UNIDAD 14 LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA

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1 UNIDAD 1 LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA Ojetivo generl. Al terminr est Unidd plirás ls definiiones los elementos que rterizn l elipse l hipérol en ls soluiones de ejeriios prolems. Ojetivos espeífios: 1. Reordrás plirás l definiión de l elipse omo un lugr geométrio su euión en l form nóni.. Reordrás plirás l definiión de l hipérol omo un lugr geométrio, su euión en l form nóni.. Reordrás plirás l form generl de l euión de un elipse de un hipérol ls rterístis de los oefiientes de un euión de segundo grdo que represent un elipse o un hipérol.

2 Ojetivo 1. Reordrás plirás l definiión de l elipse omo un lugr geométrio su euión en l form nóni en l form generl. Definiión. L elipse es el lugr geométrio de un punto que se mueve en un plno de tl mner que l sum de sus distnis dos puntos fijos, situdos en el mismo plno, llmdos foos, es un ntidd onstnte mor que l distni entre los foos. Se llm eje fol l ret que ps por los foos (F F ) que ort l elipse en dos puntos llmdos vérties (V V ). L porión del eje fol omprendid entre los vérties: se llm eje mor su longitud VV ' se design omo. L longitud del eje fol es FF '. L ret perpendiulr l eje fol en el entro de l elipse se llm eje norml, ort l urv en dos puntos, A A. El segmento longitud es. AA ' es el eje menor de l elipse su L posiión del eje fol define l posiión de l elipse: horizontl, si su eje fol es prlelo o oinide on el eje (Figur 6.1); vertil, si su eje fol es prlelo o oinide on el eje (Figur 6.1); o inlind. Si l posiión de l elipse es inlind, se reurre l rotión de ejes pr nlizrl. Figur 1.1.

3 Figur 1.1. L elipse es un urv simétri on respeto sus dos ejes, que tiene dos ldos retos: ls dos rets perpendiulres l eje mor que psn por los foos unen dos puntos de l urv. L elipse tiene dos diretries: ls rets perpendiulres l eje fol que se enuentrn l mism distni de los vérties que los foos, pero en el ldo opuesto, es deir fuer de l elipse. Pr determinr l euión del lugr geométrio que define l elipse, en el so en que l urv tiene su entro en el origen su eje fol oinide on el eje, omo los foos se enuentrn sore el eje de ls siss, sus oordends son F(, 0), F (, 0), siendo un onstnte positiv. Si P(, ) es un punto ulquier de l elipse, de uerdo on l definiión de est urv P dee stisfer l ondiión: FP F' P ; donde > Al sustituir en l fórmul pr lulr l distni de d segmento se tiene: 0 0

4 Desrrollndo: Como, l epresión 0 puede ser reemplzd por un número positivo : Sustituendo: Y dividiendo por : 1 Ést es l euión de un elipse on ls siguientes rterístis: Centro: C(0, 0) Eje fol: eje

5 Vérties: V(, 0) V (, 0) Foos: F(, 0), F (, 0) Distni fol: Longitud del eje mor: Longitud del eje menor: Longitud de d ldo reto: Eentriidd: e < 1 En el so de l elipse l eentriidd siempre será menor 1 que >. Cundo el eje fol de l elipse oinide on el eje, l urv es vertil, ls oordends de los foos serán F(0, ), F (0, ) ls de los vérties V(0, ) V (0, ). En este so su euión es: Y sus elementos son: 1 Centro: C(0, 0) Eje fol: eje Vérties: V(0, ) V (0, ) Foos: F(0, ), F (0, ) Distni fol: Longitud del eje mor: Longitud del eje menor: Longitud de d ldo reto: Eentriidd: e < 1

6 Ejemplos: 1.) Pr enontrr l euión de l elipse on entro en el origen, un foo en el punto (0, ) semieje mor igul 5, por ls oordends del foo se se que el eje fol es el eje, que l distni del entro l foo es =. Además, = 5. L euión de l urv es del tipo 1, pr l ul se neesit tener el vlor de, el semieje menor. Puesto que se onoen, se determin de l epresión que ls relion: 5 16 Al sustituir estos vlores, l euión de l elipse es ) Se pueden determinr todos los elementos que rterizn l elipse del ejemplo nterior representrl en el plno oordendo: Centro: C(0, 0) Eje fol: eje Vérties: V(0, 5) V (0, 5) Foos: F(0, ), F (0, ) Distni fol: = 6 Longitud del eje mor: = 10 Longitud del eje menor: = 8 Longitud de d ldo reto: Eentriidd: = e = < 1 5

