En un grafo se puede recorrer la información de diferentes maneras para llegar de un punto a otro.

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Óscar Río Rey
hace 6 años
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2 CAMINOS Y CIRCUITOS En un grfo s pu rorrr l informión ifrnts mnrs pr llgr un punto otro. Cmino Ciruito (Cilo) Ciruito simpl longitu n Cmino simpl longitu n ulquir suni noos n l qu pr son ynts. Es un mino l vérti w l vérti w, sto s, un mino qu rgrs l mismo vérti on slió. Es qul mino l vérti w l vérti w qu solmnt tin un ilo n l rut qu sigu Es un susión rists qu vn un vérti x un vérti w, n on ls rists qu omponn iho mino son istintos iguls n, Esto signifi qu no s pu psr os vs por un mism rist.

3 h g Ejmplo: Do l grfo Rorrio Cmino Cmino simpl longitu n {,,,,,f} L = 5 {,h,,,} {,,,,,} L = 5 Ciruito {,,g,,,} f Ciruito simpl longitu n {,} L = 1 {h,,,,,h} {,,,} L=3 L = 3 {,,,,,} {,h,} L = 2 {,,,,f} L = 4

4 CAMINO DE EULER Es qul mino qu rorr toos los vértis psno por toos los ros solmnt un vz h Cminos Eulr: {,,,,,f,g,,h,h,i,g} {g,i,h,h,,g,f,,,,,} f g i Un mino Eulr simpr inii y trmin n un vérti gro impr. Si un grfo tin ms os vértis gro impr no pu tnr minos Eulr.

5 CIRCUITO DE EULER Es qul ilo qu rorr toos los vértis psno por toos los los solmnt un vz. Un grfo tin un mino Eulrino pro no un iruito Eulr si y solo si tin xtmnt 2 vértis gro impr. Un multigrfo onxo tin un iruito Eulrino si y solo si vérti tin gro pr. Algoritmo Flury pr un iruito Eulr 1. Vrifir qu s onxo on toos los vértis pr 2. Slionr un vérti ritrrio 3. Slionr un rist prtir l vérti tul qu no s punt ( s ir qu no sont l grfo), mnos qu no hy otr ltrntiv 4. Dsontr los vértis qu stán unios por l rist slion 5. Si toos los vértis y stán sontos, y s tin l iruito Eulr. D otr form ontinur on l pso 3

6 Ejmplo Ciruito Eulr Iniimos l rorrio n l noo y pomos slionr l rist (,) o (,) y qu no son punts, onsirmos (,) Ciruito (,) Dsontmos l rist Ahor pomos tomr (,), (,) o (,), slionmos (,) Ciruito (,,) Dsontmos l rist

7 Dl vérti tul s pu slionr (,) o (,f) y no (,) y qu s sontrí l grfo, sí slionmos (,) Eliminno l rist s tin Ciruito (,,,) Slionmos (,) Ciruito (,,,,) Ahor solo qun los punt por lo qu hrá qu slionrlos (,,,,,,) Ciruito Eulr (,,,,,,,f,,)

8 CIRCUITO HAMILTONIANO S trt un prolm similr l l iruito Eulr, on l ifrni qu n lugr psr por toos los los l grfo solmnt un vz, n l iruito Hmilton s ps por vérti solmnt un vz. g f h i j g f h i j Ciruito Hmilton {,,h,g,,j,i,f,,,}

9 Multigrfo: s un grfo on vris rists ntr os vértis. Un grfo s onxo: Si pr pr vértis xist un mino qu los ont, n so ontrrio irmos qu s sonxo. Too grfo on un punto ort no s hmiltonino. Si un multigrfo s ulrino, too vérti G tin gro pr. Si un multigrfo G tin un mino ulrino no rro, ntons G tin xtmnt os vértis on gro impr. Si toos los vértis un multigrfo onxo tinn gro pr ntons iho multigrfo s ulrino. Si un multigrfo onxo tin xtmnt os vértis on gro impr, ntons, mit un mino ulrino no rro. Grfo iprtito: Es qul on uyos vértis pun formrs os onjuntos isjuntos moo qu no hy ynis ntr vértis prtnints l mismo onjunto

