Probabilidad Condicional. Teorema de Bayes para probabilidades condicionales:

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1 Probabilidad Condicional Teorema de Bayes para probabilidades condicionales:

2 Definición: Sea S el espacio muestral de un experimento. Una función real definida sobre el espacio S es una variable aleatoria. Ejemplo: Se lanza una moneda 5 veces. Sea X la función (real) que cuenta el número de veces que sale cara en un posible resultado. Si s ={cara, cara,cruz,cara, cruz} entonces X(s)=3

3 Cuando se específica una medida de probabilidad sobre el espacio muestral se pueden determinar las probabilidades asociadas con los valores posibles que toma la variable aleatoria X. La colección de todas las probabilidades de X es la distribución de X.

4 Ejemplo: Se lanza una moneda 10 veces y sea X la variable aleatoria que corresponde al número de caras que se obtienen. En este ejemplo, los valores de X son 0,1,2,..,10. Para cada valor de x, la probabilidad Pr(X=x) es la suma de las probabilidades de todos los resultados del evento {X=x}

5 Función de probabilidad y soporte: Si una variable aleatoria X tiene una distribución discreta, la función de probabilidad de X se define como la función f tal que para cada número real x, f(x)=pr(x=x) La cerradura del conjunto {x:f(x) > 0} se le llama soporte de la distribución.

6 Función de probabilidad: Teorema. Si X es una variable aleatoria discreta que toma los valores x 1,x 2,... con probabilidades p 1,p 2,..., respectivamente, la función de probabilidad (pf) asigna probabilidades a todos los posibles valores de X tal que Además f(x)=pr(x=x)=p i f(x)=0 si x=x i de otra forma

7 Función de probabilidad cumulativa: Se define la función de probabilidad cumulativa (cpf) de X, F(x), cuyo valor da la probabilidad que como: Además con la función de probabilidad cumulativa podemos calcular la probabilidad de que X se encuentre entre los valores

8 Función de probabilidad cumulativa: La función de probabilidad cumulativa,f(x), es una función no decreciente de x y F(x)=1 para

9 3 ejemplos de distribuciones discretas: - Distribución de Bernoulli - Distribución uniforme - Distribución binomial

10 Distribución de Bernoulli: Una variable aleatoria X que toma únicamente 2 valores, digamos 0 y 1, con Pr(X=1)=p, se dice que sigue una distribución de Bernoulli con parámetro p: Pr(X=1)=p Función de probabilidad: y Pr(X=0)=1-p

11 Distribución uniforme: Sea a y b números enteros ( ). Suponga que una variable aleatoria es igualmente probable para cada uno de los enteros a,...,b. Se dice entonces que la variable aleatoria X tiene una distribución uniforme sobre los enteros a,...,b.

12 Distribución binomial: Esta distribución describe procesos que consisten de un número de intentos independientes con dos posibles resultados. Es usual llamar a los posibles resultados: éxitos y fracasos

13 Distribución binomial: Digamos que tenemos los eventos A y B, con Si la probabilidad de que ocurra un éxito es Pr(A)=p, entonces la probabilidad de un fracaso es Pr(B)=q=1-p Si se realizan n intentos, entonces la variable aleatoria X está dada por: X=número de veces que A ocurre (éxitos). Por lo que X puede tomar los valores 0,1,..., n

14 Si se realizan n intentos y x son éxitos una posible secuencia es:

15 Distribución binomial: La función de probabilidad de que en n intentos x sean éxitos está dada por: Comment: para n=1, tenemos la fp de Bernoulli

16 Movimiento Browniano (enfoque de Einstein-Smoluchowski) Caminante aleatorio en 1D: Una partícula salta una distancia l en un tiempo (promedio) Al tiempo t la partícula ha dado saltos

17 Movimiento Browniano (enfoque de Einstein-Smoluchowski) Supongamos que R saltos han sido hacia la derecha y L saltos hacia la izquierda. De este modo n= R + L Ahora supongamos que la partícula dió m saltos más hacia la derecha, es decir, m = R - L

18 Movimiento Browniano (enfoque de Einstein-Smoluchowski) Usando la distribución binomial encontramos que la función de probabilidad de encontrar a la partícula en m, después de n saltos, es: de donde:

19 Movimiento Browniano (enfoque de Einstein-Smoluchowski) Suponiendo que con y utilizando la aproximación: se encuentra que o bien Con coeficiente de difusión D:

20 Distribuciones continuas Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución continua, o que X es una variable continua, si existe una función no negativa f, definida sobre los números reales, tal que para cada intervalo en los reales, la probabilidad de que X tome un valor en el intervalo es igual a la integral sobre ese mismo intervalo

21 Por ejemplo: A la función f se le llama función de densidad de probabilidad o simplemente densidad de probabilidad

22 Alternativamente: Se define la función de densidad de probabilidad (pdf), f(x), de una variable aleatoria continua X como aquella que satisface: es decir, la probabilidad de que x caiga entre x y x+dx,

23 La densidad de probabilidad, f(x), debe satisfacer que:

24 Comentario: las distribuciones continuas asignan probabilidad cero a valores individuales, es decir, si X es una variable continua Pr(X=a)=0 Esto no implica el evento X=a sea imposible!

25 Ejemplo: Distribución uniforme Si X tiene una distribución uniforme en el intervalo [a,b], entonces la densidad de probabilidad (pdf) f(x) es El intervalo [a,b] es el soporte de la distribución

26 Comentario: La densidad de probabilidad NO es la probabilidad de X cerca de x. Es la integral de f la que da la probabilidad

27 Ejemplo: Suponga que la función de densidad de probabilidad (pdf) está dada por: Cuál es el valor de c? Determine :

28 Similarmente al caso discreto, se define la función de distribución cumulativa (cdf) F(x): De modo que Además:,

29 Comentarios: Variables aleatorias - La función de distribución cumulativa F(x) Es una función no decreciente con x - Una función de distribución cumulativa es siempre continua por la derecha: para cada valor de x

30 Ejemplo: Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo [a,b]. Cuál es la función de distribución cumulativa

31 Comentario: Una variable aleatoria discreta puede tratarse como una variable aleatoria continua y asignarse la correspondiente densidad de probabilidad. Si X es una variable discreta que toma los valores x 1,...,x n con probabilidades p 1,...,p n, entonces la densidad de probabilidad continua puede escribirse como

32 Varias variables aleatorias Es común encontrar problemas que dependen de más de una variable aleatoria. Los resultados que hemos visto pueden extenderse a dos o más variables aleatorias. Veamos el caso de dos variables.

33 Varias variables aleatorias Distribucion conjunta discreta. Sean X y Y dos variables aleatorias y consideremos el par ordenado (X,Y). Si existe un número contable de diferentes valores (x i,y i ) para el par (X,Y), entonces X, Y tienen una distribución discreta. Definición: La función de probabilidad conjunta de X,Y se define como la función f tal que para cada punto (x i,y i ) en el plano xy,

34 Varias variables aleatorias Con Si (x i,y i ) NO es uno de los valores posibles del par (X,Y) entonces f(x i,y i ) = 0.

35 Varias variables aleatorias Similarmente al caso continuo para una variable, tenemos ahora que: donde f(x,y) es la función de densidad de probabilidad conjunta que satisface: y

36 Varias variables aleatorias Caso especial: variables independientes. Es frecuente encontrar casos donde las variables aleatorias X, Y no dependen una de otra. En este caso la densidad de probabilidad puede escribirse como Pr(X=x i,y=y i )=g(x i )h(y i ), donde g(x i ) y h(y i ) son las densidades de probabilidad de X y Y. Similarmente para el caso continuo:

37 Varias variables aleatorias Sobre el tema de variables aleatorias independientes, supongamos que nos interesa saber la densidad de probabilidad de la suma de variables independientes. Sea Y = X 1 + X 2, donde X 1, X 2 son variables aleatorias independientes con densidades de probabilidad f 1 y f 2. La densidad de probabilidad de Y está dada por (convolución)

38 Varias variables aleatorias

39 Varias variables aleatorias

40 Varias variables aleatorias

41 Varias variables aleatorias

42 Varias variables aleatorias Distribución cumulativa conjunta La distribución cumulativa conjunta para dos variables aleatorias X y Y está definida como la función F tal que para todos los valores de x e y de modo que

