Matemáticas I Tema 6. Números Complejos

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1 Matemáticas I Tema 6. Números Complejos Índice 1. Introducción 2 2. Números Unidad imaginaria Soluciones de ecuaciones de segundo grado Definición de un número complejo Propiedades Representación gráfica de números complejos 4 5. Forma binómica y polar Forma binómica Operaciones de números complejos en forma binómica Forma polar Números complejos iguales, conjugados y opuestos Iguales Operaciones de números complejos en forma polar Potencia de un número complejo. Fórmula de Moivre Ejercicios del tema 12

2 1. Introducción Los números complejos juegan un papel fundamental en la descripción de los fundamentos físicos del universo; en particular de la mecánica cuántica y la física de las interacciones y partículas fundamentales. Quizá habrás oído hablar de la famosa partícula de Higgs que fue descubierta hace poco en el CERN (Conseil Europeén puor la Recherche Nucléaire) usando un acelerador de partículas. La función que describe esta partícula es una función que está formada por un par de números complejos definidos en cada punto del espacio. El poder de cálculo que se esconde detrás de los complejos, es algo mágico. Con un mínimo de esfuerzo, podemos derivar identidades y fórmulas trigonométricas que requieren de un trabajo tedioso y agotador, siguiendo los métodos usuales. Los números complejos son una extensión de los números reales, de manera que cualquier ecuación polinómica tenga siempre soluciones (tantas como el grado de la misma) Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra y análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, el cálculo de integrales, en aerodinámica, hidrodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además tienen numerosas aplicaciones en ciencia y tecnología. Son fundamentales para la física (en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica. En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los imaginarios puros. Una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es el Teorema Fundamental del Álgebra que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. El término número complejo fue introducido por el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss ( ) cuyo trabajo fue de importancia básica en Álgebra, Teoría de los Números, Ecuaciones Diferenciales, Geometría Diferencial, Geometría no Euclídea, Análisis Complejo, Análisis Numérico y Mecánica Teórica, también abrió el camino para el uso general y sistemático de los números complejos. Fue en Italia, durante el período del Renacimiento, cuando por vez primera los algebristas se dedican a investigar seriamente estos números. Los complejos aparecen inicialmente en el libro Ars magna de Girolamo Cardano, publicado en Números Pero, cómo surge la idea de usar estos números? Podemos decir que los números complejos aparecieron muy temprano en el paisaje de las matemáticas, pero fueron ignorados sistemáticamente, por su carácter extraño, carentes 2

3 de sentido e imposibles de representar. Aparecen entre las soluciones de las ecuaciones cuadráticas, que generan raíces cuadradas de números negativos Unidad imaginaria Se define un número complejo especial: el número i, llamado unidad imaginaria, como i = 1 que satisface la siguiente igualdad, aplicando las propiedades de los radicales: Ejemplo 1. i 2 = i i = 1 1 = = 7 ( 1) = 7 1 = 7 i 2. Sabemos que ( 1) 2 = 1, luego ( 1) 3 = ( 1) 2 1 = i. Podemos entonces calcular las distintas potencias de i sin más que observar la paridad del exponente: Ejercicio 1. Calcula: a) i 37 e) i 74 b) i 126 f) (1 + 3i) 2 c) i 87 g) (1 + i) (1 i) d) i 56 h) (1 i) 2 i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1, i 5 = i, i 6 = i i = 1,... i 6 =i 5 i 2.2. Soluciones de ecuaciones de segundo grado La ecuación x 2 + x + 1 = 0 no tiene soluciones reales. Al aplicar la fórmula de resolución de ecuaciones de segundo grado completas, aparece en la solución la expresión 3 que no tiene sentido en los números reales; porque no se puede obtener una raíz cuadrada de un número negativo.sin embargo, si usamos propiedades de los radicales se obtiene 3 = 3 1, luego la solución de esta ecuación es un número algo misterioso, de la forma x = 1± La necesidad de resolver todas las ecuaciones cuadráticas, incluyendo estas cuyas soluciones nos dan este tipo extraño de número, nos motiva a crear un sistema numérico ampliado, con propiedades similares a las de los números reales. 3

