MATEMATICA SUPERIOR APLICADA

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1 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES MATEMATICA SUPERIOR APLICADA Wilo Crpio Cáceres 0

2 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES A mis mdos hijos...

3 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES Sucesioes o Secuecis o Coleccioes Numérics

4 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 4 L FUNCION SUCESION Tiee por domiio l cojuto N de úmeros turles o eteros positivos, relciodos l cojuto R de úmeros reles, sí, pr cd vlor del er cojuto le correspode uo del do L sucesió de l fució y = f () pr =f (), N (vlores eteros positivos de ), tiee por elemetos los úmeros del cotr domiio f (), f (), f (),... f (),... Sus elemetos está dispuestos uo cotiució de otro, tiee lgú tipo de comportmieto de relció etre ellos. Cudo los úmeros so prámetros de observcióes, debe buscrse forms del comportmieto de su distribució. Ejemplo: Se l fució f () = Cos π pr {,,, 4, 5,..., } Elemetos ordedos: f () = Cos π, f () = Cos π, f () = Cos π, f (4) = Cos 4π, Pres ordedos de f: (, Cos π ), (, Cos π ), (, Cos π ), (4, Cos 4π ),.. Ejemplos: -, 0, /5, /, 7, No se deduce el úmero siguiete porque o se ecuetr l regl que idique de relció. -,, 7,, 5... Como cd térmio es 4 myor que el terior, 5 le seguirí 9,, 7..., 6,, 4, Como cd térmio es el doble del terior, l quito térmio 48, le seguirí 96. Pr referirse u sucesió puedes: Escribir sus térmios como:,,, 4,.., -, -, Los subídices determi el lugr que cd térmio ocup detro de l sucesió. Simbolizr co ( ), dode es térmio geerl pr referir el vlor de u determido térmio. /, /, /4, 4/5,... = 4, 4/, 6/, 5/4,... b = ( ) /,, 9/8,, 5/,... c = Pr represetr u sucesió, puedes usr: FÓRMULA ESQUEMÁTICA: O epresió formdor pr todo térmio, e fució del úmero, tl que N Ejemplo: =, { } LEY DE RECURRENCIA Dode el térmio + de l sucesió está e fució del térmio terior Así: =½, es terior de: + =. Geer los térmios: { } =,,, 4 4,... { } = ¼, /5, /, 4/7,... Geer los térmios: = ½, = =,.. = = ½.. { } = ½,, ½,,...

5 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 5 A. SUCESIONES: LIMITES E el estudio de sucesioes implic determir si l sucesió: Tiee u límite Si tiee, cul es su vlor. Pr ello: U sucesió { } tiee u límite Lim ->oo = L, si pr culquier > 0 eiste u úmero N > 0 tl que si es u úmero etero y si > N etoces - L < TEOREMA Si Lim ->oo f = L se defie pr todo úmero etero positivo, etoces tmbié se cumple que: Lim ->oo f = L, cudo se restrige los úmeros eteros positivos. Ejemplo El límite de: f () = { }, cudo f () = es: / Lím = Lím = ½, Lim ->oo f () = ½ = = = = 4 = 4 = ½ B. SUCESIONES: CONVERGENCIA Notmos que todos los vlores tiede ½, por lo tto este es el límite DEFINICION Si l sucesió { } tiee u límite, se dice que es covergete; y coverge tl límite y si l sucesió o es covergete se dice que es divergete. El límite de l sucesió: { Ejemplo 4 4 }, es: 4 Lim ->oo f() = Lim ->oo = Lim ->oo Como: Lim ->oo f() =, l sucesió coverge = PROPIEDADES DE LAS SUCESIONES CONVERGENTES. Lim ->oo k = k Lim ->oo. Lim ->oo ( b ) = Lim ->oo Lim ->oo b Si { } y {b } so sucesioes covergetes y k u costte. Si l sucesió posee u límite, debe ser úico. L sucesió costte {k} posee por límite k.. b = (Lim ->oo ). (Lim ->oo b ). Lim ->oo ( / b ) =Lim ->oo /Lim ->oo b Si Lim ->oo b 0

6 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 6 C. SUCESIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Pr todo vlor de u sucesió es ) CRECIENTE: Cudo + Si: < + : Estrictmete creciete Ejemplo: E l sucesió { } como =. ( ) Reemplzdo por + obteemos = = 5 Verificdo result Por lo tto como se cumple l codició, l sucesió { Grficdo: } es creciete. = = = = 4 = 5 = : b) DECRECIENTE: Cudo + Si: > + : Estrictmete decreciete Ejemplo: E l sucesió { } que tiee por fórmul esquemátic = Reemplzdo por + obteemos + = Como: l sucesió { } es decreciete. Grficdo: : 0 5 = = = = 4 = 5 = 4 5 4

7 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 7 D. SUCESIONES MONOTONAS Cudo l sucesió es creciete o decreciete ( ) ( ) Ejemplo: L sucesió { } cuy fórmul esquemátic es: = Reemplzdo por: + obteemos + = ( ) + obteemos + = ( ) o Si es impr: > + y + < + o Si es pr: < + y + > + = = = = 4 = 5 = 6 = 7 = - - ( ) Grficdo: : ( ) Por tto, l sucesió { } o es moóto porque o es creciete i decreciete E. SUCESIONES ACOTADAS E l sucesió { } pr todos los úmeros eteros positivos, el úmero C es u: COTA INFERIOR de l sucesió { } si C COTA SUPERIOR de l sucesió { } si C Ej: Pr L sucesió es Cot iferior Cot superior = { } =,,, 4,..,,. o eiste = - -= - ( +) { } = -, -, -4,.., -( + ),.. o eiste - = { } =, 4, 6,...,,. o eiste 4 = - -= - ( +) { } = -4, -5, -6,..., -( + ),.. o eiste -4

8 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 8 ) Si l cot iferior de l sucesió { } es A y si este, cumple pr l cot iferior C de { }, C A, etoces A es l MÁXIMA COTA INFERIOR. Ejemplo: Dd l sucesió { } = /, /5, /7,4/9... como cd cot iferior de ell es /, este es su máim cot iferior. = = = = 4 = 5 = Como: (+) (+)(+) + ++: Es creciete y moóto b) Si l cot superior de l sucesió { } es A y si este, cumple pr l cot superior C de { }, A C, etoces A es l MINIMA COTA SUPERIOR. Ejemplo: E l sucesió { } = /, /5, /7,4/9...l cot superior es >= /, este es su míim cot superior, por que se cumple = < ½ = = = = 4 = c) U sucesió es cotd si y solo si tiee u cot superior y u cot iferior. Ejemplo: E l sucesió { } =,,, 4,...,... Grficdo: : 0 5 = = = = 4 = 5 = E l sucesió { } =,,, 4,..,.. Cot Superior: y culquier úmero que se > que Míim Cot Superior: cd cot superior de l sucesió es = 0 > Cot Iferior: Culquier úmero < 0 Máim Cot Iferior: 0 L sucesió { } es: Acotd porque tiee cots superior e iferior. Decreciete porque: + Por tto es: moóto cotd Covergete porque: Lím = 0 Si l sucesió { } tiee u límite, se dice que es covergete

9 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 9 F. SUCESIONES: PUNTO de ACUMULACION A es u puto de cumulció o glomerció de l sucesió { } prefijdo u úmero positivo, hy ifiitos vlores de pr quiees se cumple: - A < Ejemplo: Sucesió cuys epresioes formdors so: - = y = Correspode Será = 4 Se plic { } 0 ½ / ¼ 4/5 /6 6/7 Grficdo : Notmos que todos los vlores oscil lrededor de 0 y, por lo tto l sucesió: { } = { 0, ½, /, ¼, 4/5, /6, 6/7,...} tiee dos putos de cumulció, 0 y G. SUCESIONES DIVERGENTES U sucesió es divergete cudo: ) Posee más de u puto de cumulció Ejemplo: L sucesió dode: - = y = del ejemplo terior { } = { 0, ½, /, ¼, 4/5, /6, 6/7,...} tiee dos putos de cumulció, 0 y, por tto es divergete. Pr = 4 5 { } { } 0 ½ / ¼ 4/5 b) No posee puto de cumulció Ejemplo: L sucesió { = (-) }, es divergete porque o tiee putos de cumulció Pr = 4 5 { } (-) (-) (-) (-) (-) { }

10 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 0 EJERCICIOS: SUCESIONES ) Determir el límite de ls siguietes sucesioes: ( ) ( )..- f = { } dode: = Grficdo : - - = = = = 4 = 5 = - - ( ) Se destc que todos los vlores oscil lrededor de 0, por lo tto este es el límite.b.- El limite de, dode f ( ) es: Lim->oo =.c.- El limite de dode.d.- El limite de f ( ) es: Lim ->oo 0 dode: ( ) f ó f ( ) Lim ->oo Lim 0 ) Determir si ls siguietes sucesioes coverge o diverge Lim ->oo = Lim ->oo = 4/ Idic que l sucesió coverge 4/.b.- Lim ->oo f() = Lim ->oo = Lim ->oo = L sucesió coverge.c.- f ( ) f ( ) Lim ->oo L sucesió diverge., es.d.-.e.- - f ( ) ; f ( ) ; Lim 5 ->oo Lim L sucesió coverge cero. f ( ) ; f ( ) Lim ->oo 0, diverge.