7 Figur E 1. 1.) L euión de l elipse on vérties V(, 0) V (, 0) eentriidd se puede otener de l siguiente mner: Por los vérties se se que es un elipse on entro en el origen, que su eje fol es el eje, que =. Por l definiión de l eentriidd: Entones e, por lo tnto,, =. 7 L euión es

8 .) Pr l elipse uo eje mor oinide on el eje ps por los puntos (, ) (6, ), l onsiderr l fórmul 1 omo los puntos deen stisfer l euión, se tiene: Pr (, ): ; 1... (1) Pr (6, ): ; 1... () Éste es un sistem de euiones on dos inógnits:. Pr resolverlo se puede despejr de ls dos euiones e igulr los vlores pr determinr el vlor de : 16 9 De (1): () De (): () 6 6 Igulndo () ():

9 Este vlor se sustitue, por ejemplo, en (): L euión de l elipse es: Pr definir sus elementos se requiere onoer el vlor de. Utilizndo l epresión: Los elementos de l elipse son: Centro: C(0, 0) Eje fol: Eje Vérties: V( 5, 0) V ( 5, 0) Foos: F( 9, 0), F ( 9, 0) Distni fol: = 9 Longitud del eje mor: = 5 Longitud del eje menor: = 1 Longitud de d ldo reto: = 6 1 5

10 Eentriidd: e = 9 5 su gráfi es: F'( 9,0) F( 9,0) V' (- 5,0) V( 5, 0) Figur E 1. Cundo un elipse tiene su entro en otro punto ulquier (h, k) del plno su eje fol es prlelo l eje, l euión que l define se enuentr suponiendo que los ejes se trsldn de mner que el nuevo origen O oinid on el entro (h, k) de l urv. Figur 1.

11 Entones l euión de l elipse referid los nuevos ejes es ' ' Est euión puede referirse los ejes originles usndo ls euiones de trnsformión h, ' k de donde ' h, k Al sustituir estos vlores en l epresión de l elipse se otiene l euión referid los ejes originles: 1 h k 1 En este so, lo únio que se modifi son ls oordends de los foos de los vérties, Centro: C(h, k) Eje fol: prlelo l eje Vérties: V(h +, k), V (h, k) Foos: F(h +, k), F (h, k) Cundo el eje fol es prlelo l eje, l elipse es vertil su euión, referid los ejes, es: ' ' 1 Aplindo ls euiones de trnsformión se otiene h k 1 Sus elementos son: Centro: C(h, k) Eje fol: prlelo l eje Vérties: V(h, k + ), V (h, k ) Foos: F(h, k + ), F (h, k )

12 En mos sos los demás elementos de l urv permneen igul: Distni fol: Longitud del eje mor: Longitud del eje menor: Longitud de d ldo reto: Eentriidd: e < 1 Ejemplos: 5.) Pr l elipse uos vérties son V(6, ) V (, ) sus foos los puntos F(5, ) F ( 1, ), omo los vérties los foos tienen l mism ordend, l elipse tiene su eje mor prlelo l eje, de mner que l fórmul utilizr es h k 1 El entro de l elipse está en el punto medio de los vérties ( de los foos) por lo tnto sus oordends son 1 = 6 1 = C(, ) L distni del entro ulquier de los vérties es el vlor de, de modo que: 6 Y es l distni del entro ulquier de los foos: 5 Pr determinr l euión es neesrio onoer el vlor de :

13 Y se tom > 0 puesto que es un distni. Se sustituen estos vlores en l euión orrespondiente qued: Pr determinr su gráfi se lolizn los vérties, los foos el entro, se se que su eje mor mide = () = 8 su eje menor, = 7, de mner que los puntos de interseión de l elipse on su eje menor son B, 7 B ', 7. Cd uno de sus ldos retos mide 1 =. 5 Pr = 0 Pr = Otros puntos de l elipse, on vlores proimdos de l ordend, son: ; ; ; 0 ; 1 = 6. ; = ; 1 = (0, 6.) (0, 1.7) (, 6.) (, 1.7)

