LAS MATRICES COMO TRANSFORMACIONES LINEALES DEL PLANO

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "LAS MATRICES COMO TRANSFORMACIONES LINEALES DEL PLANO"

Transcripción

1 IES Rel Instituto e Jovellnos LAS MATRICES COMO TRANSFORMACIONES LINEALES DEL LANO. Ls mtries omo trnsformiones lineles el plno A lo lrgo e este tem estuiremos un serie e moifiiones el plno que llmremos trnsformiones lineles, u rterísti omún es l e estr sois ls mtries urs e oren. El gráfio muestr ómo tún utro trnsformiones lineles giro, simetrí il, homotei proeión moifino progresivmente l primer señl. Ls flehs inin elusivmente l seueni e trnsformiones. Semos que l multipliión e un mtriz ur e oren por un mtriz olumn omo resulto otr mtriz olumn. Es eir, l euión mtriil: M X X Los puntos el plno estrán representos por l mtriz olumn X uos elementos son sus oorens rtesins. L mtriz ur M ontenrá ls rterístis propis e l trnsformión linel. L mtriz olumn X representrá tmién un punto el plno: el trnsformo e X meinte l mtriz M. En form e prouto e mtries será: Seprno en os euiones tenrá el speto: or ejemplo: El prouto nterior puee entenerse gráfimente omo un trnsformión el plno que onvierte l punto, en el punto -, omo muestr el gráfio junto. L fleh el iujo es un mner e presentr l trnsformión pero no ee entenerse omo un trslión o vetor L trnsformión proui sore este punto serí sólo un ejemplo e ls que porán efeturse si multipliásemos est mtriz por toos los puntos el plno. Si llmmos, estos puntos, tenrímos: Ls fórmuls que resultn son ls propis e est trnsformión. Si llmmos, l nuevo punto tenrímos que ls fórmuls representn l trnsformión el plno que reliz l mtriz ágin

2 IES Rel Instituto e Jovellnos ágin Rzonno l revés, s ls fórmuls porímos enontrr l mtriz, es eir, ese llegrímos l onlusión e que son ls que le orresponen l mtriz L mtriz se enomin ienti no moifi l posiión e los puntos el plno. Si nos preguntásemos qué punto es el que se trnsform meinte un mtriz en un punto o, tenrímos os lterntivs: resolver un sistem e os euiones on os inógnits o lulr l invers e l mtriz. or ejemplo, volvieno l mtriz vmos enontrr el punto, que se trnsform en el punto -, Si resuelves el sistem se eue fáilmente que que por lo tnto es el punto, el que se trnsform en el punto -,. Otr form e llegr este mismo resulto es trvés e l mtriz invers: Si queremos enontrr l mtriz soi un trnsformión e l que onoemos sus efetos geométrios, strí on estuir omo tú on los puntos,,, que sus trnsformos serán respetivmente l ª ª olumns e l mtriz. Vése: En el epígrfe. está esrrollo un ejemplo e pliión e lo iho.. Elementos oles e un trnsformión linel Se enominn elementos oles e un trnsformión quellos puntos que se trnsformn en sí mismos. Es ovio que ulquier mtriz tiene e seguro omo punto ole l origen, pero puee no ser el únio. En ulquier so los hllrímos resolvieno:

3 IES Rel Instituto e Jovellnos ágin Si l mtriz es un mtriz regulr tiene invers el únio punto ole serí el origen, pero si h un infini e puntos oles, que representos, formn un ret el plno que inlue l origen. L euión e est ret es Ejemplo. Los puntos oles e l mtriz son: { Los elementos oles serán entones los puntos ontenios en l ret e euión -. L trnsform e un ret Vmos emostrr que ests trnsformiones el plno represents por mtries trnsformn puntos lineos en puntos lineos, es eir rets en rets. Se m n un ret se un mtriz ulquier. Tenremos: n m n m n m n m n m Si lo esriimos omo sistem e euiones lo resolvemos: m m n m m n m m n m n m n m n m n n m n m Vemos que los puntos, están situos sore l ret m m n m m, que será l trnsform e l ret iniil mn Ejemplo. Se l mtriz l ret repitieno los álulos nteriores: Luego l ret - - será l trnsform e l ret iniil

