1. ESPACIO EUCLÍDEO. ISOMETRÍAS

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1 . ESPACIO EUCLÍDEO. ISOMETRÍAS. En el espacio euclídeo usual R 4 se consideran los subespacios vectoriales y W = {(x, y, z, t R 4 : x y =, z + t = } Hallar: W 2 = L{(,, 2, 2, (,,, } a Las ecuaciones de W y una base ortonormal de W. y una base orto- b Las ecuaciones del complemento ortogonal W2 gonal para W 2. Resolvamos a. Buscamos las ecuaciones de W. En primer lugar, se determina una base de W pasando a paramétricas: x = λ y = λ W z = µ t = µ Se tiene B W = {(,,,, (,,, }. Entonces, W = { x R 4 : x (,,, y x (,,, } W { x + y = z + t = Las ecuaciones paramétricas son W x = λ y = λ z = µ t = µ y una base será B W = {(,,,, (,,, }. Obsérvese que esta base ya es ortogonal con respecto al producto escalar usual. Buscamos que sea ortonormal. Basta dividir cada vector entre su módulo. Así B W = { } 2 (,,,, (,,, 2

2 2 ESPACIO EUCLÍDEO. ISOMETRÍAS es la base ortonormal de W buscada. Resolvamos b. Determinemos una base ortogonal para W 2. Los vectores {(,, 2, 2, (,,, } son base de W 2, pero no son ortogonales. Elegimos e = (,, 2, 2. Aplicamos Gram-Schmidt para obtener e 2 = (,,, (,,,,(,, 2,2 (,, 2, 2 (,, 2,2 2 = (7, 3, 4, 6 La base ortogonal pedida es B W2 = {(,, 2, 2, ( 7, 3, 4, 6} Las ecuaciones de W 2 son W 2 { x + y 2z + 2t = x z = 2. Dada la forma bilineal simétrica sobre R 3, F (x, y = x t Ay, siendo A = a 2 2 a Determinar para qué valores de "a" define F un producto escalar. b Para a =, son ortogonales los vectores (,, y (2,,? Resolvamos a. Aplicamos el criterio de Sylvester. Debe ocurrir Esto equivale a pedir a >. Resolvamos b. Se tiene = a >, 2 = 2a >, 3 = 3a > (,,, (2,, = (,, = de modo que los vectores dados sí son ortogonales con respecto al producto escalar definido por F para a =. 3. Si F es la forma bilineal en R 2 cuya matriz asociada con respecto de la base canónica es A = ( a,

3 3 determinar los valores de "a" para los que F define un producto escalar. Por el criterio de Sylvester, debe ocurrir = a >, 2 = a > De modo que se tiene producto escalar si, y sólo si, a >. 4. Sea Q : R 4 R la forma cuadrática definida en la base canónica por la matriz: Se pide: A = a Determinar si Q da lugar a un producto escalar. b En el espacio euclídeo real (R 4,, que define Q se pide: b. Calcular la distancia y ángulo entre los vectores u = (,,, y v = (,,,. b.2 Obtener las ecuaciones implícitas del complemento ortogonal al subespacio vectorial U = L{(,,,, (,,, }. b.3 Determinar una base ortonormal del subespacio vectorial V = L{(,,,, (,,, }. Resolvamos a. Aplicamos el criterio de Sylvester. = 2 >, 2 = 4 >, 3 = 6 >, 4 = 9 > Efectivamente, Q da lugar a un producto escalar. Resolvamos b.. La distancia entre los vectores u = y v = es d(u, v = u v = u v, u v = (,,, A = 2

4 4 ESPACIO EUCLÍDEO. ISOMETRÍAS El ángulo entre los vectores se calcula a partir de la fórmula u, v = u v cos(α. Tenemos cos(α = u, v u v = u t Av u t Au v t Av = 6 = = 2 En consecuencia, α = arccos( 3 2 = π 6. Resolvamos b.2. Dada una base de U, B U, el subespacio U es U = { x : x B U } = { x : x (,,,, x (,,, } Las ecuaciones son U Resolvamos b.3. Los vectores u = { 2x + 2y + z + t = 3x + 2y + 4z = y u 2 = son base de V pero no son ortogonales, ya que u t Au 2 = 6. Escogemos e = (,,,. Para obtener e 2 perpendicular a e, e 2 V, aplicamos Gram-Schmidt. e 2 = u 2 u 2, e e 2 e = (,,, (,,, = (/2, /2, /2, /2 2 La base B V = {(,,,, (,,, } es una base ortogonal de V con respecto al producto escalar determinado por Q. Para obtener una base ortonormal, cada vector debe dividirse entre su módulo. Así, es la base buscada. { B V = 2 3 (,,,, } (,,, 2 5. Dado R 3 con el producto escalar usual, calcular: a La proyección del vector (,, sobre el subespacio U {x + y = }.

