UNIDAD 14 LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA

Transcripción

1 UNIDAD LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA EJERCICIOS RESUELTOS Ojetivo generl. Al terminr est Unidd plirás ls definiiones los elementos que rterizn l elipse l hipérol en ls soluiones de ejeriios prolems. Ojetivo. Reordrás plirás l definiión de l elipse omo un lugr geométrio su euión en l form nóni en l form generl. Ejeriios resueltos:.) Enuentr l euión de l elipse on foos F(0, ) F (0, ), d uno de sus ldos retos igul. Como los foos tienen l mism sis, el eje fol es el eje. El entro se enuentr en el punto medio entre ellos: C(0, 0). L distni es: 0, El ldo reto es: LR

2 Sustituendo: El vlor negtivo de no se onsider puesto que es un longitud. Por tnto =. 7 L euión de l elipse es 7.) Los foos de un elipse son los puntos F(, 8) F (, ) l longitud de su eje menor es 8. Enuentr l euión de l elipse, ls oordends de sus vérties su eentriidd. El eje fol es prlelo l eje. El entro tiene l mism sis que los foos: h =. L distni entre los foos es: 8

3 k = + = + = C(, ) = 8 = Euión de l elipse: Vérties: V(h, k + ) = (, + ) = (, 0); V (h, k ) = (, ) = (, 0) Eentriidd: e =.) Enuentr l euión del lugr geométrio de los puntos u distni l punto (, 0) es igul l mitd de su distni l ret = 0 e interpret el resultdo. Distni de un punto (, ) l punto (, 0): 0 d Distni del mismo punto (, ) l ret = 0: d 8 d d = 8

4 El lugr geométrio desrito es un elipse horizontl on entro en el origen, eje mor igul (8) = eje menor igul 8..) Un ro on form de semielipse tiene un ltur máim de m un lro de 0m. Enuentr l longitud de dos soportes vertiles situdos de mner que dividn en lro en tres espios igules. Si el eje es l se del ro (el eje fol de l elipse) el origen es su punto medio, l euión es del tipo, on el semieje mor, = 7 el semieje menor, =. Pr que el lro se divid en tres prtes igules, l distni de los soportes d vértie entre ellos dee ser de 0m. L euión es: 0

5 Pr determinr l ltur de los soportes, se he = en l euión se despej el vlor de : Puesto que es un longitud (l ltur de los postes), se tom sólo l ríz positiv. Ojetivo. Reordrás plirás l definiión de l hipérol omo un lugr geométrio su euión en l form nóni. Ejeriios resueltos:.) Enuentr los elementos de l hipérol ; = ; = (l ríz negtiv se desrt) Centro C(0, 0) Eje fol El eje Vérties V(0, ), V (0, ) Foos F(0, ), F (0, ) Distni fol 0

6 Longitud del eje trnsverso Longitud del eje onjugdo 8 Longitud de d ldo reto Eentriidd Asíntots = e = ;.) Enuentr l euión de l hipérol horizontl que tiene su entro en (0, 0), su ldo reto mide uniddes su eentriidd es 7 LR 7 e ; () Hipérol horizontl: L euión que se pide es:

7 .) Determin l euión de l hipérol on C(0, 0), eje fol sore el eje, que ps por los puntos (, ) (, ) Hipérol vertil: Se sustituen ls oordends de los puntos por los que ps: : () () ( ) () Se despej en l segund euión: se sustitue en l primer:

8 Se resuelve pr se sustitue pr lulr : () L euión de l hipérol es:.) Los vérties de un hipérol son los puntos (, ) (, ) l longitud de su eje onjugdo es. Enuentr l euión de l hipérol, ls oordends de sus foos su eentriidd. V(, ) V (, ) l hipérol es vertil: h k Centro de l hipérol: h =, k C(, 0)

9 Semieje trnsverso: = 0 Eje onjugdo = semieje onjugdo: = Euión de l hipérol: 0 = Foos:,,, Eentriidd: e Ojetivo. Reordrás plirás l form generl de l euión de un elipse o de un hipérol ls rterístis de los oefiientes de un euión de segundo grdo que represent un elipse o un hipérol. Ejeriios resueltos:.) Comprue que el lugr geométrio de l euión 0 es un elipse enuentr ls oordends del entro, de los vérties foos. A =, C =,, mos son positivos. D =, E =, F = ; = CD AE ACF = + 88 = > 0 l euión sí represent un elipse. Por los vlores de A de C, tiene su eje fol prlelo l eje. A ; C ; D h ; E k ; F h k Por lo tnto:

10 = ; = ; = ; = ; D h = E k = 8, C ; V, =,, V, ; F,, F,.) Enuentr el lugr geométrio de los puntos P(, ) tles que el produto de ls pendientes de ls rets que los unen on los puntos fijos (, ) (, ) es igul Pendiente de ls rets que psn por los puntos (, ) (, ): m = Pendiente de ls rets que psn por los puntos (, ) (, ): m = m m = El lugr geométrio es un hipérol.

11 .) Enuentr el lugr geométrio de los puntos P(, ) tl que el produto de ls pendientes de ls rets que unen el punto P on los puntos fijos (, ) (, ) es igul. Pendiente de l ret que une P on (, ): m Pendiente de l ret que une P on (, ): m m m 0 8 Es un elipse..) Enuentr todos los elemento de l elipse 0 8 A =, C =, D = 0, E = 0, F = -8;, mos son positivos C > A. L euión no tiene términos en ni en por lo que el entro está en el origen C(0, 0), V(, 0), V (-, 0); F( 7, 0), F (- 7, 0); LR ; 7 e ; = ; =