4 IES Rel Instituto e Jovellnos. Interpretión gráfi el eterminnte e l mtriz soi un trnsformión linel Semos que un mtriz trnsform puntos lineos en puntos lineos, por lo que o un uro, los trnsformos e sus vérties formrán un prlelogrmo. D l mtriz, elegimos omo uro R, iniil el etermino por los vérties O,, Q, R,, sus respetivos trnsformos serán O,, Q, R, R,, Semos que si u r v r son vetores situos sore os los no prlelos e un prlelogrmo, su áre se puee lulr on el vlor soluto el prouto eslr u r w r sieno w r un vetor ortogonl v r r r on su mismo móulo. Es eir: Are u w El áre el nuevo prlelogrmo será entones: r u, r r r r Are u w v, w,,, El resulto oinie on el vlor soluto el eterminnte e l mtriz, por lo que interpretremos entones que, o que el áre el uro iniil es, el eterminnte e l mtriz soi untifi l trnsformión e ls áres. El posile signo menos que resulte el eterminnte lo soirímos un mio e orientión el plno respeto e l orientión primitiv rri-jo o izquier-ereh pero no ms. Ejemplos L mtriz uo eterminnte vle, trnsformrí ls superfiies triplino su áre. L mtriz uo eterminnte vle, trnsformrí ls superfiies mntenieno su áre. L mtriz uo eterminnte vle -, trnsformrí ls superfiies uplino su áre pero mino su orientión.. Ejemplos e trnsformiones lineles Vemos hor ejemplos senillos e trnsformiones lineles.,. Simetrí il respeto el eje OX L mtriz reliz l trnsformión que gráfimente se entiene omo un simetrí en torno l eje e siss OX. or ejemplo, l punto, se trnsformrí en el punto, - omo se muestr en el iujo. Ovimente los puntos oles e est trnsformión son los situos sore el eje e siss. El eterminnte e est mtriz es -, oherentemente on el heho e que un simetrí no moifi ls proporiones e ls figurs, pero si moifi l orientión primitiv rri-jo ágin

5 IES Rel Instituto e Jovellnos. Simetrí il respeto el eje OY L mtriz reliz l trnsformión que gráfimente se entiene omo un simetrí en torno l eje e orens OY. or ejemplo, l punto, se trnsformrí en el punto -, omo se muestr en el iujo. Ovimente los puntos oles e est trnsformión son los situos sore el eje e orens. El eterminnte e est mtriz es -, oherentemente on el heho e que un simetrí no moifi ls proporiones e ls figurs, pero si moifi l orientión primitiv ereh-izquier. Simetrí entrl respeto el origen L mtriz reliz l trnsformión que gráfimente se entiene omo un simetrí respeto el origen or ejemplo, l punto, se trnsformrí en el punto -, - omo se muestr en el iujo. Ovimente el únio punto ole e est trnsformión es el propio origen. El eterminnte e est mtriz es, oherentemente on el heho e que un simetrí no moifi ls proporiones e ls figurs, el signo es positivo puesto que proue os moifiiones e l orientión primitiv: rri-jo ereh-izquier. Giro en torno el origen retenemos estuir el trnsformo e un punto, espués e girrlo un ángulo α en torno l origen. El estuio se puee her meinte l geometrí nlíti el plno, pero es muho más senillo onito empler los números omplejos en form polr. Asoirímos punto e oorens, on el número omplejo i Semos que l multiplir os números omplejos en form polr, resultn multiplios sus móulos sumos sus rgumentos. Si multiplimos el punto o por el número omplejo α resultrá un número omplejo situo respeto el origen l mism istni que i formno un ángulo sum α on el e i. Es eir, que result el punto que usámos, el trnsformo e un punto, espués e girrlo un ángulo α en torno l origen. Tenremos entones: i osα isenα i osα i osα isenα i senα α osα senα i senα osα Luego el punto que result e girr, es osα senα, senα osα osα senα or lo tnto l mtriz represent este giro. senα osα Ovimente el únio punto ole e est trnsformión es el propio origen. or l propie funmentl e l trigonometrí, el eterminnte e est mtriz es, resulto oherente on el heho e que un simple giro no moifi ls proporiones e ls figurs. ágin

6 IES Rel Instituto e Jovellnos Es interesnte ompror ómo el prouto e os mtries giro on ángulos α β que equivle un giro e ángulo α β reproue ls onois fórmuls trigonométris el oseno seno e l sum e os ángulos: osα senα os β sen β osα os β senα sen β senα os β osα sen β senα osα sen β os β senα os β osα sen β osα os β senα sen β os α β Este resulto oinie on l mtriz giro e ángulo α β: sen α β sen α β os α β. Simetrí il respeto e un ret que ps por el origen Supongmos que queremos estuir l simetrí en torno un ret que ps por el origen. Su euión serí tg α sieno α el ángulo que form l ret on l prte positiv el eje OX Vemos primero el punto trnsformo e, : Semos que el ángulo O ˆ M es α or simetrí, el ángulo O ˆ M tmién es α Luego el ángulo O ˆ es α or lo tnto pr hllr el punto st on girr un ángulo α l punto, O M, os α sen α sen α osα os α sen α Vemos hor el trnsformo e, : Semos que el ángulo O ˆ M es 9 - α or simetrí, el ángulo O ˆ M tmién es 9 - α Luego el ángulo O ˆ es 8 - α or lo tnto pr hllr el punto st on girr un ángulo 8 - α l punto, en sentio ntihorrio que equivle α - 8 en sentio horrio., O M osα 8 senα 8 senα 8 senα 8 sen8 α sen α osα 8 osα 8 os8 α os α L mtriz soi l simetrí en torno un ret que ps por el origen que form un ángulo α os α sen α on l prte positiv el eje OX es entones: sen α os α Ovimente los puntos oles e est trnsformión son los situos sore el eje e simetrí. El eterminnte e est mtriz es -, oherentemente on el heho e que un simetrí no moifi ls proporiones e ls figurs, pero si moifi l orientión primitiv Un ejemplo freuente es el que result e esoger omo eje e simetrí l isetriz el primero terer urntes. Es eir: El ángulo α º luego l mtriz result: sus fórmuls: ágin

