IDENTIFICAR LOS ELEMENTOS DE UN VECTOR

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1 8 REPSO POO OJETIVO IDENTIFICR LOS ELEMENTOS DE UN VECTOR Nombre: Crso: Fecha: Vector: segmento orientado determinado por dos pntos: (a, a ), origen del ector, y (b, b ), extremo del ector. Coordenadas del ector: = (b - a, b - a ) Módlo: q = ( b - a) + ( b - a ) Calcla las coordenadas y el módlo del sigiente ector. Origen: (, ) Extremo: (-3, -) Coordenadas: = (-3 -, - - ) = (-5, -3) X Módlo: q = (- 5) + (- 3) = = 34 CTIVIDDES Cáles son las coordenadas y el módlo de los sigientes ectores? D G C E I F H X J Dados los pntos (3, 6), (-3, 0), C (0, -5) y D (-, 7), representa y calcla las coordenadas y el módlo de los ectores, C, CD y D. X 4 DÍ DÍ EN EL UL MTEMÁTICS 4. ESO Material fotocopiable Santillana Edcación, S. L.

2 8 REPSO POO OJETIVO RELIZR OPERCIONES CON VECTORES Nombre: Crso: Fecha: Para smar gráficamente dos ectores y se toma no ellos,, y con origen en s extremo se dibja n ector eqialente a. La sma + es otro ector cyo origen es el origen de, y s extremo es el extremo de. En coordenadas, si las coordenadas de son (, ) y las coordenadas de son (, ), el ector sma es: + = ( +, + ) Para restar gráficamente dos ectores y se toman ectores eqialentes a ambos qe tengan el mismo origen, y la diferencia es otro ector qe tiene como origen el extremo de, y como extremo, el extremo de. En coordenadas, si las coordenadas de son (, ) y las coordenadas de son (, ), el ector diferencia es: - = ( -, - ) Dados los ectores y de la figra, calcla gráficamente y por coordenadas los ectores + y -. X + Vector eqialente a - Vector eqialente a Vector eqialente a Vector eqialente a X X = ( - (-), - (-)) = (, 3) = (-3 - (-), 4 - ) = (-, ) + = ( + (-), 3 + ) = (, 5) - = ( - (-), 3 - ) = (3, ) CTIVIDDES Las coordenadas de los pntos,, C y D son: Calcla el resltado de estas operaciones. (-, 3) (0, 6) C (4, -7) D (-4, 0) a) + CD b) - CD c) CD - d) - e) CD + CD f ) - - CD Halla gráficamente el ector sma + y el ector diferencia -. X DÍ DÍ EN EL UL MTEMÁTICS 4. ESO Material fotocopiable Santillana Edcación, S. L. 5

3 REPSO POO OJETIVO 8 RELIZR OPERCIONES CON VECTORES Nombre: Crso: Fecha: Para mltiplicar n ector por n número real k se mltiplica el módlo del ector por el número real, y se mantiene la dirección del ector. El sentido será el mismo si k es positio, y contrario, si k es negatio. En coordenadas, si = (, ), el prodcto de n número real k por n ector se calcla mltiplicando cada coordenada por el número k. Dado el ector, de origen (, -) y extremo (3, -), calcla gráfica y analíticamente el prodcto de por los números y -. = = (3 -, - - (-)) = (, -) =? (, -) = (, -) (-) = (-)? (, -) = (-, ) (-) X 3 Sabiendo qe (-3, 3) y (-, 5), calcla gráfica y analíticamente k?. a) k = b) k = -4 c) k = d) k = 3 X La sma de n pnto más n ector es otro pnto qe reslta de trasladar el pnto según el ector. En coordenadas, si (a, a ) y = (, ), s sma es el pnto ( b, b ) = (a +, a + ). Resele los apartados. a) Si (3, -4) y el ector = (-3, 5), calcla las coordenadas del pnto = +, y representa el resltado gráficamente. b) Si l(-3, 0) es el trasladado de por el ector, cáles son las coordenadas de? a) = + = (3, -4) + (-3, 5) = (3 + (-3), ) = (0, ) X b) l = + " (-3, 0) = (3 +, -4 + ) " = -6 y = 4 4 Si trasladamos el pnto por el ector para obtener el pnto, calcla los alores x e y. Representa los pntos trasladados. a) (0, -5) (x, y) " (5, 0) b) (-3, x) (4, 3) " (y, ) 6 DÍ DÍ EN EL UL MTEMÁTICS 4. ESO Material fotocopiable Santillana Edcación, S. L.

