MÓDULO 1 INTEGRALES INDEFINIDAS

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1 MÓDULO INTEGRALES INDEFINIDAS Usted está familiarizado co alguas operacioes iversas. La adició y la sustracció so operacioes iversas, la multiplicació y la divisió so tambié operacioes iversas, así como la poteciació y la etracció de raíces. Ahora, coocerá la operació iversa la de derivació o difereciació deomiada atiderivació o atidifereciació, la cual implica el cálculo de ua atiderivada. Atiderivada. Ua fució F se deomia atiderivada de ua fució f e u itervalo I si F ( ) f ( ) para todo I. Si F es la fució defiida por De modo que si F( ) + +, etoces F +. f ( ) +, etoces f es la derivada de F, y F es la atiderivada de f. Si G es la fució defiida por atiderivada de f, porque por G( ) + 7, etoces G tambié es ua +. E realidad, cualquier fució H defiida G H ( ) + + C, dode C es ua costate, es ua atiderivada de f. Teorema. Si f y g so dos fucioes defiidas e el itervalo I, tales que f ( ) g ( ) para todo I, etoces eiste ua costate K tal que f ( ) g( ) + K para todo I. La atiderivació o atidifereciació es el proceso mediate el cual se determia el cojuto de todas las atiderivadas de ua fució dada. El símbolo deota la operació de atiderivació, y se escribe, f F + C dode F ( ) f ( ) d F( ) f ( ). y E la igualdad f ( ) F( ) + C, es la variable de itegració, f ( ) es el itegrado y la epresió F( ) + C recibe el ombre de atiderivada geeral o itegral idefiida de f. Si { F( ) C} + es el cojuto de todas las fucioes cuyas difereciales sea f ( ), tambié es el cojuto de todas las fucioes cuya derivada es f ( ). Teorema. + C.

2 Teorema. af ( ) a f ( ), dode a es ua costate. Teorema. Si las fucioes f y g está defiidas e el mismo itervalo, etoces [ ] f ( ) + g( ) f ( ) + g( ). Teorema. Si las fucioes f, f, f,, f está defiidas e el mismo itervalo, etoces [ ] c f c f c f c f dode c, c, c,, c so costates. c f ( ) + c f ( ) + c f ( ) + + c f ( ), Teorema 6. Si es u úmero racioal, etoces + + C. + Ejemplos. ) Evalúe ( ) ( ) ) Calcule + ) Determie t + 7 dt t C C C + + C

3 t + 7 t 7 7 t t 7 t t t dt dt + dt t dt + t dt + + C + + t t t C t C Los teoremas para las itegrales idefiidas de las fucioes trigoométricas seo, coseo, secate al cuadrado, cosecate al cuadrado, secate por tagete y cosecate por cotagete, so deduccioes imediatas de los teoremas correspodietes de difereciació. A cotiuació se preseta tales teoremas. Teorema 7. se Teorema 8. cos + C cos se + C Teorema 9. sec tg + C Teorema 0. csc cotg + C Teorema. sec tg sec + C Teorema. csc cotg csc + C Ejemplos. ) Evalúe ( sec tg csc + 8se )

4 ( + 8 ) + 8 sec tg csc se sec tg csc se sec cotg + 8 cos + C sec + cotg 8cos + C Las idetidades trigoométricas se emplea co frecuecia cuado se calcula itegrales idefiidas que ivolucra fucioes trigoométricas. Las ocho idetidades trigoométricas fudametales siguietes so de crucial importacia. se cos se csc cos sec tg cotg tg cotg cos se se + cos tg + sec cotg + csc ) Calcule cotg se se cotg se se cotg csc cotg se se se se csc cos + C csc + cos + C ) Determie ( tg + cotg + ) ( tg + cotg + ) ( sec ) + ( csc ) + sec + csc + tg cotg + + C Ejercicios. Calcule las itegrales idefiidas: ( ) ( ) y + y ) u u du ) ) y y ) y se cos ) ( cos se ) 6) 7) 8) ( csc cot + sec ) cos se tg β cos β 9) ( cotg θ tg θ ) dθ 0) dβ cos β