11 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES ) Determir si ls siguietes sucesioes so crecietes o decrecietes...- E l sucesió { } que tiee por fórmul esquemátic = Reemplzdo por + + = = ( ) Verificdo +., Multiplicdo mbos miembros por ( + ) ( + ), será Como se cumple l codició, l sucesió { } es creciete. f ( ) f ( ) Si = etoces Es u sucesió creciete. 4 4.b.- f ( ) f ( ) Si = etoces 4/ 6/ L sucesió es creciete..c.- f ( ) f ( ) Si = etoces -/ L sucesió es creciete. 5 5.d.- f ( ) f ( ) Si = etoces L sucesió es creciete..e.-. f ( ) f ( ).g.- E l sucesió { 4 } como = L sucesió es creciete. f ( ) L sucesió es creciete. 4 Si = etoces 0.f.- f ( ) Si = etoces / 5/6 4 Reemplzdo por + obteemos + = 4 Como: 4 4 l sucesió { } es decreciete..h.- f ( ) f ( ) Si = etoces / /9 L sucesió es decreciete..i.- f ( ) f ( ) Si = etoces ¼ L sucesió es decreciete.

12 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 4) Determir ls cots de ls siguietes sucesioes: 4..- f ( ) /; 8/5; 7/7; 64/9; 5/... por tto Lim ->oo Cot superior: o eiste Cot iferior: / Est sucesió o es cotd por que le flt l cot superior. 4.b.- 4.c.- 4.d.- f ( ) ; /4; /9; /6; /5... de dode: Lim ->oo 0 Cot Superior: Cot Iferior : 0 Míim cot superior: Máims cot iferior: 0 y = 4 = 0 ½ 6/7 6/7 / 0/ = 0; /; 6/7; ; 6/7; /; 0/... luego: Lim ->oo ( ) 0 Cot superior: Cot iferior: 0 = 0; /; /4; /5; 4/6; 5/7;... Cot superior: Cot iferior: 0 4.e.- 4 ; 0; -5; -; -... Cot iferior: No tiee Cot superior: Como est sucesió o tiee cot iferior, o es cotd. 4.f.- /;/9;/7;/8;/4... Cot superior: / Cot iferior: 0

13 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 5) Determir si ls siguietes sucesioes tiee putos de cumulció { - = } y = 4 = 0 ½ / 4/5 / 6/7 L sucesió =0;/;/;;4/5;/;6/7... Tiee u puto de cumulció : 5.b.- ( ) f ( ) ( ) -;-/;-/;-/4;-/5... Tiee u puto de cumulció: 0 (cero) 5.c.- f ( ) : ( ) ; 8; 54; 5; No tiee puto de cumulció. 5.d.- f ( ) ; 7; 7; ; No tiee puto de cumulció. 5.e.- f ( ) ; ; 9; 7; 8... No tiee puto de cumulció. 5.f.- f ( ) /; /; /4; 4/5; 5/6... Tiee u puto de cumulció:

14 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 4 APLICACIÓN: SUCESIÓN DE FIBONACCI L sucesió de Fibocci descrit por el mtemático itlio del siglo XIII Leordo de Pis (Fibocci), es l sucesió ifiit f o, f, f, f de úmeros turles: 0,,,,, 5, 8,.., dode el primer elemeto es 0, el segudo es y luego, cd elemeto restte es l sum de los dos teriores. Cd elemeto de est sucesió es u úmero de Fibocci, dode: f o = 0, f =, f = f - + f -, pr: =,, 4,.. Propieddes de l sucesió de Fibocci: o Los úmeros cosecutivos de Fibocci so primos etre si o L sum de los primeros térmios es: = + - o L sum de los térmios impres es: = o L sum de los térmios pres es: = + - o L sum de los cudrdos de los primeros térmios es: = + o Si es divisible por m etoces es divisible por m U úmero N perteece l sucesió Fibocci si y sólo si, cumple que: 5N o tmbié 5N - 4 Ejemplo: N=60 5 (60) - 4 = = = l ríz de es 64, luego 60 perteece u sucesió de Fibocci. L propiedd más curios de est sucesió es que el cociete de dos úmeros cosecutivos de l serie se proim l rzó áure o proporció divi que es: φ = τ = + /, cuyo vlor es u úmero irrciol(deciml ifiito o periódico) que tiede : φ = =.68098, que posee propieddes descubierts e l tigüedd, o como uidd sio como relció o proporció etre segmetos de rects que se ecuetr tto e lgus figurs geométrics como e l turlez e elemetos tles como cohetes, ervdurs de ls hojs de lguos árboles, el grosor de ls rms, el cprzó de u crcol, etc. Históricmete se tribuye u crácter estético místico objetos que sigue l rzó áure. Así, se sigó importci e diverss obrs de rquitectur y otrs rtes. Notre Dm Prteo Britey

15 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 5 FIBONACCI: E l cri de coejos: U coloi de coejos comiez co u pr de coejos u mcho y u hembr ifértiles cbdos de cer. Supogmos lo siguiete: o U prej de coejos lcz su fertilidd u mes luego de su cimieto. o Luego que l prej lcz su fertilidd se trd u mes e procrer u prej de coejos u mcho y u hembr. Si iguo muere, Cuáts prejs de coejos hbrá luego de u ño? E l siguiete tbl se muestr los meses del ño, el úmero de prejs que se reproduce, prejs fértiles, prejs ifértiles y el totl de prejs e l coloi por mes. MES Prejs Que se reproduce Fértiles Ifertiles Totl Recuerde que l cer u prej es ifértil, luego de u mes se covierte e fértil, por último ls prejs fértiles l psr u mes se reproduce Iicilmete l prej es ifértil, el segudo mes se covierte e fértil y el tercer mes procre u prej ifértil. Esto implic que e el tercer mes hy prejs de coejos u que se puede reproducir e el próimo mes y u ifértil. E el curto mes l prej que se puede reproducir lo hce ciedo u prej de coejos ifértiles, mietrs que l prej que ció e el tercer mes se covierte e fértil, pr u totl de prejs e el curto mes. E el quito mes l prej fértil se puede reproducir esto implic que hy dos prejs que se puede reproducir y sí lo hce ciedo dos prejs de coejos ifértiles, mietrs que l prej que ció se covierte e fértil pr u totl de 5 prejs e el quito mes. Si cotiumos co el proceso llegmos l solució del problem, el úmero de prejs de coejos e l coloi luego de u ño es 44. FIBONACCI: E l cri de hmster: Problem: teemos u prej de hámster, si cd prto obteemos u uev prej, trd u mes e mdurr seulmete y el embrzo dur u mes cuts tedremos e 6 meses?

16 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 6 FIBONACCI: E l cri de bejs: Ls celds hegoles de u colme dode se coloc u bej e culquier de ells, y se le permite limetr l lrv, supoiedo que cotiurá siempre por l celd cotigu de l derech, veremos que: hy sólo u rut posible pr l siguiete celdill; dos hci l segud, tres hst l tercer, cico hst l curt, ocho ruts posibles hci l quit, etcéter. FIBONACCI: E ls espirles del : Otr plicció está e u piñ: E ell se cuet ls hilers espirles de escms, se puede descubrir: 8 espirles erolládose hci l izquierd y espirles que se eroll hci l derech, O bie hci l izquierd y hci l derech, u otrs prejs de úmeros. Lo más impctte es que ests prejs de úmeros será dycetes e l fmos sucesió de Fibocci:,,,, 5, 8,,

17 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 7 FIBONACCI: E ls espirles de los girsoles: L disposició de ls semills e los girsoles. Ls semills, ubicds e l gr prte cetrl de ls flores. Ésts tiee u impltció e espirl: Tiee dos grupos de espirles, goberds por dos fucioes logrítmics. U grupo gir e setido horrio y otro e el tihorrio. L ctidd de espirles logrítmics e cd grupo sigue úmeros de Fibocci cosecutivos. FIBONACCI: E ls espirles de l plmer: E l plmer y e tods ls plts que tiee ests espirles, el úmero de espirs es siempre uo de estos úmeros: dode cd úmero es l sum de ls dos teriores: + =, + = 5, +5 = 8 etc FIBONACCI: E l mo hum: L logitud del metcrpo es l sum de ls dos flges proimles; l logitud de l primer flge es l sum de ls dos flges distles

18 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 8 FIBONACCI: E l rm del árbol: E u rm de u árbol, l yem l cbo de u periodo de tiempo t se hbrá covertido e rm. Psdo u tiempo t l rm hbrá crecido y formdo otr yem e el lterl. Psdo u uevo periodo de tiempo t l rm hbrá seguido creciedo y hbrá formdo otr yem. Pero l yem que hbí formdo e el ciclo terior se hbrá covertido e rm, Y el ciclo se repetirá hciedo lgo como este dibujo. El úmero de rms sigue u sucesió de Fibocci. Veremos que tmbié el úmero de yems sigue u sucesió de Fibocci trsd u ciclo y por tto el umero de rms más el úmero de yems tmbié form es sucesió Observ tmbié ls hojs de est plt FIBONACCI: E l figur hum: Mide desde tu hombro hst l put de los dedos de l mo etedid. El resultdo divídelo por l medid desde el codo hst l put etedid de los dedos. ( Cuáto te sle?). Prueb hcer lo mismo co ls medids desde l cder l suelo etre l medid desde l rodill l suelo. Tmbié puedes probr dividir tu ltur totl por l medid resultte desde tu ombligo l suelo. Todos estos estudios de Leordo so fruto de cociezuds medids y estudios sobre cdáveres que deseterrb. Cosiderdo l figur hum iscrit e el cudrdo, el ombligo correspode l es cetro del círculo circuscrito l "homo rotudus". Subdividiedo OM y ON e secció áure, y hciedo luego lo mismo co los segmetos resulttes, se obtiee los putos correspodietes ls rodills, igle, hombros y ojos.

