Cinemática del movimiento rotacional

Transcripción

1 Cnemátca del movmento rotaconal

2 Poscón angular, θ Para un movmento crcular, la dstanca (longtud del arco) s, el rado r, y el ángulo están relaconados por: 180 s r > 0 para rotacón en el sentdo anthoraro desde la línea de referenca Note que se mde en radanes: RAD DEG

3 El desplazamento angular se defne como el ángulo que el objeto rota a través de algún ntervalo de tempo Cada punto del dsco tene el msmo desplazamento angula en cualquer ntervalo de tempo dado f

4 Velocdad angular, ω A medda que el dsco rota, camba. Podemos defnr el desplazamento angular como,, : = f - Que nos lleva a la velocdad angular promedo w prom w prom f t t t f

5 Velocdad angular nstantánea a velocdad angular nstantánea se defne: w lm t 0 t d dt as undades SI para w son: rad/s = s -1 w > 0 para rotacón en sentdo anthoraro w < 0 para rotacón en sentdo horaro S v = velocdad de un objeto que vaja alrededor del cculo de rado r w = v / r

6 El perodo de una rotacón es el tempo que tarda en dar una revolucón. w T T w Problema: Cuál es el período de rotacón de la Terra alrededor de su propo eje? Cuál es la velocdad angular de la Terra alrededor de su propo eje?

7 Aceleracón angular, α a aceleracón angular meda a meda se defne como a meda w w f t t f w t a aceleracón angular nstantánea como l se defne como a lm t 0 w t dw dt as undades SI para a: rad/s = s - a aceleracón angular es el cambo de la velocdad angular en el tempo

8 Anotacones a cerca de cnemátca angular: Cuando un cuerpo rígdo rota alrededor de un eje fjo, cada porcón del objeto tene la msma velocdad y la msma aceleracón angular Por ejemplo,, w, y a no son dependentes de r, la dstanca respecto al eje de rotacón.

9 Ejemplos: 1. a rueda de una bccleta da 40 revolucones/mn. Cuál es la velocdad angular en radanes/segundo? w rev 1mn rads 40 8 radans s mn 60s 1rev 5.1radans s. S la rueda desacelera unformente hasta el reposo en 5 segundos, cuál es la aceleracón angular? a w f w t 0 5rad 5s s 5rad s

10 3. Cuantas revolucones realza en estos 5 segundos? Recoredemos que para el movmento lneal teníamos: x v 0 t 1 at De manera smlar, para las cantdades angulares tenemos: 1 w0t at 1 5rad s 1rev ( rev) 6.5rad 5 s 5rad s5 s 6.5rad 10 revolucones

11 Analogías entre el movmento lneal y rotaconal Movmento rotaconal alrededor de un eje fjo con aceleracón constante Movmento lneal con aceleracón constante w w at v v at 1 w t a t x v t 1 at w w a v v ax 1 ( ) w w o o t

12 Relacón entre cantdades angulares y lneales Desplazamentos s r Velocdades t 1 r s t w 1 r v Aceleracones a ar

13 Aceleracón tangencal y la aceleracón radal Ya que la velocdd tangencal v es a t rw a r r r a aceleracón lneal total es: v rw a magntud de la aceleracón tangencal a t es v t t rw a aceleracón radal o centrípeta a r es v rw w r ra t a a ra rw t a r r 4 a w

14 Ejemplo: (a) Cuál es la velocdad lneal de un nño sentado 1.m del centro de un juego que rota y completa una revolucón en 4.0s? (b) Cuál es su aceleracón lneal total? 1rev rad 1.6 rad / s 4.0s 4.0s v rw 1.m1.6 rad / s 1.9 m/ s Como la velocdad angular es constante, no hay una aceleracón angular Aceleracón tangencal Aceleracón radal es: a a ar t ra 1.m 0 rad / s 0 m/ s r 1.m 1.6 rad / s 3.1 m/ s a a m/ s t r

15 Energía cnétca rotaconal Energía cnétca de un cuerpo rígdo que tene movmento crcular: a energía cnétca de masa m, movendose a una velocdad tangencal, v, es1 K m v Como un cuerpo rígdo es un conjunto de msas, la energía cnétca total de un cuerpo rígdo es K R m r w El momento de nerca, I, se defne como a expresón anteror se smplfca a 1 K 1 1 m r w m r w I m r 1 K R I w

16 Ejemplo: En un sstema que consste de cuatro esferas pequeñas como se muestra en la fgura, asumendo que los rados son desprecables y que las barras conectando las partículas son de masa desprecable, calcule el momento de nerca y la energía cnétca rotaconal cuando el sstema rota alrededor del eje y en w. y m M l O b b l M x m

17 Como la rotacón es en el eje y, el momento de nerca alrededor del eje y, I y, es I m r Ml Ml m0 m0 Ml Por qué hay algunos ceros? Porque la rotacón se realce alrededor del eje y, y los rados de las esferas son desprecables. Por tanto, tla energía cnétca rotaconal es K R 1 w 1 I Ml w Ml w Halle el momento de nerca y la energía cnétca rotaconal cuando el sstema rota en el plano xy alrededor del eje z que va a través del orgen O.