5 Teorema. Regla de la cadea para atiderivació. Sea g ua fució difereciable y sea el cotradomiio de g algú itervalo I. Supoga que f es ua fució defiida e I y que F es ua atiderivada de f e I. Etoces f ( g ( ) ) g ( ) f ( g ( ) ) d ( g ( ) ) F ( g ( ) ) + C. Teorema. Si g es ua fució difereciable y es u úmero racioal, etoces Ejemplos. + g g ( ) g ( ) + C. + ) Evalúe y observe que si g( ) + etoces g ( ). Por lo tato, se ecesita u factor juto a para obteer g ( ). E cosecuecia, se escribe ( g( ) ) + ( + ) + ( g( ) ) + C C + + ( g( ) ) d + ) Calcule 8 + ( ) g d g Observe que si g( ) + etoces g ( ) 6. Por lo tato, ecesitamos u factor 6 juto a para obteer g ( ) 6. Luego, se escribe g ( ) ( g( ) ) ( g( ) ) ( g( ) ) d ( g( ) ) (( + ) ) d ( + ) 6 + C 8 + ( ) + + C ) Evalúe ( 8 )

6 Como d ( 8 ), se escribe ( ) ( ) ( 8 8 ) ( ) ( 8 ) ( 8 ) ( 8 ) ( 8 ) 8( 8 ) Ejercicios. Resuelva: d + C + C 6 6 ( g( ) ) ( ) d g y ( y ) ) y dy ) ) 9 ) + 0 ) 6) dy 7) y csc y cot y dy 8) cos + se 6 u E los teoremas que se preseta a cotiuació u es ua fució de, es decir, f ( ). Teorema. du l u + C u Evalúe + E este caso u +, por lo tato, du, luego se ecesita u factor juto a para obteer du. Etoces, se escribe Teorema 6. d ( + ) l + + C tg u du l secu + C Calcule tg 6 u 6 du

7 6 Cosideremos u, teemos que du 6, luego ecesitamos u factor 6 juto a para obteer du. Por lo tato, Teorema 7. ( 6 ) tg 6 tg 6 tg d 6 l sec + C cotg u du l se u + C u du Calcule cotg ( 7 + ) Como u 7 +, etoces du 7, por lo tato, u du ( 7 ) ( 7 )( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) cotg + cotg + cotg + d + l se + + C Teorema 8. secu du l secu + tg u + C Evalúe sec Siedo u, etoces du, luego, podemos escribir Teorema 9. sec sec sec d l sec + tg + C cscu du l cscu cotg u + C Resuelva se 7

8 csc csc csc d ( ) l csc cotg + C se Ejercicios. Resuelva las itegrales idefiidas: + ( + ) cos se cos l ) ( tg sec ) ) ) ) + y ) ) ) ) ) dy y l y se t cos se 6) dt 7) cotg csc 8) 9) t y 0 dy ( + l ) t l l + + ) ) 6) ( l ) l + l + 7 tg l cotg t l 7) 8) dt 9) 0) Teorema 0. u u e du e + C Evalúe e Sea u, etoces, du, por lo tato u e e u u e e du e + C e + C Teorema. u u a a du + C l a Evalúe 0 du Como 0 0, se aplica el teorema co u, de dode obteemos, du, etoces 8

9 u u ( ) 0 du + C + C + C l0 l0 l 0 Ejercicios. E los siguietes ejercicios evalúe la itegral idefiida. + + e ( e ) e e e ) e ) e ) ) ) e + y y z l z y e e l ( log ) ( + ) 6) a l z dz 7) e dy 8) 9) A partir de las fórmulas de las derivadas de las fucioes trigoométricas iversas se obtiee alguas fórmulas de itegrales idefiidas. El teorema siguiete proporcioa tres de estas fórmulas. Teorema. du u du + u Teorema. arcse u + C arctg u + C du arc secu + C u u El teorema siguiete proporcioa alguas fórmulas más geerales. Ejemplos. du u arcse + C a u a du u arctg a + C a + u a du u arc sec a C u u a a + ) Evalúe 9 9 ( ) d arcse + C 9

10 ) Evalúe + ( ) + + Co la fialidad de completar el cuadrado de se suma, y como está 9 multiplicado por e realidad se suma es al deomiador, de modo que para que la epresió del deomiador persista, es decir, o se altere, se resta tambié. Por lo tato, se tiee ) Evalúe arcta + C arcta + C ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) arc sec + C Las fórmulas de itegració idefiida del teorema siguietes so cosecuecia imediata de las fórmulas de las derivadas de las fucioes hiperbólicas. Teorema. sech u tgh u du sech u + C csch u cotgh u du csch u + C seh u du cosh u + C cosh u du seh u + C 0

11 Ejemplos. Ejercicios. sech u du tg u + C csch u du cotgh u + C ) Evalúe seh cosh cosh seh cosh d cosh cosh + C ) Evalúe ( ) tgh sech sech tgh + C ) seh cosh ) cosh seh ) csch ) cotgh ) tgh l cosh 6) sech tgh Ates de estudiar los diferetes métodos de itegració, se preseta ua lista umerada de las fórmulas típicas de itegració idefiida las cuales debe ser memorizadas por el estudiate para u mejor desevolvimieto.

