1. Indicar el lenguaje aceptado por los siguientes autómatas :

Transcripción

1 Universidd Rey Jun Crlos Curso Teorí de Autómts y Lengujes Formles Ingenierí Técnic en Informátic de Sistems Hoj de Prolems 4 Autómts Finitos Determinists Nivel del ejercicio : ( ) ásico, ( ) medio, ( ) vnzdo.. Indicr el lenguje ceptdo por los siguientes utómts : () ( ) q q El lenguje que reconoce este utómt es un lenguje inrio donde ls plrs ceptds contienen un número pr de unos: L = {w w {, }, n (w) mod 2 = } () ( ) q q q 2, El lenguje ceptdo por este utómt es un lenguje inrio donde tods ls plrs ceptds tienen todos los ceros situdos delnte de todos los unos: L = { n m n, m } (c) ( ) q, q q 2, El lenguje reconocido por este utómt, es un lenguje inrio que está formdo por plrs compuests por un cierto número de ceros y finlizds con un uno: L = { n n } Págin de 4

2 Hoj de Prolems 4 (cont.) (d) ( ) q q q 2, El utómt nterior cept plrs inris que contienen l secuenci : L = {w w {, }, w contiene } (e) ( ) q q q 2 q 3 Ddo un plr x culquier. Ovimente, el utómt, l procesr x se quedrí en lguno de sus estdos. Se puede oservr que desde culquier estdo se lleg q 3 con l cden. Por tnto, el lenguje reconocido por el utómt es el conjunto de plrs inris que finlizn con l secuenci : L = {xy x {, }, y = } (f) ( ) q q 2 q q 3 El lenguje reconocido por el utómt corresponde ls siguientes cdens inris:. Si l cden no tiene ningún uno, se reconocen cdens con un número de ceros pr. 2. Si el número de unos es pr (y myor que cero), l cden dee terminr con un número de ceros impr. 3. Si el número de unos es impr, l cden dee terminr con un número de ceros pr. Págin 2 de 4

3 Hoj de Prolems 4 (cont.) Es decir: L = { 2m m } {x 2m x {, }, n (x) mod 2 =, m } {x 2m+ x {, }, n (x) mod 2 =, m } (g) ( ) q q q 2 q 3, El lenguje reconocido por este utómt es el cierre de l unión de otros dos lengujes. Un primer lenguje que reconoce cdens formds por l conctención de l secuenci. Un segundo lenguje que hce lo mismo pero con l secuenci. Si definimos estos lengujes: L = {() n n } L 2 = {() m m } L 3 = L L 2 Por lo tnto, el lenguje ceptdo por este utómt es: L = L 3 (h) ( ) q q q 2 q 3 El lenguje reconocido por el utómt es l unión de los lengujes siguientes: L = {x() 2n+ x {, } y n } L 2 = {x() 2n+ x {, } y n } Págin 3 de 4

4 Hoj de Prolems 4 (cont.) L 3 = {() 2n+ n } L 4 = {() 2n+ n } L(AUT) = L L 2 L 3 cupl 4 2. Ddo el lfeto Σ = {, }, construye un utómt pr cd uno de los siguientes lengujes : () ( ) Ls cdens que terminn en. A = ({, }, {q, q, q 2, q 3 }, f, q, {q 3 }) Donde f está definid por el siguiente grfo de trnsición: q q q 2 q 3 () ( ) Ls cdens que no contengn l secuenci. A = ({, }, {q, q, q 2, q 3, q 4 }, f, q, {q, q, q 2, q 3 }) Donde f está definid por el siguiente grfo de trnsición: q q q 2 q 3 q 4, (c) ( ) Ls cdens tl que cd loque de cinco símolos consecutivos contienen l menos dos s. A c = ({, }, {q, q, q 2, q 3, q 4, q 6, q 7, q 8, q 9, q, q, q 2, q 3 }, f c, q, {q 3 }) Donde f c está definid por el siguiente grfo de trnsición: Págin 4 de 4

5 Hoj de Prolems 4 (cont.) q,,, q q 2 q 3 q q 5 q 6 q 7 q 8 q 9, q q 2 q 3 q 4, Como comentmos en clse de ejercicios, lo más sencillo es dotr de semántic cd uno de los estdos del utómt, de est form será más fácil el diseño del mismo. En este ejercicio, por un ldo deemos llevr l cuent del número de crcteres que hemos leido y por otro ldo, el número de s necesris pr reconocer l cden (dos en este cso). Por ello, el utómt se h dispuesto en tres zons horizontles. L primer división horizontl (q..q 4 ), se refiere los posiles estdos donde todví no hemos leído ningún crácter. L segund líne (q 5..q 9 ), lmcen informción cerc de que hemos leído un. Y l tercer zon (q..q 3 ), nos indic que hemos leído dos o más s. Por otro ldo, tmién deemos llevr informción cerc del número de crcteres leídos. Por ejemplo, q y q 5 indicn que se h leído un crácter; q 2, q 6 y q nos informn que se hn leído dos crcteres y sí sucesivmente. Oservemos que no son necesrios cinco estdos por líne pr gurdr informción cerc de los crcteres leídos. Así, l primer líne sólo contiene cutro estdos, y que si no hemos leído previmente ningun letr, el último crácter que reconozcmos nos es indiferente, y que es cden no v ser reconocid y, en vez de crer un estdo sumidero dicionl, reutilizmos el estdo q 9. Lo último que deeremos tener en cuent son ls trnsiciones que slen desde el estdo finl y que nos indicn que se empiez reconocer otr ristr de cinco crcteres(y por lo tnto, se dee trnsitr los estdos correspondientes). (d) ( ) Ls cdens con un número de s múltiplo de tres. A d = ({, }, {q, q, q 2 }, f d, q, {q }) Donde f d está definid por el siguiente grfo de trnsición: Págin 5 de 4

6 Hoj de Prolems 4 (cont.) q 2 q q (e) ( ) Ls cdens con un número pr de s y un número de s múltiplo de tres. A e = ({, }, {q, p, i, p, i, 2p, 2i, 3p, 3i}, f, q, {q, p, 3p}) Donde f e está definid por el siguiente grfo de trnsición: p p 2p 3p q i i 2i 3i Al igul que en el prtdo nterior, en este utómt deemos recordr vris coss. Por un ldo, deemos ser si el número de s leíds son pres y por otro ldo, deemos ser si el número de s es múltiplo de tres. Pr diseñr el utómt procederemos de form nálog l cso nterior. En este prtdo, se h decidido nomrr los estdos del utómt de form que conozcmos l semátic de cd uno de los mismos. De est form, si l letr p form prte del nomre del utómt significrá que el número de letrs es pr (y l contrrio si tenemos l letr i ). Y por otr prte, en el nomre del utómt tmién definimos el número de letrs que hemos ido reconociendo. Si queremos ser más correctos, siempre podemos renomrr los estdos l finlizr el diseño, de form que los nomres sen los hitules (q, q, ). (f) ( ) L(m, n) := {w Σ n (w) mod m = y n (w) mod n = }. Pr poder dr un solución genéric como se pide en el ejercicio, es más fácil generr unos cuntos utómts pr intentr identificr el ptrón que siguen: Págin 6 de 4

7 Hoj de Prolems 4 (cont.) m=2,n=2 m=3,n=3 q 2 q Podemos oservr que de form genéric, donde X = (n ) e Y = (m ), se puede relizr l siguiente representción: q 2 Y 2 Y Y 2 X X 2X Y X Por lo tnto, el utómt puede ser definido como: A f = ({, }, {q,, 2,,, 2,, (m )(n )}, f f, q, {q }) Donde f f está definid por el grfo de trnsición nterior. 3. ( ) Compror si los siguientes AFD son equivlentes : Págin 7 de 4

8 Hoj de Prolems 4 (cont.) AFD = AFD2 = ({,, c}, {p, q, r, s, t, u, v}, f, p, {s, t, u, v}) ({,, c}, {p, q, r, s, t}, f 2, p, {r, s, t}) f c p r t q f c q q v p p s q p r p u r q t p q *s q t u *r q t s *t t v u *s s t s *u t t v *t t s s *v u u t Pr compror que los dos utómts son equivlentes, lo primero que deeremos hcer es hllr sus respectivos utómts mínimos equivlentes. Minimizción de f : Primero eliminmos los estdos inccesiles. Por lo tnto, s se elimin de l tl de trnsiciones. Después, clculremos el conjunto cociente Q/E: Q/E = Q/E Q/E = {{p, q, r}, {t, u, v}} Q/E = {{p, q, r}, {t, u, v}} por lo tnto Q/E = Q/E Si renomrmos los conjuntos de estdos equivlentes y cremos un nuev tl de trnsiciones, nos qued el siguiente utómt: f c A A B A *B B B B, c,, c Minimizción de f 2 : A B Primero eliminmos los estdos inccesiles. Por lo tnto, r se elimin de l tl de trnsiciones. Después, clculremos el conjunto cociente Q/E: Q/E = {{p, q}, {s, t}} Págin 8 de 4

9 Hoj de Prolems 4 (cont.) Q/E = Q/E Q/E = {{p, q}, {s, t}} por lo tnto Q/E = Q/E Si renomrmos los conjuntos de estdos equivlentes y cremos un nuev tl de trnsiciones, nos qued el siguiente utómt: f 2 c A B A A *B B B B, c,, c A Como se desprende de sus tls de trnsición, estos dos utómts no son isomorfos y por lo tnto, no son equivlentes. B 4. ( ) Compror cuáles de los siguientes AFD son equivlentes entre sí. Págin 9 de 4

10 Hoj de Prolems 4 (cont.) AFD = AFD2= ({, }, {p, q, r, s, t, u}, f, p, {q, r}) ({, }, {p, q, r, s, t, u}, f 2, p, {u}) f f 2 p q p p q u *q r s q r t *r q t r s t s t u s r t t s u t u s u q u *u u q AFD3 = AFD4 = ({, }, {p, q, r, s, t, u}, f 3, p, {s, t, u}) ({, }, {p, q, r, s, t, u}, f 4, p, {r, s}) f 3 f 4 p u q p r q q t r q r q r s r *r s t *s t r *s r t *t u q t t q *u s p u u p AFD5 = AFD6 = ({, }, {p, q, r, s, t}, f 5, p, {r, s}) f 5 p q r q q t *r s q *s r q t r q ({, }, {p, q, r, s, t, u}, f 6, p, {r, s, t}) f 4 p q r q p s *r t u *s t u *t t u u u u Al igul que en el ejercicio nterior, hllremos el utómt mínimo equivlente de cd uno de ellos. Minimizción de f : No tiene estdos inccesiles,por lo tnto, psmos clculr el conjunto cociente Q/E: Q/E = {{p, s, t, u}, {q, r}} Q/E 2 = Q/E Q/E = {{p, u}, {s, t}, {q, r}} Q/E 2 = {{p, u}, {s, t}, {q, r}} por lo tnto Q/E = Q/E {p, u}, {s, t}, {q, r} }{{}}{{}}{{} A B C Págin de 4

11 Hoj de Prolems 4 (cont.) f A C A B B A *C C B Minimizción de f 2 : No tiene estdos inccesiles,por lo tnto, psmos clculr el conjunto cociente Q/E: Q/E = {{p, q, r, s, t}, {u}} Minimizción de f 3 : Q/E = {{p}, {q, r, s}, {t}, {u}} Q/E 2 = {{p}, {q, r, s}, {t}, {u}} Q/E 2 = Q/E por lo tnto Q/E = Q/E {p}, {q, r, s}, {t}, {u} }{{}}{{}}{{}}{{} A B C D f 2 A B D B B C C D B *D D B No tiene estdos inccesiles,por lo tnto, psmos clculr el conjunto cociente Q/E: Q/E = {{p, q, r}, {s, t, u}} Minimizción de f 4 : Q/E = Q/E Q/E = {{p, q, r}, {s, t, u}} por lo tnto Q/E = Q/E {p, q, r}, {s, t, u} }{{}}{{} A B f 3 A B A *B B A No tiene estdos inccesiles,por lo tnto, psmos clculr el conjunto cociente Q/E: Págin de 4

12 Hoj de Prolems 4 (cont.) Minimizción de f 5 : Q/E 2 = Q/E Q/E = {{p, q, t, u}, {r, s}} Q/E = {{p, q}, {t, u}, {r, s}} Q/E 2 = {{p, q}, {t, u}, {r, s}} por lo tnto Q/E = Q/E {p, q}, {t, u}, {r, s} }{{}}{{}}{{} A B C f 4 A C A B B A *C C B No tiene estdos inccesiles,por lo tnto, psmos clculr el conjunto cociente Q/E: Q/E 2 = Q/E Q/E = {{p, q, t}, {r, s}} Q/E = {{p}, {q}, {t}, {r, s}} Q/E 2 = {{p}, {q}, {t}, {r, s}} por lo tnto Q/E = Q/E {p}, {q}, {t}, {r, s} }{{}}{{}}{{}}{{} A B C D f 5 A B D B B C C D B *D D B Minimizción de f 6 : No tiene estdos inccesiles,por lo tnto, psmos clculr el conjunto cociente Q/E: Q/E = {{p, q, u}, {r, s, t}} Q/E 2 = Q/E Q/E = {{p, q}, {u}, {r, s, t}} Q/E 2 = {{p, q}, {u}, {r, s, t}} por lo tnto Q/E = Q/E {p, q}, {u}, {r, s, t} }{{}}{{}}{{} A B C Págin 2 de 4

13 Hoj de Prolems 4 (cont.) f 6 A A C B B B *C C B Si compromos ls tls de trnsición correspondientes, el resultdo del prolem es el siguiente: AF es equivlente AF4 AF2 es equivlente AF5 5. ( ) Se Σ = {, } un lfeto y se L el lenguje de ls cdens que considerds como números inrios tienen un vlor entero múltiplo de 5. Demuestr que L es regulr. Deemos encontrr un utómt que reconozc el lenguje, poyándonos en l definición: L es regulr si existe un utómt finito que lo reconoce L construcción del utómt se s en ls siguientes ides: El utómt tendrá 5 estdos uno pr cd posile vlor del modulo de un cden inri culquier. Sen los nomres de estos estdos {q, q, q 2, q 3, q 4 } tl que con un plr x con x mod 5 = i el utómt un pr o trnsit l estdo q i. Ovimente, el estdo q será finl. Definimos ls trnsiciones de form recursiv. Pr ello se supone que el utómt hy ledio un cden inri x (x mod 5 = i) y se encontrrá en el estdo q i (pr i {,, 2, 3, 4}). L cuestión será que estdo tendrá que trnsitr el utómt l ñdir un nuevo it ( o ) l finl de l cden, es decir, como cmirí el modulo y conocido de x l ñdir un nuevo it. Relizmos el nlisis correspondiente: Se x l cden de its y leid por el utómt y se q i el estdo l que hy trnsitdo. Suponemos que x = x n x n xx (x i {, }. Ovimente, el vlor deciml de x es v x = x n 2 n + x n 2 n + + x 2 y, ddo que el utómt hy trnsitdo q i, se cumple v x mod 5 = i. Cómo tendrí que cmir el módulo si ñdimos un nuevo it ( o ) l finl de x. Anlizmos los dos csos posiles: Se ñde un : L cuestión es que estdo hy que trnsitr desde el estdo q i si leemos un. L nuev plr serí x = x n x n xx. El vlor deciml serí v x = 2(x n 2 n +x n 2 n ++x 2 ). Respecto l módulo de x podemos oservr que v x mod 5 = (2v x ) mod 5 = Págin 3 de 4

14 Hoj de Prolems 4 (cont.) 2(v x mod 5) mod 5 y si v x mod 5 = i, se cumple: v x mod 5 = (2i) mod 5. Est formul nos d el estdo l que hy que trnsitr desde el estdo q i con el. Así desde q 3, por ejemplo, hy que trnsitr q ((2 3) mod 5 = ), etc. Se ñde un : L cuestión es que estdo hy que trnsitr desde el estdo q i si leemos un. L nuev plr serí x = x n x n xx. El vlor deciml serí v x = 2(x n 2 n + x n 2 n + + x 2 ) +. Respecto l módulo de x podemos oservr que v x mod 5 = (2v x + ) mod 5 = 2(v x mod 5) + mod 5 y si v x mod 5 = i, se cumple: v x mod 5 = (2i + ) mod 5. Est formul nos d el estdo l que hy que trnsitr desde el estdo q i con el. Así desde q 3, por ejemplo, hy que trnsitr q 2 ((2 3 + ) mod 5 = 2), etc. Con est ide construimos el siguiente utómt: A = ({, }, {q, q, q 2, q 3, q 4 }, f, q, {q }) Donde f está definid por el siguiente grfo de trnsición: q q q 2 q 3 q 4 Págin 4 de 4