) f 0 g ( ) 0 Si el límite del cociente de mbs funciones tiene por límite en el punto tomn vlores prácticmente igules en un entorno de ese punto. Ls funciones que tienen est propiedd se llmn funciones infinitésimos equivlentes. Se denot f g f() g() f( ), siendo f( ) g( ) 0 g ( ) Un resultdo interesnte y útil en el cálculo de límites es el siguiente teorem que permite sustituir en el cálculo de límites un función por otr equivlente: Si en un epresión figur como fctor o divisor un función, el límite de l epresión no vrí l sustituir dich función por otr equivlente. Los infinitésimos equivlentes más empledos son los indicdos en l tbl de bjo. Pr su plicción se puede sustituir por culquier vrible α() que tmbién se un infinitésimo, es decir, α() 0. TABLA DE INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES (más usules) 0 α() 0 Ejemplo sen sen α() α() sen 4 4 cos cos α() ( ) α cos 4 tg tg α() α() tg 5 5 ln ( ) ln [ α()] α() ln ( ) e e α() α() e 4 4 En el APÉNDICE I se demuestr ests equivlencis.

21 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II Ejemplo sen7 0 ) 0 0 Sustituyendo directmente sen 7 por 7 (funciones equivlentes). sen sen6 0 ) 0 tg 0 Sustituyendo directmente sen 6 6 y tg sen tg 0 0 sen ) (sen 5 5, sen ) 0 sen 0 0 4) sen 0 ( ) sen 0 0 Aplicmos l equivlenci: sen, sen sen ( ) sen sen 5) Sustituyendo sen sen sen sen : sen ) ( cos ) 0 0 sen 0 Aplicmos ls equivlencis de ls funciones: ( cos ) sen cos y sen cos 0 6) 0 0 Sustituyendo ( ) ( cos ) : ( ) 4 cos

22 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 7..- Cálculo de límites Aprece l clculr límite de cocientes de funciones polinómics o irrcionles. Se resuelven dividiendo numerdor y denomindor por l potenci de de myor grdo. Ejemplo 4 ) Dividimos por : 0 0 ) Dividimos por : 0 0 ) Dividimos por : REGLA PRÁCTICA El límite de un función rcionl cundo ±, es igul l límite del cociente de los términos de myor grdo del numerdor y denomindor. Si P() 0 n n y Q() b 0 b b b m m P() Q() El vlor de este límite depende del vlor que tengn n y m: n b m n m P() ± si g( P( )) > g( Q( ) n si g( P( )) g( Q( ) Q() bm 0 si g( P( )) g( Q( ) L regl nterior tmbién es válid cundo precen epresiones rdicles. n m Re cuerd : m n

23 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II ) Los infinitos: potencil, eponencil y logrítmic Tod función f() se llm infinito pr cundo f ( ) Cundo ls vribles,,,. son infinitos y ésts se tomn como tipos de comprción de otros infinitos. Cundo ls funciones potenciles ( n, n > 0), ls eponenciles (, > ) y ls logrítmics ( ( log b, b > ) son infinitos pero crecen de form distint: Si, culquier función potencil n con n > 0 es un infinito de orden superior l función logrítmic, log b, pr culquier bse b >, es decir, crece más rápidmente, por tnto: Lo escribimos n >> log b n log b Si, culquier función eponencil con > es un infinito de orden superior l función potencil, potencil n con n > 0, es decir, crece más rápidmente, por tnto: Lo escribimos >> n n Por tnto, comprndo ests funciones en cunto rpidez de crecimiento, tenemos: >> n >> log b, siendo >, b >, n > 0 Ejemplo 6 ) Ls siguientes funciones son infinitos: ) b) ( ) c) 0 ) log( ) 0 5 por ser log() un infinito de orden inferior 5 ) ln por ser un infinito de orden inferior ln 4) ln e 0 por ser e un infinito de orden superior ln 5) por ser un infinito de orden superior

