Tutorial MT-b3. Matemática Tutorial Nivel Básico. Potencia y Raíces

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1 M ate m ática Tutorial MT-b Matemática 006 Tutorial Nivel Básico Potecia y Raíces

2 Matemática 006 Tutorial Potecias y raíces Marco teórico: Potecias 1. Defiició: Ua potecia es el resultado de multiplicar u úmero por sí mismo varias veces. El úmero que multiplicamos se llama base, el úmero de veces que multiplicamos la base se llama expoete. Ejemplo: e la potecia 5, la base es y el expoete es 5. De forma más matemática decimos que ua potecia es toda expresió tal que: a a a... a a a ;e dode a es base, es expoete y a es la eésima potecia veces. Sigo de ua potecia El sigo de ua potecia de base egativa y expoete par depede del uso o o de parétesis, si se utiliza parétesis e la base, la potecia será de sigo positivo, mietras que al o utilizar parétesis la potecia será de sigo egativo. Ejemplos: (-9) Si embargo si la base es egativa y el expoete es impar el resultado será siempre egativo, utilicemos o o parétesis Ejemplos: (-) Propiedades Cosidere que a, b, m, so úmeros reales distitos de cero 1) a a m a +m ejemplo: ) a a m a - m ejemplo: ) (a ) m (a m ) a m ejemplo: ( ) ( ) 6 4) (a b) a b ejemplo: ( 5) 5 CEPECH Preuiversitario, Edició 006

3 5) (a b) a b ejemplo: (5 ) ) a - 1 a ejemplo: -8 ) ( a b) - ( b a) ejemplo: ( 5) - ( 5 ) 8) a 0 1 ejemplo: Matemática 006 Raíces 4. Defiició: E la defiició de potecias recordamos que Esta igualdad tambié puede expresarse como: 64 8 expresió que debe leerse: 8 es igual a la raíz cuadrada de 64. De igual forma, defiimos la raíz -sima de u úmero a al úmero b tal que b a Y lo escribimos como: b a co 0 El úmero a se llama radicado y el úmero, ídice. Además se debe precisar que o todos los úmeros posee raíces. Las raíz cuadrada de -5 por ejemplo o existe detro de los reales, pues el cuadrado de cualquier úmero, sea positivo o egativo, siempre es positivo. Por idética razó o existe la raíz cuadrada de igú úmero egativo i la raíz de ídice par de igú úmero egativo. Ejemplo: -5 IR -8 - IR Para ua defiició más completa debemos cosiderar u radicado co u expoete distito de uo, de dode se obtiee que: b a m b a m co 0 a m a m Ejemplo: CEPECH Preuiversitario, Edició 006

4 Matemática 006 Tutorial 5. Propiedades Cosidere que a, b, k, m, so úmeros reales distitos de cero m m 1) a a ejemplo: ) a b a b ejemplo: ) a b a b ejemplo: m m 4) a b a b ejemplo: m k m k 5) a a ejemplo: m k m k 6) a a ejemplo: 9 ) a a ejemplo: 8 8 m 8) m a a ejemplo: ( ) 6. Racioalizació Cuado teemos fraccioes co raíces e el deomiador coviee obteer fraccioes equivaletes pero que o tega raíces e el deomiador. A este proceso es a lo que se llama racioalizació de raíces de los deomiadores. Por ejemplo, si queremos racioalizar la fracció, multiplicaremos umerador y deomiador por obteiedo: ( ) De forma que obteemos la expresió que es equivalete a primera es ua expresió mucho más recurrete que la seguda. co la vetaja que la 4 CEPECH Preuiversitario, Edició 006

5 Ejercicios 1. Resuelva a) 0 b) 0 1 c) 8 ( ) d) 1 1 Matemática 006. Descompoga las siguietes raíces cuadradas a su meor radicado etero e cada caso: a) 8 b) 5 c) 16 d) 00. La expresió u tercio elevado a meos tres quitos, equivale a: 4. La expresió dos quitos elevado a meos dos séptimos, equivale a: 5. La expresió la raíz cuadrada de dieciséis medios, equivale a: CEPECH Preuiversitario, Edició 006 5

6 Matemática 006 Tutorial 6. 5 A) 5 B) 81 C) 4 10 D) 10 E) A) 8 6 B) 4 C) 1 8 D) 1 E) A) 8 8 B) C) 8 D) 8 E) 8 6 CEPECH Preuiversitario, Edició 006

7 9. I. II. III. 6 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III 1 6 Matemática A) B) C) 14 D) E) 11. A) 4 B) C) 1 D) E) CEPECH Preuiversitario, Edició 006

8 Matemática 006 Tutorial A) -108 B) 108 C) -18 D) -6 E) 6 1. La expresió ( ) es divisible por: I. II. 5 III. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III (, ) A) 1 B) C) 5 D) 10 E) A) 1 B) C) 4 D) E) 8 8 CEPECH Preuiversitario, Edició 006

9 Respuestas Preg. Alterativa 1 a) 0, b) 1, c)8, d) 8 a), b) 5, c) 9, d) 10 5 Matemática C E 8 E 9 E 10 A 11 E 1 A 1 D 14 D 15 A CEPECH Preuiversitario, Edició 006 9

10 Matemática 006 Solucioario Solucioario 1. a) 0 Por la defiició de potecia, la base cero debemos multiplicarla por sí misma tres veces(el valor del expoete), resultado: b) 0 Recuerda que por propiedad de potecias todo úmero real distito de cero es igual a uo c) 8 ( ) Aplicado la propiedad de potecias, para resolver ua potecia elevada a otra debemos multiplicar los respectivos expoetes etre sí, resultado, multiplicado los expoetes obteemos: d) Aplicado propiedades de potecia, para resolver ua fracció elevada a u expoete egativo, ivertimos la fracció y cambiamos el sigo del expoete, luego aplicado la defiició de potecia multiplicamos la base por sí misma tres veces (El valor del expoete).. Recordado la propiedad de raíces: a b a b, resulta a) 8 descompoiedo 4 separado raíces de igual ídice 4 luego, resolviedo la raíz exacta 10 CEPECH Preuiversitario, Edició 006

11 b) 5 descompoiedo 5 separado raíces de igual ídice 5 luego, resolviedo la raíz exacta 5 5 c) 16 descompoiedo Matemática separado raíces de igual ídice 81 luego, resolviedo la raíz exacta 9 9 d) 00 descompoiedo 100 separado raíces de igual ídice 100 luego, resolviedo la raíz exacta Si u tercio es igual a 1 y meos tres quitos es igual a de potecia resulta 5 1 5,luego la expresió e forma, aplicado la propiedad de potecias fraccioarias de expoete egativo, resulta , luego utilizado la propiedad que os dice que las potecias de expoete fraccioario puede trasformarse e raíces, obteemos: CEPECH Preuiversitario, Edició

12 Matemática 006 Solucioario 4. Si dos quitos es igual a 5 y meos dos séptimos es igual a forma de potecia resulta 5,luego la expresió e, aplicado la propiedad de potecias fraccioarias de expoete egativo, resulta: 5 5, luego utilizado la propiedad que os dice que las potecias de expoete fraccioario puede trasformarse e raíces, obteemos: Expresádolo e forma matemática obteemos, 16, dividiedo el iterior de la raíz 8, luego descompoiedo 4, luego utilizado la siguiete propiedad: a b a b, resulta, fialmete 4 resolviedo la raíz exacta 6. Alterativa correcta letra C) Recordado que el ídice de ua raíz cuadrada es y la propiedad: a a 5, dado la propiedad co k, resulta: 5, luego multiplicado ídice y expoete, resulta: 4 10 m k m k 1 CEPECH Preuiversitario, Edició 006

13 . Alterativa correcta letra E) 4 dado que 4, aplicado la propiedad de raíces a b a b, resulta: m m aplicado la propiedad de raíces a a y que el ídice de ua raíz cuadrada es, luego multiplicado los ídices Matemática multiplicado las potecias de igual base (basta co coservar la base y sumar los expoetes) 6 4 simplificado ídice y expoete por, resulta: 4 8. Alterativa correcta letra E) Dado que os efretamos a 4 expresioes iguales, es válido expresarlas como ua multiplicació, luego 4 8, observar que 4 y 8 puede expresarse como potecias de base ( ), luego multiplicado los expoete de la potecia de ua potecia 6,multiplicado las potecias de igual base (basta co coservar la base y sumar los expoetes) Alterativa correcta letra E), observemos que,luego, utilizado la propiedad a a, co lo cual I es verdadero, además por idéticas razoes III es verdadero dado que: 6 6 CEPECH Preuiversitario, Edició 006 1

14 Matemática 006 Solucioario, si la raíz 1, os da que II es verdadero la expresamos como potecia 10. Alterativa correcta letra A), si racioalizamos por, obteemos:, luego multiplicado ( ), simplificado el deomiador, simplificado 11. Alterativa correcta letra E) aplicado la propiedad de potecias fraccioarias de expoete egativo, resulta: desarrollado las potecias resulta:, dividiedo las potecias de igual base (basta co coservar la base y restar los expoetes) - -, restado los expoetes,resulta: -1 aplicado la propiedad de potecias fraccioarias de expoete egativo, resulta: 14 CEPECH Preuiversitario, Edició 006

15 1. Alterativa correcta letra A) -6, por prioridad de operatoria resolvemos primero la potecia, observar que ,multiplicado -108 Matemática Alterativa correcta letra D) I. II. 5 III. ( ), observar que ,luego ( ), dado que la expresió 5 11 se repite podemos factorizar por dicha expresió 5 11 (5 + 1), luego sumado el parétesis Si recordamos que uo de los factores de la multiplicació es múltiplo de u úmero el producto completo lo es, etoces Dado que 6 es divisible por etoces la expresió completa lo es. Dado que 5 11 es divisible por 5 etoces la expresió completa lo es. Por lo tato, la expresió es divisible por los ítem I y II 14. Alterativa correcta letra D) (, ) aplicado la propiedad de potecias fraccioarias de expoete egativo,resulta: (, ) desarrollado la potecia y recordado que 4, etoces 5 (0,), luego trasformado el decimal 0, a fracció 5 10 multiplicado 5 10 multiplicado el umerador CEPECH Preuiversitario, Edició

16 Matemática 006 Solucioario dividiedo obteemos: Alterativa correcta letra A) Desarrollado 16 dado que 16, luego simplificado 14 por dos obteemos: 4 multiplicado obteemos: CEPECH Preuiversitario, Edició 006