4 3. Definición de un número complejo Una vez hecho esto construimos un conjunto llamado el conjunto de los Números Complejos que se designa con la notación C y cuyos elementos son de la forma z = a + bi donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria: C = {a + bi a, b R} Todo número complejo consta de dos partes, o componentes, llamadas parte real y parte imaginaria (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria). Si z = a + bi es un número complejo, tenemos Re(z) = a e Im(z) = b Propiedades 1. Siendo R el conjunto de los números reales se cumple que R C ( R está estrictamente contenido en C ). 2. Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma parte real y la misma parte imaginaria. Si z 1 = a + bi y z 2 = c + di = z 1 = z 2 a = c yb = d 3. Los números complejos z = a + bi y z = a bi se llaman opuestos. 4. Los números complejos z = a + bi y z = a bi se llaman conjugados. 4. Representación gráfica de números complejos Para representar números naturales, enteros, racionales, etc. utilizamos una recta (la recta real); de modo que a cada número real corresponde un punto en la recta y a cada punto, un número real. Para representar los números complejos tenemos que salir de la recta y llenar el plano, pasando así de la recta real al plano complejo. Los números complejos se representan gráficamente en unos ejes de coordenadas cartesianos (plano complejo). El eje OX, que llamaremos eje real y el eje OY, eje imaginario. El número complejo z = a + bi se representa mediante el punto P (a, b) o como el vector cuyo origen es el origen de coordenadas O(0, 0) y como extremo el punto P (a, b). A partir de esta representación se definen: - Afijo de z : es el punto del plano P (a, b). - Módulo de z : módulo del vector asociado a z, que se representa por la letra r, de manera que 4

5 r = z = a 2 + b 2 - Argumento de z : ángulo positivo que forma el vector con el eje real, se representa por arg(z), siendo arg(z) = ϕ siendo tg ϕ = a b y ϕ = arc tg a b Ejemplo 2. Vamos a representar el complejo z = 3 + 5i, su opuesto z y su conjugado z Ejercicio 2. Representa gráficamente z 1 = 3 + 2i, z 2 = 2 + 5i, z 1 + z 2. Comprueba que z 1 + z 2 es una diagonal del paralelogramo de lados z 1 y z 2. 5

6 5. Forma binómica y polar 5.1. Forma binómica La expresión z = a + bi de un número complejo se llama forma binómica. En un número complejo z = a + bi - Si b = 0, es decir, es de la forma z = a, es un número real. - Si b 0 y a = 0, es decir, es de la forma z = bi, es un número imaginario puro Operaciones de números complejos en forma binómica Dados los números complejos en forma binómica z 1 = a + bi y z 2 = a + b i Su suma se define como: z 1 + z 2 = (a + bi) + (a + b i) = (a + a ) + (b + b )i Se obtiene otro complejo que tiene como parte real la suma de las partes reales y como parte imaginaria,la suma de la partes imaginarias Ejemplo 3. (2 + 4i) + (3 5i) = (2 + 3) + (4 + ( 5)) = 5 i Su resta se define como: z 1 z 2 = (a + bi) (a + b i) = (a a ) + (b b )i Se obtiene otro complejo que tiene como parte real la resta de las partes reales y como parte imaginaria,la resta de la partes imaginarias Ejemplo 4. (4 + 21i) (7 3i) = (4 7) + (21 ( 3)) = i Su producto se define como: z 1 z 2 = (a + bi)(a + b i) = (aa bb ) + (ab + ba )i Se obtiene otro complejo aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i 2 = 1 Ejemplo 5. Sean z 1 = 3 + 5i y z 2 = 4 + 7i. Tenemos que z 1 z 2 = (3 + 5i) (4 + 7i) = ( ) + ( )i = i 6

7 Se define el inverso del número complejo z = a + bi de la siguiente manera: 1 z = 1 a + bi = (1) (a bi) (a + bi) (a bi) = a 2 (bi) 2 a bi a 2 + b = 1 2 a 2 + b z 2 Ejemplo 6. Sea z = 2 + 3i, entonces 1 z = i = 2 3i = 2 3i 2 13 = i El cociente entre z 1 = a + bi y z 2 = a + b i, z 1 z 2 se define como un producto: z 1 = z = (a + bi) z 2 z 2 a + b i = (a + bi) (a b i) a 2 + b 2 Aunque hemos definido el cociente como el producto por el inverso, lo más simple es hacer lo siguiente: Ejemplo i 1 2i = (3 + 2i) (1 + 2i) (1 2i) (1 + 2i) = 3 + 6i + 2i (2i) 2 = 3 + 6i + 2i 4 5 = i Ejercicio 3. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica el resultado: a) (3 2i) + 3[1 i 4( 5 + i) 2 2(1 3i) i ] e) 2 + 3i b) (1 3i) 2 (1 3i)2 (2 + 4i) + 3(6 4i) f) 1 + 8i c) (1 + 2i) (3 2i) g) 5 i 2 + 5i 1 i d) (1 + 2i) (1 2i) h) 8i2 3i 1 + 5i Ejercicio 4. Cuánto debe valer x, real, para que (25 xi) 2 sea imaginario puro? 5.2. Forma polar La expresión z = r α se conoce como la forma polar del complejo z, donde: r = z y α = arg(z) Se deducen fácilmente las siguientes propiedades: 1. En forma polar z = r α 2. Si z = a R + entonces z = r 0 o 7

