Integración de funciones racionales

Transcripción

1 Integrción de funciones rcionles P() Se l integrl d donde P() y Q() son funciones polinómics. Si el grdo P() Q() se Q() divide P() entre Q() medinte el método de l cj y se otiene un cociente () y un resto R(), que se sustituye en l integrl quedndo de l form P() R() R() d () d () d d Q() Q() Q() con grdo de R()<grdo de Q() R() L integrl () d es inmedit pues es polinómic, l integrl d es un integrl del Q() tipo rcionl, que se resuelve descomponiéndol en frcciones simples. Se pueden presentr tres csos diferentes ) Q() solo tiene ríces reles simples (α, β,...). Se demuestr entonces que R()... Q() α β η Donde,,...,, son números reles que se pueden determinr de dos forms; identificndo los coeficientes de R() con los del polinomio del numerdor de l frcción sum del segundo miemro, ó teniendo en cuent que dos polinomios son igules si tomn los mismos vlores pr culquier vlor de. L integrl se c descomponiendo en un sum de integrles del tipo logritmo neperino. R() d... d d... d Q() α β η α β η d... d Ln α Ln β... Ln η α β η Ejemplo. d d ³ ³ d d d Ln Ln Ln K álculo de ls constntes ( ) ( ) ³ ( ) Identificndo numerdor con numerdor ( ) ( ) ( )² ( ) Identificndo por coeficientes º grdo º grdo resolviendo el sistem,, T.independiente Igulndo polinomios resolviendo,, Sustituyendo en l integrl d Ln Ln Ln K ³

2 ) Q() tiene ríces reles múltiples Q() ( α) ( β)... ( η) donde,,..., n, son los ordenes de multiplicidd respecto de ls ríces α, β,...,η. Se demuestr que R() Q() ( α) α α ( β) ( β) ( β) donde,,...,,,..., son números reles que se otienen de l mism form que en el cso nterior. Ls integrles que resultn son de dos tipos, ms inmedits d ( α) d ( α) ( α) d Ln α α n ( α) ² Ejemplo. d ³ ³ ² ( ) Teniendo en cuent l descomposición fctoril del polinomio del denomindor, l frcción se descompone en ² ² ( ) ² sustituyendo en l integrl ² d d Ln Ln ² ( ) ( )² álculo de constntes Ln Ln ² ( ) ( ) ² ( ) ² ² ( ) igulndo numerdores ( ) ( ) ² ( ) ( ) ( ) identificndo polinomios, prece un sistem de tres ecuciones con tres incógnits Resolviendo ; ;. Sustituyendo en l integrl T.ind. ² d Ln Ln ³ c) Q() tiene ríces imginris simples. Q()Q () I() siendo Q () un producto de inomios del tipo (α), pr culquier vlor entero de y I() un polinomio de segundo grdo con ríces imginris. L descomposición de l frcción en frcciones simples se hr de l siguiente form R() M... Q () I() ( α) I() L frcción correspondiente l ríz imginri, d dos tipos de integrles, un del tipo logrítmic, y otr del tipo rcotngente.

3 Ejemplo. d ³ ³ ( ) (² ) M ( ) (² ) ² identificndo numerdores de mos términos (²)(M) () ²M²M (M)²(M)() ² M M Re solviendo ; M ; ind. d d d ³ ² ² d ² Teniendo en cuent ² d d Ln d d d ² ² ² ² d Ln ² ' ² d d d rctg " ² rctg " Sustituyendo en l integrl d Ln Ln ² rctg ³

4 Resolver ls siguientes integrles. ² d. d ( ) ( ). d ITEGRLES RIOLES. ( )( ) d. d. 7. ( )( ) d ( )( ) d. d. d. ( )( ) d 7. d. d

5 Resolver ls siguientes integrles ITEGRLES RIOLES. ² d Se descompone l epresión rcionl en frcciones simples, teniendo en cuent que el denomindor tiene ríces reles de multiplicidd. ²() () ² lculo de ls constntes y ( ) ( ) ( ) ( ) ² ( ) dndo los vlores y se clculn ls constntes y Si ² Si ( ) ² d d d d Ln Ln [ Ln( ) Ln( ) ]. d Se descompone l epresión rcionl en frcciones simples, teniendo en ( ) ( ) cuent que el denomindor tiene ríces reles de multiplicidd distint de. ( ) ( ) ( ) lculo de constntes. Método de identificción de numerdores. Sumndo el segundo miemro de l iguldd nterior ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) Igulndo numerdores y desrrollndo el º término ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ordenndo el segundo miemro de l iguldd por grdos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) identificndo

6 ind Resolviendo el sistem ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( d ) ( ) ( d ) ( ) ( ) ( d d d d Ln Ln Ln Ln Ln Ln. d Puesto que el grdo del numerdor es myor que el del denomindor se descompone l frcción dividiendo los polinomios d d d d [ ] Ln Ln ² d ² álculo de constntes igulndo numerdores () () ; ; ) ( ; ; sustituyendo en l integrl Ln Ln Ln d. d Se descompone l frcción de l siguiente form

7 lculo de constntes igulndo numerdores Por ser ls ríces de multiplicidd uno, ls constntes se pueden clculr dndo l vrile los vlores de ls ríces. Ln Ln Ln d d Ln. d Puesto que el numerdor es de menor grdo que el denomindor, se clculn ls ríces de denomindor pr luego descomponer l frcción. Por tener un ríz de multiplicidd dos, l descomposición se hce de l siguiente form lculo de constntes identificndo por términos ind sustituyendo, l descomposición qued Ln d d

8 Ln. d 7. d. d Puesto que el numerdor es de menor grdo que el denomindor, se clculn ls ríces de denomindor pr luego descomponer l frcción. álculo de constntes identificndo numerdores Por ser ls ríces de multiplicidd uno, ls constntes se pueden clculr dndo l vrile los vlores de ls ríces. Sustituyendo, l descomposición qued l sustituir l epresión de l integrl por l sum de frcciones, quedn inmedits Ln Ln Ln d d Ln. d Por ser de igul grdo numerdor y denomindor, se empiez por simplificr el cociente medinte l división polinómic. ) Por tener el denomindor de l frcción lgeric resultnte ríces de multiplicidd muro que, su descomposición en frcciones simples es de l siguiente form

9 lculo de constntes. igulndo numerdores identificndo por grdo, mos polinomios, se otiene un sistem de tres ecuciones con tres incógnits que permite clculr el vlor de ls constntes Ind Sustituyendo en l integrl d d ) d Ln Ln d Ln Ln Ln Ln. d. d 7. d. d M d d M M d lculo de constntes M M igulndo numerdores y operndo ) ( ) M ( M) ( M M ) ) ( (M ) ( M Indpte M M

10 sustituyendo en l epresión nterior 7 DO IDETIFI indpte sustituyendo en l integrl d d d d rctg Ln Ln rctg Ln

11