7 IES Rel Instituto e Jovellnos. Elongiones estirmientos ontriones h Sieno k un número rel positivo, l mtriz h reliz l trnsformión que gráfimente se entiene omo un elongión el eje OX, mntenieno ls proporiones el eje OY. El gráfio muestr est trnsformión. or ejemplo, l mtriz estirrí l plno horizontlmente l triple mntenieno ls meis vertiles. Sieno k un número rel positivo, l mtriz reliz l trnsformión que v v gráfimente se entiene omo un elongión el eje OY, mntenieno ls proporiones el eje OX h h Sieno h k números reles positivos, l mtriz reliz l trnsformión que v v gráfimente se entiene omo os elongiones istints e los ejes OX OY on rzones respetivs h v. k Sieno k un número rel positivo, l mtriz k k reliz l trnsformión que gráfimente se k entiene omo un homotei e rzón k. El gráfio muestr un ejemplo e homotei. or ejemplo, trnsformr el plno según serí oservr lo que vulgrmente se entiene omo un zoom el % mientrs que serí un ompresión el %. roeión sore el eje OX L mtriz reliz l trnsformión que gráfimente se entiene omo un proeión sore el eje e siss OX. or ejemplo, l punto, se trnsformrí en el punto, omo se muestr en el iujo. Ovimente los puntos oles e est trnsformión son los situos sore el eje e siss. E interesnte oservr que est trnsformión proue un reuión en l imensión el plno, es eir, que un figur pln iimensionl se trnsformrí en un segmento sore el eje OX. Esto es oherente on el heho e que el eterminnte e l mtriz se nulo. ágin

8 IES Rel Instituto e Jovellnos ágin 8.8 roeión sore el eje OY L mtriz reliz l trnsformión que gráfimente se entiene omo un proeión sore el eje e orens OY. or ejemplo, l punto, se trnsformrí en el punto, omo se muestr en el iujo. Ovimente los puntos oles e est trnsformión son los situos sore el eje e orens. E interesnte oservr que est trnsformión proue un reuión en l imensión el plno, es eir, que un figur pln iimensionl se trnsformrí en un segmento sore el eje OY. Esto es oherente on el heho e que el eterminnte e l mtriz se nulo.. Composiión e trnsformiones Si queremos estuir l trnsformión que result espués e plir, un trs e otr, os trnsformiones s, strí on multiplir sus mtries, tenieno l preuión e poner l mtriz A soi l ª trnsformión junto l punto, lo que signifirá ponerl en el prouto l ereh, olono l izquier l mtriz A soi l ª trnsformión. Es eir, el prouto A A Ejemplo: Si queremos estuir l trnsformión que result e efetur sore el punto, el movimiento A l punto resultnte trnsformrle meinte 8 A l operión serí l siguiente: El resulto oinie on el prouto e mtries: 9 8 Si omponemos un trnsformión on l que reliz su movimiento ontrrio, el plno no se verí moifio. Esto está reliono on el heho e que el prouto e un mtriz on su invers result l mtriz ienti. Un ejemplo e esto pree en el epígrfe. or los álulos efetuos entones semos que el movimiento que reliz en el plno l mtriz es el ontrrio el que reliz l mtriz por lo que si ompusiésemos ms mtries el oren no importrí quí los puntos el plno no se verín moifios. Es rzonle entones que su prouto resulte l mtriz ienti

9 IES Rel Instituto e Jovellnos L omposiión e trnsformiones lineles se utiliz pr estuir movimientos omplios esomponiénolos prouto e otros más senillos. or ejemplo, l simetrí il respeto e un ret que ps por el origen que hemos estuio en. se porí her heho sí: Empezrímos on un giro - α pr que l ret se sitúe sore el eje OX, ontinuno on un simetrí il respeto el eje OX, terminno on un giro α pr que l ret se sitúe en su posiión originl. Es importnte reorr que el oren e los ftores es justo el ontrrio el relto. Tenrímos entones: osα senα senα osα os α sen α os α sen α senα osα os α senα osα sen α os α sen α Llegánose l mismo resulto el.. sen α osα os α senα sen α os α senα osα osα senα Otro estuio similr, pr un trnsformión que un no hemos estuio es: senα osα. roeión sore un ret que ps por el origen Supongmos que queremos estuir l proeión sore un ret que ps por el origen. Su euión serí tg α sieno α el ángulo que form l ret on l prte positiv el eje OX Bstrí on efetur primero un giro - α pr que l ret se sitúe sore el eje OX, relizr entones un proeión sore el eje OX, terminno on un giro α pr que l ret se sitúe en su posiión originl. Es importnte reorr que el oren e los ftores es justo el ontrrio el relto. O Tenrímos entones: osα senα os α senα osα sen α sen α os α osα senα osα senα senα os α osα senα osα senα osα sen α Resulto l que llegrímos on más esfuerzo utilizno l geometrí nlíti. ágin 9