18 Cálculo del momento de nerca El momento de nerca para objetos gandes puede puede calcularse, s asummos que el objeto consste de pequeños elementos de volumen con masa, m. El momento de nerca para un objeto rígdo grande es I lm r m r dm m 0 Algunas veces es más fácl calcular los momentos de nerca en térmnos del volumen de los elementos que de sus masas. Usando la densdad, r,reemplece dm en la ecuacón anteror por dv. dm r dm rdv dv os momentos de nerca se converten en: I rr dv

19 El momento de nerca de un aro unforme de masa M y rado R alrededor de un eje perperndcular al plano del aro y pasando por su centro El momento de nerca es I r dm dm R MR y dm El momento de nerca para este objeto es el msmo que el de una masa puntual M a una dstanca R. O R x

20 Ejemplo para de momento de nerca de un cuerpo rígdo Calcule el momento de nerca de una barra unforme de longtud y masa M con el eje perpendcular a la bara y pasando a través de su centro de masa. a densad lneal de la barra es M Así que la masa es dm I dm r I dx dx M dm r dx M x / / / / x M M M 1 M dx M x 0 x M M 3 3 M 3 M Con el eje en el extremo

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22 Teorema de los ejes paralelos Como el momento de nerca (I) depende del eje, habra tantos I como ejes que se eljan. S el centro de masas pasa por eje z (x cm =0, y cm =0, z cm =0) ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( Md I I m b a y x m b by y a ax x m b y a x m I y x m I cm P P cm Ya que: ) ( b a d m y m m y y m x m m x x y x m I cm cm cm

23 Teorema de los ejes paralelos El momento de nerca en un punto cualquera P es gual al momento de nerca alrededor del centro de masas sumado a la masa total multplcada por la dstanca al cuadrado entre el centro de masas y el punto P. Observese que a mayor dstanca Del centro de masas mayor sera el momento de nerca. I P I cm Md

24 Dscuson

25 [1] Durante certo período de tempo, la poscón angular de una puerta se descrbe por θ= t +.00t, donde θ está en radanes y t se expresa en segundos. Determne la poscón angular, la velocdad angular y la aceleracón angular de la puerta (a) en t = 0 (b) en t = 3.00 s. a] en t 0 poscon angular 5 rad d velocdad angular w 10 4t w dt dw aceleraco n angular a 4 a t0 dt t0 10rad 4rad / s / s

26 [5] Un dsco de 8.00 cm de rado rota a una tasa constante de 100 rev/mn alrededor de su eje central. Determne (a) su velocdad angular, (b) la velocdad tangencal en el punto 3.00 cm de su centro, (c) la aceleracón radal de un punto el borde, y (d) la dstanca total a un punto del borde que se mueve en.00 s. a] ω b] v c] a a d]s r c π 100 f ( ) 16 rad/s T 60 - ωr m/s ω??? r r wrt (16) m/s 0.1s

27 Consdere un carro conducendose a 0 m/s en una carretera peraltada a 30 en una curva crcular de rado 40.0 m. Asuma la masa del carro es 1000 kg. 1. Cuál es la magntud de la fuerza de frccon expermentada por las gomas del carro?. Cuál es el coefcente mínmo de frccón para que el carro de la vuelta de manera segura?

28 1. Dbuje un dagrama de cuerpo lbre, ntroduzca un marco de referenca y consdere las proyeccones horzontal y vertcal F x v m cos 30 f mgsn 30 r v f m cos 30 mgsn N r F y v m sn 30 N mg cos 30 r v N m sn 30 mg cos 30 r N. Use la defncón de fuerza de frccón: f N, s s mnma fs 3760 N 4 N N s 0.8

29 Ejemplo: Clndro sóldo unforme Un clndro sóldo unforme de rado R, masa M, y longtud. Calcule su momento de nerca alrededor del eje central. a densdad de volumen de la la capa es As que la masa es dm rdv I M V r dv r R r M dm d(r) 0 r R 0 rmdr M V M r R 0 1 MR