19 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 9 FIBONACCI: Mo Lis: L Giocod trsmite tt rmoí porque su cr est perfectmete ecudrd e u rectágulo áureo, l igul que el resto de proporcioes de l mism.. - El rostro de l Giocod se ecudr e u rectágulo áureo. - Detro de ese rectágulo áureo dibujo u cudrdo, queddo rrib otro rectágulo áureo. - relizo l mism operció reliz teriormete e el rectágulo áureo obteido e el esquem Nº. 4- Vuelvo relizr l mism operció e el esquem. 5- Aquí trsldo simétricmete segú l líe que ps justo ecim de los ojos el cudrdo grde de rrib y el último rectágulo áureo obteido. Podemos observr que l líe que puto sle ectmete del cimieto del pelo (justo e l ry del pelo) ps por l mitd de l riz y termi e l mitd de dode empiez l boc de Mo Lis. 6- Aquí relizmos l mism operció descrit e el Nº dos veces. El puto que señlo es ectmete el cetro de l pupil del ojo izquierdo de l Giocod y e el Nº el ojo derecho. 7- Trsldo simétricmete segú l líe que v del pelo l boc lo dibujdo e el Nº 6. Trzo u uevo rectágulo áureo e el cul l esqui iferior izquierd del último cudrdo dibujdo es ectmete el cetro de l pupil del ojo derecho de l Giocod.

20 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 0 APLICACIÓN: SUCESIONES PADOVAN Se prte de u digrm muy similr l de l figur, pero compuesto de triágulos equiláteros. Los triágulos sigue u espirl e el setido de ls gujs de u reloj y de uevo se trt de u espirl proimdmete logrítmic. Los tres primeros triágulos tiee ldo. Los dos siguietes tiee ldo, y luego los úmeros v como 4, 5, 7, 9,, 6, y sí sucesivmete. De uevo hy u regl de formció secill: cd úmero de l secueci es l sum de los que le precede dos y tres lugres tes. Por ejemplo, = 7 + 5, 6 = Est sucesió se llm sucesió de Pdov e hoor Richrd Pdov. De form similr lo que ocurre e l sucesió de Fibocci, hor ls rzoes de dos úmeros cosecutivos de l sucesió de Pdov tiede hci el úmero de plástico. Ejemplo: 00/5 =.45. Ejemplo: A l pr, se icluye los veite primeros térmios de l sucesió de Pdov y l regl lgebric de geerció: P( + ) = P( ) + P( ) dode P(0) = P() = P() = : Notr que los úmeros, 5 y form prte de l sucesió de Fibocci y de l de Pdov. Bejmí de Weger demostró que estos so los úicos úmeros que so l vez de Fibocci y de Pdov, juto co los triviles 0, y. Alguos úmeros de Pdov como 9, 6 y 49 so cudrdos perfectos y sus ríces, 4 y 7 tmbié so de Pdov. Alguos edicios rquitectóicos sigue e su costrucció l sucesió de Pdov. P()

21 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES APLICACIÓN: CHOQUE ELÁSTICO El choque elástico ocurre e u colisió etre dos o más cuerpos e l que éstos o sufre deformcioes permetes durte el impcto. E u colisió elástic se coserv tto el mometo liel como l eergí ciétic del sistem y o hy itercmbio de ms etre los cuerpos, que se sepr después del choque. Supogmos que u pelot se dej cer desde u ltur iicil h. Dtos: m: ms de l pelot v: velocidd de l pelot después de tocr el suelo u: velocidd de l pelot tes de tocr el suelo h: ltur lczd por l pelot e: coeficiete de restitució elástico g: celerció de l grvedd : úmero de rebote.-primer rebote: L velocidd de l pelot tes del choque co el suelo se clcul plicdo el pricipio de coservció de l eergí L velocidd de l pelot después del choque es (e módulo) v =e u L pelot sciede co u velocidd iicil v, y lcz u ltur máim h que se clcul plicdo el pricipio de coservció de l eergí..-segudo rebote: L velocidd de l pelot tes del choque co el suelo se clcul plicdo el pricipio de coservció de l eergí L velocidd de l pelot después del choque es v =e u L pelot sciede co u velocidd iicil v, y lcz u ltur máim h que se clcul plicdo el pricipio de coservció de l eergí.-rebote : Después del choque, l ltur máim que lcz l pelot es h =e h

22 ltur (m) Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES APLICACIÓN REAL: Si dejmos cer verticlmete pelots de teis, e el rebote debe recuperr etre el 5 y el 58% de l ltur l que se soltó. Dejmos cer l pelot desde u ltur de m (00 cm) y supoemos que recuper u 55% de l ltur e cd rebote. Así: h =m, h =0.55m, h =0.0m, h 4 =0.6m hst h + =h *E; supoiedo E como el porcetje de ltur que recuper. Ls lturs lczds e cd rebote ls podemos iterpretr como u sucesió e l que =m (ltur iicil) y los siguietes térmios como + = { * E} Por lo tto obtedremos como resultdo: E = 55% = 0.55 = m Alturs de rebotes = { * E} = {m * 0.55} = 0.550m = { * E} = {0.550m * 0.55} = 0.0m, 4 = { * E} = {0.0m * 0.55} = 0.66m 5 = { 4 * E} = {0.66m * 0.55} = 0.09m 6 = { 5 * E} = {0.09m * 0.55} = 0.050m 0,8 7 = { 6 * E} = {0.050m * 0.55} = 0.08m 0,6 0,4 0, º de rebotes Pr = ,550 0,0 0,66 0,09 0,050 0,08 Pr est sucesió + y + +, de lo que se cocluye que es u sucesió decreciete. = m = 0.550m y = 0.550m = 0.0m = 0.0m 4 = 0.66m y 4 = 0.66m 5 = 0.09m Como l ltur lczd e los sucesivos rebotes depede directmete l ltur máim lczd teriormete, e este cso se plic l ley de recurreci pr eplicr este eperimeto. E este cso e prticulr que 0, como cosecueci esto podemos decir que tiee: cot superior = cot iferior = 0 = m (ltur iicil) = { * E} = { * E} 4 = { * E} 5 = { 4 * E} 6 = { 5 * E} + = { * E} = m = 0.550m = 0.0m 4 = 0.66m 5 = 0.09m 6 = 0.050m 7 = 0.08m Est sucesió preset u puto de cumulció e A = 0 que es cudo el úmero de rebotes de l pelot umet, l ltur lczd por l pelot es cd vez ms pequeñ. { } = {; 0.550; 0.0; 0.66; 0.09; 0.050; 0.08 }

23 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES APLICACION: SUCESIONES DE MARTINGALA L mrtigl er u tipo de estrtegi de puest populr e Frci e el siglo XVIII. L más simple de ests estrtegis fue diseñd pr u juego e el que el postte g l puest e cso de que l lzr u moed cig de cr y pierde e cso de que slg cruz. El cocepto de l mrtigl e l teorí de probbiliddes fue itroducid por Pul Pierre Lévy, y u gr prte del desrrollo origil de l teorí lo relizó Joseph Leo Doob. Prte de l motivció pr ese esfuerzo er demostrr l ieisteci de estrtegis de juego iflibles. Defimos u rod como u secueci de pérdids cosecutivs seguid de u gci o de l bcrrot del jugdor. Después de cd gci, el jugdor reiici l vlor iicil l ctidd postd, y vuelve jugr otr rod. U serie de puests siguiedo el método mrtigl es equivlete u secueci de rods idepedietes. Pr esto, si: D: Ctidd limitd de diero pr postr del postte. N: Ctidd de puests que el postte puede relizr y est directmete relciod co l ctidd de diero que este pose A: Moto de l puest iicil del postte. Cudo el postte reliz su puest iicil puede ocurrir que: Ge Pierd su puest, y e este cso pr su siguiete juego el postte o Doblr l mism, e cso de gr comiez de uevo co su puest iicil, e cso de perder, l tercer puest será el doble de l segud, l curt ser el doble de l tercer y si sucesivmete hst gr y comezr de uevo co l puest iicil o hst llegr l límite mimo de puests impuesto por l bc (si este eistier) o hst quedrse si diero. D = N + N + N + N 4 + N N = A N = N = A N = N = A = 4A N 4 = N = A = 8A N = A - Si el postte tiee 6 dólres dispoibles pr postr. E el primer juego, puest dólr. Si pierde, puest dólres l segud vez, 4 l tercer, 8 l curt, 6 l quit, y l set (o hy u séptim vez porque el postte o tiee tto diero). Si g dólr e el primer juego, se llev dólr, y el juego empiez de uevo. Si pierde l primer puest ( dólr) y g l segud ( dólres), el beeficio es tmbié de dólr. Si pierde ls seis puests, el postte perderá sus 6 dólres, y o podrá seguir jugdo. D = N + N + N + N 4 + N 5 + N 6 N = A ; N = A ; N = 4A ; N 4 = 8A ; N 5 = 6A ; N 6 = A D= A + A + 4A + 8A + 6A + A $6 = 6A $ = A º de puests Diero Apostdo Resultdo G Pierde $ N=$ N=$ $ N-N=$ N+N=$ $4 N-N-N=$ N+N+N=$7 4 $8 N4-N-N-N=$ N4+N+N+N=$5 5 $6 N5-N4-N-N-N=$ N5+N4+N+N+N=$ 6 $ N6-N5-N4-N-N-N=$ N6+N5+N4+N+N+N=$6