PROBLEMAS DE ÁLGEBRA DE MATRICES

PROBLEMAS DE ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátis Álger e mtries José Mrí Mrtínez Meino PROLEMS DE ÁLGER DE MTRCES Oservión: L myorí e estos ejeriios proeen e ls prues e Seletivi D l mtriz enuentr tos ls mtries P tles que P P Soluión: Se ese

Más detalles

MATRICES: un apunte teórico-práctico

MATRICES: un apunte teórico-práctico MRICES: un punte teório-prátio Definiión Un mtriz e tmño n x m es un rreglo e números reles oloos en n fils (o renglones) y m olumns, e l siguiente form: [ ].. n Los números se llmn elementos o entrs e

Más detalles

MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES.

MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES. DP. - S - 59 7 Mtemátis ISSN: 988-79X 6 MTRICES. MTRIZ INVERS. DETERMINNTES. plino ls propiees e los eterminntes y sin utilizr l regl e Srrus, lulr rzonmente ls ríes e l euión polinómi. Enunir ls propiees

Más detalles

TEMA 9. DETERMINANTES.

TEMA 9. DETERMINANTES. Uni.Determinntes TEM. DETERMINNTES.. Coneptos previos, permutiones. Definiión generl e eterminntes. Determinnte e mtries e oren y oren... Determinnte mtries urs e oren.. Determinnte mtries urs e oren.

Más detalles

SESIÓN 11 SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS I

SESIÓN 11 SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS I Mtemátis I SESIÓN SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS I I. CONTENIDOS:. Conepto y representión geométri.. Métodos de soluión: o Igulión o Sustituión. o Reduión (sum y rest). o Determinnte.

Más detalles

Matrices y determinantes

Matrices y determinantes Mtemátis CCSS II Mtries José Mrí Mrtíne Meino (SM, www.profes.net) Mtries eterminntes CTS. Sen ls mtries, C. Hll l mtri ( C). Soluión: Mtemátis CCSS II Mtries José Mrí Mrtíne Meino (SM, www.profes.net)

Más detalles

Departamento de Matemáticas

Departamento de Matemáticas Deprtmento e Mtemátis PROBLEMAS DE TRIGONOMETRÍA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS. 1º Un señl e rreter ini que l peniente e ese trmo es el 1%, lo que quiere eir que por metros que reorre en horizontl siene 1

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones lineales Discusión con parámetros. Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales según el valor del parámetro a:

Sistemas de Ecuaciones lineales Discusión con parámetros. Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales según el valor del parámetro a: ALGEBRA Sistems de Euiones lineles Disusión on prámetros Disutir el siguiente sistem de euiones lineles según el vlor del prámetro : + ( + ) = + = + = Interpretión: Del enunido se dedue que se trt de un

Más detalles

TEMA 5: FRACCIONES. Las fracciones permiten trabajar de manera simbólica con cantidades no enteras.

TEMA 5: FRACCIONES. Las fracciones permiten trabajar de manera simbólica con cantidades no enteras. Alonso Fernánez Glián TEMA FRACCIONES Ls friones permiten trjr e mner simóli on nties no enters.. CONCEPTO DE FRACCIÓN Un frión es un expresión e l form numeror enominor ( 0) Represent el resulto e iviir

Más detalles

NÚMEROS RACIONALES. y Números Irracionales Q

NÚMEROS RACIONALES. y Números Irracionales Q CORPORACIÓN UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO ASIGNATURA: AREA / COMPONENTE: FORMACIÓN BÁSICA CICLO DE FORMACIÓN: TECNICA TIPO DE

Más detalles

Sus términos son antecedente y consecuente. Proporción. Una proporción es una igualdad entre dos razones.

Sus términos son antecedente y consecuente. Proporción. Una proporción es una igualdad entre dos razones. Rzón y proporión. Rzón. Rzón entre os números y es el oiente. Sus términos son nteeente y onseuente. Proporión. Un proporión es un igul entre os rzones. Se lee es omo es.,, y son los términos e l proporión.