12 u. u du + C + du. l u + C u u u a 6. a du + C dode a > 0 y a l a 7. du u + C a du au + C a R f u g u du f u du g u du u u e du e C + 8. se u du cos u + C 9. cos u du se u + C

13 0. sec u du tg u + C. csc u du cotg u + C. secu tg u du sec u + C. cscu cotg u du cscu + C. tg u du l sec u + C. cotg u du l se u + C 6. secu du l sec u + tg u + C 7. cscu du l cscu cotg u + C du u 8. arcse + C dode a > 0 a u a 9. du u du arctg 0 a + C dode a > a + u a du u 0. arc sec + C dode a > 0 a u u a a. seh u du cosh u + C. cosh u du seh u + C. sech u du tgh u + C. csch u du cotgh u + C. sech u tgh u du sech u + C 6. csch u cotgh u du csch u + C

14 Empredamos el estudio de los métodos de itegració. Uo de los métodos más ampliamete usados e la resolució de itegrales es la itegració por partes. INTEGRACIÓN POR PARTES. La fórmula de la itegració por partes es la siguiete: u dv uv v du Esta fórmula epresa a la itegral u dv e térmios de la itegral v du. Mediate ua elecció adecuada de u y dv, puede evaluarse más fácilmete itegral v du. Ejemplos. ) Evaluar l Tomemos u l y dv, por lo tato, du y l l l l + C ) Evaluar e ( ) e e e d v, luego, Sea u y dv e d ( ), etoces, du y v e, por lo tato, ( ) e e e e e d e e + C Ejercicios. Evalúe las itegrales idefiidas. ( l t ) e t ( + ) ) dt ) arctg ) sec tg ) ) se l y dy 6) se z l cos z dz 7) e 8)

15 INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS. Las itegrales trigoométricas implica operacioes algebraicas sobre fucioes trigoométricas. CASO. (i) se o (ii) cos, dode es u úmero etero positivo impar. (i) Se hace la trasformació se se se ( se ) ( se ) ( cos ) ( se ) (ii) Se hace la trasformació Ejemplos. cos cos cos ( cos ) ( cos ) ( se ) ( cos ) ) Calcule se cos + cos d ( cos ) cos d ( cos ) ( ) ( ) se se se cos se cos + cos se se cos se + cos se cos + cos cos + C ) Calcule cos ( ) cos cos cos se cos cos se cos se se d se se se + C

16 CASO. m se cos, dode al meos uo de los epoetes es u úmero etero positivo impar. E la solució de este caso se utiliza u método semejate al empleado e el caso. (i) Si es impar, etoces se cos se cos se ( se ) cos ( se ) ( cos ) cos ( se ) (ii) Si m es impar, etoces m m se cos se cos cos m m ( ) se cos cos se se cos ( ) se cos se cos se cos cos d cos 6 7 cos d cos + cos d cos cos + cos + C 7 Cuado iguo de los epoetes de las potecias seo y coseo es impar, o se puede seguir los procedimietos epuestos e los casos y. E tal caso se debe tomar muy e cueta las idetidades siguietes: se cos + cos cos CASO. (i) se, (ii) cos o (iii) m se cos, so úmeros eteros positivos pares. dode m y (i) Se hace la trasformació ( se ) se cos 6

17 (ii) Se hace la trasformació ( cos ) cos + cos (iii) Se hace la trasformació Ejemplos. m se cos se cos m cos + cos cos ) se cos cos d se + C cos cos cos ( ) m + cos ) cos ( cos ) ( + cos + cos ) + cos d + + se + + cos + se + + cos d se + 8 se + C CASO. (i) tg o (ii) cotg, dode es u úmero etero positivo. (i) Se hace la trasformació tg tg tg ( sec ) tg (ii) Se hace la trasformació cotg cotg cotg Ejemplos. ( csc ) cotg 7