24 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 4 APLICACIÓN: SUCESIÓN EN EDIFICIOS Debes decidir como pitr el eterior de vrios edificios, de modo que, cd uo de ellos presete los colores rojo y zul, pero pitdos e form diferete. Cuts combicioes de colores puede logrrse? Co edificios co u plt: Pero como o hy u sol plt, y sólo teemos dos colores de pitur, hy dos edificios, buscdo diferetes combicioes ( combicioes) Combicioes pr los edificios de dos plts: Ates de decir " Qué tl u edificio de dos plts de color rojo?".si usted h estdo pregutdo lo que todo esto tiee que ver co l serie de Fibocci, est e lo correcto, empezr buscr ptroes medid que cotiumos. ( Combicioes) Deprtmetos co tres pisos: Observr que si hy u edificio tiee tres pisos, hy cico mers de pitrlo. Al ver u ptró?,, 5. Los úmeros que recuerd lgo? (5 combicioes) Deprtmetos co cutro pisos: OH sí! Después de y, estos so los próimos cutro vlores de l Serie de Fibocci (,,,, 5, 8,,, etc). (8 combicioes) Deprtmetos co cico pisos: (Trece () combicioes) Así que el ptró cotiú co, el úmero 7 º, que es el úmero e l Serie de Fibocci.

25 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 5 APLICACIÓN: DOMINO Costruir rectágulos co piezs de domió. Como u cudrdo es u tipo de rectágulo y que u piez de domió mide el doble de lrgo que de cho. Cuátos rectágulos diferetes puede costruirse co piezs de domió de: piezs rectágulo piezs rectágulos piezs rectágulos 4 piezs 5 rectágulos 5 piezs 8 rectágulos Se logr l sucesió,,, 5, 8,... APLICACIÓN: SUCESIÓN DE FAREY Ests sucesioes recibe el ombre del geólogo britáico Joh Frey, quié publicó u crt e l revist Philosophicl Mgzie e 86, dode cojeturó que cd térmio de l sucesió es el cociete de l sum de los umerdores y l sum de los deomidores de sus térmios vecios. Cd sucesió de Frey comiez e el 0, deotdo por l frcció 0, y termi e el, deotdo por l frcció ¹, uque lguos utores suele omitir mbos térmios. Así, pr u úmero = 4, l mer lgorítmic de costruir l sucesió de Frey es usr us frccioes co tods ls combicioes posibles de los úmeros del l 4:,,, 4 ;,,, 4 ;,,, 4 ; 4, 4, 4, 4 4 Elimi frccioes > (umerdor>deomidor): Simplific ls frccioes, descrt ls repetids:,,, 4 ;,, 4 ;, 4 ; 4 4 ;,,, 4 ; ; 4 ; Orde de meor myor, greg el 0 ( 0 ) l pricipio: 0, 4,,,, 4, EJEMPLO: L sucesió de Frey pr etre y 8 es l siguiete: F = { 0, ¹ } F = { 0, ¹, ¹ } F = { 0, ¹, ¹, ², ¹ } F4 = { 0, ¹ 4, ¹, ¹, ², ³ 4, ¹ } F5 = { 0, ¹ 5, ¹ 4, ¹, ² 5, ¹, ³ 5, ², ³ 4, 4 5, ¹ } F6 = { 0, ¹ 6, ¹ 5, ¹ 4, ¹, ² 5, ¹, ³ 5, ², ³ 4, 4 5, 5 6, ¹ } F7 = { 0, ¹ 7, ¹ 6, ¹ 5, ¹ 4, ² 7, ¹, ² 5, ³ 7, ¹, 4 7, ³ 5, ², 5 7, ³ 4, 4 5, 5 6, 6 7, ¹ } F8 = { 0, ¹ 8, ¹ 7, ¹ 6, ¹ 5, ¹ 4, ² 7, ¹, ³ 8, ² 5, ³ 7, ¹, 4 7, ³ 5, 5 8, ², 5 7, ³ 4, 4 5, 5 6, 6 7, 7 8, ¹ } F9 = { 0, ¹ 9, ¹ 8, ¹ 7, ¹ 6, ¹ 5, ² 9, ¹ 4, ² 7, ¹, ³ 8, ² 5, ³ 7, 4 9, ¹, 5 9, 4 7, ³ 5, 5 8, ², 5 7, ³ 4, 7 9, 4 5, 5 6, 6 7, 7 8, 8 9, ¹ }

26 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 6 Logitud de l Suceció de Frey de orde : Cotiee todos los miembros de ls sucesioes de Frey de u orde meor. E prticulr F cotiee todos los miembros de F sí como u frcció diciol de cd úmero que es meor que y coprimo co. Por ejemplo, F 6 cotiee F 5 juto co ls frccioes ¹ 6 y 5 6. El térmio medio de u sucesió de Frey es siempre ¹ pr todo >. Se etre l relció etre F y F usdo l fució φ() de Euler: Y como F =, derivmos l logitud de F como: Por otr prte, el comportmieto sitótico de F es: Vecios de Frey: Ls frccioes que tedece y sigue cd térmio de l sucesió (vecios de Frey) tiee ls siguietes propieddes: Si b y c d so vecios e l sucesió de Frey co b < c d, luego su difereci c d b es: ¹ bd. Y puesto que, esto es equivlete firmr que: bc d = Por ejemplo, ¹ y ² 5 so vecios de F 5, y su difereci es ¹ 5. L firmció ivers tmbié es ciert. Si: bc d = pr los eteros positivos,b,c,d co < b y c < d etoces b y c d será vecios e u sucesió de Frey de orde mi(b, d). Si p q tiee como vecios b y c d e lgu sucesió de Frey, co: de l sum de los deomidores y los umerdores de b y c d : b < p q < c d, luego p q es el cociete. Y, si b y c d so vecios e u sucesió de Frey, etoces el primer térmio que prece etre ellos cudo el orde de l sucesió de Frey se icremet es, que prece primero e l sucesió de Frey de orde b+d. Por ejemplo, el primer térmio que prece etre ¹ y ² 5 es ³ 8, que prece e F 8.

27 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 7 APLICACIÓN: CIRCULOS de FORD: Eiste u coeió etre ls sucesioes de Frey los círculos de Ford. Pr cd frcció irreductible p/q eiste u círculo de Ford C[p/q], que es el círculo de rdio /q² y cetro e (p/q,/q²). Dos círculos de Ford puede ser bie disjutos bie tgetes etre sí - dos círculos de Ford uc se itersect. Si 0<p/q< etoces los círculos de Ford que so tgetes C[p/q] so precismete los círculos de Ford de ls frccioes que so vecis de p/q e lgu sucesió de Frey. Ejemplo, C[/5] es tgete C[/], C[/], C[/7], C[/8] etc. APLICACIÓN: ARBOL de STERN-BROCOT Es u estructur de dtos que muestr cómo se costruye l sucesió desde el térmio primero (= 0 ) y segudo (= ¹ ), tomdo los sucesivos cocietes de sums de umerdores y deomidores. Ls frccioes que prece como vecis e u sucesió de Frey tiee epsioes e frccioes cotius relciods Cd frcció tiee dos epsioes e frccioes cotius - e u de ells el último térmio es ; e l otr el último térmio es myor que Si p q, que prece por primer vez e u sucesió de Frey F q, tiee epsioes e frccioes cotius como [0;,,...,,,] [0;,,...,, + ] etoces, el vecio más cerco de p q e F q (que será su vecio co myor deomidor) tiee u epsió e frccioes cotius como: [0;,,..., ] y su otro vecio tiee u epsió e frccioes cotius como: [0;,,..., ] Ejemplo: ³ 8 tiee dos epsioes e frccioes cotius [0;,,,] y [0;,,], y sus vecios e F 8 so ² 5, que puede epdirse como [0;,,], y ¹, que puede epdirse como [0;,].

