Introducción a la técnica de Bond-Graph

Transcripción

1 Capíítullo T1 Introduccón a la técnca d Bond-Graph 1.1 INTRODUCCIÓN En un sstma físco cualqura, la nrgía pud almacnars, dspars o ntrcambars. Cuando postrormnt s unn dos sstmas, aparcn dstntos flujos d potnca ntr llos. Mdant la técnca d Bond-Graph, l flujo d potnca ntr los sstmas o ncluso ntr sus lmntos s rprsnta mdant una lína llamada Bond, rprsntada n la fgura 1.1. La punta d la flcha dl Bond ndca l sntdo d transmsón d la potnca. Flujo d potnca Fgura 1.1 Por otra part, la potnca nstantána, arabl n l tmpo, s transmtda por un Bond partcular y pud sr xprsada como l producto d dos arabls: l sfurzo (t) y l flujo f(t), sndo ambas tambén arabls n funcón dl tmpo. Potnca = (t) f(t) Como s rá más adlant, l sgnfcado físco d las arabls sfurzo y flujo dpndrá dl domno físco n qu s ncuadr l sstma n studo. Por jmplo, n l caso d la mcánca, (t) s la furza y f(t) s la locdad, cumpléndos qu: Potnca = Esfurzo x Vlocdad

2 En l Bond-Graph a las arabls (t), f(t) s las dnomna arabls dl sstma y sus alors dfnn l Bond. En dfnta, cada Bond lla dos alors asocados: sfurzo y flujo, cuyo producto s la potnca. Esfurzo (t) Flujo f(t) Fgura 1.2 Admás d las ya mnconadas, s utlzan dos arabls más, dnomnadas arabls nrgétcas o dnámcas. Estas dos arabls son: l dsplazamnto q(t) y la ntgral dl sfurzo n l tmpo P(t). P ( t) = t ( t) dt Sgún sto, n mcánca P(t) s la cantdad d momnto, por tanto s cumplrá qu: dp( t) = dt ( t) En cuanto al dsplazamnto, s dfn como la ntgral dl flujo n l tmpo. q( t) = t f ( t) dt O tambén: dq( t) dt = f ( t) Por otra part, la nrgía transmtda por l Bond, E(t) s la ntgral d la potnca n l tmpo, por lo qu: t t E( t) = Potnca dt = ( t) f ( t) dt Como s ha comntado antrormnt, las arabls sfurzo y flujo tnn un sgnfcado dfrnt n funcón dl domno físco al qu prtnzca l sstma n studo. En la fgura 1.3, pud rs l sgnfcado d stas arabls n dfrnts domnos d la Físca. 2

3 Sstma físco EEssf ffuur rzzoo Flujo f Momnto p Dsplazamnto q Mcánca Traslacón Furza f (N) Vlocdad V (m/s) Momnto lnal P (N s) Dsplazamnto X (m) Mcánca Rotacón Par M (N m) Vl. Angular w (rad&s) Momnto angular H (N m s) Ángulo grado O (rad) Hdráulca Prsón p (N/m 2 ) Caudal Q (m 3 /s) Momnto P (n s/m 2 ) Volumn V (m3) Elctrcdad Voltaj (V) Intnsdad I (Amp) Flujo F ( s) Carga Q (c) Sstmas térmcos Tmpratura T (K) Flujo calor q (w) Calor (Q) Acústca Prsón p (N/m 2 ) Vlocdad (m 3 /s) Momnto P (N s/m 2 ) Volumn V (m 3 ) Fgura ELEMENTOS BÁSICOS DE BOND-GRAPH En los sgunts apartados s an a prsntar un conjunto d lmntos báscos qu podrán sr usados para modlzar cada sstma. Estos lmntos aparcn como componnts lmntals dl sstma rprsntando su dalzacón matmátca. Ejmplos claros d stos componnts son: rsstncas, condnsadors, masas rsorts, tubrías, bombas hdráulcas, tc. La técnca d Bond-Graph prmt qu, con la clasfcacón d arabls prsntada n l apartado antror, sólo s ncst una pquña cantdad d lmntos para podr rprsntar modlos d cualqur domno físco. Admás, como s rá postrormnt, la notacón d Bond-Graph prmt sualzar l comportamnto dl sstma más fáclmnt qu l conjunto d las cuacons d stado. Purta rsstnca Rprsntará a aqullos lmntos o stuacons dond haya una pérdda d nrgía. Un jmplo claro s l d la rsstnca léctrca qu al paso d una ntnsdad d corrnt produc una caída d tnsón. 3

