EJERCICIOS RESUELTOS TEMA 2: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. FUNCIÓN DERIVADA. APLICACIONES.
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- Susana Serrano San Segundo
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1 EJERCICIOS RESUELTOS TEMA : DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. FUNCIÓN DERIVADA. APLICACIONES.
2 Ejercicio 1 Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones y simplifícalas: a) f ( ) sine b) f ( ) sinln 1 c) f ( ) costan d) f ( ) arcsin 1 sin 3 ln e) f ( ) tane e f) f ( ) g) f ( ) sin 1 cos ln e e i) f ( ) j) f ( ) 1 e h) f ( ) arctan ln e Resolución a) f ( ) sine Derivada de tipo trigonométrico (seno). b) f ( ) sinln 1 Derivada de tipo trigonométrico (seno). c) f ( ) costan Derivada de tipo trigonométrico (coseno). d) f ( ) arcsin 1 Derivada de tipo trigonométrico (arco coseno).
3 e) f ( ) tane Derivada de tipo trigonométrico (tangente). sin 3 lne f) f ( ) 1 Derivada de un cociente. g) f ( ) sin cos 1 ln Derivada de una suma. e h) f ( ) arctan ln Derivada de tipo trigonométrico (arco tangente).
4 i) e f ( ) e e e Derivada de una diferencia. j) f ( ) e Derivada de un producto. Realicemos primero la derivada de y : y ahora la derivada general: Ejercicio Calcula los valores de a y b para que la función siguiente sea continua y derivable en todo R y calcula f (). Resolución Cada rama de la función es continua y derivable en sus intervalos de definición por tratarse de funciones polinómicas.
5 Por tanto, tendremos que ver si las condiciones de continuidad y derivabilidad se cumplen en =1. Continuidad en =1: para que f() sea continua en =1. Derivabilidad en =1. para que f() sea derivable en =1. Nos queda el sistema de ecuaciones: Resolviéndolo se obtienen los valores a=1 y b=. Entonces : Ejercicio 3 La parábola adjunta corresponde a la gráfica de la primera derivada de una función. Deduce e indica razonadamente a partir de ella, la eistencia de etremos relativos e intervalos de monotonía y curvatura de f(). Dibuja aproimadamente cómo sería la gráfica de f().
6 Resolución Estudiaremos primero los intervalos de monotonía de la función: Teniendo en cuenta que la gráfica corresponde a la derivada de la función, se observa que eisten los siguientes intervalos: (,-1) la función derivada es negativa, es decir f ()<0 (-1,3) la función derivada es positiva, es decir, f ()>0 (3, ) la función derivada es negativa, es decir f ()<0 Consecuentemente en estos intervalos la función será decreciente, creciente y decreciente, respectivamente. Fijándonos ahora en la concavidad de la curva, tenemos dos intervalos que son: (,1) donde la función derivada crece (1, ) donde la función derivada decrece Habría además un punto de infleión en el punto: (1,f(1)). Nótese en la tabla que ahora lo que se estudia son los intervalos de monotonía de la derivada de la función, f (), que vendría dada por f (), es decir, en aquellas zonas en las que f () es creciente, la derivada de dicha función, f () será positiva. Análogamente pasaría en las zonas en las que f () es decreciente que f () será negativa, de ahí que la curvatura sea la reflejada por la tabla. Obsérvese también que en el punto (1,f(1)) deberá haber un punto de infleión.
7 Ejercicio 4 Aplicando la regla de L Hôpital, calcula los siguientes límites de funciones: sin a) lim 0 c) 1 lim 5 1 d) b) ln lim 1 1 tan 5 lim sec 4 Resolución a) sin lim Aplicando la regla de L Hôpital nos queda que: por lo que aplicándola de nuevo:, b) ln lim Aplicando la regla de L Hôpital:
8 c) 1 lim Este límite se puede transformar en otro como: Ahora sí se le puede aplicar la regla de L Hôpital: d) tan 5 lim sec 4 Aplicando la regla de L Hôpital: Ejercicio 5 Calcula el punto de la gráfica de la función f ( ) 6 8 donde la tangente es paralela a la bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes. Haz una representación gráfica y calcula dicha recta tangente. Resolución La pendiente (m) de la recta tangente en el punto (que buscamos) nos la dará la derivada de la función en dicho punto, es decir: m f ( ) 6
9 Ahora bien, si es paralela a la bisectriz del segundo y cuarto cuadrante, dicha pendiente deberá ser -1, puesto que dicha bisectriz forma un ángulo de 135º con el eje de abscisas y su tangente vale -1. Por tanto: Por último, basta sustituir este valor en la función para calcular la coordenada y del punto, es decir: Por tanto el punto pedido es: La recta tangente (epresada en forma punto pendiente) pedida sería:. La representación gráfica de la curva y la tangente es: Ejercicio 6 Un jardinero ha de construir un parterre con forma de sector circular, con perímetro de 0 metros. Cuál será el radio que ha de darle al sector para que el área sea máima?