14 Pr = 1 = 6. ; = 1.7 1; ; ; (, 6.65) (, 1.5) ; 1 = 6.65 ; = 1.5 Con estos puntos los demás elementos luldos, se puede grfir de mner proimd l elipse. Figur E 1. 6.) Si los vérties de un elipse son los puntos (, 7) (, 1) l longitud de d ldo reto es, omo los vérties tienen l mism sis l elipse es vertil que el eje mor, el fol, son prlelos l eje. L euión que le orresponde es: h k 1

15 El entro es el punto medio del eje mor vérties su ordend es 1 = 7 1 VV ': su sis es l mism de los C(, ) L longitud de su eje mor es l distni entre sus vérties: = Como l longitud de d uno de sus ldos retos es, se tiene: l longitud de su eje menor es = = 8 L euión de est elipse es: 16 1 Pr determinr ls oordends de los foos se lul el vlor de prtir de l epresión: Por lo tnto, los foos son los puntos: F,, ', F su eentriidd es e

16 Figur E 1. 7.) Pr enontrr l euión de l elipse que tiene entro en (1, ), uno de los foos es (6, ) ps por el punto (, 6), se puede proeder de l siguiente mner: Como el entro el foo tienen l mism ordend, el eje fol el eje mor son prlelos l eje. Por tnto, l euión que orresponde est urv es: h k 1 Al sustituir ls oordends del entro (h, k) = (1, ): H que determinr. 1 1 Como el punto (, 6) pertenee l elipse, stisfe su euión:

17 Pr otener un euión on un sol inógnit, se he l sustituión, puesto que es l distni del entro l foo: de modo que: Ést es un euión en, que se puede resolver omo sigue: Al sustituir ls dos ríes en l epresión pr : Sólo l primer ríz es válid que no puede ser negtiv, por lo tnto = 5, = 0 l euión de l elipse es: ) L Tierr desrie un tretori elípti lrededor del Sol que se enuentr en uno de los foos. Si se se que el semieje mor de l elipse es de kilómetros que l eentriidd es proimdmente 1 6, se pueden enontrr

18 ls distnis máim mínim de l Tierr l Sol l onsiderr que, omo entones: ,500,000 e 18,500,000 6 =,00,000 (proimdo) Por tno, l distni máim es + = 18,500,000 +,00,000 = 150,900,000 = kilómetros. l distni mínim es = 18,500,000,00,000 = 16,100,000 = kilómetros. Ojetivo. Reordrás plirás l definiión de l hipérol omo un lugr geométrio su euión en l form nóni. Definiión. L hipérol es el lugr geométrio de un punto que se mueve en un plno de tl mner que el vlor soluto de l difereni de sus distnis dos puntos fijos del plno llmdos foos, es siempre igul un ntidd onstnte menor que l distni entre los foos. Se llm eje fol de l hipérol l ret de longitud que ps por los foos F F que ort l urv en dos puntos V V llmdos vérties. L porión VV ' del eje fol omprendid entre los vérties se llm eje trnsverso. El punto medio del eje trnsverso es el entro de l hipérol se denot omo C (Fig..1). Tmién se definen el eje norml, que es l ret perpendiulr l eje trnsverso en C el eje onjugdo, que es un segmento AA ' del eje norml que tiene C omo punto medio (más delnte se preis l lolizión de los puntos A A'). L hipérol tiene dos ldos retos que son ls rets perpendiulres l eje fol que psn por los foos unen dos

19 puntos de l urv. L hipérol es un urv simétri on respeto sus ejes tiene dos síntots que se ortn en el entro de l hipérol. (Fig..). Figur.1 Figur. L posiión del eje fol define l posiión de l hipérol: es horizontl, si su eje fol es prlelo o oinide on el eje ; es vertil, si su eje fol es prlelo o oinide on el eje. Tmién puede estr inlind en el plno, en uo so se reurre l rotión de ejes pr onvertirl uno de los dos sos nteriores.