18 ) Evalúe tg ( ) tg tg tg tg sec tg sec tg tg d tg tg tg l sec + C ) Evalúe cotg cotg cotg cot cotg csc cotg csc cotg cotg d cotg csc cot csc d + cot cot + + C 9 9 CASO. (i) sec o (ii) csc, dode es u úmero etero positivo par. (i) Se hace la trasformació ( sec ) ( sec ) ( tg ) ( sec ) sec sec sec + (ii) Se hace la trasformació ( csc ) ( csc ) ( cotg ) ( csc ) csc csc csc Evalúe + 6 csc 8

19 CASO 6. ( cotg + cotg + ) d ( cotg ) 6 csc csc csc cotg + sec cotg d cotg cotg d cotg d cotg cotg cotg cotg + C par. m m (i) tg sec o (ii) cotg csc, dode m es u etero positivo (i) Se hace la trasformació m m m tg sec tg sec sec (ii) Se hace la trasformació tg sec sec tg tg + sec m m m cotg csc cotg csc csc Evalúe tg sec cotg csc csc cotg cotg + csc tg sec tg sec sec tg tg + d tg 7 8 tg d tg + tg d tg tg + tg + C 8 6 CASO 7. 9

20 impar. m m (i) tg sec o (ii) cotg csc, dode m es u etero positivo i) Se hace la trasformació m tg sec tg sec sec tg ( tg ) m sec ( sec tg ) ( sec ) m sec ( sec tg ) (ii) Se hace la trasformació m m cotg csc cotg csc csc cotg ( cotg ) m csc ( csc cotg ) ( csc ) m csc ( csc cotg ) 7 Evalúe tg sec ta sec tg sec sec tg tg sec sec tg 6 6 ( sec ) sec d ( sec ) ( sec sec ) sec d ( sec ) sec d sec sec d sec + sec d sec 9 7 sec sec + sec + C 9 7 CASO 8. impar. (i) sec o (ii) csc, dode es u úmero etero positivo Aplique itegració por partes. (i) Cosidere (ii) Cosidere u sec y dv sec u csc y dv csc 0

21 Evalúe Sea sec u sec du sec sec tg sec tg dv sec v tg Aplicado el método de itegració por partes teemos: sec tg sec + sec Luego, sec sec tg + sec sec sec tg sec tg sec tg sec sec I Evaluemos la itegral I aplicado el método de itegració por partes: Sea u sec du sec tg dv sec v tg Etoces, sec sec tg sec tg sec tg sec sec sec tg sec + sec sec tg sec + l sec + tg + C Por lo tato, E coclusió, sec sec ta + l sec + ta + C sec sec tg + sec tg + l sec + tg + C sec tg + sec tg + l sec + tg + C 8 8 CASO 9.

22 m m (i) tg sec o (ii) cotg csc, dode es u etero positivo par y m es u etero positivo impar. Eprese el itegrado e térmios de potecias impares de la secate o cosecate y después siga las sugerecias del caso 8. (i) Se hace la trasformació ( sec ) m m tg sec tg sec (ii) Se hace la trasformació ( csc ) sec m m cotg csc cotg csc csc m m Evalúe tg sec ( ) tg sec sec sec sec sec Las itegrales A y B las resolvimos e el ejemplo del caso 8. La solució de A es: sec sec tg + sec tg + l sec + tg + C 8 8 La solució de B es: sec sec tg + l sec + tg + C Por lo tato, tg sec sec tg + 7 sec tg + 7 l sec + tg + C, C C + C 8 8 A B CASO 0. (i) cos m cos, (i) se m cos o (iii) se m se, m. (i) Se hace la trasformació

23 cos m cos cos m + + cos m (ii) Se hace la trasformació se m cos se ( m + ) + se ( m ) (iii) Se hace la trasformació se m se cos ( m + ) + cos( m ) Evalúe se cos ( + ) + se cos se se se se se d + se cos cos + C 0 0 Ejercicios. Determie las itegrales idefiidas idicadas a cotiuació. ) se cos ) se cos ) cos se 6 ) cos se ) cos z se z dz 6) se cos 7) 8) cos cos 8 9) se se y y dy t t dt se sec ( l ) ( ) ) csc ) 0) cot csc ) ) e tg e ) tg cotg se w dw cos w INTEGRACIN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA Se mostrará co tres casos cómo el cambio de variable mediate sustitució trigoométrica permite co frecuecia evaluar ua itegral que cotiee ua epresió de ua de las formas siguietes dode a > 0: CASO. a b a + b b a