24 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II Cálculo de límites Pr resolver este tipo de indeterminción suele bstr efectur ls operciones indicds. En el cso en que prezcn epresiones rdicles, se multiplic y divide por l epresión conjugd de l dd. Ejemplo 4 ) Opermos ) Opermos 0 ) 4 Multiplicmos y dividimos por el conjugdo de l epresión. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ) Multiplicmos y dividimos por el conjugdo de l epresión. ( )( ) ( ) ( ) ( ) 5) Multiplicmos y dividimos por el conjugdo de l epresión. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

25 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II Cálculo de límites 0 L indeterminción se resuelve efectundo l operción indicd en l epresión de l función y simplificndo. Ejemplo 5 ) 0 Efectundo ls operciones y simplificndo: 5 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 7 5 ( 5)( )( ) ( 5)( ) 7 ) 0 Efectundo ls operciones y simplificndo: ( )( ) ( ) ) 4 0 Multiplicmos y dividimos por el conjugdo de l epresión 4 4 ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( 6) ( 6) ( )( 4 4 ) 4 4 ( ) ( )( ) 4 0 4) Efectundo ls operciones y simplificndo: 0 ( )( ) 4 Si - <0 ( )( ) <0 f( ) Si >0 > 0 f( ) Por tnto, no eiste el límite.

26 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II Cálculo de límites 0 0, 0, 0 -, 0 Teniendo en cuent que tod potenci se puede escribir como un potenci de bse el número e, b e b ln, podemos escribir [ ] g() g() ln f () f() e Y de est form epresr el límite como: [ ] g() f() g() ln f() e Ejemplo 6 ln ) ( 0) 0 ln ln ln ( ) 0 ln ) ( 0) 0 e ln ln ln ( ln ) ( ) 0 0 ln e Cálculo de límites ) El número e Uno de los límites de myor importnci lo estudió el mtemático suizo Leonrd Euler: Si psmos l límite se tiene l epresión, que nos hce pensr errónemente que vle. Hy que tener en cuent que pr culquier vlor de Pr nlizr est función vmos construir un tbl de vlores: f( ),5,7,44,488,5,546,565,58,59 Según l tbl, l función es creciente pero crece lentmente, con lo cul d lugr pensr que eist y se finito f( ),7048,769,78,786,788047,78869,78879

27 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 7 Su límite es un número irrcionl que se design con l letr e: e, El mismo resultdo obtenemos si sustituimos por culquier función que tiend infinito: f ( ) Si f( ) e f( ) Ejemplo 7 ) e ) e ) e b) Límites relciondos con el número e Teniendo en cuent el resultdo nterior, se pueden clculr otros límites, plicndo l regl de límite de potenci de funciones. Ejemplo 8 ) e Generlizndo, e ) e Generlizndo, e ) Generlizndo, e e e b e

28 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 8 c) Indeterminción Si f( ) y g( ), entonces ( ) f( ) g present un indeterminción del tipo Se resuelve trnsformndo l epresión en un potenci del número e. f ( ) e f( ) f( ) [ f( ) ] f( ) g( ) g( ) Hemos epresdo l bse de l form h ( ) y hor vmos buscr que prezc en el eponente de l potenci l función h(), pr ello multiplicmos y dividimos por h(). g( ) [ f ( ) ] g( ) f( ) f( ) f( ) De est form llegmos l siguiente regl: f( ) f ( ) g( ) [ f ] ( ) g( ) g( ) [ f ] f( ) e ( ) g( ) Ejemplo 9 ) Aplicmos l regl [ f( ) ] g( ) e ) Aplicmos l regl [ f( ) ] g( ) ) Aplicmos l regl [ f( ) ] g( ) ( ) ( ) ( ) e e