20 Pr determinr l euión del lugr geométrio que define l hipérol, en el so en que l urv tiene su entro en el origen su eje fol oinide on el eje, omo los foos se enuentrn sore el eje de ls siss uniddes l dereh l izquierd del entro, sus oordends son F,0, F ',0, donde es un onstnte positiv. Si P, es un punto ulquier de l hipérol, por l definiión se dee stisfer l ondiión: Est epresión es equivlente FP F ' P ; donde FP F' P FP F' P Al sustituir en l fórmul pr lulr l distni de d segmento, en ms epresiones, se tiene: (1) () Simplifindo l epresión (1):

21 Como, 0 puede reemplzrse por un número positivo,, que l sustituirse en l últim epresión dej: Y dividiendo por : 1 Se puede ompror que prtir de l epresión () siguiendo el proedimiento nterior l euión que se otiene es l mism: 1. En el so de l hipérol, ls onstntes, están ligds por l relión: = por lo que Del nálisis del lugr geométrio que define l euión 1, se otiene que: 1. Es un urv simétri on respeto los ejes oordendos l origen.. En el intervlo no eisten vlores reles pr.. L longitud de d ldo reto es. L eentriidd, e, es mor que l unidd que >

22 L hipérol tiene dos síntots. Pr el so que se está presentndo, si se despej de l euión 1 se otiene: 1 Si ument indefinidmente, l urv se prolong hi el infinito prtir del vértie el oiente d vez más ls rets tiende ero, por lo que el rdindo tiende l vlor de 1 l urv se er, que son ls euiones de ls dos síntots de l hipérol. En resumen, l hipérol u euión en l form nóni es 1 es horizontl, tiene ls siguientes rterístis elementos: Centro C(0, 0) Eje fol El eje Vérties V(, 0) V (, 0) Foos F(, 0), F (, 0) Distni fol Longitud del eje trnsverso Longitud del eje onjugdo*

23 Longitud de d ldo reto Eentriidd Asíntots e = > 1 ; *Aun undo l hipérol no interset l eje, los puntos A (0, ) A (0, ), se tomn omo etremos del eje onjugdo. Cundo el eje fol oinide on el eje l hipérol es vertil, ls oordends de los foos son F(0, ), F (0, ), ls de los vérties: V(0, ) V (0, ), su euión: 1 Sus rterístis elementos son: Centro C(0, 0) Eje fol Vérties Foos Distni fol Longitud del eje trnsverso el eje V(0, ) V (0, ) F(0, ), F (0, ) Longitud del eje onjugdo* Longitud de d ldo reto Eentriidd Asíntots e = > 1 ; *Ahor no h interseión on el eje, pero los puntos A (, 0) A (, 0), se onsidern los etremos del eje onjugdo.

24 Ejemplos: 1.) Pr enontrr l euión de l hipérol uos vérties son V(, 0) V (, 0) sus foos F(5, 0), F ( 5, 0) se puede proeder omo sigue. Por ls oordends de los vérties los foos se se que l hipérol tiene su entro en el origen su eje fol está sore el eje, por lo tnto, su euión es de l form 1. L distni de los vérties l entro es de uniddes, =, l distni de los foos l entro es de 5 uniddes, = 5, por lo que = = (5) () = 5 9 = 16 = L euión de l hipérol es: ) Los elementos que rterizn l hipérol del ejemplo nterior son: Distni fol = 10 Longitud del eje trnsverso = 6 Longitud del eje onjugdo = 8 Longitud de d ldo reto Eentriidd Asíntots = 16 5 e = = ; =

25 Figur E.1.) Si los etremos del eje onjugdo de un hipérol son los puntos (0, ) (0, ) l longitud de d ldo reto es 6, entones de ls oordends dds (que orresponden los puntos A A') se se que l hipérol tiene su entro en el origen, que su eje fol está sore el eje, que su semieje onjugdo,, es igul. Pr determinr l euión se dee onoer el vlor de, el semieje trnsverso, que puede enontrrse on el dto de l longitud del ldo reto que = LR LR = 6 = 18 6 Entones l euión de l hipérol es: 1 9 9

26 Su eentriidd es: e = = 9 9 = = Figur E..) Pr un hipérol on entro en el origen eje onjugdo sore el eje, su euión es del tipo 1. Si l longitud de d ldo reto es ps por el punto 1,, se puede enontrr su euión de l siguiente mner: El punto 1, pertenee l urv, por lo tnto stisfe su euión: Por otr prte, () ( 1) LR 6 Al sustituir l epresión pr en l euión de l hipérol:

27 resolviendo est euión se otiene: = El vlor negtivo de se desrt ddo que es un longitud. Entones = 1 : Con estos vlores l euión de l hipérol es: Figur E. Dependiendo de l relión entre los ejes trnsverso onjugdo, se definen dos tipos prtiulres de hipérols:

28 . Se llm hipérol equiláter l hipérol uos ejes trnsverso onjugdo tienen l mism longitud, es deir =, su euión se redue 1 1 Ls síntots de est urv:,, reduen su epresión :, Como ests rets son perpendiulres entre sí, l urv tmién reie el nomre de hipérol retngulr.. Se llmn hipérols onjugds dos hipérols en ls que el eje trnsverso de un es igul l eje onjugdo de l otr, por lo que tmién se die que d hipérol es onjugd de l otr. Si l euión de un hipérol es l euión de su hipérol onjugd es: on 1 1. Dos hipérols onjugds tienen un entro omún, dos síntots omunes todos sus foos equidistn del entro. Ejemplo: 5.) Pr l hipérol , su hipérol onjugd es Pr 1, que es horizontl, = 9, = 16, sus síntots son 9 16

29 Pr 1, que es vertil, , 1 que son ls misms síntots de l primer hipérol , sus síntots son El semieje fol tiene l mism longitud en ms hipérols: Por lo tnto, los foos de l hipérol son F(5, 0) F ( 5, 0) los de l hipérol onjugd son F(0, 5) F (0, 5) Figur E. L euión de un hipérol uo entro no está en el origen, pero sus ejes son prlelos los ejes oordendos, puede otenerse medinte trslión de los ejes rtesinos de mner que el origen del sistem oordendo oinid on el entro de l urv. Si ls oordends

30 del entro de l hipérol son (h, k) su eje trnsverso es prlelo l eje, l euión de l hipérol on respeto los nuevos ejes oordendos es ( ') ( ') 1, ddo que l trslión de ejes es tl que ' h ' k Al sustituir en l euión se otiene h k 1 Ést es l euión de un hipérol on Centro C(h, k) Eje fol prlelo l eje Vérties V(h +, k) V (h, k) Foos F(h +, k), F (h, k) Distni fol Longitud del eje trnsverso Longitud del eje onjugdo Longitud de d ldo reto Eentriidd e = Asíntots h k ; h k > 1 Si el entro de l hipérol está en (h, k) el eje fol es prlelo l eje, l euión es k h sus rterístis: Centro C(h, k) Eje fol ( eje trnsverso) prlelo l eje 1

31 Vérties V(h, k + ) V (h, k ) Foos F(h, k + ), F (h, k ) Distni fol Longitud del eje trnsverso Longitud del eje onjugdo Longitud de d ldo reto Eentriidd Asíntots e = > 1 h k ; h k Ejemplos: 6.) Pr otener l euión de l hipérol que tiene su entro en (, 1) un vértie en (, 1) su semieje onjugdo es igul, omo el entro el vértie tienen l mism ordend, l hipérol tiene su eje fol prlelo l eje, l euión será h k 1 Su semieje onjugdo es =, l distni del entro l vértie es 6 De modo que su euión es ) Los demás elementos de l hipérol del ejemplo nterior se pueden otener prtir de que h = ; k = 1; = 6, = ; = Vérties V(, 1), V ( 10, 1) Foos F( + 5, 1), F ( 5, 1) Distni fol 5 = 1 Longitud del eje trnsverso 1

32 Longitud del eje onjugdo 8 Longitud de d ldo reto Eentriidd Asíntots = e = = 6 8.) Si un hipérol tiene eentriidd de sus vérties son los puntos (, 1),, omo los vérties tienen l mism sis, l hipérol tiene su eje trnsverso prlelo l eje, su entro está en el punto medio de este segmento: C(, 1). L longitud del semieje trnsverso es: 1, omo e, entones =. Con estos vlores se puede lulr 9 5 L euión de l hipérol es ls oordends de los foos son F(, ) F (, ) l longitud del ldo reto LR 10 5

33 Ojetivo. Reordrás plirás l form generl de l euión de un elipse de un hipérol ls rterístis de los oefiientes de un euión de segundo grdo que represent un elipse o un hipérol. De l form nóni de l euión de un elipse o de un hipérol es posile otener l form generl desrrollndo ls operiones indids por los oientes los inomios l udrdo (si l urv tiene su entro fuer del origen), pr después reduir términos semejntes e igulr ero l euión. En el so de un elipse en l que el eje mor se horizontl: h k h h 1 k 1 h h k k h k h k 0 Comprndo est euión on l form generl de un euión de segundo grdo, en que no prez el término en : se otiene que: A C D E F 0 A ; C ; D h ; E k ; F h k Un desrrollo similr pr l elipse on eje mor vertil llev que: A ; C ; D h ; E k ; F h k Así, l euión udráti de l form A C D E F 0, on A C, pero on el mismo signo, orresponde un elipse. Si A C l elipse es horizontl si A C, es vertil. Ejemplos:

34 1.) Pr l elipse : A = 1; C = ; D = ; E = 1; F = 6 Como A C son diferentes pero del mismo signo A < C, l elipse es horizontl tiene, es deir, su eje mor prlelo l eje. Pr determinr sus elementos se puede otener l euión en l form nóni, pr lo ul se ompletn los trinomios se igul 1 l euión De quí se se que: ) Su entro está en C 1, ) Como =, =, los vérties son V 1, = 1, V ' 1, =, ) De,, los foos están en F 1, F ' 1, d) L longitud del eje mor es = ; l longitud del eje menor es = ; l longitud de d ldo reto es LR = 1 1

35 e) L eentriidd es e.) Dd l euión de l elipse 9 8 0, se pueden determinr todos sus elementos sin psr por l form nóni. Pr otener ls oordends del entro, los vérties, los foos, ls longitudes de sus ejes de sus ldos retos, l eentriidd, se deen onoer los vlores de h, k,,, prtir de los de A, C, D, E F. De l euión: A 9, C, D 0, E 8, F Como A > C, l elipse tiene su eje mor vertil por lo que: A = 9, = ; C =, = D 0 D h ; h = 0 18 E E k ; k = 8 = Con estos vlores se determinn: ) Centro: (h, k) = (0, 1) ) Vérties: (h, k ± ) V(0, 1 + ) = (0, ) V (0, 1 ) = (0, ) ) Foos: (h, k ± ) F 0,1 5 F ' 0,1 5 d) Eje mor: = 6 e) Eje menor: = f) Ldo reto (d uno): g) Eentriidd: e 5 8

36 Un euión de segundo grdo A C D E F 0 on A C pero del mismo signo represent, en generl, un elipse, pero tmién puede ourrir que se sólo un punto, o inluso que no represente un lugr geométrio rel. Esto dependerá del vlor de de l epresión CD AE ACF omo se indi: ) Si ( CD AE ACF ) > 0, l euión represent un elipse de ejes prlelos los oordendos. D E ) Si ( CD AE ACF ) = 0, represent un punto de oordends, A C ) Si ( CD AE ACF ) < 0, no represent ningún lugr geométrio rel. Ejemplos:.) L euión 6 0 no represent un elipse puesto que: Si ien A =, C = 1, 1 mos son positivos, omo D =, E =, F 6, entones = CD AE ACF = = 6 < 0 Este resultdo indi que l euión no represent un lugr geométrio rel. 5.) El lugr geométrio de los puntos P(, ) u sum de distnis los puntos fijos (, 1) (-5, 1) se igul 10 es un elipse, omo se muestr ontinuión: 1 Distni de P (, 1) = 1 5 Distni de P (-5, 1) = L sum de ls distnis es igul 10: = 10

37 Pr simplifir est euión, se puede psr un rdil l segundo miemro, elevr l udrdo tod l euión, desrrollr los inomios udrdos reduir términos semejntes: 1 = = Se puede dividir por utro tod l euión, elevr nuevmente l udrdo pr eliminr el rdil, volver desrrollr los inomios udrdos reduir términos semejntes: Ést es l euión del lugr geométrio. Por ls rterístis de A de C pree ser un elipse on eje mor prlelo l eje (horizontl). Pr omprorlo se evlú CD AE ACF omo A = 9, C = 5, D = 18, E = 50, F = 191: CD AE ACF = (5) (18) + (9) ( 50) (9) (5) ( 191) = = > 0 Por lo tnto el lugr geométrio es un elipse.