10 ISOMORFISMO S i qu os grfos G 1 y G 2 son isomorfos uno tnino prini ifrnt son iguls, porqu oinin n: El númro rists El númro vértis El onjunto gros Sr o no onxos El númro iruitos longitu n Tnr o no iruito Eulr

11 EJEMPLO: DETERMINAR SI LOS GRAFOS G 1 Y G 2 SON ISOMORFOS Aplino un funión iytiv vérti G s mp n G y un funión iytiv vérti G s mp n G. 2 Isomorfos f f 5 4

12 TABLA COMPARATIVA DE G 1 Y G 2 Propi G1 G2 Osrvión Númro vértis Númro rists Gros 2,4,4,4,4,2 4,2,2,4,4,4 Coinin n l mismo númro vértis y gros 2 y 4. Conxo Si Si pr ulquir pr vértis s pu nontrr un mino Cmino Eulr Ciruito Eulr No No Toos los vértis son gro pr Si Si Toos los vértis tinn gro pr Ciruitos longitu n ( n st so longitu 3) 6,,,,,,,,,,,,,,,,,f, 6 1,3,5,1 1,6,4,1 1,4,5,1 1,5,6,1 2,4,6,2 4,5,6,4 En lugr tnr longitu 3, s pu vr uántos iruitos tinn longitu 4. Pro n ulquir so n oiniir

f: V C tl qu v 1, v 2 V ynts f(v 1 ) f(v 2 ) Esto signifi qu pr vértis ynts

13 APLICACIONES:COLORACIÓN DE GRAFOS S G(V,A) un grfo y s C un onjunto olors. L olorión los vértis V l grfo usno un olor l onjunto C s nuntr por l funión. f: V C tl qu v 1, v 2 V ynts f(v 1 ) f(v 2 ) Esto signifi qu pr vértis ynts rán str iluminos on un olor ifrnt En l olorión grfos s us usr l mnor nti olors posil

14 NUMERO CROMÁTICO X(G) S llm númro romátio l grfo G l númro mínimo olors on qu s pu olorr un grfo, uino qu los vértis ynts no tngn l mismo olor. Psos pr olorr un grfo: 1. Slionr l vérti v myor gro iluminrlo on ulquir olor l onjunto C 2. Colorr los vértis ynts l vérti v vrifino qu no xistn vértis ynts l mismo olor. En so sr nsrio intrmir olors. Si y stán oloros toos los vértis, trminmos, n so ontrrio ontinur on l pso 3 3. Slionr l vérti v myor gro qu y st oloro y qu toví tng vértis ynts sin olorr. Rgrsr l pso 2

15 CARACTERÍSTICAS DEL NÚMERO CROMÁTICO 5. En gnrl l myorí los grfos tinn un X(G) n porqu s ntin qu no stán rlionos toos los vértis ntr sí. 6. Los grfos iprtitos o iprtitos ompltos (K n, m ) tinn un númro romátio X(G) = 2 7. Toos los árols ulquir orn tinn númro romátio X(G)=2 o in s i qu son 2-olorl Grfo iprtito iprtito omplto (K 2, 3 ) f g X(G) = 2 h i j k

16 EJEMPLO: COLOREO DE GRAFOS Consir qu s s iluminr l siguint grfo G y qu s ispon pr llo l onjunto C ={1,2,3,4,5} f g h f g h

17 CARACTERÍSTICAS DEL NÚMERO CROMÁTICO El númro romátio pos ls siguints sit rtrístis funmntls: 1. Un grfo G tin un X(G) =1 si y sólo si no tin rists X(G) = 1 2. El X(G) pr un mino o un ilo longitu 2 s X(G)=2 y qu s porán ltrnr los olors X(G) = 2 3. Si l grfo G tin un ilo longitu impr ntons X(G) 3 X(G) = 3 X(G) = 4 4. El númro romátio l grfo omplto K n s X(K n )=n, onsirno qu un grfo K n toos los vértis son ynts ntr sí. X(K 4 ) = 4 g f

18 EJERCICIO Dtrminr si hy mino Eulr, iruito ulr, iruito hmiltonino. Color l grfo.

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