8 3. Si z = a R entonces z = r 180 o 4. Si z es imaginario puro; z = bi, con b > 0, entonces z = r 90 o 5. Si z es imaginario puro; z = bi, con b < 0, entonces z = r 270 o Ejemplo 8. Los números complejos z 1 = o y z 2 = o cumplen que z 1 = z 2 puesto que 470 o = 120 o o. Es decir, damos un giro de 360 o Números complejos iguales, conjugados y opuestos Iguales Ya hemos visto en la proposición anterior que dos complejos son iguales si sus módulos coinciden y su argumento se diferencia en 2πk. Veamos el resto de casos: Propiedad (Iguales). Dos números complejos z 1 = r α y z 2 = r β son iguales, z 1 = z 2 si r = r y α = β + 2πk Propiedad (Conjuado). Sea z = r α, se cumple que z = r α siendo α = α + 2πk. Es decir, el conjugado tiene el mismo módulo y como argumento, el ángulo opuesto más las vueltas. Propiedad (Opuesto). Sea z = r α, se cumple que z = r α, siendo α = (α + π) + 2πk. Ejercicio 5. Escribir el opuesto y el conjugado de cada complejo de los representados en el apartado Operaciones de números complejos en forma polar Propiedad. Producto Dados los números complejos en forma polar z 1 = r α y z 2 = r β. Su producto en forma polar se realiza de la siguiente manera: z 1 z 2 = (r r ) α+β Se obtiene otro número complejo en forma polar en el que el módulo es el producto de los módulos y el argumento, la suma de los argumentos. 8

9 Ejemplo 9. Sea z 1 = 2 30 o y z 2 = o entonces z 1 z 2 = (2 3) 30 o +210 o = o Ejercicio 6. Demuestra que al multiplicar un número complejo z = r α por 1 β, se gira z un ángulo β alrededor del origen. Propiedad (Potencia). La potencia de z = r α se calcula como: z n = (r α ) n = r n n α Se obtiene otro número complejo en forma polar en el que el módulo es la potencia del módulo y el argumento, el producto del exponente por el argumento. Ejemplo 10. Sea z = 2 30 o, z 4 se calcula como sigue: z 4 = (2 30 o) 4 = o = o Propiedad (Cociente). Su cociente se obtiene como z 1 z 2 = r α r β ( r ) = r α β Se obtiene otro número complejo en forma polar en el que el módulo es el cociente de los módulos y el argumento, la resta (diferencia) de los argumentos. Propiedad (Raíz n-ésima). La raíz n-ésima de z = R α, denotado por n z = n R α = r α son n números complejos z 1 = r α1, z 2 = r α2,..., z n = r αn, en donde r = n R y α 1, α 2,..., α n se obtienen dando valores a la expresión: α = α + 2πk, con k = 0, 1,..., n 1 n Al representar gráficamente, como puntos del plano, las raíces n-ésimas de cualquier número complejo se obtienen los n vértices del polígono regular de n lados centrado en el origen de coordenadas O(0, 0). Si unimos cada uno de los puntos con el obtenido inmediatamente después en el cálculo de las raíces obtenemos un polígono regular de n lados. Ejemplo 11. Según esto, las tres raíces cúbicas de z = 8 forman un triángulo equilátero centrado en (0, 0). 9

10 z = 8 en forma polar es z = o. Aplicando el cálculo de raíz cúbica se obtienen las tres raíces cúbicas siguientes: z 1 = 2 60 o, z 2 = o y z 3 = o. 3 8 = o = r α = (r α ) 3 = o = r 3 3α = o r = 3 8 = 2 y 3α = 180 o + 2πk, siendo k = 0, 1 y 2 = α = 180o + 2πk = 60 o o k 3 y tomamos los valores k = 0, 1, y 2, tenemos que α 1 = 60 o, α 2 = 180 o y α 3 = 300 o Representando los tres complejos lo vemos en la siguiente gráfica: Ejercicio Efectúa estas operaciones y da el resultado en forma polar: a) o 5 30 o d) 5 (2π/3)rad : 1 60 o b) 6 45 o : 3 15 o e) (3 + 2i) + ( 3 + 2i) c) 2 10 o 1 40 o 3 70 o f) (1 + i) (1 i) 2. Dados los complejos z = 5 45 o, w = 2 15 o, t = 4i, obtén en forma polar: a) z t c) z 3 w t 2 b) z w 2 d) z w3 t 2 Propiedad (Paso de forma polar a binómica). Sea z = r α un número complejo. Recordemos que z se puede ver como vector, y como tal tiene unas coordenadas en el plano. Si z = (z 1, z 2 ) son las coordenadas cartesianas del vector, entonces z 1 = r cos α y z 2 = r sen α, tal y como se muestra en la figura. En general, si z = r α z = r (cos α + i sen α) = r cos α + ir cos α 10

