Teorema fundamental del Cálculo.

Transcripción

1 Sesión Teorem fundmentl del Cálculo (TFC) Tems Teorem fundmentl del Cálculo. Cpciddes Conocer y comprender el TFC. Aplicr el TFC en el cálculo de derivds e integrles definids.. Introducción I. Brrow Inglés Cd rm especil de l mtemátic tiene un teorem que se reconoce como fundmentl en ell. Así es como en l ritmétic se encuentr el Teorem fundmentl de l ritmétic, en álgebr el Teorem fundmentl del álgebr b. Tmbién el cálculo tiene su teorem fundmentl, que se conoce justmente con el nombre de Teorem fundmentl del Cálculo, y su importnci rdic en relcionr los dos tems clves del cálculo: l derivd y l integrl. Todo número entero se puede escribir, de mner únic (excepto el orden de los fctores), como producto de potencis de números primos. b Tod ecución con coeficientes reles, tiene l menos un ríz (rel o complej). 75

2 Sesión Teorem fundmentl del Cálculo.2 Teorem Fundmentl del Cálculo El teorem fundmentl del Cálculo tiene, tl como se ve continución, dos prtes. Teorem. Teorem Fundmentl del Cálculo (TFC-) Se f un función continu en [, b]. Si G(x) = x f(t) dt, pr todo x en [, b], entonces G es un ntiderivd (primitiv) de f, es decir: G (x) = f(x) Demostrción. Se x [, b] y tl que x + [, b]. G G(x + ) G(x ) (x ) x + x x + + x x + x + x + x plicndo el Teorem del vlor medio pr integrles: f(α), pr α entre x y x + f(α) como f es continu y α entre x y x + = f(x ) Instituto de Mtemátic y Físic 76 Universidd de Tlc

3 Sesión Teorem fundmentl del Cálculo Not. El TFC-, estblece que tod función continu tiene primitiv. Ejemplo. Determinr ls derivds de Solución: ) g(x) = x ) g (x) =, por el TFC(). x + x2 b) Sen f(t) = t 0 Es clro que: f (t) = 2 + t 2. Por lo tnto: dt b) h(t) = t + t2 t x 2 dx 2 + x 2 dx y g(t) = t. Entonces, h = f g. h (t) = (f g) (t) = f (g(t)) g (t) = 2 + (t ) 2 t2 = t2 2 + t 6 Not.2 L segund prte del ejemplo precedente ilustr el siguiente corolrio del TFC-: Corolrio.2. TFC- f un función continu en [, b] y g un función derivble. Si Sen G(x) = g(x) f(t) dt, pr todo x en [, b], entonces G es derivble y su derivd viene dd por G (x) = f(g(x)) g (x) dt es cón- +t+t 2 Ejercicio. Encontrr el intervlo sobre el cul l curv y = x 0 cv hci rrib. Teorem.2 Teorem Fundmentl del Cálculo (TFC-2) Se f un función continu en el intervlo [, b] y F un primitiv (ntiderivd) culquier de f, entonces: b f(x) dx = F (b) F () Instituto de Mtemátic y Físic 77 Universidd de Tlc

4 Sesión Teorem fundmentl del Cálculo Demostrción. Por el teorem., G(x) = x es un primitiv de f. Luego F y G son primitivs de f, es decir, F = G = f. Luego, F y G difieren en un constnte, es decir, G(x) = F (x) + C o se, x = F (x) + C (.) sustituyendo x por en (.), se obtiene que C = F (). Luego: x = F (x) F () (.2) Finlmente, sustituyendo x por b en (.2), se obtiene el resultdo desedo: Observciones: b = F (b) F () ) El TFC-2 entreg un herrmient, simple y poderos, pr clculr un integrl de Riemnn (o definid), sin tener que recurrir l definición, que como y se h visto, en generl es bstnte complicdo utilizrl. Est mner de evlur un integrl definid, se conoce con el nombre de Regl de Brrow. 2) Como F es un primitiv de f, es clro que: F (x) = f(x) dx. Como es de suponer, pr clculr est integrl indefinid, se pueden utilizr tods ls fórmuls de integrción y todos los métodos de integrción y estudidos. En l integrl indefinid clculd, se suele tomr l constnte de integrción igul 0, es decir C = 0. b ) Es frecuente denotr l expresión F (b) F () por F (x). Con est notción, el TFC-2, se puede presentr sí: b f(x) dx = F (x) b Instituto de Mtemátic y Físic 78 Universidd de Tlc

5 Sesión Teorem fundmentl del Cálculo 4) Pr clculr l integrl de Riemnn, b f(x) dx, usndo el TFC-2, se procede de l siguiente mner: Pso : Buscr un primitiv de l función f. Pr ello se clcul F (x) = f(x) dx Pso 2: Un vez encontrd l función F, ell se evlú en x = b y en x =, es decir, se clcul F (b) y F () Pso : Finlmente, plicndo el TFC-2, se obtiene que: b f(x) dx = F (x) b = F (b) F () 5 Ejemplo.2 Encontrr el vlor de ( + x 2 ) dx Solución: ) Clculr ( + x 2 ) dx ( + x 2 ) dx = dx + = x + 2) Luego, x 2 dx x 5 ( + x 2 ) dx = = = ) (x + x 5 ) ) (5 + 5 ( + ( ) ( ) ( ) = 40 ( 4 ) = 48 Instituto de Mtemátic y Físic 79 Universidd de Tlc

6 Sesión Teorem fundmentl del Cálculo. Autoevlución ) Clculr l derivd de t dx. +x 2) Clculr l derivd de t dx. +x ) Clculr el áre bjo l curv y = sin 2 x entre 0 y 2π. Respuest: ) + t 2) t 2 + t 9 ) π.4 Desfío Se f l función definid por el siguiente gráfico: Si g(t) = t f(x)dx: ) Determinr los vlores de g(0), g(2), g(4) y g(7) 2) Determinr intervlos de crecimiento y decrecimiento de g. ) Determinr extremos reltivos y bsolutos de g. 4) Esbozr un gráfic e l función g. Instituto de Mtemátic y Físic 80 Universidd de Tlc