Más detalles

LOS NÚMEROS REALES. Los número 1,2,3 se denominan números naturales. El conjunto de los números naturales se representan con la letra N, así

LOS NÚMEROS REALES. Los número 1,2,3 se denominan números naturales. El conjunto de los números naturales se representan con la letra N, así LOS NÚMEROS REALES Los número,, se enominn números nturles. El onjunto e los números nturles se representn on l letr N, sí N {,,K } Si se sumn os números nturles el resulto es otro nturl, pero si se rest

Más detalles

MATEMÁTICAS II Cónicas en coordenadas polares Curso 06-07

MATEMÁTICAS II Cónicas en coordenadas polares Curso 06-07 MATEMÁTICAS II Cónis en oorens olres Curso 06-07 ) El omet Hlley esribe un orbit elíti e exentrii e 07 l longitu el eje myor e l órbit es, roximmente, 68 unies stronómis (un u, istni mei entre l Tierr

Más detalles

9 Proporcionalidad geométrica

9 Proporcionalidad geométrica 82485 _ 030-0368.qxd 12//07 15:37 Págin 343 Proporionlidd geométri INTRODUIÓN El estudio de l proporionlidd geométri y l semejnz de figurs es lgo omplejo pr los lumnos de este nivel edutivo. omenzmos l

Más detalles

Semejanza. 2. Relación entre perímetros, áreas y volúmenes de figuras semejantes 51

Semejanza. 2. Relación entre perímetros, áreas y volúmenes de figuras semejantes 51 Semejnz 1. Teorem de Tles 50 2. Relión entre perímetros, áres y volúmenes de figurs semejntes 51 3. Teorem de Pitágors, teorem del teto y teorem de l ltur 52 4. Rzones trigonométris de un ángulo gudo y

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES

MATRICES Y DETERMINANTES MATRICES Y DETERMINANTES EJERCICIOS RESUELTOS D l triz A, qué relión een gurr ls onstntes pr que se verifique l igul A A. Cluleos A : A. Coo se h e uplir que A A, teneos que:, por tnto se otiene el siguiente

Más detalles

SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA

SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA - Septiemre de 007 - Noiones de Trigonometrí: L trigonometrí se dedi l estudio de ls reliones que existen entre ls medids de los ángulos y ldos de un triángulo.

Más detalles

SenB. SenC. c SenC = 3.-

SenB. SenC. c SenC = 3.- TRIANGULOS OBLICUANGULOS Se llmn oliuángulos por que los ldos son oliuos on relión uno l otro, no formndo nun ángulos retos. Hy seis elementos fundmentles en un tringulo: los tres ldos y los tres ángulos,

Más detalles

UNIDAD VI LA ELIPSE 6.1. ECUACIÓN EN FORMA COMÚN O CANÓNICA DE LA ELIPSE

UNIDAD VI LA ELIPSE 6.1. ECUACIÓN EN FORMA COMÚN O CANÓNICA DE LA ELIPSE UNIDAD VI LA ELIPSE OBJETIVO PARTIULAR Al onluir l unidd, el lumno onoerá plirá ls propieddes relionds on el lugr geométrio llmdo elipse, determinndo los distintos prámetros, su euión respetiv vievers.

Más detalles

Sinopsis. Caracterización de ángulos en su entorno. Se recomienda recurso interactivo. Adobe Edge Animator. Para dibujos: Adobe Illustrator Corel Draw

Sinopsis. Caracterización de ángulos en su entorno. Se recomienda recurso interactivo. Adobe Edge Animator. Para dibujos: Adobe Illustrator Corel Draw AN_M_G08_U04_L02_03_04 Se reomiend reurso intertivo Sinopsis Un vtr similr Ninj expli el tem ángulos lternos internos y externos, olterles, orrespondientes y opuestos l vértie. Adoe Edge Animtor Pr diujos:

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS. a) Simplificar por el método de Karnaugh la siguiente expresión:

PROBLEMAS RESUELTOS. a) Simplificar por el método de Karnaugh la siguiente expresión: PROLEM REUELTO ) implifir por el métoo e Krnugh l siguiente expresión: ) Diujr un iruito que relie ih funión on puerts lógis (eletivi nluz). Otenemos l expresión nóni y relizmos el mp e Krnugh pr utro

Más detalles

344 MATEMÁTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. OBJETIVO 1 LA RAZÓN DE DOS SEGMENTOS NOMBRE: CURSO: FECHA:

344 MATEMÁTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. OBJETIVO 1 LA RAZÓN DE DOS SEGMENTOS NOMBRE: CURSO: FECHA: LULR OJETIVO 1 L RZÓN DE DOS SEGMENTOS NOMRE: URSO: EH: RET, SEMIRRET Y SEGMENTO Un ret es un líne ontinu formd por infinitos puntos, que no tiene ni prinipio ni finl. Dos puntos definen un ret. Por un

Más detalles

Esto es sólo una muestras de los ejercicios, repasa también los de la libreta y los del libro.