5 5 b La proyección del vector (, 2, 3 sobre el subespacio W = L{(,, }. Resolvamos a. Escogemos una base ortogonal de U, B U = {u = (,,, u 2 = (,, }, y calculamos P U (x para x = (,,. P U (x = x, u u 2 u + x, u 2 u 2 2 u 2 = (,, +(,, = (/2, /2, 2 Resolvamos b. Sea x = (, 2, 3. Una base ortogonal de W es B W = {w = (,, }. Entonces, P W (x = x, w w 2 w = (2,, 2 6. En R 4, con el producto escalar usual, se considera el subespacio U = L{u = (,,,, u 2 = (,,,, u 3 = (,,, } Se pide: a Hallar una base ortonormal de U. b Hallar las proyecciones sobre U y sobre U del vector v = (, 2, 3, 4. Resolvamos a. Aplicamos Gram-Schmidt: e = (,,, e 2 = u 2 u 2,e e e 2 = 3 (,,, 2 e 3 = u 3 u 3,e e e 2 u 3,e 2 e 2 e 2 2 = 2 (,,, Como base ortonormal elegimos B U = { 3 (,,,, 6 (,,, 2, } (,,, 2 7. En R 4, con el producto escalar usual, utilizar el método de Gram- Schmidt para calcular una base ortonormal a partir de los vectores {u = (,,,, u 2 = (,,,, u 3 = (,,,, u 4 = (,,, } Se tiene:

6 6 ESPACIO EUCLÍDEO. ISOMETRÍAS e = (,,, e 2 = u 2 u 2,e e e 2 = 2 (,,, e 3 = u 3 u 3,e e 2 e u 3,e 2 e 2 2 e 2 = 2 (,,, e 4 = = u 4 u 4,e e 2 e u 4,e 2 e 2 2 e 2 u 4,e 3 e 3 2 e 3 = 2 (,,, 8. En R 4, con el producto escalar usual, obténgase la proyección ortogonal del vector v = (,, 3, 2 sobre el subespacio W = {(x, y, z, t R 4 tales que x + y + z t =, x 2y + z + t = } 9. Obtener la matriz, expresada con respecto a la base canónica, de la proyección ortogonal de R 4 sobre el subespacio W = L{(,,,, (,,, } Calculemos una base de W. En primer lugar obtengamos Las ecuaciones cartesianas. W = {(x, y, z, t R 4 : (x, y, z, t (,,,, (x, y, z, t (,,, } W { { x + z + t = x + z + t = x + y + z = y t = En paramétricas: x = λ µ W y = µ z = λ t = µ Una base será B W = {(,,,, (,,, } La matriz, P, de la proyección será P = =

7 7. Encuentra la matriz A M 2 (R que produce un giro (o rotación de ángulo π/2 en el plano y después proyecta el resultado sobre el eje OX. Calcúlese también la matriz B M 2 (R que realiza primero la proyección y luego el giro. Coinciden ambas matrices? ( El giro pedido tiene por matriz G = ( proyección sobre el eje OX es P = pedidas son Resulta A = P G = ( x A y ( = ( y B = GP = ( x B y =. De igual modo, la. Las matrices A y B ( ( x (. Dada la matriz A =, qué tipo de movimiento determina? Pruébese que A mantiene invariantes las distancias entre vectores, esto es, la distancia entre x = (x, x 2 y x = (x, x 2 es la misma que la distancia entre A x y A x. El movimiento es, claramente, un giro de ángulo π/2 en el sentido contrario a las agujas del reloj. Por otro lado, se tiene y d( x, x = (x x 2 + (x 2 x 2 2 d(a x, A x = d(( x 2, x, ( x 2, x = Es claro que ambas distancias coinciden. ( x 2 + x (x x 2 2. Caracterícense las isometrías de R 2 dadas por las matrices: A = ( B = ( Estudiemos en primer lugar A. Se tiene A =. Se trata de un giro. Entonces cos α = y sen α =,

8 8 ESPACIO EUCLÍDEO. ISOMETRÍAS de modo que α = arc cos y α = arc sen, esto es, α = π/2. Estudiamos ahora el movimiento generado por B. Se tiene B =, de modo que es una simetría. El eje se obtiene a partir del subespacio propio asociado al autovalor. Los subespacios propios son: V = { x + y = } V = {x + y = } V = L{(, } V = L{(, } El eje de simetría es la recta L{(, }. 3. Encuéntrese, en R 2, la matriz de la simetría ortogonal con respecto a la recta 2x y =. La matriz de la simetría es S = 2P I, siendo P la proyección ortogonal sobre la recta L{(, 2}. Calculemos P : P = ( / 5 2/ 5 ( / 5 2/ 5 2/ 5 / 5 T = ( Por consiguiente: S = 2P I = 5 ( Otro modo de resolver este ejercicio es tener en cuenta que la matriz asociada a S respecto a la base ortonormal formada por los autovectores, B = {(/ 5, 2/ 5, ( 2/ 5, / 5}, es M(S, B = ( Entonces, si se escribe la expresión matricial con respecto a la base canónica: S = M(B, B c M(S, BM(B c, B = M(B, B c M(S.BM(B, B c = M(B, B c M(S.BM(B, B c T De este modo, se obtiene el mismo resultado de arriba. 4. Encuéntrense las matrices A M 3 (R que actúan en el espacio del siguiente modo:

9 9 i Proyectando todos los vectores sobre el plano XY. ii Reflejando todos los vectores a través del plano XY. iii Rotando el plano XY un ángulo π/2 y llevando cada vector del eje Z a dos veces él mismo. iv Rotando primero el plano XY un ángulo π/2 y dejando fijo el eje Z, rotando después el plano XZ un ángulo π/2 y dejando fijo el eje Y, y rotando después el plano Y Z un ángulo π/2 y llevando cada vector del eje X a tres veces él mismo. Determina alguna de esas matrices una isometría? Caso i. La matriz es P = Caso ii. La matriz es S = 2P I = Caso iii. La matriz de la rotación es R =. Por otro lado, el giro se debe componer con la matriz H =, dando 2 lugar a A = HR = 2 Caso iv. La rotación alrededor del eje Z, la rotación alrededor del eje Y y la rotación alrededor del eje X son R z = R y = R x = La aplicación que estira el ele X tres unidades es El endomorfismo pedido es H 3 = 3

10 ESPACIO EUCLÍDEO. ISOMETRÍAS H 3 R x R y R z = 3 Es claro que sólo en el caso ii tenemos una isometría. 5. Dada la transformación ortogonal de R 3 determinada por la matriz A = se pide clasificarla y encontrar los subespacios propios Dado que A =, se tiene una simetría o una simetría compuesta con una rotación. El polinomio característico es p(λ = A λi = (λ 2 (λ + Los valores propios son + y. Por tanto, la transformación es una simetría. Calculemos el subespacio propio asociado al autovalor. Resolviendo el sistema, V = { x : (A + I x = } V { x x 3 = x 2 = V = L{(,, } El subespacio propio asociado al autovalor es el plano perpendicular a V, esto es, V {x + x 3 = } V = L{(,,, (,, } 6. Dada la transformación ortogonal de R 3 determinada por la matriz A =

11 se pide: Probar que es una rotación, encontrar el eje de rotación, el plano invariante ortogonal a dicho eje, así como el ángulo de rotación. Es claro que A = y que las columnas de A son unitarias y ortogonales, con lo que tenemos una rotación. Por tanto, λ = es un autovalor real. El subespacio propio asociado, V, es el eje de rotación buscado. V { x : (A I x = } V { x + x 2 = x 2 + x 3 = V = L{(,, } El plano invariante ortogonal a V es V { x x 2 + x 3 = } V = L{(,,, (,, } El ángulo se obtiene, por ejemplo, calculando la imagen de uno de los generadores de V. Dado que (,, = = = 2 2 cos α, ocurre que α = arc cos( /2 = 2π 3. Obsérvese que los autovalores complejos del polinomio característico también suministran esta información. 7. Dado el endomorfismo de R 3 f(x, y, z = ( x + 2y + 2z, 2x y + 2z, 2x + 2y z, 3 probar que es una isometría y caracterizarla geométricamente. La matriz asociada es A =

12 2 ESPACIO EUCLÍDEO. ISOMETRÍAS Para probar que es una isometría basta ver que A T A = I. Se deja como tarea para el lector. Por otro lado, dado que A =, resulta un giro. Calculemos el eje de giro, que se corresponde con el subespacio propio V. Dado que V = { x : (A I x = } A I = para obtener el subespacio propio, escalonamos la matriz A I: A I ( 2 Resolviendo el sistema asociado, se tiene x = λ V x 2 = λ x 3 = λ El eje de rotación es V = L{(,, }. El plano invariante, ortogonal al eje de rotación, es V {x + y + z = } V = L{(,,, (,, } Elegimos un vector de este plano y calculamos su imagen: Dado que (,, arc cos( = π. A = 8. Diagonalizar por semejanza ortogonal la matriz = 2 = 2 2 cos α, se tiene que α =

13 3 Calculemos los autovalores: A = Los subespacios propios son p(λ = A λi = (λ 2 2 (5 λ y V 2 {x + y + z = } V 2 = L{(,,, (,, } V 5 { x z = y z = V 5 = L{(,, } Debemos encontrar una base ortonormal de estos subespacios propios. Para ello, aplicamos Gram-Schmidt. Empecemos con V 2. e = (,,, e 2 = (,, (,, = ( /2,, /2 2 La base ortonormal es B V2 = { (,,, (, 2, } 2 6 Hagamos lo mismo con el subespacio propio V 5. La base ortonormal asociada es B V5 = { 3 (,, } La matriz de paso ortogonal resultante es P = / 2 / 6 / 3 2/ 6 / 3 / 2 / 6 / 3 Se tiene P AP = D con D la matriz diagonal 2 2 5

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