11 Ejemplo 12. Sea z = 5 30 o. Para pasar a forma binómica, a partir de la propiedad anterior ( ) 3 z = 5 (cos 30 o + i sen 30 o ) = i1 = i Ejercicio 8. Pasa de forma a binómica: a) z = 3 45 o d) z = o b) z = 2 60 o e) z = o c) z = 1 90 o f) z = o Ejercicio 9. Utilizando la propiedad anterior, expresa en forma trigonométrica: 3 + 3i 2 2i Ejercicio 10. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) z = 0 c) z = 0 b) z = 0 d) iz 3 27 = Potencia de un número complejo. Fórmula de Moivre La potencia de un número complejo se realiza generalizando el producto a n factores y aplicando la propiedad asociativa del producto. El resultado obtenido se conoce como la fórmula de Moivre. Sea z = r α z n = (r α ) n = (r n ) nα = r n [cos (nα) + isen(nα)] con n un entero positivo. Ejercicio 11. Calcula pasando a forma polar: a) (1 + 3i) 5 d) ( 2 + 3i) 6 b) ( 1 3i) 6 ( 3 i) e) c) (1 + i) 5 f) ( 1 (1 + i) i)4 11

12 6. Ejercicios del tema 1. Calcula: a) (3 + 2i)(2 i) (1 i)(2 3i) c) 2i (4 i)5i b) 3 + 2i( 1 + i) (5 4i) d) (4 3i)(4 + 3i) (4 3i) 2 2. Calcula en forma binómica: a) 1 + 3i c) 1 + i 3 2i + 3 i 2 i 1 + 3i b) 2 5i d) 2 + 5i (1 i) 4 + 2i 3 2i 3. Dado el número complejo z = i prueba que: 2 a) 1 + z + z 2 = 0 b) 1 z = z2 4. Calcula x para que 2 + xi 1 xi R y para que 3 2xi 4 + 3i sea imaginario puro. 5. Calcula m y n para que se verifique la igualdad: (2 + mi) + (n + 5i) = 7 2i 6. Dados los complejos: z 1 = o, z 2 = o y z 3 = o, calcula: a) z 1 z 2 d) z 1 z 3 z 2 b) z 2 z 3 e) z1 3 c) z 2 f) z3 4 z 1 7. Calcula y representa gráficamente el resultado: a) ( 1 i 3 + i ) 3 b) i 2 i 8. Representa los polígonos regulares que tienen por vértices los afijos de las siguientes raíces: a) 5 i b) 6 1 c) i 9. Halla los números complejos z y w que verifican cada uno de estos sistemas de ecuaciones: { { z + w = 1 + 2i z + 2w = 2 + i a) b) z w = 3 + 4i iz + w = 5 + 5i 10. Expresa en forma polar z, su opuesto z, y su conjugado z en cada uno de estos casos: a) z = 1 3i b) z = 2 2i c) z = i 11. Calcula pasando a forma polar: 12

13 8 a) d) 3 i (1 i) 5 b) 6 2 2i 64 e) 3 + 3i c) 1 i f) (1 + 5i) 5 esté repre- 12. Calcula x para que el número complejo que obtenemos al dividir x + 2i 4 3i sentado en la bisectriz del primer cuadrante. 13. Calcula cos 75 o y sen 75 o mediante el producto 1 30 o 1 45 o. 14. Expresa cos 3α y sen 3α en función de sen α y cos α utilizando la fórmula de Moivre. Ten en cuenta que: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b Qué condición debe cumplir un número complejo z = a + bi para que z = 1 z? 16. Un pentágono regular con centro en el origen de coordenadas tiene uno de sus vértices en el punto ( 2, 2). Halla los otros vértices y la longitud de su lado. 17. Calcula el inverso de los números complejos siguientes y representa gráficamente el resultado que obtengas: a) 3 π/3 b) 2i c) 1 + i Qué relación existe entre el módulo y el argumento de un número complejo y de su inverso? 18. Hallar dos números complejos z 1 y z 2 sabiendo que su cociente es 4, sus argumentos suman 40 o y la suma de sus módulos suman Hallar dos complejos z 1 y z 2 sabiendo que su producto es 27i y uno de ellos es el cuadrado del otro. 20. El número complejo 3 40 o es vértice de un pentágono regular. Halla los otros vértices y el número complejo cuyas raíces quintas son esos vértices. (Recuerda que el producto de 1 α produce un giro α). 21. Representa los números complejos que verifican: a) z = z b) z + z = 3 c) z z = Si z = r α, qué relación tienen con z los números r α+180 o y r 360 o α? 23. Representa gráficamente las igualdades siguientes. Qué figura se determina en cada caso? a) z (1 + i) = 5 b) z (5 + 2i) = Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 1 + i y 1 i. 13