43 Varias variables aleatorias Si X e Y tienen una densidad de probabilidad conjunta f(x,y) entonces De aquí que

44 Varias variables aleatorias Distribución marginal Frecuentemente en un problema de varias variables, digamos 2 variables, estamos interesados en la distribución de una sóla de las variables. Dicha distribución se obtiene a través de la distribución conjunta y se le llama distribución marginal. Por ejemplo, para el caso discreto, si X e Y son variables aleatorias con función de distribución conjunta f(x,y), entonces la distribución marginal f 1 está dada por

45 Varias variables aleatorias Por ejemplo, para el caso discreto, si X y Y son variables aleatorias con distribución conjunta f(x,y), entonces la distribución marginal f 1 está dada por Similarmente para el caso continuo:

46 Varias variables aleatorias Ejemplo. Si la densidad de probabilidad conjunta está dada por Encuentre la densidad marginal de probabilidad de X e Y

47 Varias variables aleatorias Distribución condicional Así como en el cálculo de probabilidades era de interés conocer la probabilidad de un evento dado que otro había sucedido, ahora nos preguntamos por la distribución de una variable X dado que otra, Y, ha tomado un valor Y=y. La distribución de la probabilidad condicional viene dada por:

48 Varias variables aleatorias Distribución condicional Para n variables: donde f 2 es la distribución marginal de X 1,... X k

49 Varias variables aleatorias Ley de la probabilidad total y teorema de Bayes Para n variables: donde Y el teorema de Bayes para variables aleatorias es: y

50 Funciones de variables aleatorias Frecuentemente se requiere la distribución de una función de las variables aleatorias. Por ejemplo, si X es una variable aleatoria, quisieramos saber la distribución de 1/X, o bien para dos variables X 1,X 2, cuál es la probabilididad de exp(x 1 +X 2 )?

51 Varias variables aleatorias Funciones de variables aleatorias o bien

52 Algunas propiedades de las distribuciones Las distribuciones de probabilidad tienen toda la información estadística de las variables aleatorias en cuestión. En muchas ocasiones algunas propiedades de las distribuciones nos dan suficiente información estadística de las variables aleatorias. Los llamados valores esperados (o promedios o momentos) son cantidades estadísticas simples que nos dan información de las variables aleatorias.

53 Valor esperado, valor promedio, promedio, valor medio, media, o primer momento La propiedad más utilizada para caracterizar una distribución de variables aleatorias es el llamado valor medio. Si X es una variable aleatoria el valor esperado E[X] está definido como f(x) es la función de probabilidad (discreto) o densidad de probabilidad (continuo)

54 En general, para una función de variables aleatorias, tenemos

55 Una propiedad: Variables aleatorias También, si f(x) y g(x) son funciones de probabilidad discretas (o bien, continuas) tenemos que: donde a y b son constantes (números reales)

56 Varianza (que tan dispersos son los valores de una variable aleatoria respecto al valor medio) Sea X es una variable aleatoria, su varianza está dada por: donde

57 Se pueden demostrar las siguientes igualdades para la varianza (a y b constantes):

58 Generalización: k-ésimo momento Este se define como: donde

59 Similarmente, el k-ésimo momento central viene definido por

60 Comentario: Los momentos centrales y (normalizados) se les llama: coeficiente de asimetría (skewness) y curtosis (kurtosis)

61 Función generadora (generatriz) de probabilidad donde f n =Pr(X=x n ) y x n toma valores enteros no negativos. De aquí tenemos que

62 Evaluando en t=1: Variables aleatorias

63 Utilizando el resultado anterior, vemos que '

64 Otro tipo de función generadora (generatriz) es la función generadora de momentos Para una variable aleatoria X y un número real t, esta función se define como: La función generadora existe para todo valor de t siempre que X esté acotada y M X (t=0)=e(1)=1

65 Entonces, el n-ésimo momento de X está dado por: De esta forma, por ejemplo,

66 Ejemplo: función generadora de una densidad de distribución Gaussiana está dada por:

67 Caso especial: suma de variables independientes Si X 1,...,X n son variables independientes y S n =X X n, entonces

68 Un poco más general: si ahora S n está dada por la suma de variables independientes de la forma: S n =c 1 X c n X n, entonces la función generatriz viene dada por:

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