LAS MATRICES COMO TRANSFORMACIONES LINEALES DEL PLANO

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1 IES Rel Instituto e Jovellnos LAS MATRICES COMO TRANSFORMACIONES LINEALES DEL LANO. Ls mtries omo trnsformiones lineles el plno A lo lrgo e este tem estuiremos un serie e moifiiones el plno que llmremos trnsformiones lineles, u rterísti omún es l e estr sois ls mtries urs e oren. El gráfio muestr ómo tún utro trnsformiones lineles giro, simetrí il, homotei proeión moifino progresivmente l primer señl. Ls flehs inin elusivmente l seueni e trnsformiones. Semos que l multipliión e un mtriz ur e oren por un mtriz olumn omo resulto otr mtriz olumn. Es eir, l euión mtriil: M X X Los puntos el plno estrán representos por l mtriz olumn X uos elementos son sus oorens rtesins. L mtriz ur M ontenrá ls rterístis propis e l trnsformión linel. L mtriz olumn X representrá tmién un punto el plno: el trnsformo e X meinte l mtriz M. En form e prouto e mtries será: Seprno en os euiones tenrá el speto: or ejemplo: El prouto nterior puee entenerse gráfimente omo un trnsformión el plno que onvierte l punto, en el punto -, omo muestr el gráfio junto. L fleh el iujo es un mner e presentr l trnsformión pero no ee entenerse omo un trslión o vetor L trnsformión proui sore este punto serí sólo un ejemplo e ls que porán efeturse si multipliásemos est mtriz por toos los puntos el plno. Si llmmos, estos puntos, tenrímos: Ls fórmuls que resultn son ls propis e est trnsformión. Si llmmos, l nuevo punto tenrímos que ls fórmuls representn l trnsformión el plno que reliz l mtriz ágin

2 IES Rel Instituto e Jovellnos ágin Rzonno l revés, s ls fórmuls porímos enontrr l mtriz, es eir, ese llegrímos l onlusión e que son ls que le orresponen l mtriz L mtriz se enomin ienti no moifi l posiión e los puntos el plno. Si nos preguntásemos qué punto es el que se trnsform meinte un mtriz en un punto o, tenrímos os lterntivs: resolver un sistem e os euiones on os inógnits o lulr l invers e l mtriz. or ejemplo, volvieno l mtriz vmos enontrr el punto, que se trnsform en el punto -, Si resuelves el sistem se eue fáilmente que que por lo tnto es el punto, el que se trnsform en el punto -,. Otr form e llegr este mismo resulto es trvés e l mtriz invers: Si queremos enontrr l mtriz soi un trnsformión e l que onoemos sus efetos geométrios, strí on estuir omo tú on los puntos,,, que sus trnsformos serán respetivmente l ª ª olumns e l mtriz. Vése: En el epígrfe. está esrrollo un ejemplo e pliión e lo iho.. Elementos oles e un trnsformión linel Se enominn elementos oles e un trnsformión quellos puntos que se trnsformn en sí mismos. Es ovio que ulquier mtriz tiene e seguro omo punto ole l origen, pero puee no ser el únio. En ulquier so los hllrímos resolvieno:

3 IES Rel Instituto e Jovellnos ágin Si l mtriz es un mtriz regulr tiene invers el únio punto ole serí el origen, pero si h un infini e puntos oles, que representos, formn un ret el plno que inlue l origen. L euión e est ret es Ejemplo. Los puntos oles e l mtriz son: { Los elementos oles serán entones los puntos ontenios en l ret e euión -. L trnsform e un ret Vmos emostrr que ests trnsformiones el plno represents por mtries trnsformn puntos lineos en puntos lineos, es eir rets en rets. Se m n un ret se un mtriz ulquier. Tenremos: n m n m n m n m n m Si lo esriimos omo sistem e euiones lo resolvemos: m m n m m n m m n m n m n m n m n n m n m Vemos que los puntos, están situos sore l ret m m n m m, que será l trnsform e l ret iniil mn Ejemplo. Se l mtriz l ret repitieno los álulos nteriores: Luego l ret - - será l trnsform e l ret iniil