28 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 8 APLICACION: FRECUENCIAS MUSICALES Medite u sucesió se puede determir l frecueci de u ot posterior, úicmete sbiedo l frecueci terior y l ctidd de semitoos que l sepr de l icógit. Co este fi si: = F. / dode: F = Frecueci de de l ot coocid y = Semitoos de distci Coceptos musicles: Octv: Itervlo que sepr dos soidos cuys frecuecis tiee u relció de dos uo. Itervlo: Difereci de frecueci etre dos ots musicles, medid culittivmete e semitoos. Semitoo: Equivlete l itervlo musicl etre dos tecls dycetes de culquier istrumeto de tecldo Too: Es l distci equivlete dos semitoos. Not: El térmio se refiere u soido determido por u vibrció Octv pricipl: Ls tecls form grupos de (7 blcs y 5 egrs), y estos grupos se repite de izquierd derech, estdo ordedo segú l frecueci de izquierd derech. Cd octv tecl blc cierr u grupo y bre el otro, y l distci musicl etre ess tecls se llm octv, y su frecueci tiee relció de : - si, l frecueci de l mism ot de siguiete octv es el doble, y l de octv terior es l mitd. L distci de dos octvs le correspode l relció de frecuecis de 4:, tres octvs - 8: etc.: pr sumr distcis teemos que multiplicr ls relcioes de frecuecis. El cojuto de ots que se reslt e el digrm correspode l octv pricipl, e l cul se ecuetr u L de 440 Hz L deducció de l formul prte del dto de que cd ots (octv) l frecueci se duplic, y grcis esto podemos scr l costte de proporciolidd etre ots cosecutivs que llmremos. F = F 0 F = F 0 F0 = = F0 F 0 = Frecueci coocid de u ot. F = Frecueci de l mism ot e u octv superior. = Costte de proporciolidd etre ls frecuecis de ots cosecutivs U vez coocid est costte, result: Epresio Pr l ot F = F 0 Imedit posterior F 0 F = F 0 = F 0 / Imedit posterior F F = F 0 = F 0 / Imedit posterior F F = F 0 / Imedit posterior F - Se usr F 0 =7,50 Hz, que es l ot L de meor frecueci que puede escuchr el oído humo. Así l ecució será: F = 7.5 Hz. /

29 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 9 Ejemplo: Si ecesitmos sber l frecueci de u ot, se debe teer e cuet que est tiee l frecueci de l ot terior por =, Tomdo l frecueci 7,50 de u L llegmos F = 7.5 Hz. /, Luego: N Not Frecueci (Hz) Icremeto De Frecueci L 7,50 05, % L# (si b) 9,4 05, % Si 0,87 05, % 4 Do,70 05, % 5 Do# (Re b) 4,65 05, % 6 Re 6,7 05, % 7 Re# (Mi b) 8,89 05, % 8 Mi 4,0 05, % 9 F 4,65 05, % 0 F# (sol b) 46,5 05, % Sol 49,00 05, % Sol# (l b) 5,9 05, % N Not Frecueci (Hz) Icremeto De Frecueci L 55,00 05, % 4 L# (si b) 58,7 05, % 5 Si 6,74 05, % 6 Do 65,4 05, % 7 Do# (Re b) 69,0 05, % 8 Re 7,4 05, % 9 Re# (Mi b) 77,78 05, % 0 Mi 8,4 05, % F 87, 05, % F# (sol b) 9,50 05, % Sol 98,00 05, % 4 Sol# (l b) 0,8 05, % Aálisis de l sucesió: L fució tiee u cot iferior e 7,50 Hz, y uque o deberí teer cot superior, se podrí poer u e 99, Hz (5) porque el odio humo solo escuch frecuecis etre 0 Hz y Hz. Los soidos de frecuecis myores el oído humo o ls puede cptr, pero como l músic, que tiee por receptor l ser humo o ecesit frecuecis myores est. CRITERIO DE CAUCHY: U sucesió { } coverge pr culquier vlor ddo, eiste cierto úmero etero N tl que m - < pr todo pr de vlores m, > N Pr probr, supoemos que { } coverge A, si se cumple l codició: m - <. Pr ello: m - = m - A + A - = m - A + A - De l defiició de covergeci, eiste u ro etero N tl que k - A < / pr tod k > N Por tto pr el pr m, > N se cumple que - A < / y tmbié m - A < / de dode m - < demuestr que { } coverge y por lo tl, eiste u etero N que cumple co l codició m - < pr el pr m, > N

30 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 0 Series Ifiits

31 vlors de l fució Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES SERIES INFINITAS DEFINICIÓN: Si e l sucesió { } cuyos térmios so:,,,...,,.., se cumple que: S = , {S } es u sucesió de sums prciles llmd SERIE INFINITA: Permite ivestigr diverss fucioes, mtemátics de típics pliccioes de l igeierí. Ejemplo: El logritmo epereo tiee por bse l serie ifiit: S = e = + = =! +! +! + 4! +...+! +... Ejemplo: A prtir de l sucesió: { }=, geermos l sucesió de sums prciles: S = = 9 = que es l serie ifiit, cuyo gráfico es ()/(()^(-)),5,5,5 Serie 0, Serie,5,5 0,975 0,565 0,8 0,875 0,055 0,0586 0,0 0,076 0,0095 0,005 0,007 vlores de ( ) Ejemplo: A prtir de l sucesió: { } = { }, geermos l sucesió de sums prciles: S = = ( ) ( ) =

32 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES CONVERGENCIA EN SERIES S = DEFINICIÓN: Si = es u serie ifiit dd, cuy sucesió de sums prciles es{ S }; y si: Lím ->oo S y es igul S: L serie CONVERGE y S es l sum de l serie. Lím ->oo S o, L serie DIVERGE y No tiee sum SERIES ALGEBRAICAS U térmio es igul l térmio terior más u cierto vlor costte deomido rzó. = + Costte Así, e l serie: L serie lgebric es: = = + L costte es: r = r - ( -+ r ) = +( + r) + +( + r) +( + r) ( -+ r) SERIES GEOMÉTRICAS U térmio es igul l térmio terior multiplicdo por u cierto vlor costte deomido rzó. =. Costte Así, e l serie: Serie geométric: = L costte es: r = r / L sum: S = r ( ) r ; pr r > S = r ( ) r ; pr r < r - = + r + r + r r TEOREMA: CONVERGENCIA EN SERIES GEOMÉTRICAS Si l serie ifiit: sums prciles es {S } y si el Lím ->oo S : r - = + r + r + r r cuy sucesió de y es igul S, luego: L serie CONVERGE y S es l sum de l serie No, etoces l serie: DIVERGE y o tiee sum

33 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES Ejemplo: Pr ver si coverge o diverge l serie: Lím ->oo : = , verificmos si 4 8 E est serie: S = = ( ), cuyo el er térmio: 4 8 = cuy rzó es r = ½, plicmos l fórmul de l sum de térmios de l progresió geométric: S = r ( ) = r = ( - ) )} = Lím->oo {} - Lím ->oo { Luego: Lím ->oo S = Lím ->oo { ( - } = 0 =, es covergete y es l sum de l serie. Como Lím ->oo S, l serie Ejemplo: Pr determir si l serie geerd por: =, coverge o diverge. Es ecesrio verificr si Lím ->oo : E est serie: S = 4 = ( ) = ( + / + /4 + /8 + /6 +...), / cuyo el er térmio: = cuy rzó es: r = =/ <, por l fórmul de l sum de térmios de l progresió geométric: ( r ) Lím ->oo S = Lím ->oo { } = = = 6 r r / coverge y 6, es l sum de l serie. Como Lím ->oo S, l serie Ejemplo: Pr ver si l serie: = P P P 4 + -, coverge o diverge: 4 P Rzó r = / = pr P > es r <, y como P P P = P =, Sum: S = r P ( ) = = /( - P ) =, como S P >, l serie coverge. r r ( r ) r Pr: r > : Lim lim lim, l serie diverge y el vlor de l r r r r sum depede del sigo del umerdor. Si es ( ) S Si es ( ) S

34 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 4 Teorem: L serie geométric es: Covergete l sum r cudo r < Divergete cudo r Teorem: Si l serie coverge, etoces Lim ->oo = 0 Pr demostrr: = S - S -, luego: Lim ->oo = Lim ->oo (S - S - ) = Lim ->oo S - Lim ->oo S - = S - S = 0. Asi, si: Lim ->oo 0, luego es divergete Ejemplo: Pr ver si l serie = + 5/4 + 0/9 + 7/ = Lím Lím = Lím = Lím 0, Luego, l serie diverge por que el límite de su térmio eésimo o es cero, coverge o diverge. Ejemplo: Pr determir si l serie.( ) = ( ), coverge o diverge. Lím.( ) o eiste Luego, l serie diverge por que el límite de su térmio eésimo o es cero Ejemplo: Pr determir si l serie, coverge o diverge. Lím = Lím = Lím / = ½ Lím 0 Luego, l serie diverge por que el límite de su térmio eésimo o es cero

35 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 5 SERIES INFINITAS DE TERMINOS POSITIVOS: L serie de térmios positivos es quell cuyo térmio es 0, por tto debe perteecer l cojuto de úmeros turles:, 0 L sucesió de sums prciles de ests series es creciete y tiee u cot iferior cero y si tl sucesió tiee u cot superior, etoces l sucesió es moóto y cotd. Como cotmieto y covergeci de l sucesió moóto so propieddes equivletes, luego tl serie es covergete TEOREMA: L serie ifiit de térmios positivos es covergete su sucesió de sums prciles tiee u cot superior. Ejemplo: Pr determir l covergeci e l serie geométric!! = S = () Clculo cot superior y plico el teorem que dice que l serie es: Covergete l sum cudo r r Divergete cudo r Ejemplo: Pr determir l covergeci e l serie geométric k Por el criterio de comprció, pr = y r = ½ e l serie k = + k = Comprdo co l serie () = !.!! 4!! +... Result:, sí k = será k! k <, 6 4 Luego, S = < k k k! k Así, es l cot superior de {S}, luego l serie! es covergete.

