Tema 8: Derivación. José M. Salazar. Noviembre de 2016

Transcripción

1 Tema 8: Derivación. José M. Salazar Noviembre e 2016

2 Tema 8: Derivación. Lección 9. Derivación: teoría funamental. Lección 10. Aplicaciones e la erivación.

3 Ínice 1 Derivaas. Principales nociones y resultaos. Definición e erivaa en un punto e interpretación. Función erivaa y cálculo para algunas funciones elementales. Propieaes e las erivaas. Derivaa e la función inversa, erivación impĺıcita y logarítmica. Derivaas e principales funciones elementales. 2 Teoremas e Rolle y el valor meio. Teorema el valor meio generalizao e Cauchy.

4 Ejemplo introuctorio Ejemplo Un objeto ejerce una fuerza sobre una superficie elástica en la que provoca onas circulares cuyo raio crece a un ritmo constante e un metro por seguno. Nos preguntamos a qué ritmo está cambiano el área e la ona, A(t), cuano han pasao t 1 segunos. La tasa e variación meia el área en el intervalo t = t 2 t 1 es A(t 2 ) A(t 1 ) t 2 t 1 = π(t2 2 t2 1 ) t 2 t 1 = π(t 2 + t 1 ) Cuano t 2 t 1, obtenemos el ĺımite A (t 1 ) = lim t t1 A(t) A(t 1 ) t t 1 = lim t t1 π(t + t 1 ) = 2πt 1, que llamamos erivaa, o tasa e variación instantánea, e A en t 1.

5 Definición e erivaa Definición (Derivaa) Sea f una función efinia en un intervalo abierto I con a I. Decimos que f es erivable en a o iferenciable en a si existe y es real el ĺımite f (a + h) f (a) lim = f (a) R h 0 h A f (a) se le enomina erivaa e f en a y también se enota por f (a) = lim x a f (x) f (a) x a

6 Derivaa como peniente Observación (Recta tangente a la gráfica e f ) La peniente e la recta tangente a la gráfica e f en el punto (a, f (a)) es precisamente m = f (a). La ecuación e icha recta es, por tanto, y f (a) = f (a)(x a). recta por (a, f(a)) e peniente f(a+h1) f(a) h1 f(a + h 1) recta por (a, f(a)) e peniente f(a+h2) f(a) h2 f(a + h 2) recta tangente por (a, f(a)) e peniente f (a) f(a) a a + h 2 a + h 1

7 Derivaas laterales Definición (Derivaas laterales) Si f está efinia en un intervalo a la erecha e a, [a, a + ɛ), o a la izquiera e a, (a ɛ, a], los números f +(a) = lim h 0 + f (a + h) f (a) h f (a) f (a + h) f (a) = lim, h 0 h en caso e existir, se enominan erivaa por la erecha e a y erivaa por la izquiera e a, respectivamente. Proposición La erivaa f (a) existe si y sólo si existen y son iguales f +(a) = f (a).

8 Función erivaa Definición (Función erivaa) La función f es erivable en un intervalo abierto I si lo es en toos sus puntos. Si f es erivable en I, la función que en caa punto x I toma el valor f (x) se enomina función erivaa e f y se enota por f = f x = y x = y. Teorema Si f es erivable en a, entonces es continua en a.

9 Ejemplos e erivaas e funciones elementales Teorema x (c) = 0. x (x n ) = nx n 1 n N. (sen x) = cos x. x x (cos x) = sen x.

10 Operaciones con funciones y propieaes e las erivaas Propieaes Sean f, g erivables en a y sea c R. Entonces f ± g, cf, fg también son erivables en a cumplieno: (f ± g) (a) = f (a) ± g (a). (cf ) (a) = cf (a). (fg) (a) = f (a)g(a) + f (a)g (a). Si, aemás, g(a) 0, entonces f /g es erivable en a y ( ) f g (a) = f (a)g(a) f (a)g (a) g(a). 2 Regla e la caena. Si f es erivable en a y g lo es en f (a), entonces g f es erivable en a y (g f ) (a) = g (f (a))f (a)

11 Derivaa e la función inversa Teorema (Derivaa e la función inversa) Sea f : I R continua y estrictamente monótona en un intervalo abierto I. Si f es erivable en a I con f (a) 0, entonces f 1 es erivable en f (a) y ( f 1 ) (f (a)) = 1 f (a)

12 Derivación impĺıcita y logarítmica Observación (Derivación impĺıcita) Se ice que la función y = f (x) está efinia impĺıcitamente si la relación entre x e y no se puee explicitar y viene aa por una relación el tipo F (x, y) = 0. La regla e la caena permite calcular y (x) sin conocer y(x) erivano x F (x, y(x)) = 0. Observación (Derivación logarítmica) Para eterminaas funciones y = f (x) compuestas por prouctos, cocientes y potencias e otras, y cuya erivaa se esea calcular, puee ser útil la erivación logarítmica. El proceimiento es el siguiente: Se toman logaritmos en y = f (x), queano ln(y) = ln(f (x)), y se simplifica ln(f (x)) con las propieaes e los logaritmos. Se eriva impĺıcitamente con respecto a x: y y Se espeja y. = x (ln(f (x)).

13 Más ejemplos e erivaas e funciones elementales Teorema Las erivaas e las funciones trigonométricas se obtienen e las propieaes vistas. x (log a x) = 1 x ln a. En particular, x (ln x) = 1 x. x (ax ) = a x ln(a) para too a > 0. En particular, x (ex ) = e x x (x a ) = ax a 1 para too a R, x > 0. 1 (arcsen x) =. 1 x 2 x 1 x (arccos x) =. 1 x 2

14 Teoremas e Rolle y el valor meio Teorema (Teorema e Rolle) Si f es continua en [a, b], erivable en (a, b) y con f (a) = f (b), entonces existe x 0 (a, b) tal que f (x 0 ) = 0. Teorema (Teorema el valor meio) Sea f continua en [a, b] y erivable en (a, b). Entonces existe x 0 (a, b) tal que f f (b) f (a) (x 0 ) = b a f(b) f(a) a x0 b

15 Teorema el valor meio generalizao e Cauchy Ejemplos (Teorema el valor meio generalizao e Cauchy) Si f y g son continuas en [a, b] y erivables en (a, b), existe algún x 0 (a, b) tal que (f (b) f (a))g (x 0 ) = (g(b) g(a))f (x 0 ) Si, aemás, g(a) g(b) y g (x) 0 x (a, b), se tiene f (b) f (a) g(b) g(a) = f (x 0 ) g (x 0 )