10 Resolución El parterre tendrá la forma: Donde r es el radio, y π/ es el ángulo inscrito en el sector. Teniendo en cuenta que el problema plantea que el sector ha de tener 0 metros de perímetro: sustituyendo este valor en A: Calculando su derivada:. Haciendo 0 esta derivada, resulta que r=5. Como la segunda derivada es: A =-4, y por tanto negativa, eiste un máimo en el punto r=5, que es lo que pedía el problema. Es decir el radio ha de ser 5 metros y el ángulo sería de 36º. Ejercicio 7 Se quieren construir depósitos cilíndricos con la condición de que la altura más el perímetro de la circunferencia sumen 90 m. Determina las dimensiones para que el volumen sea máimo. Resolución Si llamamos h a la altura y r al radio, tenemos que:
11 Y el volumen del cilindro será:, por lo que: Calculándole la derivada a V y viendo los valores que anulan dicha derivada: Si ahora calculamos la segunda derivada y sustituimos el valor en ésta obtenemos: Luego las dimensiones que deberán tener los cilindros serán: Ejercicio 8 Estudia y representa la función: e f ( ) Resolución Cálculo del dominio de definición de la función Al ser una función raciona-eponencial el dominio lo forman todos los valores de R que no anulen el denominador, es decir: =0, por tanto el dominio es:
12 Puntos de corte con los ejes de coordenadas Los puntos de corte con el eje de abscisas () se calculan haciendo 0 la ordenada. Los puntos de corte con el eje de ordenadas (y) se calculan haciendo 0 la abscisa. Puntos de corte con el eje : es decir no hay puntos de corte con el eje. Puntos de corte con el eje y: es decir, no hay punto de corte con el eje y. Regiones de eistencia de la función Son las regiones donde la función es positiva o negativa. El número de regiones dependerá del número de puntos de no eistencia y de los puntos de corte con el eje. En cada región: Si f()>0 la región será positiva (y por tanto no eiste gráfica en la parte negativa) La función sólo tiene un punto de discontinuidad, por lo que las regiones serán: Región negativa Región positiva Simetrías Una función será par (simétrica respecto al eje y) si se cumple que: f ( ) f ( ) y será impar (simétrica respecto al origen de coordenadas) si cumple: f ( ) f ( ) por tanto no es par
13 por tanto es una función impar, lo que significa que es simétrica respecto al origen de coordenadas. Asíntotas Las asíntotas son rectas a las cuales se aproiman algunas funciones cuando tiende hacia un valor a, hacia, o hacia. Podemos distinguir tres tipos: Asíntotas verticales: Son del tipo =a y eisten cuando eiste alguno de los límites: Como ayuda, las asíntotas verticales, en las funciones que no son a trozos, coinciden con los puntos de discontinuidad.. Por tanto la asíntota vertical viene dada por =0. Asíntotas horizontales: Son del tipo y = b y eisten cuando eiste alguno de los límites: por tanto no hay asíntotas horizontales Asíntotas oblicuas: La recta y =m + n es una asíntota oblicua si eiste alguno de estos límites:
14 y por tanto no eiste tampoco asíntota oblicua. Intervalos de crecimiento y decrecimiento por lo que: ; creciente ; decreciente ; decreciente Máimos y mínimos ; creciente Habrá un máimo relativo en: y un mínimo relativo en Intervalos de concavidad y conveidad. Puntos de infleión Siguiendo el criterio de la segunda derivada tenemos que:, la función es convea
15 , la función es cóncava quiere decir que no hay puntos de infleión y por tanto los intervalos de concavidad serían los que da el punto de discontinuidad: ; la función es cóncava Representación ; la función es convea Teniendo en cuenta todos los puntos anteriores se traza la curva de la función, marcando previamente todas las características que han surgido: Ejercicio 9 Estudia y representa la función: Resolución f 3 ) 1 ( Cálculo del dominio de definición de la función Al ser una función racional el dominio lo forman todos los valores de R que no anulen el denominador, es decir:
16 por tanto el dominio es:, Puntos de corte con los ejes de coordenadas Los puntos de corte con el eje de abscisas () se calculan haciendo 0 la ordenada. Puntos de corte con el eje : es decir el punto de corte con el eje es el (0,0). es decir, el punto de corte con el eje y es el (0,0). Regiones de eistencia de la función Son las regiones donde la función es positiva o negativa. El número de regiones dependerá del número de puntos de no eistencia y de los puntos de corte con el eje. En cada región: Si f()>0 la región será positiva (y por tanto no eiste gráfica en la parte negativa) Si f()<0 la región será negativa (y por tanto no eiste gráfica en la parte positiva) La función tendrá cuatro regiones de eistencia que serán: Región negativa Región positiva Región negativa
17 Región positiva Simetrías Una función será par (simétrica respecto al eje y) si se cumple que: f ( ) f ( ) y será impar (simétrica respecto al origen de coordenadas) si cumple: f ( ) f ( ) por tanto no es par por tanto es una función impar, y por tanto simétrica respecto al origen de coordenadas. Asíntotas Las asíntotas son rectas a las cuales se aproiman algunas funciones cuando tiende hacia un valor a, hacia, o hacia. Podemos distinguir tres tipos: Asíntotas verticales: Son del tipo =a y eisten cuando eiste alguno de los límites: Como ayuda, las asíntotas verticales, en las funciones que no son a trozos, coinciden con los puntos de discontinuidad.. Por tanto las asíntotas verticales vienen dadas por =-1 y =1. Asíntotas horizontales: Son del tipo y = b y eisten cuando eiste alguno de los límites:
18 por tanto no hay asíntotas horizontales. Asíntotas oblicuas: La recta y =m + n es una asíntota oblicua si eiste alguno de estos límites : y por tanto la asíntota oblicua vendrá representada por y=. Intervalos de crecimiento y decrecimiento por lo que: ; creciente ; decreciente ; decreciente
19 ; decreciente ; decreciente ; creciente Máimos y mínimos Habrá un máimo relativo en: Intervalos de concavidad y conveidad. Puntos de infleión Siguiendo el criterio de la segunda derivada tenemos que:, la función es convea, la función es cóncava como los puntos =-1 y =1 no pertenecen al dominio quiere decir que el punto de infleión es el (0,0) y por tanto los intervalos de concavidad serían: ; la función es cóncava ; la función es convea
20 ; la función es cóncava Representación ; la función es convea Teniendo en cuenta todos los puntos anteriores se traza la curva de la función, marcando previamente todas las características que han surgido:
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