29 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 9 8 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN L ide intuitiv de continuidd de un función responde l ide intuitiv de que vriciones pequeñs de l vrible le corresponden vriciones pequeñs de l vrible y, es decir, no eisten sltos bruscos en l gráfic. Ejemplo 0 En el primer cso, l gráfic no present ningún slto, por tnto, es un función continu. Sin embrgo, en l gráfic de l derech se present un slto en, diremos que l función no es continu en dicho punto. Definición. Se f un función y Dom(f) decimos que f es un función continu en un punto cundo el límite de l función en coincide con el vlor de l función f() en dicho punto. L continuidd de l función en implic que se cumpl ests tres condiciones: ) L función esté definid en, es decir, eist f() b) Eist f ( ) c) f ( ) f ( ) Ejemplo Dd l función: Demuestr que es continu en 0. si < 0 g( ) si 0 Pr demostrr l continuidd de l función en 0 hy que comprobr que g ( ) g ( 0 ) 0 0 Pr determinr dicho límite clculmos los límites lterles: g( ) g ( ) g ( ) 0 g es continu en 0 0

30 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 0 9 OPERACIONES CON FUNCIONES CONTINUAS Sen f() y g() dos funciones continus en, se tiene entonces que: ) L sum de dos funciones continus en es tmbién un función continu en ese punto. b) L rest de dos funciones continus en es tmbién un función continu en ese punto. c) El producto de dos funciones continus en es tmbién un función continu en ese punto. d) El producto de un función continu en por un número rel, es otr función continu en ese punto. e) El cociente de dos funciones continus en es otr función continu en ese punto. (Siempre que el denomindor no se nule). f) Composición de funciones: Si f() es continu en y g() es continu en y f() ( g o f )() es continu en Propiedd de ls funciones continus. Si un función es continu en un punto, entonces eiste f(). Sin embrgo, el teorem recíproco no es cierto en generl. Ejemplo Se l función f() 4 Demuestr que eiste f() pero l función no es continu en ) Eiste el límite cundo Fctorizmos pr resolver l indeterminción: 4 ( )( ) ( ) 4 b) L función no está definid pr : Por ser un función rcionl, Dom (f) R {} Por tnto no es continu en.

31 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 9..- Continuidd de funciones elementles ) L función constnte f() k es continu en todos los puntos. ) L función identidd f() es continu en todos los puntos. ) L función potencil f () n, n N, es continu en todos sus puntos 4) L función polinómic es continu en todos sus puntos 5) L función rcionl es continu en todos sus puntos, slvo en los que se nul el denomindor. 6) L función eponencil f(), con > 0, es continu en todos los puntos. 7) L función f() log, siendo >, es continu en todos los puntos de su dominio: (0, ) 8) L función f() sen es continu en todos sus puntos. 9) L función f() cos es continu en todos sus puntos. 0) L función f() tg es continu en todos sus puntos slvo en los puntos que verifiquen cos 0 Ejemplo Dd l siguiente función: si f( ) si ln si > ) Hllr pr que l función se continu en - b) Es continu en? ) Pr que l función se continu en - se tiene que cumplir Pr clculr el límite pr - estudimos los límites lterles: f() ( ) f() ( ) f() f( ) Pr que eist el límite hy que imponer que b) Pr que l función se continu en se tiene que cumplir f() f() Pr clculr el límite pr estudimos los límites lterles: f() (ln ) 0 f() ( ) Al no coincidir los límites lterles, no eiste el límite de l función en. Por tnto, l función no es continu en

