Capacitor con dos dieléctricos en diagonal. 5 de junio de 2016

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1 Capacitor con os ieléctricos en iagonal 5 e junio e 206

2 Ínice. Enunciao 2. Respuesta 3. Solución 4. Análisis e la solución 4

3 Física II 3 SOLUCIÓN. Enunciao Dao el capacitor e placas cuaraas paralelas e la gura, relleno con os ieléctricos ispuestos en forma iagonal, se pie hallar la expresión e la capacia el mismo en función e su geometría, área A = L L = m 2, separación entre placas = 0mm y las permitiviaes relativas ε r = 20 y = 80. Luego, hallar el valor e icha capacia a partir e la expresión hallaa. ieléctrico ε r L=m ieléctrico 2 =0,0m Figura : Capacitor con ieléctricos en iagonal 2. Respuesta C T = ε 0L 2 ε r ( ε r ln ( ε r C T = 32, 72nF 3. Solución Es posible iviir el problema en una asociación e capacitores, ispuestos en serie y/o paralelo y, analizano icha interconexión, llegar a una conclusión que permita obtener la capacia total el sistema. Analizano este caso en particular, poemos escomponer al capacitor en una cantia aa e capacitores conectaos en paralelo, como se aprecia en la gura siguiente. Universia Nacional e Moreno Ing. Guillermo Gurnkel

4 Física II 3 SOLUCIÓN elementos e capacia interconectaos en paralelo y conformaos por os capacitores en serie. ieléctrico ε r L=m 2 ε r 2 ε r ε r elemento N elemento n+ A = L y elemento n ieléctrico 2 =0,0m elemento 0 Figura 2: Descomposición en capacitores en paralelo. La ivisión el capacitor original, que llamaremos C T en innitos capacitores conectaos en paralelo, nos permite hablar e capaciaes iferenciales conectaas en paralelo entre sí, a las que llamaremos C. Caa capacia iferencial está compuesta por una asociación serie e os capacitores, que poemos llamar C y C 2, con permitiviaes relativas ε r y respectivamente. Esto se etalla en la gura siguiente. elemento n y L ε r 2 A = L y Figura 3: Análisis e caa iferencial C Caa elemento C es entonces una asociación serie, por ene, lo expresamos e esa manera: C = C + C 2 Los iferenciales e capacia C y C 2 no son otra cosa que pequeños (innitesimales capacitores e placas paralelas cuya área e placa es A y cuyas istancias entre placas resultan función e la posición en que se ubique el iferencial con respecto al eje vertical, que llamaremos y 2. Entonces, las expresiones para caa uno son sabias, tal que: C = ε 0ε r A Analizano el gráco, eucimos que C 2 = ε 0 A 2 Universia Nacional e Moreno 2 Ing. Guillermo Gurnkel

5 Física II 3 SOLUCIÓN A = L y Mientras que para y 2, que son función (con peniente L e la altura y, tenemos: = L y y ao que = =, con lo que 2 = L y De esta manera poemos expresar C realizano los reemplazos corresponientes, paso por : C = C + C 2 C = ε 0 εr A + ε 0 εr A 2 2 C = ε 0 εr Ly + ε 0 εr 2 Ly L y L y Y orenano la expresión, obtenemos C = L y ε 0ε r Ly + L y ε 0 Ly C = ε 0 ε r Ly ( L y + ( L y ε r ε 0 ε r Ly C = L [ε r 2 y + ε r (L y] C = ε 0 ε r L 2 y [( ε r y + ε r L] Para hallar la capacia total C T se realiza la integración e icho iferencial e capacia para la variable y ese y = 0 hasta la altura y = L e la placa. C T = ˆ L 0 C = ˆ L 0 ε 0 ε r L 2 y [( ε r y + ε r L] C T = ε 0ε r L 2 ˆ L 0 y ( ε r y + ε r L La integral tiene la forma ˆ x a x + b cuya resolución, por tabla e integrales, resulta: Universia Nacional e Moreno 3 Ing. Guillermo Gurnkel