Esto es sólo una muestras de los ejercicios, repasa también los de la libreta y los del libro. MATEMÁTICAS º ESO Esto es sólo un muestrs e los ejeriios, reps tmién los e l liret los el liro. Deprtmento e Mtemátis Coleio Sgro Corzón e Jesús ontever. eliz ests operiones: - 8 - -. Efetú: - - - - -

Más detalles

CALCULO DE CENTROS DE MASA: PLACAS

CALCULO DE CENTROS DE MASA: PLACAS CALCULO DE CENTROS DE MASA: PLACAS Clulr l posiión el entro e mss e l siguiente pl suponieno que su ms está uniformemente istribui por to ell: b b( 1 k 3 ) Soluión: I.T.I. 1,, I.T.T. 1, En primer lugr,

Más detalles

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Geometrí y Trigonometrí Rzones trigonométris en el triángulo retángulo 7. RZONES TRIGONOMÉTRIS EN EL TRIÁNGULO RETÁNGULO 7.1 onepto de trigonometrí Trigonometrí L plr trigonometrí es un volo ltino ompuesto

Más detalles

11La demostración La demostración en matemáticas (geometría)

11La demostración La demostración en matemáticas (geometría) L demostrión en mtemátis (geometrí) ág. 1 Tl vez los lumnos y lumns hyn demostrdo, en lgun osión, lgun fórmul o lgun propiedd mtemáti, o hyn ontempldo su demostrión. omo semos, pr ellos, el proeso no es

Más detalles

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA SEPTIEMBRE (RESUELTOS por Antonio Menguiano)

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA SEPTIEMBRE (RESUELTOS por Antonio Menguiano) ES CSTELR DJOZ Menguino PRUE DE CCESO (LOGSE) UNVERSDD DE ZRGOZ SEPTEMRE (RESUELTOS por ntonio Menguino) MTEMÁTCS Tiempo máimo: hors Se vlorrá el uso del voulrio l notión ientíi Los errores ortográios,

Más detalles

B 1. d 1 d 2 B 2 XI.2 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA HORIZONTAL CON CENTRO EN EL ORIGEN

B 1. d 1 d 2 B 2 XI.2 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA HORIZONTAL CON CENTRO EN EL ORIGEN Págin del Colegio de Mtemátis de l ENP-UNAM Hipérol Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos HIPÉRBOLA UNIDAD XI XI.1 DEFINICIÓN DE HIPÉRBOLA Un hipérol es el lugr geométrio de todos los puntos P del plno,

Más detalles

Solución: Coloreando el tablero con casillas de dos colores al estilo del tablero de coronas (damas) como se muestra en la figura 2.

Solución: Coloreando el tablero con casillas de dos colores al estilo del tablero de coronas (damas) como se muestra en la figura 2. Algunos prolems. L olorión en ls mtemátis L olorión en ls mtemátis no es más que provehr lguns iferenis que estleemos entre los entes empleos en un prolem prtiulr, similr l utili e ls nemotenis en l progrmión,

Más detalles

se llama ecuación polinómica de primer grado con una incógnita. Dos ecuaciones son equivalentes cuando admiten el mismo conjunto solución.

se llama ecuación polinómica de primer grado con una incógnita. Dos ecuaciones son equivalentes cuando admiten el mismo conjunto solución. Euiones e ineuiones de Primer Grdo on un inógnit Se P () un euión polinómi, on P() un polinomio, resolver l mism es enontrr los eros o ríes de P(), es deir, los vlores de que nuln diho polinomio. X se

Más detalles

perspectiva cónica & proyección de sombras

perspectiva cónica & proyección de sombras expresión grái rojs mioletti primer ño este ossier es sólo un poyo el ontenio pso en lses, pensno en reorzr oneptos que pueen ser un tnto omplejos e explir... y más, e entener. l prouni on l que se ps

Más detalles

MATEMÁTICAS 2º DE ESO LOE

MATEMÁTICAS 2º DE ESO LOE MATEMÁTICAS º DE ESO LOE TEMA II: FRACCIONES Los sigifios e u frió. Frioes propis e impropis. Equivlei e frioes. Amplifiió y simplifiió. Frió irreuile. Reuió e frioes omú eomior. Comprió e frioes. Operioes

Más detalles

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS MISIÓN 010-I GEOMETRÍ SEMEJNZ E TRIÁNGULOS 1. EFINIIÓN os triángulos se llmn semejntes uno tienen sus ángulos respetivmente ongruentes y los los homólogos proporionles. Los los homólogos son los opuestos

Más detalles

m 2 9 8 La fórmula cuadrática que se usó para construir el ejemplo anterior es un caso particular

m 2 9 8 La fórmula cuadrática que se usó para construir el ejemplo anterior es un caso particular Funión Cudráti Unidd Conepto Un negoio de deorión, Alfomri Confort, onfeion tpies udrdos que miden entre metros de ldo, on diseños elusivos pedido. Queremos ver que superfiie tiene los tpies. Teniendo

Más detalles

TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Secundaria)

TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Secundaria) TEMS DE MTEMÁTICS (Oposiiones de Seundri) TEM 37 L SEMEJNZ EN EL PLNO. CONSECUENCIS. TEOREM DE THLES. RZONES TRIGONOMÉTRICS. 1. Introduión.. Homoteis: Definiión y propieddes. 3. L semejnz en el plno. 3.1.