24 Ejemplos. El itegrado cotiee ua epresió de la forma a b, dode a > 0. a Se itroduce ua ueva variable θ cosiderado b se θ, dode θ 0 π si 0 y π θ < 0 si < 0 ) Evalúe 6 Sabemos que: 6 Hagamos el cambio seθ y difereciemos el primer miembro co respecto de y al segudo miembro co respecto de θ, etoces, cos θ dθ. Sustituyedo obteemos: ( seθ ) ( cosθ θ ) se θ ( cosθ θ ) d d Ahora, como se ( cos ) 6 cos 6 + cos θ θ θ dθ θ dθ dθ 8 dθ + cos θ d θ 8θ + se θ + C 6 θ arcse y se θ seθ cos θ, etoces, 6 6 8arcse + + C Otra maera de resolver. Observemos la siguiete figura: θ 6 -

25 Es evidete por trigoometría que: cosθ 6 6 cosθ se θ, luego, despejado se obtiee: seθ cos θ dθ. Por lo tato, 6 ( cos )( cos ) 6 cos 6 + cos θ θ θ dθ θ dθ dθ 8 dθ + cos θ d θ 8θ + se θ + C Como hemos idicado ateriormete, 6 θ arcse yse θ seθ cos θ, etoces 6 6 8arcse + + C y ) Evalúe Como cos θ dθ. Por lo tato,, haciedo el cambio d se ( se ) se se θ θ θ θ seθ teemos: cosθ θ cosθ dθ cosθ dθ seθ cosθ cscθ dθ l cscθ cotgθ + C Pero, cscθ y cotg θ, e coclusió. l + C Resolvamos teiedo e cueta la figura siguiete:

26 - Obviamete, seθ seθ cos θ dθ, y cosθ cos θ. Por lo tato, cosθ dθ dθ cscθ dθ l cscθ cotgθ + C seθ cosθ seθ A partir de la figura se tiee: cscθ etoces, l + C θ y cotg θ, CASO. El itegrado cotiee ua epresió de la forma a + b, dode a > 0. a Itroduzca ua variable θ cosiderado b tg θ, dode θ 0 π si 0 y π θ < 0 si < 0 Evalúe , haciedo el cambio: 6 tgθ, obteemos, 6 sec θ dθ y secθ. Sustituyedo os queda: 6

27 ( d ) tg sec 6 θ 6 θ θ 6 tg θ sec θ dθ 6 tg secθ secθ 6 sec θ secθ dθ 6 sec θ dθ 6 secθ dθ La itegral A se evalúa por partes, así: A B θ secθ dθ Sea u secθ du secθ tgθ dθ y dv sec θ dθ v tg θ, sustituyedo: secθ tgθ sec θ dθ + secθ dθ A sec θ dθ secθ tgθ tg θ secθ dθ secθ tgθ sec θ secθ dθ Luego, A sec θ dθ secθ tgθ + l secθ + tgθ + C B secθ dθ l secθ + tgθ + C Cosecuetemete, secθ tgθ l secθ + tg θ + C, C C + C Pero, sec θ, tg θ, por lo tato, sustituyedo resulta: l + + C l + C 6 CASO. El itegrado cotiee ua epresió de la forma b a, dode a > 0. a Itroduzca ua variable θ cosiderado sec θ, dode 0 θ π si a y π θ < π si a b Evalúe 9 7

28 . 9 Luego debemos hacer el cambio: secθ secθ tg θ dθ; además, 9 tg θ. Sustituyedo, d d 7 7 cos d 7 9 ( secθ ) ( tgθ ) sec θ secθ tgθ θ θ + cos θ θ θ dθ dθ + cos θ d θ θ + se θ + C θ + seθ cosθ + C Pero, θ arc sec, cosθ 9 y se θ. Sustituyedo uevamete obteemos: 9 9 arc sec + + C arc sec + + C 9 8 Ahora, resolvamos a partir de la siguiete figura. - 9 θ 9 Evidetemete, secθ secθ tg θ dθ, y tg tg 9, luego, secθ tgθ dθ dθ 7 9 ( secθ ) ( tgθ ) 7sec θ + cos θ 7 d θ d θ + 08 cos θ d ( θ ) θ + 08 se θ + C cos θ dθ 9 Como se θ seθ cos θ, se θ, cosθ y θ arc sec, etoces 8

29 9 9 arc sec C arc sec + + C 9 8 Ejercicios. Calcule las siguietes itegrales idefiidas. (E los ejercicios,, 6, 7 y 9 resuelva completado cuadrados) ) ) ) ) ) ) + + 7) 7 8) 9) 8 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES Si se quiere itegrar el cociete de dos fucioes poliómicas y el grado del umerador es mayor que el del deomiador, primero debe efectuarse la divisió l + + C + + Al efectuar la divisió de dos poliomios, obteemos u poliomio cociete más el resto sobre el divisor. E el ejemplo aterior, la epresió: pudo itegrarse de + imediato. E otros casos, se la debe descompoer e fraccioes simples, como se idicará a cotiuació. f ( ) r ( ) Sabemos que: q ( ) + y grado r ( ) < grado g ( ) ó r ( ) 0. g ( ) g ( ) La itegral de q es imediata, ya que q es u poliomio, y el problema se reduce a itegrar el cociete de dos fucioes poliómicas cuado el grado del umerador es meor que el grado del deomiador. El procedimieto básico e éste método de itegració, es la descomposició del cociete e fraccioes simples, para lo cual, debe hallarse, primero, las raíces del poliomio correspodiete al deomiador. A cotiuació se preseta cuatro casos segú las raíces sea reales o imagiarias, simples o compuestas. CASO. Las raices del deomiador so reales y simples. El deomiador se epresa como producto de poliomios lieales diferetes. 6 9

30 Las raíces del deomiador so: y, luego, 6 ( )( ), + por lo tato, A B + ( + )( ) + Para calcular el valor de A y B, multiplicamos ambos miembros de la igualdad aterior por ( + )( ), así: A A Luego, B B Por lo tato, + A B ( + )( ) ( + )( ) ( + )( ) A B + + B( ) A + + l l C Ejemplo. ( l l ) l C + C Las raíces del deomiador so: 0, y, luego, A B C + ( )( ) y + +, ahora, multiplicado ( )( ) ambos miembros de ésta última igualdad por el deomiador obteemos: ( )( )( ) A B C ( )( ) + + ( )( ) 9 6 ( )( ) ( )( ) ( )( ) A B C A B C A A Luego, B B 8 C C Por lo tato, 0

31 ( ) d ( ) d + + l + l + l + C l + l + l + C l + C CASO. Las raíces del deomiador so reales y múltiples. El deomiador se epresa como producto de poliomios lieales, alguos repetidos. + + Las raíces del deomiador so:, y, luego, + ( ) ( ), y + +, A B C + ambos miembros de ésta última igualdad por ( ) ( ), ( ) ( )( + ) obteemos: A B C ( ) ( ) + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B C A B C multiplicado A A Luego,, como o eiste otro valor de que aule 6 C C 6 alguo de los sumados, coviee elegir cualquier valor que facilite los cálculos. Por ejemplo, 0 A+ B + C. Reemplacemos A y C por los valores obteidos, y despejemos B: ( ) + B B 0 B B. Por lo tato,

32 ( ) ( ) d ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) + l + 6l + C l ( ) l ( ) + C ( ) ( ) + l + C 6 CAS0. El deomiador tiee raíces complejas, o reales, simples. E el factoreo del deomiador aparece poliomios cuadráticos irreducibles, todos distitos etre sí Las raíces del deomiador so: i ( ) ( ), i y + A + B C + D Etoces, + + ( + )( + ), co lo que Multiplicado ambos miembros de ésta última igualdad por ( )( ), ( + )( + )( ) A + B C + D ( + )( + ) + ( + )( + ) + + ( + )( + )( A + B) ( + )( + )( C + D) A + B + + C + D A+ C + B + D + A+ C + B + D + + obteemos: De la última igualdad se tiee: A + C, B + D, A+ C y B + D. Resolviedo el sistema, A 0, B, C y D 0. Por lo tato, d arctg + l + + C arctg + l + + C ( + )

33 CASO. El deomiador tiee raíces complejas, o reales, múltiples. E el factoreo aparece factores cuadráticos irreducibles repetidos El deomiador o tiee raíces reales (o se aula para úmero real alguo), por lo que hacemos el cambio r, para calcular las raíces complejas. 6 E efecto, ( ) + 6( ) + ( ) + 8 r + 6r + r + 8. Las raíces e fució de 6 Etoces, r so:, y (raíces múltiples) co lo que, A B C D E F ( + ) + ( + ) ( + ) Multiplicado ambos miembros de ésta última igualdad por, + obteemos: ( + ) ( ) A + B C + D E + F ( + ) + + ( + ) + ( ) ( ) + + ( + ) ( A + B) ( + ) ( C + D) ( + ) ( E + F ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) + ( + )( + ) + ( + ) A B C D E F 8 A B ( ) ( ) ( ) + ( B + C + F ) + A+ C + B + D + A+ C + E + De ésta última igualdad se tiee que: A, B, C 0, D 0, E y F 0. Por lo tato, ( + ) d ( + ) ( ) d ( ) + + l arctg ( ) C l + arctg + C ( + )

34 Ejercicios. Resuelva las siguietes itegrales. ( ) + + ) ) ) ) ) 6) 7) Ahora, veamos como resolver itegrales cuado e el itegrado aparece epresioes de la forma:. a + b. Se efectúa el cambio de variable a + b z.. p q. + + Se efectúa el cambio de variable + p + q ( z ).. p q ( a )( b ). Ejemplos Se efectúa el cambio de variable + p + q ( a + ) z, o bie + p + q b z. ) Calcular ( ) + Hagamos el cambio + z, luego, z y z dz, z dz dz dz ( ) ( z ) z por lo tato, + dz + z z + z z + z dz dz z + l z + + l z + C l + C z + z z + + l + C + + ) Calcular Haciedo el cambio z, tedremos, z dz, por lo tato, z dz z dz z + + dz ( z + z + l z ) + C z z z z ) Calcular + + l + C + + l + C + + Haciedo el cambio ( z ), + + tedremos,

35 ( + + ) z z z dz z + z +, y + +, luego, z + ( z + ) z + ( z + z + ) dz ( z + ) dz, etoces, + + z z + z + z z + z + dz dz ( z + )( z ) + dz + z z + z ) Calcular dz dz + l z l z + + C z z + z l + C l + C z ( ) Haciedo el cambio ( )( ) ( ) z, ( z + ) + tedremos, z z dz 6z,, ( ) z, luego, z + z + ( ) z z dz z + ( z + ) ( z ) dz, por lo tato, 6z 8z ( z + ) ( z ) dz z z dz dz z dz z + z + C + ( ) z + 8 z + + C 8 C C 8z z ( )( ) C 9 + C ( ) + C 9

36 Ejercicios. Resuelva: + ) ) ) ) + z ) 6) 7) INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES DE SENO Y COSENO Si el itegrado es ua fució racioal de se u y cos u, se puede reducir a ua fució racioal de z mediate la sustitució z tg u. Co la fialidad de obteer la fórmula para se u y cos u e térmios de z se utiliza las idetidades siguietes: se u se u cos u y cos u cos u. Etoces se tiee, se u se u cos u se u cos cos u tg tg u + tag u z + z u sec u u cos u cos u sec u + tg u + z z + z Como z tg u, dz du + z etoces ( ) ( ). dz sec u du + tg u du + z du, por lo tato, Los resultados ateriores se establece como el siguiete teorema. Teorema. Si z tg u, etoces: Ejemplos. ) Evalúe z z se u, cos u, + z + z + z + se cos 6

37 z z Haciedo el cambio se u, cos u,, etoces + z + z + z dz z dz dz + dz se cos z z + z + z z ( + z) z + z + + z + z z tg l z l + z + C l + C l + C + z + tg ) Calcule sec Como sec + z, y sec,, cos cos z + z + sec dz ) Evalúe + z + tg l + z l z + C l + C l + C z tg etoces z dz dz dz dz z + z z + z z + z z se cos Haciedo el cambio z z se u, cos u,, etoces + z + z + z dz dz dz + z se cos z z z 8z ( z + )( z ) + z + z Ejercicios. Resuelva: se cos ) ) ) ) se ) csc z dz + se + se + cos cos cotg cos t dy ) 6) 7) dt 8) se + tg + se se se t t + sec y 7

38 Bibliografía recomedada [] Apostol Tom M. Calculus, seguda edició. [] Leithold Louis. El Cálculo co Geometría Aalítica, quita edició. Trabajo eviado por: Eleazar José García Profesió: Liceciado e Matemática País: Veezuela 8