6 Física II 4 ANÁLISIS DE LA SOLUCIÓN ˆ x a x + b = ln a x + b a Para nuestra integral, tenemos: a = ε r b = ε r L x = y Con lo cual poemos, reemplazano aecuaamente, obtener la solución e la misma: C T = ε 0ε r L 2 [ ln ( ε r y + ε r L ε r ] y=l y=0 Aplicano Barrow: C T = ε 0ε r L 2 [ ] ( ε r ln ( ε r L + ε r L ε r L Trabajano un poco con la expresión, se reuce: C T = ε 0L 2 ε r ( ε r ln ( ε r ( Que puee expresarse, sabieno que la capacia sin ieléctricos resulta C 0 = ε0l2 ( ε r C T = C 0 ( ε r ln ε r como: Reemplazano valores obtenemos la capacia total el sitema: ( ( 8, F m m 2 ( C T = 0, 0m (80 20 ln 20 C T = F = 32, 72nF 4. Análisis e la solución Este ejercicio, que a priori pareciera no tener una aplicación práctica irecta, puee tenerla. Imagine que el capacitor en cuestión se utiliza como un sensor capacitivo para etectar la proporción agua / aceite mineral e una mezcla, que como sabemos, se separará, con lo que el meio aceitoso otará sobre el agua. Citano algunas permitiviaes relativas e istintos meios: Aceite mineral 2,7 Aceite 2,8 Agua estilaa 80 Caucho e 2, a 2,9 Acetona 9 Aire, ± (en CNPT, para 0,9 MHz, Papel,5 Papel paranao 3,7 Parana 2, Cuarzo 4,5 PVC e 30 a 40 Baquelita 5 Virio e 5,6 a 0 Universia Nacional e Moreno 4 Ing. Guillermo Gurnkel

7 Física II 4 ANÁLISIS DE LA SOLUCIÓN Mica 5,4 Tomano Aceite mineral ε r = 2, 7 y Agua ε r = 80 (ambos meios en baja frecuencia o continua, poemos obervar que un mismo sensor capacitivo puee arrojar iferentes respuestas según cómo se coloque: ieléctrico ε r ieléctrico ε r ieléctrico 2 ieléctrico 2 L L Figura 4: Dos ispocisiones istintas arrojan resultaos istintos. Para el primer caso, con el capacitor colocao con sus placas paralelas al suelo, la separación agua-aceite también resultará en una istribución e os ieléctricos perfectamente combinaos en una asociación serie, cuya respuesta resulta sencilla y e la forma: C T = C + C 2 con C = ε0εr A ieléctrico. De esta manera: y C 2 = ε0εr 2 A one es la variable epeniente e las cantiaes e caa C T = ε 0ε r A + ε 0 A ε 0 ε r A C T = + ( ε r C T = ε 0A ε r + ( εr Y si = 2 = 2 : C T = ε 0A 2 ε r + ε r Mientras que para el seguno caso arroja la expresión ya calculaa: C T2 = ε ( 0A ε r ( ε r ln Estas expresiones son función e las permitiviaes relativas. Puee, también, expresárselas en función e y 2 para un caso genérico en que sean isintos y e esa manera conocer la proporción e la mezcla, ya que e esos valores se esprene el volumen que ocupa caa ieléctrico. Según el caso, será conveniente una u otra expresión, vália simplemente girano el capacitor (sensor ε r Universia Nacional e Moreno 5 Ing. Guillermo Gurnkel

8 Física II 4 ANÁLISIS DE LA SOLUCIÓN según correspona, ya que su capacia varía entre una y otra posición angular. Para el caso que a origen a este apunte, one C T = ε 0A ε r ( ε r ln ( ε r Si el meio superior es aire, cuya permitivia relativa se reonea a ε r reuce a: C T = ε 0A ( ln (ε r 2 =, la expresión se Para los valores aos y tomano ε r =, la capacia varía con con la siguiente forma: C T (F Figura 5: C T = f ( ϵ r2 Por lo tanto, para este caso, el meio cuya permitivia relativa es puee ser esconocio y, e acuero al valor meio e capacia puee ser eucio ingresano al gráco anterior por el eje e orenaas (capacia meia y obtenieno así el valor e que correspone a la misma, permitieno así conocer o iferenciar el meio 2, incógnita. Universia Nacional e Moreno 6 Ing. Guillermo Gurnkel

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