32 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 0 DISCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN Decimos que l función es discontinu en el punto cundo no es continu en dicho punto. Ejemplo 4 Se f() E() Est función present puntos de discontinuidd pr todos los vlores enteros de l vrible. Estudindo el límite de l función pr culquier vlor entero z: E() z z z f() ( ) z z z Por tnto, l función no es continu en Tipos de discontinuiddes Pr que un función y f() es discontinu en deberá de cumplirse lgun de ests condiciones: L función no está definid en No eiste f(). Eist f(), pero f() f().. Discontinuidd evitble Un función present un discontinuidd evitble en un punto cundo, eiste el límite de l función en éste. Hy dos tipos: ) Eiste el límite de l función en éste, pero no coincide con el vlor que tom l función en el punto: es un punto de discontinuidd evitble f() f() b) L función no está definid pr ese punto.- Discontinuidd de slto finito Un función present un discontinuidd de slto finito en un punto cundo los límites lterles eisten pero son distintos, en cuyo cso no eiste el límite. es un punto de discontinuidd de slto f() f().- Discontinuidd sintótic o de slto infinito Un función present un discontinuidd sintótic en un punto cundo l menos uno de los límites lterles es infinito. es un punto de discontinuidd sintótic f() ± y/ó f() ±

33 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II Ejemplo 5 ) Anlizr l continuidd de l función f() 4 4 ( )( ) ( ) 4 f() 4 pero f() no eiste, por tnto, en present un discontinuidd evitble. Pr todos los demás vlores de l función es continu por ser función rcionl. si < ) Anlizr l continuidd de l función f( ) si 4 5 si 4 En hy un cmbio en l epresión mtemátic de l función, sí que hy que considerr los límites lterles: f() ( ) f() ( ) Ambos límites lterles coinciden, luego eiste f() En es continu l función y que f() f( ) En 4, no eiste el límite y que no coinciden los límites lterles: f() ( ) f() ( 5) Por tnto, en 4 present un discontinuidd de slto finito. 4 4 Pr todos los demás vlores de l función es continu por ser función polinómic. ) Anlizr l continuidd de l función f() Se trt de un función rcionl, luego es continu pr todos los vlores de (y que >) Por tnto, en present un discontinuidd de slto infinito. - (y que <) si 4) Hllr pr que l función f( ) si > se continu en En hy un cmbio en l epresión mtemátic de l función, sí que hy que considerr los límites lterles: f() ( ) f() ( ) Pr que se continu en, se tiene que cumplir que los dos límites lterles coincidn:

34 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 4 APÉNDICE I LÍMITE DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. FUNCIONES EQUIVALENTES Vmos demostrr lgunos límites necesrios pr l derivción de funciones trigonométrics. Pr su plicción se puede sustituir por culquier vrible α() que tmbién se un infinitésimo. sen.- Cálculo de 0 Consideremos l función f() sen. Est función no está definid pr 0. Sin embrgo, como hor veremos, eiste el límite pr 0. Construimos un tbl de vlores próimos 0: Por l izquierd: Por l derech: ,4-0, -0, -0, 0 0, 0, 0, 0,4 sen 0,97 0,985 0,99 0,998 sen 0,998 0,99 0,985 0,97 Los resultdos de l tbl sugieren que el límite es. Esto implic que y sen tomn vlores prácticmente igules en el entorno de 0, y que su cociente se proim. En ls proimiddes del 0 se verific que sen tg Dividiendo l desiguldd por sen, obtenemos: sen cos sen Invirtiendo l epresión nterior obtenemos: cos sen Tomndo límite: cos sen Como cos y se verific Cundo 0, ls funciones sen y son infinitésimos equivlentes. sen Por tnto, 0 Ejemplo sen sen ) b) 0 0 sen c) 0

35 ln Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 5 tg.- Cálculo de 0 L sustitución direct conduce l indeterminción 0 0 tg sen sen 0 0 cos 0 cos tg Por tnto, 0 Cundo 0, ls funciones tg y son infinitésimos equivlentes., pero epresndo tg sen cos obtenemos: Ejemplo tg tg ) b) 0 0 c) tg( ).- Cálculo de cos cos Pr hllr este límite bst tener en cuent l fórmul del ángulo mitd: cos sen sen cos 4 cos Cálculo de 0 ln ln ln ln ( ) ln ( ) ln ( ) ln ln e Cálculo de e 0 Teniendo en cunt lo nterior: ln( ) e ln( ) e ( ) e e