4 IES Rel Instituto e Jovellnos. Interpretión gráfi el eterminnte e l mtriz soi un trnsformión linel Semos que un mtriz trnsform puntos lineos en puntos lineos, por lo que o un uro, los trnsformos e sus vérties formrán un prlelogrmo. D l mtriz, elegimos omo uro R, iniil el etermino por los vérties O,, Q, R,, sus respetivos trnsformos serán O,, Q, R, R,, Semos que si u r v r son vetores situos sore os los no prlelos e un prlelogrmo, su áre se puee lulr on el vlor soluto el prouto eslr u r w r sieno w r un vetor ortogonl v r r r on su mismo móulo. Es eir: Are u w El áre el nuevo prlelogrmo será entones: r u, r r r r Are u w v, w,,, El resulto oinie on el vlor soluto el eterminnte e l mtriz, por lo que interpretremos entones que, o que el áre el uro iniil es, el eterminnte e l mtriz soi untifi l trnsformión e ls áres. El posile signo menos que resulte el eterminnte lo soirímos un mio e orientión el plno respeto e l orientión primitiv rri-jo o izquier-ereh pero no ms. Ejemplos L mtriz uo eterminnte vle, trnsformrí ls superfiies triplino su áre. L mtriz uo eterminnte vle, trnsformrí ls superfiies mntenieno su áre. L mtriz uo eterminnte vle -, trnsformrí ls superfiies uplino su áre pero mino su orientión.. Ejemplos e trnsformiones lineles Vemos hor ejemplos senillos e trnsformiones lineles.,. Simetrí il respeto el eje OX L mtriz reliz l trnsformión que gráfimente se entiene omo un simetrí en torno l eje e siss OX. or ejemplo, l punto, se trnsformrí en el punto, - omo se muestr en el iujo. Ovimente los puntos oles e est trnsformión son los situos sore el eje e siss. El eterminnte e est mtriz es -, oherentemente on el heho e que un simetrí no moifi ls proporiones e ls figurs, pero si moifi l orientión primitiv rri-jo ágin

5 IES Rel Instituto e Jovellnos. Simetrí il respeto el eje OY L mtriz reliz l trnsformión que gráfimente se entiene omo un simetrí en torno l eje e orens OY. or ejemplo, l punto, se trnsformrí en el punto -, omo se muestr en el iujo. Ovimente los puntos oles e est trnsformión son los situos sore el eje e orens. El eterminnte e est mtriz es -, oherentemente on el heho e que un simetrí no moifi ls proporiones e ls figurs, pero si moifi l orientión primitiv ereh-izquier. Simetrí entrl respeto el origen L mtriz reliz l trnsformión que gráfimente se entiene omo un simetrí respeto el origen or ejemplo, l punto, se trnsformrí en el punto -, - omo se muestr en el iujo. Ovimente el únio punto ole e est trnsformión es el propio origen. El eterminnte e est mtriz es, oherentemente on el heho e que un simetrí no moifi ls proporiones e ls figurs, el signo es positivo puesto que proue os moifiiones e l orientión primitiv: rri-jo ereh-izquier. Giro en torno el origen retenemos estuir el trnsformo e un punto, espués e girrlo un ángulo α en torno l origen. El estuio se puee her meinte l geometrí nlíti el plno, pero es muho más senillo onito empler los números omplejos en form polr. Asoirímos punto e oorens, on el número omplejo i Semos que l multiplir os números omplejos en form polr, resultn multiplios sus móulos sumos sus rgumentos. Si multiplimos el punto o por el número omplejo α resultrá un número omplejo situo respeto el origen l mism istni que i formno un ángulo sum α on el e i. Es eir, que result el punto que usámos, el trnsformo e un punto, espués e girrlo un ángulo α en torno l origen. Tenremos entones: i osα isenα i osα i osα isenα i senα α osα senα i senα osα Luego el punto que result e girr, es osα senα, senα osα osα senα or lo tnto l mtriz represent este giro. senα osα Ovimente el únio punto ole e est trnsformión es el propio origen. or l propie funmentl e l trigonometrí, el eterminnte e est mtriz es, resulto oherente on el heho e que un simple giro no moifi ls proporiones e ls figurs. ágin

6 IES Rel Instituto e Jovellnos Es interesnte ompror ómo el prouto e os mtries giro on ángulos α β que equivle un giro e ángulo α β reproue ls onois fórmuls trigonométris el oseno seno e l sum e os ángulos: osα senα os β sen β osα os β senα sen β senα os β osα sen β senα osα sen β os β senα os β osα sen β osα os β senα sen β os α β Este resulto oinie on l mtriz giro e ángulo α β: sen α β sen α β os α β. Simetrí il respeto e un ret que ps por el origen Supongmos que queremos estuir l simetrí en torno un ret que ps por el origen. Su euión serí tg α sieno α el ángulo que form l ret on l prte positiv el eje OX Vemos primero el punto trnsformo e, : Semos que el ángulo O ˆ M es α or simetrí, el ángulo O ˆ M tmién es α Luego el ángulo O ˆ es α or lo tnto pr hllr el punto st on girr un ángulo α l punto, O M, os α sen α sen α osα os α sen α Vemos hor el trnsformo e, : Semos que el ángulo O ˆ M es 9 - α or simetrí, el ángulo O ˆ M tmién es 9 - α Luego el ángulo O ˆ es 8 - α or lo tnto pr hllr el punto st on girr un ángulo 8 - α l punto, en sentio ntihorrio que equivle α - 8 en sentio horrio., O M osα 8 senα 8 senα 8 senα 8 sen8 α sen α osα 8 osα 8 os8 α os α L mtriz soi l simetrí en torno un ret que ps por el origen que form un ángulo α os α sen α on l prte positiv el eje OX es entones: sen α os α Ovimente los puntos oles e est trnsformión son los situos sore el eje e simetrí. El eterminnte e est mtriz es -, oherentemente on el heho e que un simetrí no moifi ls proporiones e ls figurs, pero si moifi l orientión primitiv Un ejemplo freuente es el que result e esoger omo eje e simetrí l isetriz el primero terer urntes. Es eir: El ángulo α º luego l mtriz result: sus fórmuls: ágin

7 IES Rel Instituto e Jovellnos. Elongiones estirmientos ontriones h Sieno k un número rel positivo, l mtriz h reliz l trnsformión que gráfimente se entiene omo un elongión el eje OX, mntenieno ls proporiones el eje OY. El gráfio muestr est trnsformión. or ejemplo, l mtriz estirrí l plno horizontlmente l triple mntenieno ls meis vertiles. Sieno k un número rel positivo, l mtriz reliz l trnsformión que v v gráfimente se entiene omo un elongión el eje OY, mntenieno ls proporiones el eje OX h h Sieno h k números reles positivos, l mtriz reliz l trnsformión que v v gráfimente se entiene omo os elongiones istints e los ejes OX OY on rzones respetivs h v. k Sieno k un número rel positivo, l mtriz k k reliz l trnsformión que gráfimente se k entiene omo un homotei e rzón k. El gráfio muestr un ejemplo e homotei. or ejemplo, trnsformr el plno según serí oservr lo que vulgrmente se entiene omo un zoom el % mientrs que serí un ompresión el %. roeión sore el eje OX L mtriz reliz l trnsformión que gráfimente se entiene omo un proeión sore el eje e siss OX. or ejemplo, l punto, se trnsformrí en el punto, omo se muestr en el iujo. Ovimente los puntos oles e est trnsformión son los situos sore el eje e siss. E interesnte oservr que est trnsformión proue un reuión en l imensión el plno, es eir, que un figur pln iimensionl se trnsformrí en un segmento sore el eje OX. Esto es oherente on el heho e que el eterminnte e l mtriz se nulo. ágin

8 IES Rel Instituto e Jovellnos ágin 8.8 roeión sore el eje OY L mtriz reliz l trnsformión que gráfimente se entiene omo un proeión sore el eje e orens OY. or ejemplo, l punto, se trnsformrí en el punto, omo se muestr en el iujo. Ovimente los puntos oles e est trnsformión son los situos sore el eje e orens. E interesnte oservr que est trnsformión proue un reuión en l imensión el plno, es eir, que un figur pln iimensionl se trnsformrí en un segmento sore el eje OY. Esto es oherente on el heho e que el eterminnte e l mtriz se nulo.. Composiión e trnsformiones Si queremos estuir l trnsformión que result espués e plir, un trs e otr, os trnsformiones s, strí on multiplir sus mtries, tenieno l preuión e poner l mtriz A soi l ª trnsformión junto l punto, lo que signifirá ponerl en el prouto l ereh, olono l izquier l mtriz A soi l ª trnsformión. Es eir, el prouto A A Ejemplo: Si queremos estuir l trnsformión que result e efetur sore el punto, el movimiento A l punto resultnte trnsformrle meinte 8 A l operión serí l siguiente: El resulto oinie on el prouto e mtries: 9 8 Si omponemos un trnsformión on l que reliz su movimiento ontrrio, el plno no se verí moifio. Esto está reliono on el heho e que el prouto e un mtriz on su invers result l mtriz ienti. Un ejemplo e esto pree en el epígrfe. or los álulos efetuos entones semos que el movimiento que reliz en el plno l mtriz es el ontrrio el que reliz l mtriz por lo que si ompusiésemos ms mtries el oren no importrí quí los puntos el plno no se verín moifios. Es rzonle entones que su prouto resulte l mtriz ienti

9 IES Rel Instituto e Jovellnos L omposiión e trnsformiones lineles se utiliz pr estuir movimientos omplios esomponiénolos prouto e otros más senillos. or ejemplo, l simetrí il respeto e un ret que ps por el origen que hemos estuio en. se porí her heho sí: Empezrímos on un giro - α pr que l ret se sitúe sore el eje OX, ontinuno on un simetrí il respeto el eje OX, terminno on un giro α pr que l ret se sitúe en su posiión originl. Es importnte reorr que el oren e los ftores es justo el ontrrio el relto. Tenrímos entones: osα senα senα osα os α sen α os α sen α senα osα os α senα osα sen α os α sen α Llegánose l mismo resulto el.. sen α osα os α senα sen α os α senα osα osα senα Otro estuio similr, pr un trnsformión que un no hemos estuio es: senα osα. roeión sore un ret que ps por el origen Supongmos que queremos estuir l proeión sore un ret que ps por el origen. Su euión serí tg α sieno α el ángulo que form l ret on l prte positiv el eje OX Bstrí on efetur primero un giro - α pr que l ret se sitúe sore el eje OX, relizr entones un proeión sore el eje OX, terminno on un giro α pr que l ret se sitúe en su posiión originl. Es importnte reorr que el oren e los ftores es justo el ontrrio el relto. O Tenrímos entones: osα senα os α senα osα sen α sen α os α osα senα osα senα senα os α osα senα osα senα osα sen α Resulto l que llegrímos on más esfuerzo utilizno l geometrí nlíti. ágin 9