4 R = tnsón (oltos) = ntnsdad (ampros) r = rsstnca (ohmos) Fgura 1.4 Est lmnto s rprsntaba n Bond-Graph mdant l sgunt grafo: Fgura 1.5 R En él, l sfurzo (n st caso, tnsón) y l flujo f (ntnsdad) stán rlaconados por la conocda xprsón: = R En la rprsntacón mdant Bond-Graph, s drá qu l sfurzo asocado a un grafo d purta rsstnca s gual al alor R qu dfn la purta por l flujo asocado al msmo grafo. Es dcr, n stas purtas xst una rlacón ntr l sfurzo y l flujo dl grafo, pudndo sr sta rlacón lnal o no lnal. = R = /R En st caso la rsstnca R no pos un alor constant y s tndrá qu: = () = () Fgura 1.6 Al gual qu n l caso d la rsstnca léctrca, toda pérdda d nrgía s rprsnta n Bond-Graph mdant una purta tpo rsstnca. Otro jmplo claro lo consttuy l amortguador hdráulco. Est lmnto opon una rsstnca a su dsplazamnto proporconal a la locdad a la qu s lo qur dsplazar. 4

5 = sfurzo V = locdad d dsplazamnto R = constant dl amortguador Fgura 1.7 S la caractrístca R dl amortguador s consdra constant, l sfurzo ncsaro para dsplazar l amortguador n dado por: = R En dond s la dfrnca d locdad ntr sus xtrmos. Sn mbargo, l amortguador una z qu s ha dsplazado no ul a su poscón ncal, s dcr, qu ha habdo una pérdda d nrgía. Unndo sto al hcho d qu xst una rlacón ntr l sfurzo y la locdad, l amortguador ndrá rprsntado n Bond-Graph mdant una purta rsstnca. Fgura 1.8 R Cumpléndos qu: = R 1 = R En stas xprsons l alor d R pud sr constant o arabl. Otro jmplo claro d pérdda d nrgía s l rozamnto mcánco d un sóldo d masa m qu s dsplaza sobr un plano. S cumplrá qu = R. Edntmnt, s stá consdrando qu la furza d rozamnto dpnd d la locdad d dsplazamnto. En la raldad, las furzas d rozamnto dpndn d la locdad pro d una forma no lnal. Otro lmnto qu s comporta como purta rsstnca s la pérdda d carga qu s produc n una tubría. Hay qu rcordar qu n st caso, las dos arabls qu acompañan l grafo son la prsón y l caudal. 5

6 Masa m = sfurzo rozamnto = locdad Fgura 1.9 R P=P 1 P 2 P= caída d prsón P 1 Q P 2 Q = caudal P Q R P = Q R Fgura 1.10 Purta rsort S rprsnta como purta rsort todo lmnto qu s suscptbl d almacnar nrgía y d dolrla íntgramnt al sstma sn nnguna pérdda. 6

7 = sfurzo k k = rgdz = locdad Dado un rsort dal (sn pérddas) s cumpl qu: Fgura 1.11 E = K x En dond x rprsnta l dsplazamnto nstantáno gnrado por l momnto dl rsort. S la rgdz K s consdra constant, la rlacón ntr l sfurzo y l dsplazamnto s lnal, como s ndca n la fgura = K x 1 x = K x Fgura 1.12 S la rgdz K s arabl, la rlacón ntr l sfurzo y l dsplazamnto s no lnal (fgura 1.13). 7

8 = (x) x = x () x Fgura 1.13 La rprsntacón d un rsort mdant Bond-Graph, s la ndcada n la fgura k Fgura 1.14 Ahora, contraramnt a la purta rsstnca, s rlacona l sfurzo asocado al grafo con l dsplazamnto orgnado. Tnndo n cunta qu l dsplazamnto pud dfnrs como la ntgral d la locdad n l tmpo, n las purtas rsort s cumplrá qu: = K t dt S n lugar d la mcánca s pasa al campo d la hdráulca, pud consdrars como purta rsort l acumulador hdronumátco. Est lmnto stá formado por un rcpnt n dond s ncuntran un gas comprmdo y un olumn d act sparados por una mmbrana d goma. Gas Q P Act Fgura 1.15 El acumulador hdronumátco funcona como un rsort y su rprsntacón n Bond-Graph s déntca al rsort mcánco ants ctado. 8