36 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 6 EJERCICIOS A.- Visión gráfic de límites. Sobre l gráfic de l función f (), hll los siguientes límites: ) f ( ) ) f ( ) ) f ( ) 4) f ( ) 5) f ( ) 5 6) f ( ) 7) f ( ). Sobre l gráfic de l función f (), hll los siguientes límites: ) f ( ) ) f ( ) ) f ( ) f ( ) 0 0 4) f ( ) f ( ) 5) f ( ) f ( ) 6) f ( ) f ( )

37 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 7 B.- Cálculo de límites inmeditos. Clcul los siguientes límites: ) b) c) 5 d) 4 e) 4 0 f) 0 g) 0 7 h) 5 i) j) 4. Clcul los siguientes límites: ) b) c) d) ( ) e) 0 f) 0 g) 0 h) i) 5 j) 5 k) log l) log m) log 0 n) log o) log 0 5. Clcul los siguientes límites: ) b) ( ) c) 4 d) ( ) ( ) 4 e) 4 f) g) h) i) j) 5 k) 4 ( ) l) 6. Clculr los siguientes límites utilizndo funciones equivlentes en 0: sen8 sen4 tg ) b) c) sen5 tg8 d) 0 4 e) ( cos ) 0 sen cos f) 0 sen g) 0 cos h) 0 sen 7. Clculr los siguientes límites, medinte comprción de infinitos: ) e) 8 5 b) f) lg lg ln ( ) ( ) ( ) c) e ln ( ) g) e d) h) 4 5 i) n) m) ( ) j) ln ( ) k) ( e ) o) l) lg p) ( ) e

38 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 8 C.- Operciones con límites. 8. Dds ls funciones: f() y g() Hll en el punto, los límites de ls funciones: f g ; f g ; /f ; g f ; g f ; f /g ; g / f 9. Clcul los siguientes límites, especificndo el vlor de los límites lterles. Represent gráficmente los resultdos: ) b) c) ( ) 0. Clcul los límites de ls funciones siguientes en los puntos que se indicn. Donde conveng, especific el vlor del límite l izquierd y l derech del punto. Represent gráficmente los resultdos: ) f() 4 4 en, - b) f() ( ) en, 0 y. Aplicndo ls propieddes de los límites, clcul: ) b) 6 6 c) 0 e) 4 6 d) ( ) f) ln g) h) i) π sen cos( π ) j) 0 sen( π ) k) 0 π cos ln( ) l) e m) π tg 0 4 n) ctg π o) ( ) ( ) log log 4 0. Hllr m y n sbiendo que m n 0 F( h) F(). Clculr, siendo: h 0 h ) F() b) F() c) F() 4. Rzon si l siguiente firmción es verdder: Si f() 0 y g(), entonces f() g() 0

39 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 9 D.- Cálculo de límites. Indeterminciones. 5. Hllr los siguientes límites: ) 5 6 b) 7 c) d) 6 e) f) g) h) i) j) 0 5 k) 6 l) 4 m) 9 n) ( ) 4 o) 4 4 p) 6 q) r) s) 4 0 t) u) v) w) ) Soluciones: ) ; b) -4 ; c) ; d) p) 5 ; q) 5 ; r) 7 ; s) ; t) 4 ; u) ± ; v) ± ; w) ; ) ; e) 0 ; f) ; g) ; h) - ; i) 5 8 ; j) ; k) - 5 ; l) ; m) 6 ; n) 0 ; o) ; 6. Hllr los siguientes límites: ) 6 b) c) d) e) 0 7 f) 9 g) h) i) 4 j) 5 k) l) 4 4 m) 6 n) ( ) 0 o) 0 Soluciones: ) -; b) ; c) 6 ; d) ; e) ; f) 0 ; g) ; h) -5 ; i) 4 ; j) ; k) 0 ; l) 0; m) ; n) ; o) 8