4 8 REPSO POO OJETIVO 3 EXPRESR LS RECTS MEDINTE SUS DIFERENTES ECUCIONES Nombre: Crso: Fecha: Si (a, b) es n pnto de la recta, = (, ) es n ector de la recta, y t es n número real, calqier pnto P (x, y) de la recta se pede obtener con la ecación ectorial: El ector = (, ) se llama ector director de la recta. (x, y) = (a, b) + t? (, ) x = a+ t? Las ecaciones paramétricas de la recta son: 4 y = b+ t? Dados los pntos (-, 5) y (-, ) de na recta: a) Calcla la ecación ectorial y las ecaciones paramétricas. b) Estdia si el pnto C(-, 9) pertenece a la recta. Como la recta pasa por los pntos y, podemos tomar como ector director de la recta = = (- - (-), - 5) = (, -4). a) Las ecaciones pedidas son: Ecación ectorial: (x, y) = (-, 5) + t? (, -4) Ecaciones paramétricas: x =- + t y = 5-4t 4 - =- + t b) En las ecaciones paramétricas sstitimos las coordenadas del pnto C por x e y : 4. 9 = 5-4t t =- + = Despejamos t en las dos ecaciones: * 9-5. Como en ambos casos se obtiene t = = -4 el mismo alor, se determina qe C(-, 9) pertenece a la recta. CTIVIDDES Dada la sigiente ecación ectorial de na recta: ( x, y ) = (4, 8) + t? (-3, 5), indica n pnto de esa recta y s ector director. Escribe la ecación ectorial y las ecaciones paramétricas de la recta qe pasa por los pntos (-5, ) y (0, ). 3 Estdia si los pntos (7, 4), (, ) y C(0, 0) pertenecen o no a la recta: x = 3+ t 4 y = t DÍ DÍ EN EL UL MTEMÁTICS 4. ESO Material fotocopiable Santillana Edcación, S. L. 7

5 REPSO POO OJETIVO 3 8 EXPRESR LS RECTS MEDINTE SUS DIFERENTES ECUCIONES Nombre: Crso: Fecha: Si (a, b) es n pnto concreto de la recta, = (, ) es s ector director y P( x, y) es n pnto genérico, tenemos las sigientes ecaciones de la recta. Ecación contina: x- a y- b = Ecación pnto-pendiente: y - b = m (x - a) Ecación explícita: y = mx + n m = es la pendiente de la recta y n = b- a es la ordenada en el origen. Dada la recta expresada en forma ectorial: (x, y) = (, ) + t? (4, 3) a) Halla ss ecaciones en forma contina, pnto-pendiente y explícita. b) Indica s pendiente y s ordenada en el origen. a) Un pnto de la recta es (, ), s ector director es = (4, 3), y la ecación contina es: x - y - =. 4 3 Mltiplicando en crz, se tiene qe 4( y - ) = 3( x - ), obteniendo la ecación pnto-pendiente de la recta: y - = 4 3 ( x - ) Por último, despejando y, y operando obtenemos la ecación explícita de la recta: y - = x - " y = x b) La pendiente es m = y la ordenada en el origen es n = Dada la recta de la gráfica, se pide: a) Las coordenadas de dos de ss pntos. b) El ector director. c) S ecación contina. X 5 Expresa la ecación qe pasa por el pnto (, -) y qe tiene por ector director = (-, ) mediante ss ecaciones: a) Pnto-pendiente. b) Explícita. 8 DÍ DÍ EN EL UL MTEMÁTICS 4. ESO Material fotocopiable Santillana Edcación, S. L.