9 = sfurzo K f f = flujo Fgura 1.16 = K t f dt En st caso, l sfurzo rprsnta l ncrmnto d prsón; y l flujo, l caudal d act, por tanto: p = k t Q dt p Q K Fgura 1.17 Otro fnómno d acumulacón d nrgía s l orgnado por l condnsador n un crcuto léctrco. k = tnsón = ntnsdad k = nrsa d la capacdad dl condnsador Fgura 1.18 S rprsntará por: k Fgura 1.19 Dnomnando q a la carga y rcordando qu s gual a la ntgral d la ntnsdad n l tmpo, tnmos: La cuacón caractrístca dl condnsador srá: q = t dt q = K t dt 9

10 Purta nrca S rprsntan mdant purtas nrca todos aqullos lmntos o fnómnos n los qu xst una rlacón matmátca ntr l flujo y la arabl P, qu s había dfndo como la ntgral dl sfurzo n l tmpo y qu n mcánca s la cantdad d momnto. Como prmr jmplo, pud plantars l caso d un mól, d masa m, qu s dsplaza sn rozamnto a una locdad. m S rprsntará n Bond-Graph mdant: Fgura 1.20 I Fgura 1.21 El alor asocado a I rprsnta la masa dl lmnto, y P, l producto d sta masa por su locdad. S pud dcr qu: P= m ; I = m 1 = P I P = I Lo cual, como s ndcaba antrormnt, dtrmna una rlacón ntr P y l flujo. En gnral, podrá dcrs qu n toda purta nrca s tn l Bond-Graph ndcado n la fgura f I Fgura 1.22 Para sstmas lnals, fgura

11 f f = 1 P I P = I f P Y para no lnals, fgura 1.24: Fgura 1.23 f f = f(p) P = P(f) P Fgura 1.24 Otros jmplos d purtas nrca son l gro d un curpo rígdo y la nductanca léctrca. J: Momnto d nrca polar. w w I:J I:L Fgura

12 Nudos d unón En aqullos puntos dl sstma dond xstn una o aras ntradas d nrgía y una o aras saldas d ésta, s forma un nudo cuya caractrístca fundamntal s qu n él s cumpl l prncpo d consracón d la nrgía. f f 1 2 f 2 f n n m fm Fgura 1.26 Dbdo al prncpo d consracón d nrgía s cumplrá qu: m = 1 f = f 1 n j = 1 j j Es dcr, la suma d los productos f asocados a cada grafo d ntrada s gual a la suma d los productos d salda, lo qu qual a dcr qu no ha habdo pérdda d nrgía n l nudo. Por tanto, n los nudos s cumpl qu: ( f ) ntrada = ( f ) salda Exstn dos tpos d unons qu s dnomnan tpo 0 y tpo 1. Nudo d unón 0 En st tpo d nudo todos los grafos qu ntran y saln dl nudo llan asocado l msmo sfurzo. 12

13 2 1 f 1 0 f 2 3 Fgura 1.27 f 3 Por sr nudo 0 s cumpl qu: 1 = 2 = 3 Y dbdo a la consracón d nrgía, tnmos qu: En conscunca: + 1 f1 = 2 f2 3 f3 f 1 = f 2 + f f 1 = (f 2 + f 3) 1 1 f 1 = f 2 + f 3 Lo qu sgnfca qu n los nudos tpo 0, la suma d los flujos d ntrada s gual a la suma d los flujos d salda. Nudo d unón 1 Al contraro qu n l caso antror, n los nudos d unón 1 s mantn constant l flujo d los grafos qu ntran y saln d la unón. 1 f f 2 3 f 3 Fgura 1.28 f 1 = f 2 = f 3 Por consracón d la nrgía: f 1 = f 2 + f f 1 = f 1 + f = Lo qu sgnfca qu, n los nudos tpo 1 la suma d sfurzos d ntrada s gual a la suma d los sfurzos d salda. Elmntos funt 13

14 Los lmntos funt son aqullos qu proporconan potnca al sstma. Esta potnca pud sr sumnstrada mdant un flujo o un sfurzo conocdos. Así pus, habrá dos tpos d funts, las d sfurzo conocdo y las d flujo conocdo. Funts d sfurzo Son aqullas qu proocan una ntrada d sfurzo al sstma. S rprsntan por: S: f Fgura 1.29 Como jmplos físcos d stas funts d sfurzo pudn mnconars las furzas d xctacón n sstmas mcáncos y los gnradors d tnsón n crcutos léctrcos. m m g S: m g S: Furza d la gradad La pla s una funt d tnsón Fgura 1.30 Funts d flujo Son aqullas qu sumnstran flujo al sstma. S rprsntan por: Sf: f Fgura 1.31 Como jmplos físcos pudn ndcars las funts d ntnsdad n lctrcdad y las bombas hdráulcas qu son funts d caudal ralmnt. 14

15 Bomba hdráulca Sf:Q Funt d ntnsdad Sf: Fgura