40 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II Hllr los siguientes límites: ) 4 8 b) c) d) 8 9 e) 9 7 f) g) 7 h) i) 4 4 j) 4 k) 4 l) m) n) 5 o) Soluciones: ) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) 0 ; g) ; h) 0 ; i) ; j) ; k) ; l) ; m) ± ; n) ; o) 8. Hllr los siguientes límites: ) ( ) b) ( ) c) ( ) 4 d) ( ) e) ( 4 ) f) ( 6 ) g) ( ) h) ( ) 7 5 i) ( ) 7 6 j) ( ) 6 k) ( ) l) ( ) m) n) o) 0 p) 7 q) r) s) 4 t) 0 u) 6 v) w) 4 ) 0 4 Soluciones: ) ; b) 0 ; c) ; d) ; e) ; f) -; g) 0 ; h) ; i) -5 ; j) ; k) 4 ; l) ; m) ; n) 4 ; o) ; p) 0; q) 6 ; r) 4; s) ; t) ; u) 5 5 v) 4 ; w) ; )

41 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 4 9. Hllr los siguientes límites: ) 4 b) c) 4 d) 0 5 e) 6 6 f) ln ln g) ( ) h) i) ( ) 0 j) 4 k) 0 l) 0 7 m) 0 n) o) 5 p) ( 5) q) ( ) r) s) t) ( 4) u) 6 v) ( ) log 0 w) ) ( ) Soluciones: ) ; b) ; c) 0 ; d) 4 n) -; o) 0 ; p) -8 ; q) -8 ; r) - ; s) ; t) ± ; u) ; e) 0 ; f) ; g) ln ; h) ; i) ; j) 0 ; k) ; l) ; v) ; w) ; ), m) ; 0. Hll los siguientes límites: ) d) g) 4 6 b) e) h) 5 5 c) f) i) 5 Soluciones: ) 4 e ; b) e 5 ; c) e ; d) 6 e ; e) 5 e ; f) ; g) e ; h) e ; i) e 6

42 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 4. Hllr los siguientes límites del tipo del número e: g( ) [ f ] Recuerd : f( ) e ( ) g( ) ) d) g) 7 6 b) e) h) 5 5 c) f) i) Soluciones: ) e 4 ; b) e ; c) ; d) e 6 ; e) 0 ; f) ; g) ; h) ; i) e 5. Hllr los siguientes límites del tipo del número e: ) 7 b) c) d) e) f) g) h) i) 4 Soluciones: ) e 5 ; b) e ; c) e 9 ; d) e ; e) e 6 ; f) 0 ; g) 0 ; h) e ; i). Clculr los siguientes límites: ) ( ) b) ln c) 4 d) 5 5 e) 4 f) g) ( ) h) 0 sen i) ( ) 0 sen Soluciones: ) e ; b) ; c) e ; d) e ; e) e ; f) ; g) e ; h) e ; i) e 4. Clculr m y n sbiendo que m n ( S: m,n ) 5. Clculr k y h sbiendo que k h 0 ( S: k,h 0)

43 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 4 6. Dds ls funciones: f() 49 ; g() Hll en el punto 7, los límites de ls funciones: 49 7 f g ; f g ; /f ; g f ; g f ; f /g ; g / f 7. Clcul k pr que k 4k.( S: k /4) 8. Hll m con l condición de que m 4 se finito. Cuánto vle dicho límite? (S: m -, 0) ( m)( ) 9. Clcul m pr que 6 4 (S: m -) 0. Dd l función f() 5 6 b c, clcul b y c sbiendo que f() (S: b -7/, c ) 8. Clcul k sbiendo que k 6 4 es finito. Pr dicho vlor de k, clculr el límite.(s: k, -/4). Hll pr que ( ) 0. (S: ). Hll A pr que ( ) A 8.(S: A 5) 6 4. Clculr 0 pr que 6 5 ( S: 5) 5. Clculr los límites lterles de ls siguientes funciones en los puntos que se indicn. Representrls gráficmente: ) f() si 0 si > 0 en 0 b) f() e si 0 si 0 < en 0, si > c) f() en d) f() en 0, 6. Consideremos l función: Clculr el vlor de m y n pr que eist m n f() f() si < si (S: m -6, n 5)

