DESARROLLO DE MODELOS DE OPTIMIZACION PARA EL PROBLEMA DE RUTEO DE VEHICULOS CON VENTANAS DE TIEMPO Y FLOTA HETEROGENEA

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1 DESARROLLO DE MODELOS DE OPTIMIZACION PARA EL PROBLEMA DE RUTEO DE VEHICULOS CON VENTANAS DE TIEMPO Y FLOTA HETEROGENEA Torres Pérez, C.E. 1 Resumen Este documento presenta un desarrollo de modelos de optimización para el problema de Ruteo de Vehículos con Ventanas de Tiempo y Flota Heterogénea (HF-VRP-WT por sus siglas en Ingles). Este se deriva del Problema de Ruteo de Vehículos, VRP (Vehicle Routing Problem, por sus siglas en ingles) y es un problema ya conocido. Se hizo una revisión de modelos propuestos, se utilizó GAMS para la solución con 5 instancias como ejemplos y presentamos sus resultados. Keywords: VRP-TW, HF-VRP-TW, GAMS, Ruteo. 1. Introducción: El Problema de Ruteo de Vehículos con Ventanas de Tiempo y Flota Heterogénea es una generalización del VRP. Este problema combina problemas de ruteo con problemas de planeación, que sugieren aplicaciones en el mundo real. La solución al VRPTW debe minimizar el costo mediante el diseño de rutas para los diferentes vehículos, sujeto a [1]: Cada cliente sea visitado solo una vez por alguno de los vehículos Cada ruta debe iniciar y terminar en el origen Satisfacer la demanda de cada cliente de tal forma que la suma de las demandas de una ruta diseñada no exceda la capacidad del vehículo asignado a esa ruta 1 Universidad Popular Autónoma del estado de Puebla, 21 sur 1103, Puebla, Pué. Mex. Tel: +52(222) , ext Carlosedoardo.torres@upaep.mx Cada cliente tiene asignado un intervalo de tiempo (ventana de tiempo) en el que puede ser visitado, así como un tiempo de servicio en cada cliente Existen relaciones de precedencia entre los clientes Existen diferentes formas propuestas para modelar y resolver el problema, tales como en [2] mediante Relajación Lagrangiana, y en [3] mediante R-Cuts, entre otras. 2.Metodología La red de transporte por la que circulan los vehículos se modela mediante [4] un grafo ponderado G = (V,E,C) de tamaño n+2. Los nodos del grafo representan a los clientes y depósitos. Los puntos {0, n+1} representan al depósito, los nodos

2 V={1... n} a los clientes y el conjunto k representa a los vehículos en una flota heterogénea. Cada arco (i,j) E representa el mejor camino para ir desde el nodo i hacia el nodo j en la red de transporte y tiene asociado un costo c k ij y un tiempo de viaje t k ij. Puede suponerse que G es completo, pues entre todo par de lugares de una red de transporte razonable, debería existir algún camino. Denotaremos por + (i) y (i) al conjunto de nodos adyacentes e incidentes al nodo i, es decir, + (i) = {j V (i, j) E y (i) = {j V (j, i) E. Cada cliente i V \{0, n + 1} tiene asociada una demanda d i, también tiene asociada una ventana de tiempo [ei, li] que establece un horario de servicio permitido para que un vehículo arribe a él y un tiempo de servicio o demora s i y cada vehículo tiene una capacidad q k, utilizando como base [4], podemos formular de la siguiente manera: Min c x (1) s.a. (,) x = 1 i V\{0, n + 1} (2) () () () () x = 1 x = 1 x = 0 x x = 0 () () x x q /{,} () y y s + t M1 x k K (3) k K (4) k K (5) k K (6) k K (7) i, j V\{0, n + 1}, k K (8) e y l i, j V\{0, n + 1}, k K (9) x {0,1} (i, j) V, k K (10) y 0 i V\{0, n + 1}, k K (11) Las variables x k ij indican si el arco (i, j) es recorrido por el vehículo k. Las variables y k i indican aproximadamente la hora de arribo al cliente i cuando es visitado por el vehículo k (si el cliente no es visitado por dicho vehículo el valor de la variable no tiene significado). La función objetivo (1) es el costo total de las rutas. La restricción (2) indica que todos los clientes deben ser visitados. Las restricciones (3), (4) (que proviene de [5]) y (6) determinan que cada vehículo k K recorre un camino de 0 a n+1.la restricción (5) evita que cualquier vehículo k salga de n+1 y por lo tanto envíe más de uno (esta restricción no se considera en modelos actuales, es necesaria para que no se asignen salidas de vehículos al nodo n+1). La capacidad de cada vehículo es impuesta en (7). Siendo M una constante lo suficientemente grande, la restricción (8) asegura que si un vehículo k viaja de i a j, no puede llegar a j antes que yi + si + t k ij, y actúan además como restricciones de eliminación de subtours. Finalmente, los límites de las ventanas de tiempo son impuestos en (9), (10) y (11). 3. Experimentos Se resolvieron 5 instancias modeladas en GAMS para probar el método de solución al problema de HF-VRP-TW propuesto en [6] de las cuales se muestra la solución de una solo. A modo de ejemplo se supone (para la 1ra instancia) que un proveedor reparte a 5 clientes distintos durante el día, cuenta con 2 vehículos uno con capacidad de 400 unidades y el segundo con capacidad 500

3 de unidades; sus clientes demandan una cantidad promedio diaria en unidades dada por d1= 200, d2=55, d3=198, d4=171 y d5=90. También cuenta cada uno con un horario laboral dado por {(10,16), (12,14), (9,13), (11,15), (10,14)} en horas respectivamente, y un tiempo de descarga para cada cliente de {3,2,1,3,2} en horas respectivamente. En la figura 1 las ventanas de tiempo se expresan entre paréntesis. Las rutas obtenidas son q1 y q (10,14) 4 (11,15) 5 (9,13) (10,16) 1 (12,14) 2 Figura 1. Rutas obtenidas para la solución de la instancia , n Clientes Origen q1 q , la suma de las demandas para esta ruta es = 161 < q 2, lo cual satisface las capacidades y la demanda. La tabla 1 también muestra los resultados obtenidos para las diferentes instancias en las cuales se probó el modelo propuesto. Tabla 1. Instancias probadas instancia 1 Instancia 2 Tamaño i=7 i= 12 Tiempo de ejecucion 0:00: :00: Vehiculos k = 2 k=3 q1,q2,.. qk 400, , 3000, 3000 nodos {0,n+1} {1,7} {1,12} val obj z= Ruta Vehic Ruta Vehic Ruta Vehic Ruta Vehic wt vehic 1 9,13.78,16 11 wt vehic 2 10,15 12,12,477, ,14.778, ,18.724,20 wt vehic , Resultados De acuerdo a la Tabla 1 la ruta 1 para el vehículo 1 es , la suma de las demandas para esta ruta es = 453 < q 1 y para el vehículo 2 la ruta 2 es 1- wt vehic

4 Tabla 1 Continuación instancia 3 instancia 4 instancia 5 i=17 i=22 i=31 0:13: :16: :16: k=3 k=3 k=4 2000, 3000, , 3000, , 3000, 5000, 6000 {1,17} {1,22} {1,31} ,19.360,21 9,11,12.640, , 18 12,12.500, , , ,18.430, 19 9,12,12.6, 13.59,14.14,14. 63,16.64,17.54, 20.64,21 12,13.87,14.76, 19.22,21 12, 13.63, 15.34,16.68, ,12.408, ,13.349, ,18.913,20 12,13.431, ,21 9,10,12,13.46, ,14.336, ,15.841,2 0.7,23 11,12.3,14.276, ,18.551, ,19.464, 20 En la Tabla 2 podemos revisar las ventanas de tiempo haciendo una comparación entre la ventana de tiempo asignada y la hora Y k i de llegada al nodo. Tabla 2. Relación de llegadas CLIENTE WT Y k i 1 (10,16) 16 2 (12,14) (9,13) 9 4 (11,15) 15 5 (10,14) Consideraciones: Las ventanas de tiempo varían entre las 9hrs y las 14 hrs Los costos por distancias entre un transporte y otro crecen proporcionalmente con la distancia y el tipo de transporte Los tiempos de servicio varían entre 1 y 3 horas 5. Conclusiones Revisar y probar un modelo como el de este caso puede mejorarse al considerar otros aspectos, tales como retardos en el tiempo de servicio y varios depósitos. Es mediante la investigación y la experimentación que podemos aportar mejoras o nuevos conceptos. Se modificó un modelo para el problema de HF-VRP- TW agregando restricciones que no se contemplan en otros modelos y que benefician su desempeño. Las pruebas con el modelo en GAMS arrojan resultados coherentes y óptimos. La solución de este tipo de problemas se vuelve más compleja al aumentar el número de clientes y transportes, así como el tiempo en el que el sistema computacional puede resolverlo. Una de las ventajas de este modelo es el manejo de una flota heterogénea en un problema de ruteo con ventanas de tiempo, ya que la mayoría de los documentos revisados se basan en flotas homogéneas. Es relativamente fácil probar mas instancias una vez que ya se tiene el problema modelado en GAMS.

5 La decisión sobre el diseño de rutas en la Cadena de Suministros es importante como un área de oportunidad en la reducción de costos y optimización de los recursos. La solución al modelo presentado en este documento pretende aportar sencillez a la solución de casos similares de ruteos de vehículos con restricciones de ventanas de tiempo. 6. Referencias [1] Aguilera, Jorge (2007). Cálculo de rutas de vehículos con ventanas temporales (vrptw). Universidad de Sevilla: Departamento de Organización Industrial y Gestión de Empresas (inédito) [En Línea] df/jorge_aguilera_vrptw.pdf [3] Jens, Lysgaard (2004). Reachability Cuts for the Vehicle Routing Problem with Time Windows. European Journal of Operational Research, 75, [4] Olivera, Alfredo (2004). Heurísticas para Problemas de Ruteo de Vehículos. Uruguay: Montevideo. [5] Kallehauge, Brian; Larsen, Jesper, y Madsen O.B.G. (2006). Lagrangian duality applied to the vehicle routing problem with time windows. Computers and Operations Research, 33(5), [6] Rosenthal R. (2008). GAMS User s Guide. Tutorial by GAMS Development Corporation. USA: Washington, DC. [2] Niklas, Kohl y Madsen O. B.G (1997). An Optimization Algorithm for the Vehicle Routing Problem with Time Windows Based on Lagrangian Relaxation. Operations Research Society of America, 45(3),