6 8 REPSO POO OJETIVO 3 EXPRESR LS RECTS MEDINTE SUS DIFERENTES ECUCIONES Nombre: Crso: Fecha: La ecación general o implícita de la recta es de la forma: donde, y C son números reales. El ector director de la recta es = (, -). x + y + C = 0 La pendiente de la recta es m = -. C La ordenada en el origen o pnto de corte con el eje es n = -. Resele los apartados. a) Da la ecación general de la recta qe pasa por los pntos P(, -) y Q(0, 3). b) Indica cáles son la pendiente y la ordenada en el origen. a) Calclamos el ector director: PQ = (0 -, 3 - (-)) = (-, 5) = (, -) Por lo tanto -5 x - y + C = 0 Para hallar el alor de C sstitimos no de los pntos dados; por ejemplo, Q(0, 3), y despejamos C: -5? C = 0 " C = 3 La ecación general o implícita de la recta es: -5x - y + 3 = b) La pendiente es m = =- 5 y la ordenada en el origen es n = = Calcla la ecación general de la recta qe pasa por los pntos (, ) y (-, 3). 7 partir de la ecación x - 3y + = 0 de na recta, halla el ector director, la pendiente y la ordenada en el origen. 8 Cál es la ecación general o implícita de la recta cya ecación explícita es y = 3 x + 4? 9 Dada la ecación - x + y - 8 = 0 de na recta, escribe s ecación pnto-pendiente. DÍ DÍ EN EL UL MTEMÁTICS 4. ESO Material fotocopiable Santillana Edcación, S. L. 9

7 REPSO POO OJETIVO 4 8 ESTUDIR LS POSICIONES RELTIVS DE DOS RECTS Nombre: Crso: Fecha: Posiciones Vectores directores Pendientes Ecación general Paralelas (igal dirección y sin pntos comnes) Proporcionales = Igales m = ml C =! l l Cl Coincidentes (igal dirección y todos los pntos comnes) Proporcionales = Igales m = ml C = = l l Cl Secantes (distinta dirección y n pnto en común) No proporcionales! Distintas m! ml! l l Estdia la posición relatia de los sigientes pares de rectas. a) r: x + y = 3 b) r: y = 5x - s: x - 3y - = 0 s: (x, y) = (, -) + t (-, ) a) El ector director de r es (3, ) y el ector director de s es (-3, -). Los ectores directores - son proporcionales: = 3-3 Para er si las rectas son paralelas o coincidentes tomamos el pnto (-, 0) de r y lo sstitimos en s para er si cmple o no s ecación: - - 3? 0 -! 0, y se dedce qe no pertenece a s. Las rectas r y s son paralelas. b) La pendiente de r es m = 5 y el ector director de s es = (-, ), por lo qe la pendiente de s es ml = =-! 5. Las rectas r y s son secantes. - CTIVIDDES Escribe la ecación de na recta paralela a la recta r: y = -x + 5 qe pase por el pnto (0, 0) de todas las formas indicadas. a) Vectorial b) Pnto-pendiente c) General Escribe la ecación de na recta secante a la recta r: y = -x + 5 qe pase por el pnto (0, 0) de todas las formas indicadas. a) Vectorial b) Pnto-pendiente c) General 0 DÍ DÍ EN EL UL MTEMÁTICS 4. ESO Material fotocopiable Santillana Edcación, S. L.

8 8 REPSO POO ESTUDIR LS POSICIONES RELTIVS DE DOS RECTS OJETIVO 4 Nombre: Crso: Fecha: 3 Estdia la posición relatia de los sigientes pares de rectas. a) r: x + y - = 4 - b) r: y = x - c) r: -3 x - 3y + 3 = 0 s: x + y - = 0 s: y - 3 = -( x + ) s: x + y + = 0 Dada la recta qe pasa por n pnto (a, b), cyo ector director es = (, ), si na de ss dos coordenadas es cero, la recta es paralela a no de los ejes de coordenadas. Si! 0 y = 0, la ecación de la recta es y = b. Es na recta paralela al eje X. Si = 0 y! 0, la ecación de la recta es x = a. Es na recta paralela al eje. Las rectas paralelas a los ejes no se peden expresar mediante na ecación en forma contina, ya qe na de las coordenadas de s ector director es cero. Expresa la recta qe pasa por el pnto (0, 3) y (4, 3) mediante ss ecaciones: a) Vectorial b) General a) S ector director es = (4-0, 3-3) = (4, 0), y pasa por calqiera de los pntos dados, por ejemplo, por. La ecación ectorial es: ( x, y) = (0, 3) + t? (4, 0) b) Pesto qe los dos pntos dados tienen como segnda coordenada 3, la ecación general es: y = 3. 4 Escribe las ecaciones generales y paramétricas de las sigientes rectas. s r t X 5 Expresa, mediante las ecaciones ectorial y explícita, las sigientes rectas. 3 a) Paralela al eje, y qe pasa por el pnto f -, 0 p. b) Paralela al eje X, y qe pasa por el pnto (0, 7). DÍ DÍ EN EL UL MTEMÁTICS 4. ESO Material fotocopiable Santillana Edcación, S. L.