36 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 6 TEOREMA: Se l serie de térmios positivos: u, si: v es serie de térmios positivos covergete y etoces u es covergete w es serie de térmios positivos divergete y etoces u es divergete u u v pr úmeros eteros positivos, w pr úmeros eteros positivos, Se especific que l comprr térmio térmio ls series de térmios positivos y b, si: b es covergete y b N l serie es covergete (Serie Myorte ) b es divergete y b N l serie es divergete (Serie Miorl) Ejemplo: Por el método de comprció, pr determir si l serie = + ½ + /6 + / /! +...! b =, coverge o diverge.! + ½ + /. + / / Serie covergete coocid Serie: Pr = 4 N =! ½ /6 /4! b ½ ½. /.. = = b = ½ = ½ /6 < ¼ /4 < /8! < Result: b N y como b es myorte y es covergete, será covergete. Pr demostrr que l serie de orde P coverge pr P> grupo p P P P como: p P P P 4 P 5 P 6 + P 7 P 8 P 5 P () Por Criterio de comprció tomdo como refereci l serie geométric y demostrd que es covergete: P P 4 P () l que podemos poer e l form: P P P P P P P P P P () Comprdo () y (), vemos los térmios etre prétesis, después del primer grupo, l sum e () es meor que l sum e (). Por tto l serie () es CONVERGENTE.

37 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 7 SERIES de ORDEN P: Tiee l form: p = P + P + P +... Si P >, Coverge Si P <, Diverge Si P =, Es Armóic divergete. Ejemplo: + ½ + / + ¼ / +.. TEOREMA: L serie rmóic es divergete Ejemplo: Pr demostrr grficmos l fució y = /, cuyo térmio / represet geométricmete el úmero de uiddes cudrds del áre del rectágulo que tiee de cho y / de ltur.y y = / (,) (,/) (,/) L sum de ls áres de los rectágulos es: + ½ + / + ¼ El áre del rectágulo del térmio eésimo es d = l ( +) luego, S > l ( +) Así {S} es u sucesió creciete moóto o cotd, por lo tto es divergete ÁLGEBRA DE LAS SERIES: Si se multiplic por u úmero rel K cd térmio de u serie, que coverge u vlor A, l uev serie tmbié es covergete: A K K A Se A u serie covergete l vlor A y b B otr covergete B, implic que ( b ) será u serie covergete l vlor sum A B Si covergete y b divergete + b será u serie divergete. Si e u serie se suprime u úmero fiito de térmios iiciles de sum K, l uev serie es divergete o covergete como l serie iicil. Si l serie A er covergete u vlor A, etoces l uev serie coverge ( A - K ).

38 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 8 CRITERIOS DE CONVERGENCIA EN SERIES INFINITAS CRITERIO de covergeci del COCIENTE o de D ALEMBERT Si + es térmio sucesivo de e l serie, l clculr l epresió: Lim L, result: Si L <, l serie es covergete Si L >, l serie será divergete Si L =, o epres idicdor sobre l covergeci de Ejemplo: Pr determir l covergeci de l serie: =, plico este criterio e l serie 5 Lim = Lim 5 5 ( ) ( ) lim Lim = Lim + Lim = Como < L serie = 5 5 es covergete. EJERCICIOS RESUELTOS: ) Aplicdo el criterio del cociete de D lmbert, determir l covergeci de ls series:.) E l serie = + / + 4/9 + 8/ = - / - Aplico el criterio del Cociete: lim lim lim Como Lím - / - <, l serie es CONVERGENTE.b) Solució: Lim = lim ( + / ) = + 0 = l serie es DIVERGENTE <.c) E l serie / 0 +! / 0 +! / 0! ( )! lim lim ( )( )! 0 0 lim( ) 0 lim0 lim0 0 0! 0! 0 Como L > L serie es DIVERGENTE

39 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 9.d) E l serie / ( - + ) lim lim lim ( / ) ( / ) Como L < L serie coverge.e) E l serie [ - / ( + )] ( 4 4 / ) lim lim lim ( ) ( ) ( / / Como L > L serie es DIVERGENTE f) E l serie Aplico el criterio del cociete: lim = lim = lim = 4 40 lim 4 6 = 400 Como L =, el criterio o sumiistr iformció.g) E l serie! 00 ( )! 00 lim lim! f (+)f 00 lim 00 f f como L (Divergete)

40 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 40 Si e l serie clculmos el eésim de : L = Lim CRITERIO de l RAIZ ENESIMA Lim de l ríz Si L <, l serie es covergete Si L >, l serie será divergete Si L =, o epres idicdor sobre l covergeci de Ejemplo: Pr determir l covergeci de l serie: Lim = Lim = 0 como L (Covergete) ) Por criterio de l ríz eésim, determir l covergeci de l serie:.) Solució: Lim L = como L (Covergete).b) Solució: lim = lim = lim = L Hop.

41 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 4 CRITERIO de l INTEGRAL de CAUCHY Si l serie de térmios positivos, tiee u fució positiv y decreciete f (), pr, tl que f () =, etoces, l serie será: Ejemplo: Pr determir l covergeci de l serie: Covergete si eiste l itegrl f( ) d Divergete si o eiste f( ) d f ( ) d lim d 0 ( / ) lim l lim (l l ) Como o eiste l itegrl, l serie rmóic es DIVERGENTE.- Por criterio de Cuchy, determir l covergeci de ls series:.) Solució: Lim d = lim d - lim d = lim l l - lim l l = = 0.69 (Covergete).b) Solució: Lim d = lim rctg - rctg 4 4 (Covergete).c) Solució: Lim d = lim l l = (Divergete)

42 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 4 CRITERIO de RAABE Si + es el térmio sucesivo de de u serie de térmios positivos, si l clculr l epresió: L = lim Ejemplo: Determir l covergeci de l serie: Si L >, l serie es covergete Si L <, l serie será divergete Si L =, o epres idicdor respecto de l covergeci de ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) lim. 4 lim. lim. - ( 4) 4 ( )( )( ) - lim. lim lim ( / ) 4 4 ( 4 / ) Como L > l serie es CONVERGENTE 4) Por criterio de Rbe, determir l covergeci de l serie: 4.) / (+) Solució: ( ) + - lim. - lim. lim lim ( +)( + ) + ( / ) Como L > L serie es CONVERGENTE 4.b) Solució: Lim lim lim lim lim como L (Covergete)

43 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 4 4.c) Solució: Lim = lim = lim = Lim = Lim = L Hosp. = como L (Covergete) 4.d) 5 Solució: Lim 5 5 = lim 5 5 = Lim = lim = L Hosp. = lim 4 = L Hosp. = 4 Como L (Covergete)

44 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 44 U Posee térmios ltertivmete positivos y egtivos. CRITERIO DE LA SERIE ALTERNANTE: U DEFINICIÓN: Se >0 pr los úmeros eteros positivos, etoces ls siguietes series so ltertes = ( ) ( ) ( ) = () L serie lterte U, es: CONVERGENTE: Cudo es estrictmete decreciete: U + < U y Lim U =0 Ejemplo: L serie lterte U i ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE Si l serie de vlores bsolutos, o serie de térmios positivos U, coverge. CONDICIONALMENTE CONVERGENTE Si l serie lter coverge, pero o coverge l serie de térmios positivos. = = ( ) ( ) ( ) Como: U + < U < pr eteros positivos estrictmete decreciete Además: Lim U =0 Lim = 0, Luego es covergete. Ejemplo: E l serie ( ) = ( ) 4 + L serie de vlores bsolutos o de térmios posivos = ( ) 4 + es serie geométric de rzó <, que es covergete; luego es bsolutmete covergete. Ejemplo: E l serie: U + < U luego es covergete ( ) L serie de vlores bsolutos rmóic que diverge Luego l serie es codiciolmete covergete = ( ) < pr eteros positivos y demás: Lim U =0 Lim = 0, = es u serie 4 5 6

45 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 45 APLICACIÓN: CHOQUE ELÁSTICO Si dejmos cer verticlmete pelots de teis: E el rebote debe recuperr etre el 5 y el 58% de l ltur l que se soltó. Desde u ltur de 00m y supoemos que recuper u 55% de l ltur e cd rebote y le llmmos r. L tryectori de l pelot represed por l líe roj dode:,, y 4 represet el º de rebotes h= Altur iicil h = Altur lczd después del primer rebote h = Altur lczd después del segudo rebote h = Altur lczd después del tercer rebote Este eperimeto muestr que ls lturs lczds e cd rebote ls podemos iterpretr como u sucesió, e l que =m (ltur iicil) y los siguietes térmios como + = { * r}, como el térmio siguiete de l sucesió es igul l térmio terior multiplicdo por u cierto vlor costte deomido rzó, sí dd l serie: = ltur iicil = { * r} Dode: + = { * r} = { * r} = { * r * r} = { * r } 4 = { * r} = { * r * r} = { * r * r * r} = { * r } = { * r - } L serie geométric será: Como: S = , {S} es u sucesió de sums prciles llmd SERIE INFINITA L distci recorrid d clculr es l distci recorrid desde l ltur iicil hst el primer rebote ms l distci que recorre después de cd rebote e sceso hst lczr l uev ltur y l distci que recorre e desceso hst el siguiete rebote, y sí sucesivmete hst lczr el reposo. Etre: 0-: distci recorrid desde l ltur iicil -: distci que recorre después del primer rebote e sceso hst lczr l uev ltur y distci que recorre e desceso hst el segudo rebote -: distci que recorre después del segudo rebote e sceso hst lczr l uev ltur y distci que recorre e desceso hst el tercer rebote -: distci que recorre después del tercer rebote e sceso hst lczr l uev ltur y distci que recorre e desceso hst el rebote Luego l distci recorrid será l sumtori de distcis recorrids e cd itervlo y l podemos represetr como: d= d(0-) + d(-) + d(-) + d(-)