38 Siguiendo un proedimiento similr l que se siguió en el so de l elipse, pr l euión de un hipérol on entro en (h, k) eje fol prlelo l eje : h k l desrrollr udrdos, eliminr denomindores e igulr ero se otiene: h h 1 k 1 h h k k h k h k 0 Al omprr est euión on l form generl de un euión de segundo grdo, sin el término en : A C D E F 0 se otiene que: A ; C ; D h ; E k ; F h k Pr un hipérol vertil on entro en (h, k), se otiene que: A ; C ; D h ; E k ; F k h En generl, si los oefiientes de A C difieren en signo, un euión de segundo grdo, sin término en, representrá un hipérol uos ejes son prlelos los oordendos. Si A es positivo, se trtrá de un hipérol horizontl, si A es negtivo será un hipérol vertil. Ejemplos: 6.) En l hipérol , omo el término positivo es el de, l hipérol es horizontl (su eje fol es prlelo l eje ). Pr determinr sus elementos se pueden ompletr los trinomios udrdos e igulr 1 l euión: ( ( ) 5( ) 5( ) 9 1)

39 ( ) 5( 1) 0 Pr igulr 1 se divide entre 0 l euión: 5 De est euión se otiene que: 1 1 de modo que sus rterístis son: C(, 1); = 5; = ; 5 Centro C(, 1) Eje fol Prlelo l eje Vérties V( + 5, 1) V ( 5, 1) Foos F(5, 1) F ( 1, 1) Distni fol 6 Longitud del eje trnsverso 5 Longitud del eje onjugdo Longitud de d ldo reto Eentriidd = e = Asíntots ) En l hipérol 6 1 0, el oefiiente de es positivo, por lo tnto l hipérol es vertil l relión entre los oefiientes de l euión en l form nóni l form generl es: A ; C ; D h ; E k ; F k h Entones: A = = ; C = = Longitud del eje trnsverso: =, longitud del eje onjugdo: =, :

40 7 Pr ls oordends del entro: El entro es C 1, D = 6 = h; E = = k; D 6 E h 1; k 6 8 Los vérties son: V( 1, + ), V ( 1, ) Los foos son: F( 1, + 7 ), F ( 1, 7 ) Figur E.1 En osiones, l euión A C D E F 0 on A C de signos diferentes, no represent un hipérol sino un pr de rets que se ortn. Si en est euión, undo A > 0 C < 0, se he C C ', entones C ' será positivo. Al ompletr los udrdos perfetos en A C D E F ' 0

41 se otiene que es igul A D A D A C' E E C' C' D E F A C' D ' E A C D E F A C ' A C ' Si el segundo miemro de est euión es positivo o negtivo, l euión represent un hipérol on ejes prlelos los ejes oordendos; pero si el segundo miemro es igul ero, l epresión tiene l form D E A C ' 0 A C ', omo d uno de los dos términos del primer miemro es positivo, se tiene un difereni de udrdos que se puede ftorizr omo D E D E A C ' A C ' 0 A C ' A C ' Al igulr d uno de los ftores ero se otienen dos rets que se ortn. En osiones este pr de rets se les llm hipérol degenerd. Pr el so en que A < 0 C > 0, l euión A C D E F 0 represent un pr de rets que se ruzn undo E D F 0, en donde A A'. C A' Ejemplo: 8.) En l euión 6 9 0, se tiene que: A, C 1, D 0, E 6, F 9 entones, A' E D 6 0 F 9 C A' 1

42 por lo que l euión represent dos rets que se ruzn. Como se se, tnto pr l irunfereni omo pr l práol, se requieren tres ondiiones pr determinr su euión, porque d un tiene tres prámetros independientes que deen onoerse. En el so de l elipse, de ulquier de sus euiones: h k 1 ó h k se oserv que son utro los prámetros que l definen: h, k,. Por tnto, pr determinr l euión de un elipse se neesitn utro ondiiones, por ejemplo utro puntos de l urv. 1 De l mism mner, pr el so de l hipérol se neesitn tmién utro ondiiones pr determinr su euión puesto que, igulmente, en ulquier de sus euiones preen utro prámetros. Ejemplo: 9.) L euión de l elipse uos ejes son prlelos los ejes oordendos que ps por los puntos ( 6, ), ( 8, 1), (, ), (8, ), por l uiión de los puntos en el plno, orresponde un en l que el eje fol es prlelo l eje. Figur E.

43 Cd uno de los puntos por los que ps l urv stisfe su euión. Entones, en l euión 0 F E D C se sustituen los puntos: ( 6, 8): F E D C ( 8, 1): F E D C (, ): 0 F E D C (8, ): F E D C se otiene entones un sistem de utro euiones on utro inógnits que se puede resolver on lgún pquete de ómputo. L soluión es: C =, D =, E = 8, F = 9 por lo que l euión de l elipse es: en l form nóni: