Análisis de Fourier para Señales y Sistemas de Tiempo Discreto

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1 Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto

2 Rput d u itm LI l pocil compl [] h[] y [ ] h [ ] [ ] h [ ] [ ] Si y h h H [ ] [ ] [ ] [ ] ( [ ] ( H Autofució d lo Sitm LI Autovlor ocido y Si r rformd Si rformd (Aálii d Fourir [ ] H ( S prrá l cuci como combició lil d EPOECIALES COMPLEJAS Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto

3 Drrollo Sri d Fourir (DSF L cuci pocil compl : ( Priódic, d priodo fudmtl Priódic, d priodo fudmtl ( r r L pocil compl rmóicmt rlciod tr í o priódic d priodo [ ] φ ( r r r[ ] φ φ Eto implic qu ólo hy ñl φ [ ] lilmt idpdit [ ] Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto

4 Drrollo Sri d Fourir (DSF U cuci [] priódic d priodo podrá prr como combició lil d l pocil compl rmóicmt rlciod tr í: [ ] [] Φ Dbido l priodicidd d Φ [], l prió trior pud grlir: [ ] < > Ecució d Síti dl DSF : Coficit dl DSF <> Idic culquir couto d vlor tro cocutivo Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto 4

5 Obtció d lo Coficit dl DSF Ecució d Aálii dl DSF: < > [ ] Pltdo u itm d cucio: [] [] - - [-] - (- Idtificció i [] tá prd como combició d pocil: Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto m -m Emplo : [ ] co m Lo coficit form u cuci priódic d priodo 5

6 Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto 6 Obtció d lo Coficit dl DSF: Emplo.- Sitm d cucio [] [] [] [] 4 4 ; ; 4 ;.- Ecució d álii ( 4 ] [ 4 ] [ Scuci priódic d priodo 4

7 Obtció d lo Coficit dl DSF: Emplo [ ] (.- Scuci priódic d priodo [] ( ; ; ;... ; m.- Scuci priódic d priodo [] ( m m m ; ; ; m ;... ; m m ;... ;.- irrciol Scuci o priódic Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto 7

8 Obtció d lo Coficit dl DSF: Emplo [] ( , ±, ±, L,±,±,L Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto 8

9 Obtció d lo Coficit dl DSF: Emplo Rprt lo coficit como mutr d u volvt ; Evolvt / 6/ 4/ 8/ Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto 9

10 Obtció d lo Coficit dl DSF: Emplo Rprt lo coficit como mutr d u volvt ; Evolvt 4 / 6/ 4/ 8/ Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto

11 Obtció d lo Coficit dl DSF: Emplo Rprt lo coficit como mutr d u volvt ; 4 Evolvt / 6/ 4/ 8/ Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto

12 Obtció d lo Coficit dl DSF: Emplo Rprt lo coficit como mutr d u volvt Al rprtr l fució, obrv qu l vrició d o fct l volvt. El umto dl priodo d l cuci upo u dimiució l pcimito tr mutr. E l límit,, l pcimito tr mutr tdrí cro, por lo qu l rprtció pctrl cofudirí co l volvt. Por otro ldo l cuci drí d r priódic. Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto

13 rformd d Fourir [] [] [] [] [] Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto

14 rformd d Fourir Dfiido l volvt d como: ( [] [] [] ( Aplicádolo l cució d íti dl DSF: [] ( ( Hcido [] ( [ ] [ ] d Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto 4

15 Itrprtció gráfic: rformd d Fourir ~ [] ( ( Priódic d priodo. Ecucio d l trformd d Fourir: ( [ ] [] ( d Ecució d álii Ecució d íti Codició d itci d l : Scuci d rgí fiit: Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto [] < 5

16 Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto 6 rformd d Fourir rformd : [] ( { } d d d d c ( ( ] [ ] [ ( Ecució d íti Ecució d álii [] ( Ecució d álii [] c d ( Ecució d íti rformd d Fourir como co prticulr d l trformd : - Comportmito. Codició d itci d l : ROC d Z coti l circufrci d rdio uidd

17 Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto 7 rformd d Fourir: Emplo Obtr l d l cuci: [ ] [ ] ; < u ( [] ( u ( ( ( < > ROC

18 rformd d Fourir: Rlció timpo - frcuci 8 Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto 8

19 rformd d Fourir: Rlció timpo - frcuci 9 Aálii d Fourir pr Sñl y 9 Sitm d impo Aálii Dicrto d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto

20 rformd d Fourir: Rlció timpo - frcuci Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto

21 rformd d Fourir: Emplo Obtr l ivr d: ( δ ( [] ( d δ ( d ( [] δ ( d δ ( d Grlido: [] b ( b δ ( r r Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto

22 Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto rformd d Fourir d ñl priódic Dd u ñl [] priódic d priodo poibl drrollrl ri d Fourir: [] [] ( ido ( ( ( ( ( r r r r r r δ δ δ ( ( r r δ δ

23 rformd d Fourir d ñl priódic Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto

24 rformd d Fourir d ñl priódic: Emplo rformd d Fourir d [] ( ; ; ;... ; ( δ ( r δ ( ( r r r. Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto 4

25 Propidd d l rformd d Fourir - Priodicidd: Priodo - Lilidd: p[ ] [ ] b y[ ] P( ( by( - Dplmito l timpo : - Dplmito frcuci : y y [ ] [ ] Y ( ( [ ] [ ] ( ( Y - Cougció : y [ ] [ ] Y ( (. - Ivrió l timpo : y[ ] [ ] Y ( ( - Primr difrci : y[ ] [ ] [ ] Y ( ( ( - Acumulció : y[] [ m] Y ( m ( ( δ ( - Difrcició l frcuci : y[] [] Y ( d d ( Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto 5

26 Propidd d l rformd d Fourir - Simtrí cougd pr ñl rl: [] rl. ( ( R Im ϕ [ ( ] R[ ( ] [ ( ] Im[ ( ] ( ( ϕ ( ( - Simtrí pr ñl rl pr : - Simtrí pr ñl rl impr :. [ ] rl y pr ( rl y pr [ ] rl impr ( imgiri pur impr - Dcompoició pr impr d ñl rl : p[ ] Pr{ [ ] } p ( R{ ( } [] rl [] ImPr{ [] } ( Im{ ( } I I - Rlció d Prvl pr ñl priódic: E [] ( Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto d 6

27 - Epió timpo : -Emplo : Propidd d l rformd d Fourir y [] ( [] [ ], multiplo d Y, rto d vlor ( ( (. Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto 7

28 Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto 8 Propidd d l rformd d Fourir [ ] [ ] [ ] ( ( ( Y P y p [] [] ( [] [] ( Y u y u. - Covolució : -Emplo : [] [] [] [] u y u ; [] [] [] ( ( ( Y P y p ( ( > P P ( [] [] [] u u p P ZIv

29 Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto 9 Propidd d l rformd d Fourir [] [] [] ( ( ( ( ( ϕ ϕ ϕ d Y Y P y p - Modulció : -Emplo : [] ( ( ( Y y δ Obtr l dl producto d [] y[], ((: d []. ( ( ( ( ( ( ( ( ϕ ϕ δ ϕ ϕ δ ϕ d d Y Z

30 - Dulidd : Propidd d l rformd d Fourir [ ] ( ( DSF { ( } [ ] - Dmotrció: Iv : DSF : [] ( ( t t dt d ( priódic { ( } ( d [ ] -Emplo : t Dulidd ( t rto t ; W W Dulidd ( [] i c ; W < W Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto

31 Sitm LI l domiio d l frcuci Autofució: [] [ ] ( y H [] y[] H ( Rput frcuci dl itm H ( Y ( ( H Arg ( { H ( } Módulo d l Rput d rput f frcuci Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto

32 Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto Sitm dcrito por cucio difrci Si l ROC d H( coti : M b y y ] [ ] [ ] [ M b Y Y ( ( ( diciol Iformció ROC b Y H M ( ( ( M b H H ( (

33 Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto Rlció Sitm Cotiuo Sitm Dicrto ( ( > > < < ; ; ff ó ó H H ( ( < ; ff ff H H H

34 Rlció Sitm Cotiuo Sitm Dicrto ( t c( t ( t c ( t δ ( t ( ( c ( t ( δ( t ( ( [] ( [] ( t ( ( c c c ( ( c ( c Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto 4

35 Rlció Sitm Cotiuo Sitm Dicrto Y ( y ] [ Y ( y ( y [] Y ( Y ( ( H ( Yc ( Y ( Hr r Y ( Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto 5

36 Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto 6 Rlció Sitm Cotiuo Sitm Dicrto ( c H H Y ( ( ( ( c H Y Y ( ( ( ( ( ( ( ( c r r c H H Y H Y ( ( ( ( > > < < ; ; c c ó ó H Y ( ( ( c ff c H Y ( ( > > < < ; ; ff ó ó H H

37 Rlció Sitm Cotiuo Sitm Dicrto c,5t,5 ( t u( t ( t,5 u( δ( t δ( t c (t.8,5 (t.8 [ ] ( c c (t y (t.6.4 [] t Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto 7

38 Rlció Sitm Cotiuo Sitm Dicrto 4 c ( 8 ( / ( ( c ( / ( ( / Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto 8

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