46 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 46 Como ls distcis recorrids por l pelot e sceso y e desceso luego de cd rebote so ls misms podemos decir que: d(0-) = (distci recorrid desde l ltur iicil) d(-) = (distci recorrid e sceso) + (distci recorrid e desceso) d(-) = (distci recorrid e sceso) + (distci recorrid e desceso) d(-) = (distci recorrid e sceso) + (distci recorrid e desceso) L distci recorrid d será: d= d= + r + r + r + r r - Como r = 0.55, por lo tto es meor que L sum será: El límite: Como es serie ifiit cuy sucesió de sums prciles es {S}; el y es = S, l serie CONVERGE y S es sum de l serie. L distci d recorrid por l pelot será: d= + r + r + r + r r - d= 00 + [00 * (0.55) + 00 * (0.55) + 00 * (0.55) + 00 * (0.55) + ] d= 00 + * [00 * (0.55) + 00 * (0.55) * (0.55) + ] L serie que prece etre corchetes es serie geométric ifiit co: = 00 * (0.55) y r = Si S es l sum de est serie, etoces: d= 00 + * [00 * (0.55) + 00 * (0.55) r * (0.55) r + ] d= + * S S = S = S =. r 0.55 L pelot recorre: d= + * S d= 00 + *. d= metros tes de llegr l reposo

47 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 47 APLICACIÓN: LA MOSCA U mosc vuel etre dos ciclists, cd uo vzdo e direcció opuest 0 km/h. L mosc vuel de uo de ellos e l direcció del otro, y cd vez que lleg él regres y vuel l primero. Si l mosc vuel etre los dos hst que los ciclists se ecuetr, su velocidd es de 0 km/h y l distci iicil etre los ciclists es 0 km, cuál es l distci totl que vuel l mosc? DATOS: Velocidd de los ciclists 0km/hs // Velocidd de l mosc 0 km/h // Distci etre los ciclists 0 km // distci totl de vuelo de l mosc? E el er vuelo, l mosc prte juto co el primer ciclist pr ecotrrse co el segudo, esto ocurre e el tiempo T, luego: 0T= 0 0T, porque el segudo ciclist prte de u distci de 0km, y e direcció opuest. Etoces 0 T teemos: 50 5 ; /5 hs o se mi. Durte el er vuelo, l mosc recorrió. km 0 hs 4 hs 5 km 0 hs 6 hs 5 E el do vuelo, ls biciclets vzro km cd u, luego hy km etre ells (6km-4km). Etoces, si es hor el tiempo que le tom l mosc e regresr l primer ciclist, stisfce 0T= 0T, o se 6 T Ahor l mosc recorre 5 5 km =, km. Por tto el tiempo que le tom l mosc e llegr cd ciclist, e cd vuelo, es siempre 5 veces meor l vuelo terior. ; Así, e totl, l mosc vuel km L mosc recorre e totl 7.5km. Se uso l sum de u serie geométric: si. Este es u bue ejemplo dode prece est serie. Los ciclists, como vij l mism velocidd (0km/h), se ecuetr e el puto medio etre ellos, es decir, 5km de dode prtiero. Esto les tom. E l mosc, u velocidd de 0km/h, vz etoces:

48 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 48 APLICACIÓN: RENTA PERPETUA Es u serie ifiit de cuots que tiede ifiito, e los fodos de pesioes, seguros de vid y modelos e vlorció de empress, etre otrs; dode el vlor presete P de est ret perpetu, lo compoe u pgo úico hor equivlete l serie ifiit de cuots igules. P = R i El fctor que covierte N cuots fiits e u pgo úico presete: ( i i) N Cudo e este fctor N tiede, es igul l fctor /i, el cul covierte ifiits cuots de vlor R e u pgo úico presete equivlete. Ejemplo: Estblecer u fodo de pesioes, pr teder perpetuidd los retiros por cd $ mesules pr lguie que dese obteer su pesió de jubilció; e u fodo que recooce u ts de iterés efectiv ul del 8%. De l ecució de vlor presete: P = R*[ i]. -> R es vlor del retiro mesul de $ L ts de iterés est referid pr el periodo ul, por lo tto se debe estblecer l ts de iterés periódic mesul: i p = (+i e ) p -=(+.8) -=.9%. Reemplzdo e l ecució de P: P = = $ Este es el vlor del fodo que permite perpetuidd, retirr l sum de $ pr teder l pesió, es u pgo úico hor equivlete l serie ifiit de cuots de vlor R cd u. El pl debe cosiderr el crecimieto, que permit cotrrrestr l pérdid del poder dquisitivo del diero.

49 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 49 SERIE DE FUNCIONES L fució cuyo domiio es el cojuto de úmeros turles y su rgo es u cojuto de fucioes esclres f () = (f, f, f,.., f,..), l sum prcil de sus elemetos geer l serie de fucioes: f () = f () + f () + f ()+ + f ()+ Pr u vlor = o, tom form de serie uméric: f ( o )=f ( o )+ f ( o )+ f ( o )+ + f ( o )+ Si l serie de fucioes coverge: E vlores o, será covergete pr ese vlor de o <<b, l serie coverge e el itervlo (, b) SERIE DE POTENCIAS DEFINICIÓN: L serie de potecis e h, tiee l form geerl: f () = 0 si: h = 0: f () = 0 ( - h) = o ( - h) o + ( - h) + ( - h) + ( - h) + + ( - h) () = o o Aplicdo el criterio del cociete: Si U + es el térmio sucesivo de U e l serie, l U clculr: L = Lim U E:, result: f () = () = o o , 0 U Lim U Lim Lim f () = 0 lim Por tto: L Si L <, l serie es covergete Si L >, l serie será divergete Si L =, o epres idicdor de Lim Lim ( - h) =f () = o ( - h) o + ( - h) + ( - h) + ( - h) + + ( - h) U U Lim lim Ejemplo: Alizr si l serie h h h lim h Lim defie el itervlo de covergeci!! lim lim Como e >, l serie es divergete. L ( h) Lim Lim, es covergete o divergete:! lim lim lim PROPIEDADES de l SERIE DE POTENCIAS: Tod serie de poteci: Coverge bsolut y uiformemete e todo itervlo iterior l itervlo de covergeci. Puede derivrse e itegrrse térmio térmio tts veces como se desee e culquier itervlo cerrdo [,b] iterior l itervlo de covergeci de l serie. Defie u fució cotiu b e, que se iterior l itervlo de covergeci de l serie

50 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 50 SERIE DE MACLAURIN Coli McLuri ( ) fue el mtemático escocés, que formuló est serie: E: f () = Pr: =0 f (0) = o = o o Determio coeficietes:,,, Derivd Si = 0 Coeficiete ' f 0 f () = f (0)= = f () = (-). - f '' (0)=. = f 0 f () =6 + + (-)(-). - f ''' (0)= 6. = f 0!!! f 0 f () = (-)(-)...(-(-)) - f (0)=!. = Reemplzo coeficietes:,,,, se geer l serie de McLuri: f ( o). f '( o). f = f (0) !.! '' ( o)..! f + ''' ( o)..! f +! ( o)..! [I] Ejemplo: McLuri pr f () = Se Reemplzo cd vlor: f ( o)..! '' ''' f ( o). = f f '( o). (0)+ + f ( o). + f ( o). + f ( o). 0.!.!.!.!.! e l formul de Mcluri f () = se f (0) = se 0 = f () = f () = cos f (0) = cos 0 = 0!!!! 4! 5! 6! 7! 8! f () = -se f (0) = -se 0 = 0 Serie de McLuri f () = -cos f (0) = -cos 0 = f f () = () = se f (0) = se 0 = 0 se!! 5! 7! 9! Ejemplo: McLuri pr f () = e Reemplzo cd vlor: f ( o)..! e l formul de Mcluri '' f ( o). = f f '( o). (0)+ + f ( o). + f 0.!.!.! ''' ( o)..! f () = e f (0) = f () = f () = e f (0) = f () = e f (0) = f () = e f (0) = 4 f () = e.....!! 4!! !!!! 4! 5! 6! 7! 8! Serie de McLuri Ejemplo: McLuri pr f () = Cos Reemplzo cd vlor: f ( o)..! '' ''' f ( o). = f f '( o). (0)+ + f ( o). + f ( o). + f 0.!.!.!.! e l formul de Mcluri f () = Cos f (0) = Cos 0 = f () = f () = Se f (0) = Se 0 = 0 0!!!! 4! 5! 6! 7! 8! f () = -Cos f (0) = -Cos 0 = - Serie de McLuri f () = Se f (0) = Se 0 = f () = Cos = ! 4! 6! f 8 ( o)..! ( o)..!