44 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II Continuidd 7. Dd l función: 7 si < f() 5 si < 4 5 si 4 Estudir su continuidd en, y Determinr rzondmente el dominio de continuidd de ls siguientes funciones: ) f() b) f() c) f() d) f() 4 9. Encontrr los dominios de continuidd de ls siguientes funciones: ) f() ( ) b) f() 7 9 c) f() ( )( ) d) f() 4 e) f() 5 6 f) f() Solución: ) R { } b) R { ±} c) R d) R { ±} e) {,} R f) R 40. Estudir el dominio y l continuidd de ls siguientes funciones: ) y f( ) ln ln b) y f( ) 4. Estudir l continuidd de ls siguientes funciones: ) f() b) f() 4 c) f( ) 4. Dd l función f() 5 6 ( ) ) Estudir el dominio de definición de f. b) Determinr el dominio de continuidd. c) Clculr los puntos de discontinuidd. d) Cómo definirís l función f pr que fuese continu en? 4. Estudir ls discontinuiddes de ls siguientes funciones: 5 ) f() log b) f() c) f() sen d) f() 9

45 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II Hllr los puntos de discontinuidd de ls siguientes funciones: ) f() si si > b) f() 9 si < si > c) f() 4 si < 5 si si > d) f() si < 0 si si > 45. Estudir l continuidd de l función f, indicndo ls discontinuiddes que presente: si > si ) f() b) f() si si si < 46. Dd l función: si < 0 f( ) b si 0 < si Determinr y b pr que f se continu en todo R. (S: -/, b ) n 47. L función f( ) m 4 discontinuiddes. tiene un discontinuidd evitble en. Hll m y n y tods sus (S: m 5, n 0) 48. Hllr m y n pr que l función f se continu en todo R : π sen si π π f() msen n si < < π cos si 49. Dd l función: (S: m -/, n /) si 0 f() b si 0 < si ) Determinr y b pr que f se continu en todo R. b) Determinr y b pr que f presente un discontinuidd de slto en 0, siendo el slto, y un discontinuidd de slto en, siendo el slto 5. (S: -9/, b 4)

46 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 46 EJERCICIOS PAU JUNIO 0 - ESPECÍFICA Clcule f( ) siendo: si f( ) si JUNIO 0 - GENERAL. Se f: R R l función definid por: si < 0 f( ) m n si 0 < si ) Clcule m y n pr que f se continu en todo su dominio.. Clcule: ) SEPTIEMBRE 00 - GENERAL. Se consider l función: 4 si 0 f( ) 4 si > 0 ) Estudie su continuidd en el punto 0. c) Dibuje l gráfic de l función.. Clcule: π ( cos ) cos SEPTIEMBRE 00 - ESPECÍFICA. Se consider l función: si < f( ) e k si Determine el vlor de k pr que l función se continu en el intervlo [0,4].. Clculr el siguiente límite:

47 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 47 JUNIO 00 - GENERAL Se consider l función: b si 0 f( ) 5sen cos si > 0 ) Determin el vlor de b pr que l función se continu en 0 SEPT 009 Ddo R, se consider l función 6 si < f( ) si Determin los vlores de pr los que l función es continu. JUNIO 007 Clcul: ) 0 8 b) JUNIO 006 Se consider l función: 6 8 f( ) 4 < 0 cos > 0 Estudi su continuidd en tod l rect rel en función de JUNIO 005 Se consider l función: ( ) 4 si < 0 f( ) ( ) 4 si 0 Determin los vlores de pr que l función se continu en 0.