DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (BERNOULLI) DISTRIBUCIÓN NORMAL (GAUSS)

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1 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (BERNOULLI) DISTRIBUCIÓN NORMAL (GAUSS)

2 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD Recordemos que el Espacio Muestral es el cojuto de todos y cada uo de los valores que puede tomar ua variable aleatoria; dicho e otras palabras, el Espacio Muestral reúe a todos los resultados posibles de u experimeto aleatorio. Si a cada uo de los valores del Espacio muestral, le hacemos correspoder su respectiva probabilidad de ocurrecia, a esta correspodecia le llamaremos Distribució de probabilidad, Fució de Probabilidad o simplemete o Distribució Probabilística, es decir: p f(x) x 1 x 2 p 1 p 2 x 3 x p 3 p X Ua Distribució de Probabilidad, se puede represetar de dos maeras: mediate ua tabla de datos o mediate u gráfico deomiado histograma. p x p(x) La Distribució de Probabilidad permite calcular probabilidades; siempre y cuado, se cumpla los requisitos que cada ua de ellas exige. De acuerdo co la clasificació de la variable aleatoria, se ha tomado e cueta la siguiete clasificació de distribució de probabilidades: e d i c a p e d. c o m Págia 1

3 Distribució de probabilidad discreta Propiedades: 1. 0 p(x = x i ) 1 i = 1,2,3,, 2. pi = 1 Esperaza Matemática: EM = x i p i Variaza: σ 2 = (x i EM) 2 p i EJEMPLOS: 1. Sea el experimeto: Lazar u dado, se pide: a. Costruir el Espacio muestral b. Covertir el Espacio Muestral e ua Variable Aleatoria y establecer la fució de probabilidad discreta correspodiete c. Ecotrar la Esperaza matemática d. Ecotrar la Variaza y la Desviació estádar E = {obteer 1, obteer 2, obteer 3, obteer 4, obteer 5, obteer 6} Eveto Valor Aleatorio (xi) Probabilidad p(xi) Obteer 1 1 1/6 Obteer 2 2 1/6 Obteer 3 3 1/6 Obteer 4 4 1/6 Obteer 5 5 1/6 Obteer 6 6 1/6 EM = x i p i EM = EM = 7 2 = 3,5 e d i c a p e d. c o m Págia 2

4 σ 2 = (x i EM) 2 p i σ 2 = ( ) ( ) ( ) ( ) (5 7 2 ) (6 7 2 ) σ 2 = = 2,92 2. Ua imobiliaria vede mesualmete, durate dos años, u úmero determiado de casas e ua variació de 5 a 20, de acuerdo co la siguiete distribució de frecuecias y de probabilidad: Número de meses Casas vedidas (xi) Probabilidad (pi) 1/8 7/24 1/6 5/24 1/8 1/12 El propietario la imobiliaria espera que estas cifras refleje u icremeto e el úmero promedio de vetas por ecima de 7,3 que vedió e meses ateriores, y ua reducció e la variabilidad de las vetas mesuales que había sido de σ = 5,7. De lo cotrario ha decidido veder el egocio y dedicarse a otra actividad. Cuál debe ser la decisió que debe tomar el propietario?. 3. El úmero de quejas de los empleados e ua compañía oscila etre 0 y 6 cada día como se muestra e la siguiete tabla.. Número de quejas Número de días a. Idetifique el Experimeto. b. Establezca el Espacio muestral. c. Establezca la probabilidad para cada uo de los evetos del espacio muestral. d. Calcule e iterprete el valor esperado o (esperaza matemática), la variaza y la desviació estádar. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL U eveto está bajo Distribució Biomial, si cumple co las siguietes codicioes: Existe observacioes o esayos idéticos. Cada esayo tiee dos posibles resultados, uo llamado éxito (cumple) y el otro deomiado fracaso (o cumple). Las probabilidades de éxito p y de fracaso q = 1 p se matiee costates para todos los esayos. Los resultados de los esayos so idepedietes etre sí. La distribució Biomial se expresa co la siguiete fució: P(x) = C(, x) p x q x e d i c a p e d. c o m Págia 3

5 Dode: C(, x): Número de combiacioes de x elemetos que se puede hacer co elemetos. x: El valor de la variable cuya probabilidad queremos calcular. : Total de la muestra. p: Probabilidad de la ocurrecia de u eveto. q: Probabilidad de la o ocurrecia del eveto. E el cálculo de probabilidades, bajo la distribució Biomial se preseta los siguietes casos: Probabilidad de u elemeto putual. Probabilidad de u eveto mayor que. Probabilidad de u eveto meor que. DISTRIBUCIÓN NORMAL La distribució de probabilidad de Gauss o distribució Normal, está dada por la siguiete ecuació: y = 1 (x μ) 2 σ 2π e 2σ 2 Para mejor maejo de la ecuació de Gauss, se procede a tipificar la variable, haciedo el siguiete cambio de variable: x μ z = σ La ecuació de Gauss se trasforma e: Que preseta ahora el siguiete gráfico: y = 1 σ 2π e z e d i c a p e d. c o m Págia 4

6 Características de la Curva Normal La gráfica de ua distribució ormal, se asemeja a ua campaa, por eso se la cooce como la campaa de Gauss. La curva es suave, uimodal y simétrica, etoces: la media, la mediaa y, la moda coicide e el eje de simetría. E setido horizotal, la curva se extiede hacia el ifiito, e los dos setidos; si embargo, co la tipificació de la variable z, la distribució ormal tiee domiio etre ]-4,4[ La curva de distribució ormal queda totalmete idetificada, mediate dos parámetros: la media aritmética y la desviació estádar. N (μ, σ) El área total de la curva ormal, represeta el 100% de probabilidad de dicha variable; dada la simetría, el eje divide a la curva e dos áreas, represeta cada ua por el 50% del área total. Co estas características se tiee que: La probabilidad de que ua variable aleatoria que está distribuida ormalmete asuma u valor etre dos putos cualesquiera, es igual al área bajo la curva ormal etre estos dos putos. Mediate la distribució ormal, se puede calcular probabilidades para evetos de variable cotiua, para este cálculo se deberá cotar co: Media aritmética: μ Desviació estádar: σ Co estos valores procedemos a calcular el valor z (variable tipificada): z = x μ σ Proceso para el cálculo de ua probabilidad co distribució ormal 1. Cálculo del valor z para la probabilidad x, 2. Gráfico de la campaa y ubicació del valor z, 3. Ubicació de las áreas e el gráfico, 4. Defiir el área (sombrear) que correspode a la probabilidad a calcular, 5. Cálculo del área sombreada (es el valor de la probabilidad). e d i c a p e d. c o m Págia 5

7 EL Ms EXCEL EN EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES CENTRO DE ESTUDIOS, DIDÁCTICA Y CAPACITACIÓN Para el cálculo de probabilidades e evetos que se ecuetra bajo ua distribució de probabilidad, sea esta Biomial o Normal, el Programa MS, Excel preseta las siguietes fucioes electróicas, las misma que se ecuetra e la categoría Estadísticas. Fució Descripció. DISTR.BINOM Devuelve la probabilidad de ua variable aleatoria discreta siguiedo ua distribució biomial. DISTR.NORM.N Devuelve la distribució ormal para la media y desviació estádar especificada. DISTR.NORM.ESTAND.N Devuelve el valor de la distribució ormal tipificada para media = 0 y desviació estádar = 1 (Coeficietes de la tabla) e d i c a p e d. c o m Págia 6

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