Pérdida Esperada. Pérdida Esperada (PE): Valor esperado de pérdida por riesgo crediticio en un horizonte de tiempo determinado.

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2 Pérdida Esperada Uno de los objetivos de este estudio es construir una función de pérdidas para el portafolio de la cartera de préstamos que ofrece la entidad G&T Continental, basados en el comportamiento crediticio, a fin de determinar las pérdidas esperadas para la determinación de requerimientos de provisiones y capital. Garantías Comunitarias Grupo S.A. quiere brindarles un informe detallado en el que ustedes puedan conocer las variables que pueden llegar a intervenir en el comportamiento en el pago de su cartera. En primer lugar bajo el análisis de Basilea II y Basilea III, según la normatividad podrán conocer e identificar los posibles impactos económicos de la pérdida esperada. Se presentarán una serie de modelos ajustados a la pérdida esperada con el fin de comparar con nuestro modelo econométrico. Para la gestión del riesgo de crédito suelen utilizarse los conceptos de pérdidas esperadas. Generalmente, suele calcularse como el producto de: -La probabilidad de incumplimiento. -Exposición en riesgo, o tamaño de la deuda. -Pérdida en caso de incumplimiento. Pérdida Esperada (PE): Valor esperado de pérdida por riesgo crediticio en un horizonte de tiempo determinado. Probabilidad de Incumplimiento (PI): Es la probabilidad de que ocurra el incumplimiento parcial o total de una obligación de pago. Pérdida dado el Incumplimiento (PDI): Es la magnitud de la pérdida si el incumplimiento realmente ocurriese, el PDI se calcula como (1-Tr) donde Tr representa la de Tasa de recuperabilidad (cuánto espera recuperar la entidad del prestatario).

3 Distribuciones de Probabilidad 1. Binomial Realizamos un determinado n veces de manera independiente, donde la probabilidad de éxito es constantemente p. Entonces la v.a. X definida como el número de éxitos obtenidos en las n realizaciones sigue una distribución Binomial con parámetros n y p, que denotamos por B(n, p). Esta variable puede tomar los valores 0, 1,..., n y su función de probabilidad es: P(X = x) = ( n x ) px (1 p) n x, x = 0,1,, n Perdida Esperada: Dado n créditos desembolsados en determinado período de tiempo con una probabilidad de incumplimiento del pago p y según la calificación crediticia basada en los días de mora. Sea X el número de pagos de créditos, la distribución binomial calcula la probabilidad de que en determinado período de tiempo, de n créditos desembolsados x créditos sean clasificados en las respectivas categorías (Normal, Mención Especial, Subnormal, Dudoso e Irrecuperable). Utilidad Esperada: La distribución binomial calcula la probabilidad de que en determinado período de tiempo, de n créditos desembolsados x créditos sean clasificados en las respectivas categorías (Normal, Mención Especial, Subnormal, Dudoso e Irrecuperable) con una probabilidad de pago p. 2. Binomial negativa Realizamos ahora el experimento de forma independiente hasta conseguir k éxitos, donde la probabilidad de éxito en cada realización es constante e igual a p. Entonces, la v.a. X =Número de fracasos antes del k ésimo éxito sigue una distribución Binomial Negativa de parámetros k y p, que denotamos por BN(k, p). Su función de probabilidad viene dada por: k + x 1 P(X = x) = ( ) p k (1 p) x, x = 0,1, x Perdida Esperada: Realizar análisis de la cartera de créditos hasta conseguir k créditos clasificados en las respectivas categorías (Normal, Mención Especial, Subnormal, Dudoso e Irrecuperable) en base a la cantidad de días de mora que tiene el crédito.

4 Utilidad Esperada: Realizar análisis de la cartera de créditos hasta conseguir k créditos clasificados en la categoría Normal (Calidad de pago excelente). 3. Poisson Suele representar el número de sucesos independientes que ocurren a velocidad constante en un intervalo de tiempo o espacio. Así por ejemplo, X =Número de ocurrencias por unidad de tiempo sigue una distribución de Poisson de parámetro λ, λ > 0, que denotamos por P(λ), si su función de probabilidad es: P(X = x) = e λ λ x, x = 0,1, x! Perdida Esperada: Calcular la probabilidad de que determinado crédito desembolsado tenga pérdida esperada. Utilidad Esperada: Calcular la probabilidad de que determinado crédito desembolsado tenga una utilidad deseada. 4. Geométrica Es un caso particular de la distribución Binomial Negativa; se obtiene cuando k = 1 y por tanto contabiliza el número de fracasos anteriores al primer éxito. La denotamos por G(p). Su función de probabilidad es: f(x) = (1 p) x p Pérdida Esperada: Realizar análisis de la cartera de créditos hasta conseguir 1 crédito que incurra en pérdida esperada. Utilidad Esperada: Realizar análisis de la cartera de créditos de tal manera de controlar la buena calidad de pago para obtener un buen beneficio monetario. 5. Hipergeométrica Supongamos que tenemos una urna con N bolas, de las cuales Np son rojas y Nq negras. La proporción de bolas rojas es por lo tanto p = Np/N y la proporción de negras q = 1 p = Nq/N. Si extraemos de la urna n bolas sin reemplazamiento, entonces X =Número de bolas rojas obtenidas sigue una distribución Hipergeométrica de parámetros (N, n, p), que denotamos por H(N, n, p). Su función de probabilidad es:

5 ( N p) ( N q) P(X = x) = x x ( N, máx {0, n N q } Mín{n, N P } n ) Pérdida Esperada: Dada la clasificación del crédito: en normal, mención especial, subnormal, dudoso e irrecuperable, X es la variable que denota que la cantidad de créditos con pago incumplido que se pueden obtener. Utilidad Esperada: Dada la clasificación del crédito: en normal, mención especial, subnormal, dudoso e irrecuperable, Y es la variable que denota que la cantidad de créditos con excelente calidad de pago. P(Y = y) = ( N p y ) ( N q y ) ( N n ), máx {0, n N q } Mín{n, N P } 6. Chi cuadrado La distribución Chi-cuadrado con parámetro n (grados de libertad), denotada por χ n 2, resulta también un caso particular de la Gamma al considerar α = n y λ = 1. Su función 2 2 de probabilidad es: 1 f(x) = Γ ( n 2 ) xn/2 1 e x/2, x 0 2n/2 La distribución χ² tiene muchas aplicaciones en inferencia estadística. La más conocida es la de la denominada prueba χ² utilizada como prueba de independencia y como prueba de bondad de ajuste y en la estimación de varianzas. Pero también está involucrada en el problema de estimar la media de una población normalmente distribuida y en el problema de estimar la pendiente de una recta de regresión lineal, a través de su papel en la distribución t de Student. Pérdida Esperada: Análisis de la variabilidad de la probabilidad de incumplimiento X en el transcurso del tiempo. Utilidad Esperada: Análisis de la variabilidad de la probabilidad de pago de un crédito determinado. 7. Exponencial Se utiliza fundamentalmente para modelizar tiempos de vida o tamaños. Se dice que una v.a X sigue una distribución Exponencial de parámetro λ, X Exp(λ), si su función de probabilidad es:

6 P(X = x) = λe λx, x 0, λ > 0 Pérdida Esperada: Análisis de la calidad de pago de un crédito, es decir, el análisis del crédito hasta que este se convierta en un crédito irrecuperable. Utilidad Esperada: Análisis la calidad de pago de un crédito, es decir, el análisis del crédito tenga un buen comportamiento durante su plazo de pago. 8. T de Student La distribución t de Student de parámetro n, que denotamos por tn, se genera a partir de dos variables independientes, una con distribución N(0, 1) y la otra con distribución χ n 2. Sea Z N(0,1) y X χ n 2 variables independientes. Entonces: T = Z X n t n Pérdida Esperada: Realizar comparativos entre dos muestras de créditos de diferentes periodos (analizar los créditos irrecuperables). Utilidad Esperada: Realizar comparativos entre dos muestras de créditos de diferentes periodos (analizar los créditos en categoría normal). 9. Normal Se dice que una v.a. X sigue una distribución Normal de parámetros µ, σ, X N(µ, σ), si su función de probabilidad es: f(x) = 1 e (x μ)2 2σ 2, < x <, μ R, σ > 0 2πσ Pérdida Esperada: Representación de la variación de la pérdida esperada como una distribución normal. Utilidad Esperada: Representación de la variación de la utilidad esperada como una distribución normal.

7 10. Gamma Una v.a. X sigue una distribución Gamma de parámetros α, λ, X G(α, λ), si su función de probabilidad es: f(x) = 1 Γ(α) xα 1 e λx, x 0, λ > 0 Γ(α) = x α 1 e x dx 0 Se utiliza para modelar variables que describen el tiempo hasta que se produce x veces un determinado suceso. Pérdida Esperada: Modelar las variables que se consideren necesarias para el análisis de pérdida esperada que describen el tiempo hasta que se producen x veces un pago incumplido de un crédito. Utilidad Esperada: Modelar las variables que se consideren necesarias para el análisis de utilidad esperada para saber cuáles afectan la cartera. 11. Beta La distribución beta es posible para una variable aleatoria continua que toma valores en el intervalo [0,1], lo que la hace muy apropiada para modelar proporciones. En la inferencia bayesiana, por ejemplo, es muy utilizada como distribución a priori cuando las observaciones tienen una distribución binomial. f(x) = Γ(α + β) Γ(α)Γ(β) xα 1 (1 x) β 1, x (0,1), α, β > 0 Pérdida Esperada: Análisis de la proporción de en cada categoría de clasificación de los créditos desembolsados en base a los días de mora, es decir, el porcentaje de créditos en cada categoría. 12. Distribución F A la distribución Snedecor de parámetros n 1, n 2 la denotamos por F n 1,n 2 y se genera a partir de dos distribuciones Chi-cuadrado independientes, χ 2 n1, χ 2 n Sea X χ n1 e Y χ n2 v.a. independientes. Entonces:

8 F = X n 1 Y n 2 F n 1,n 2 Y a n 1, n 2 se les llaman grados de libertad. Pérdida Esperada: Distribución que permite detectar la existencia o inexistencia de diferencias significativas entre muestras de créditos de dos periodos diferentes. 13. Uniforme Continua Una variable aleatoria X tiene una distribución Uniforme en el intervalo [a, b], y lo denotamos por X U (a, b), si su función de probabilidad es: 1 f(x) = { si a x b b a 0 en otro caso Pérdida Esperada: Todos los créditos tienen la misma probabilidad entre 0 y 1 de ser irrecuperables. Utilidad Esperada: Todos los créditos tienen la misma probabilidad entre 0 y 1 de ser clasificados en la categoría normal. 14. Weibull Se usa para modelar situaciones del tipo tiempo- falla, o bien puede indicar la vida útil de cierto artículo, planta o animal, confiabilidad de un componente. Se dice que X es una variable aleatoria con distribución Weibull sí: f(x) = αλ α x α 1 e (λx)α α, λ > 0 Pérdida Esperada: Modelación del deterioro de la capacidad de pago de determinado crédito. Utilidad Esperada: Modelación del mejoramiento de la capacidad de pago de determinado crédito.

9 15. Pareto Se dice que una variable aleatoria X de tipo continuo tiene distribución Pareto de parámetros α y x0, α, x0 > 0 si su función de densidad es: f(x) = αx 0 α x α+1, x x 0 Pérdida Esperada: Análisis del deterioro del crédito (Clasificación del crédito) Utilidad Esperada: Análisis del mejoramiento de la calidad de pago de un crédito. 16. Logit La curva logística es una función real de variable real y aparece como curva adecuada para describir el crecimiento de poblaciones y, en general, en los procesos de crecimiento que experimentan estados de saturación. Log ( p 1 p ) = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x β k x k Donde p es la probabilidad de incumplimiento, y x 1,.., x k variables explicativas a considerar en el modelo. Pérdida Esperada: Modelamiento de la probabilidad de incumplimiento mediante regresión logística con las variables según la información de la entidad que se consideran necesarias para el modelo. Utilidad Esperada: Modelamiento de la probabilidad de cumplimiento de pago mediante regresión logística con las variables según la información de la entidad y las variables económicas del respectivo país. 17. Probit El propósito del modelo es estimar la probabilidad de que una observación con características particulares, caerá en una específica de las categorías; Además, si probabilidades estimadas de más de medio se tratan como la clasificación de una observación en una categoría pronosticada, el modelo probit es un tipo de clasificación binaria.

10 Pérdida Esperada: Al igual que la distribución logit Modelamiento de la probabilidad de incumplimiento mediante regresión probit con las variables que se consideran necesarias para el modelo. Utilidad Esperada: 18. Multinomial La distribución multinomial es similar a la distribución binomial, con la diferencia de que en lugar de dos posibles resultados en cada ensayo, puede haber múltiples resultados. Sea la variable aleatoria x i, que indica el número de veces que se ha dado el resultado i sobre los n sucesos. El vector X = (x 1,, x k ) sigue una distribución multinomial con parámetros n y p, dondep = (p 1,, p k ). Su función de probabilidad es: n! x 1!,, x k! p x 1 x 1 p k k Pérdida Esperada: Determinar la probabilidad y la cantidad de créditos que son irrecuperables. Utilidad Esperada: Determinar la probabilidad y la cantidad de créditos que pagados en su totalidad. Definiciones Básicas Probabilidad de Transición Es una herramienta que se utiliza para obtener la probabilidad de que un crédito con una determinada calificación cambie de calificación durante un periodo específico, generalmente de un año. A estas probabilidades se les llama probabilidades de migración de calidad del crédito. Las matrices de probabilidad de transición generan información sobre el posible deterioro que puede presentar una cartera de crédito en el futuro; se obtienen a partir de las cadenas de Markov. Proceso Estocástico Es una colección de variables aleatorias definidas sobre un mismo espacio de probabilidad. Por ejemplo el monto de la deuda X t de un deudor en el mes t.

11 Modelo Montecarlo El método Montecarlo es un método numérico que permite resolver problemas mediante la simulación de variables aleatorias. La importancia actual del método Montecarlo se basa en la existencia de problemas que tienen difícil solución por métodos exclusivamente analíticos o numéricos, pero que dependen de factores aleatorios o se pueden asociar a un modelo probabilística artificial