51 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 5 SERIE DE TAYLOR L serie de Tylor represet u fució como u ifiit sum de térmios, clculdos prtir de ls derivds de l fució pr u determido vlor de l vrible (respecto de l cul se deriv). Si est serie está cetrd sobre el puto cero, es serie de McLuri, por ello, e l epresió de l serie de Mcluri f ( o). 0.! = f (0) + f '( o)..! + f '' ( o)..! Al reemplzr por (-h), se obtiee l Serie de Tylor + f ''' ( o)..! + f ( o)..! ( h).( h) 0.! f = f (h) + f '( h).( h).! + '' f ( h).( h) +.! ''' f ( h).( h) ! f ( h).( h).! Ejemplo: Tylor pr f () = e E l formul de Tylor reemplzo cd vlor: f ( h)( h)! ' '' f ( h)( h) =f (h) + f ( h)( h) f ( h)( h) +!! 0! f () = e f (0) = e 0 0 = f () = ( h) ( f () = e f (0) = e 0 = 0!! f () = e f (0) = e 0 = f () = e f (0) = e 0 = f () = e ( h) = f () = e f (0) e 0 =! Ejemplo: Tylor pr f () = Se e ¼ pr: = 0 E l formul de Tylor reemplzo cd vlor: f ( h)( h)! f () = se f (0) = se 0 = 0 f () = cos f (0) = cos 0 = f () = -se f (0) = -se 0 = 0 f ()= -cos f (0) = -cos0 = - f () =se f (0) = se0 = 0 0! 4 h) ( h) ( h) ( h)!! 4! L serie de Tylor es: ( h)! ( h)! ( h) 4! ' '' f ( h)( h) =f (h) + f ( h)( h) f ( h)( h) +!! ''' f ( h)( h)! 4 ( h) 5! f ( h)( h)! 5 ( h) 5! ''' f ( h)( h)! 5 ( h) 6! 6 ( h) 6! 4 *( ) *( ) *( ) 4!! 4! L serie de Tylor es: 4 ( ) ( ) ( ) ( ) !! 4! f ( h)( h)! f () = ( ) f () = Se = Ejemplo: Tylor pr f () = l pr: = E l formul de Tylor reemplzo cd vlor: f ( h)( h)! f () = 0, f () = = f () = - f ()= f () = - 4 ' '' f ( h)( h) =f (h) + f ( h)( h) f ( h)( h) +!! 0! = - L serie de Tylor es: = f () = l = 0 + = - ( h)! ( h)! ( h)! ''' f ( h)( h)! ( h) 4! f ( h)( h)! 4 6

52 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 5 APLICACION: Serie de Mc Luri L fórmul de Euler: e iπ + = 0 [0] es u ecució que relcio los úmeros trscedetes (e), los imgirios (i), los irrcioles (π), los reles, los egtivos y l uidd (-) u el cero. Pr deducir est ecució plicmos l series de McLuri. Pr ello, io 0 i0 i0 i0 i0 4 i0 i e. ie. ie. ie. ie. ie. e Se tiee que: 0!!!! 4! 5! i i Simplificdo: e i i []!! 4! 5! 6! 5... E est serie vemos térmios del desrrollo de Mc Luri pr ls series del seo y coseo: cos( )... []! 4! 6! 8! 0! se ( )... []! 5! 7! 9! Como ls prtes reles de [], so térmios de ls series de coseo [] y ls prtes imgiris so ls series del seo [] multiplicds por i. Luego: e i = Cos() + i.se() Como: e iπ + = 0, result: e iπ = Cos(π)+i.Se(π) = -

53 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 5 FUNCION PAR e IMPAR U fució f () es o Impr si: f (-) = - f () Ejemplo:, 5, -, o Pr si: f (-) = f () Ejemplo: 4, 6, Cos, e + e - FUNCION PERIODICA L fució f () es periodic o tiee u periodo T, si pr todo result f (+T) = f () dode T es costte. Ejemplo: L fució f() = Se es periódic y tiee periodos π, 4 π, 6 π,... El meor vlor de T>0 es periodo míimo o periodo de f () Porque Se(+π) = Se(+4 π) = Se(+6π) = Se El meor vlor π es periodo míimo o periodo de Se Ejemplo: El periodo de Se o de Cos pr etero positivo, es: π / Ejemplo: Fucioes periódics f() f() f() FUNCION TRIGONOMÉTRICA L fució f () es trigoométric cudo tiee: Formto: f () = ½ o + Cosα + b Seα + Cosα + b Seα + + Cosα + b Seα + Coeficietes o,, b costtes L serie trigoométric se plic fucioes periódics, si cumple l codició: f() = f(+p), y el itervlo del período puede presetr u úmero fiito de discotiuiddes ordiris.

54 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 54 SERIE DE FOURIER Desrrolld por el mtemático frcés Je-Bptiste Joseph Fourier, pr series ifiits que coverge putulmete u fució cotiu y periódic, que permit su descomposició e u sum ifiitesiml de fucioes seoidles simples. L serie de Fourier pr fució periódic f (), de periodo L, e itervlo (-L, L) y f (+L) = f (), se defie como: f () = 0 + ( Cos. L. + b Se L ) Dode: y b pr: =,,,... so los coeficietes de Fourier de l fució y (), que se puede represetr como l sum: o = L o b = L L f ( ) Cos L L..d L f ( ) Se..d L L + =

55 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 55 Demostrció: L fució f () de período π e el itervlo [-π, π], es periódic si f() = f( + π) Clculo del Proceso Coeficiete: o = f () Cos.d pr = 0 Cos 0 = o = f Coeficiete: Reemplzo: f () = + Termio: o / Termio: Cos Result: = Sepro: = 0 0 Cosd= Pr pr: [ ( L Cos.d + cos. +b se ) e = L. ( L cos. +b se L. ( L )]Cos.d cos. +b se L d f () Cos.d )Cos.d 0 se = [Se π- Se(-π)] = [Se π + Seπ)] = Seπ Cos.d = 0 y pr impr: 0 0. ( L cos +b se L : cos cos = : cos d 0 se d 4 Cos.d= 0. )Cos.d, dode si: se se se Pr pr o impr, el coeficiete es 0, por lo tto: Cos = π Termio: b Se Reemplzdo: o / = 0, Se = 0 Cos = π b Se.Cos d= se f cos d 0 0 Filmete: = f = = se se 0 f cos d Cosd. Por igul criterio: b = f.0 = 0 Sed ANALÍTICAMENTE: L fució de período, e form de u serie de seos y coseos, tiee e cuet que: d d N se ( ) cos ( ), d d N se( ) cos( ) 0 se( )se( m) d cos( )cos( m) d 0,, m N( m) m d m N se( )cos( ) 0,,

56 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 56 Demostrció: se ( ) d se( ) d cos() d se( ) cos( ) se( )se( m) d se(( m) ) m se( )cos( m) d cos(( m) ) m 0 0 (cos(( m) ) cos(( m) )) d se(( m) ) se(( m) ) d 0 se(( m) )) m cos(( m) ) m 0 Pr l fució de periodo, l serie de fourier es: SF ( f ) cos( ) b se( ) Dode,, b 0 so los coeficietes de Fourier: 0 f ( d ) f ( )cos( ) d b f ( ) se( ) d : 0 0 f ( ) d d 0 Si multiplicmos por cos(m ) e itegrmos e el mismo itervlo: f ( )cos( ) d 0 md m cos( )cos( 0 Hciedo lo mismo co se(m ) 0 Demostrció: Si, f ( ) cos( ) b se( ). Itegrdo e, b se( )se( md b f d ( )se( ) 0 0 m Dode los ceros se produce porque ls itegrles que qued so impres, y por tto se ul. Ls fucioes e el itervlo, y etedmos (hgmos periódics) e R Ejemplo: f ( ) si, 0 d 0 cos( ) d 0 b se( ) d se( ) d ( ) 0

57 Mtemátic Superior Aplicd Wilo Crpio Cáceres 6/04/ SUCESIONES y SERIES 57 PROPOSICIÓN: Si f() es periódic de periodo T, luego será: Demostrció: T Vemos que: f ( ) d f d R T ( ), 0 Hcemos t T T T T f ( ) d f ( ) d T T T T 0 f ( t T) dt g( ) d T 0 0 g( ) d T 0 f ( t) dt T T f ( ) d 0 g( ) d f ( ) d T 0 T f ( ) d f ( ) d, R Pr determir SF pr fucioes periodo rbitrrio, usmos ls formuls de seos y coseos: se T T so periódics de periodo, por plicció de l defiició de periodicidd. cos T DEFINICIÓN: Decimos que f es cotiu trozos e u itervlo, b, si es cotiu e, b, ecepto e u º fiito de putos c,,c y eiste f ( c i ) y f ( c i ), i,, (límites lterles) y so fiitos (Es decir, si l discotiuidd es de tipo fiito.) Aálogmete se defie u fució derivble trozos, siedo demás distits ls derivds lterles(pues sio serí derivble e el puto.): TEOREMA DE DIRICHLET: Formuldo por el mtemático Joh Dirichlet, trt sobre l distribució de los úmeros primos e N, fue cojeturdo por Guss y filmete demostrdo e 87 por Dirichlet, ombre por el que ctulmete se le cooce. Como el primer teorem de covergeci de series de Fourier, debido Dirichlet, se refiere fucioes moótos trozos: U fució moóto y cotd e u itervlo [, b] es itegrble y tiee límites lterles fiitos e cd puto. Si estos límites o coicide l fució tedrá u discotiuidd co u slto fiito.