Más detalles

UNIVERSIDAD DE CANTABRIA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ENERGÉTICA NÚMEROS COMPLEJOS. Miguel Angel Rodríguez Pozueta

UNIVERSIDAD DE CANTABRIA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ENERGÉTICA NÚMEROS COMPLEJOS. Miguel Angel Rodríguez Pozueta DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA ENERGÉTICA NÚMEROS COMPLEJOS Miguel Angel Rodríguez Pozuet Doctor Ingeniero Industril OBSERVACIONES SOBRE LA NOMENCLATURA En este teto, siguiendo l nomencltur hitul

Más detalles

Integrales dobles y triples

Integrales dobles y triples Integrles dobles y triples 1 Integrles dobles Integrles triples 3 Cmbios de vrible R: retángulo R = [, b [, d f : R R: mpo eslr e dos vribles. Si f es ontinu en R f x : [, d R y f y : [, b R son funiones

Más detalles

Colegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio

Colegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio Colegio Sn Ptriio A-09 - Inorpordo l Enseñnz Ofiil Fundión Edutiv Sn Ptriio MATEMÁTICA º AÑO Trjo prátio Nº 8 Sistems de dos euiones lineles on dos inógnits Un sistem de euiones es un onjunto de dos o

Más detalles

TRIGONOMETRÍA (4º OP. A)

TRIGONOMETRÍA (4º OP. A) SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS TRIGONOMETRÍA (4º OP. A) Dos figurs son semejntes undo tienen l mism form: Dos triángulos son semejntes si tienen: Sus ldos proporionles: r rzón de semejnz ' ' ' Sus ángulos, respetivmente

Más detalles

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Geometrí y Trigonometrí Resoluión de triángulos oliuángulos 9. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS OLIUÁNGULOS Un triángulo es oliuángulo undo no present un ángulo reto, se denomin de dos forms: triángulo utángulo

Más detalles

Tema 1: ÁLGEBRA DE MATRICES

Tema 1: ÁLGEBRA DE MATRICES ÁLGER DE MTRIES Tem : ÁLGER DE MTRIES Índie. Mtries... Definiión de mtriz... lsifiión de ls mtries... Tls, grfos y mtries.. Operiones on mtries... Sum de mtries... Multipliión de un número por un mtriz...

Más detalles

SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA

SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA Ministerio de Eduión Universidd Tenológi Nionl Fultd Regionl Rosrio SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA - Septiemre de 03 - Ministerio de Eduión Universidd Tenológi Nionl Fultd Regionl Rosrio

Más detalles

Cometa. Pág max. 50 C. 6mm. b TSP 4x30

Cometa. Pág max. 50 C. 6mm. b TSP 4x30 Comet Guí e uso Pág. 1 Fije el progrmor l pre, en un lol erro, resguro e los gentes tmosférios y el gu, on un tempertur miente e 0 50 C. No instle el prto l intemperie ni en rquets enterrs. 1 2 OK! 3 mx.

Más detalles

Propuesta sobre la enseñanza de los números racionales Geovany Sanabria Brenes

Propuesta sobre la enseñanza de los números racionales Geovany Sanabria Brenes Geovny Snri B. Propuest sore l enseñnz de los números rionles Geovny Snri Brenes Un mner de ordr los números rionles es trvés del onoimiento previo de rzones. En l tulidd, ls friones en primri no son vists

Más detalles

que verifican A 2 = A.

que verifican A 2 = A. . Hll ls mtries A que verifin A A.. Do el sistem: m ( m ) m ) Disútelo en funión el vlor e m. ) Resuélvelo en el so m represent gráfimente l situión. 3. Consieremos ls mtries B C Hll un mtri A tl que A

Más detalles

INTEGRAL INDEFINIDA. Derivación. Integración

INTEGRAL INDEFINIDA. Derivación. Integración Integrión. Cálulo de áres. INTEGRAL INDEFINIDA FUNCIÓN PRIMITIVA F() es un primitiv de f() si F ()= f(). Esto se epres sí: f() = F'() = F() L integrión es l operión invers l derivión, de modo que: FUNCIONES

Más detalles

Problemas puertas lógicas, karnaugh...

Problemas puertas lógicas, karnaugh... ENUNCIADOS Prolems puerts lógis, krnugh... 1. Psr el iruito formo por puerts lógis o iruito ominionl funión lógi o Boolen 2. Psr puerts lógis ls funiones oolens siguientes : F= AB'C'+D'+A+B'' F = A+B'+C'D''+A'+B''CA+B''

Más detalles

TRANSFORMACIONES LINEALES

TRANSFORMACIONES LINEALES . 7 Cpítulo 5 RANSFORMACIONES LINEALES Mrtínez Hétor Jiro Snri An Mrí Semestre,.7 5.. Introduión Reordemos que un funión : A B es un regl de soiión entre los elementos de A y los elementos de B, tl que

Más detalles

Triángulos congruentes

Triángulos congruentes Leión#4 Triángulos ongruentes y triángulos similres Ojetivos Aplir ls propieddes de triángulos ongruentes Aplir ls propieddes de ongrueni Aplir ls propieddes de triángulos similres Aplir el teorem de Pitágors

Más detalles

Aplicaciones del cálculo integral

Aplicaciones del cálculo integral Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones lineales Discusión con parámetros. Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales según el valor del parámetro a:

Sistemas de Ecuaciones lineales Discusión con parámetros. Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales según el valor del parámetro a: ALGEBRA Sistems de Euiones lineles Disusión on prámetros Disutir el siguiente sistem de euiones lineles según el vlor del prámetro : + ( + ) = + = + = Interpretión: Del enunido se dedue que se trt de un

Más detalles

GRAMATICAS REGULARES - EXPRESIONES REGULARES

GRAMATICAS REGULARES - EXPRESIONES REGULARES CIENCIAS DE LA COMPUTACION I 29 GRAMATICAS REGULARES - EXPRESIONES REGULARES Grmátis Ls grmátis formles definen un lenguje desriiendo ómo se pueden generr ls dens del lenguje. Un grmáti forml es un udrupl

Más detalles

MATEMATICA Parte III para 1 Año

MATEMATICA Parte III para 1 Año Crpet e Trjos Prátios e MATEMATICA Prte III pr 1 Año APELLIDO Y NOMBRE DEL ALUMNO:... PROFESOR:... DIVISIÓN:... Crpet e Trjos Prátios e Mtemáti Prte III 1º ño Págin 1 POLÍGONOS TRIÁNGULOS 3) En el triángulo

Más detalles

Competencia Monopolística EJERCICIOS. Profesor Guillermo Pereyra clases.microeconomia.

Competencia Monopolística EJERCICIOS. Profesor Guillermo Pereyra  clases.microeconomia. Competeni Monopolísti EJERCICIOS Profesor Guillermo Pereyr guillermopereyr@miroeonomi.org www.miroeonomi.org lses.miroeonomi.org 1. Cuál e ls siguientes lterntivs no es rterísti e l ompeteni monopolísti?

Más detalles

Transformaciones y simetría

Transformaciones y simetría LECCIÓN CONDENSADA 7.1 Trnsformiones y simetrí En est leión Conoerás tres tipos e trnsformiones rígis: trslión, rotión, y reflexión Usrás ptty pper pr moelr l reflexión Aprenerás ómo ientifir figurs on

Más detalles

MATEMÁTICAS BÁSICAS ELIPSE. B 2B 1 del eje mayor es el eje menor. Cada extremo del eje mayor V 1 y V 2 se llama vértice. El punto DEFINICIÓN DE ELIPSE

MATEMÁTICAS BÁSICAS ELIPSE. B 2B 1 del eje mayor es el eje menor. Cada extremo del eje mayor V 1 y V 2 se llama vértice. El punto DEFINICIÓN DE ELIPSE Fultd de ontdurí dministrión. UN lipse utor: r. José nuel Beerr spinos TÁTIS BÁSIS LIPS FINIIÓN LIPS Un elipse es el lugr geométrio de todos los puntos P del plno, tles que l sum de sus distnis dos puntos

Más detalles

VECTORES Magnitudes escalares y vectoriales Vectores Figura 1.1 Figura 1-1 vector. Año: 2010

VECTORES Magnitudes escalares y vectoriales Vectores Figura 1.1 Figura 1-1 vector. Año: 2010 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Fultd Regionl Rosrio --- UDB Físi Cátedr VECTORES Mgnitudes eslres vetoriles Ls mgnitudes eslres son quells que quedn determinds dndo un solo número rel, resultdo de su

Más detalles

TEMA 2 INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE ÁREAS

TEMA 2 INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE ÁREAS Frnisnos T.O.R. Cód. 867 TEMA INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE ÁREAS. INTEGRAL DEFINIDA El álulo de l integrl definid, que se denot por: f ( d, onsiste en lulr l integrl de l funión f( en el intervlo [, ].

Más detalles

Figura 1. Teoría y prática de vectores

Figura 1. Teoría y prática de vectores UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Fultd Regionl Rosrio UDB Físi Cátedr FÍSICA I VECTORES Mgnitudes eslres vetoriles Ls mgnitudes eslres son quells que quedn determinds dndo un solo número rel, resultdo

Más detalles

Ejercicios TIPO de estequiometría Factores Conversión 4º ESO diciembre

Ejercicios TIPO de estequiometría Factores Conversión 4º ESO diciembre Ejeriios TIPO e estequiometrí Ftores Conversión 4º ESO iiemre 011 1 1. Cálulos ms ms. Cálulos ms volumen. Cálulos volumen volumen 4. Cálulos on retivos impuros 5. Cálulos on renimiento istinto el 100 %

Más detalles

Cuestionario Respuestas

Cuestionario Respuestas Cuestionrio Respuests Copright 2014, MtemtiTu Derehos reservdos 1) Un ineuión o desiguldd on un vrile (inógnit) es un enunido en que se presentn dos epresiones, l menos un on l vrile entre ells uno de

Más detalles

Los triángulos se clasifican según la magnitud de sus lados y de sus ángulos internos. SEGÚN SUS LADOS EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO

Los triángulos se clasifican según la magnitud de sus lados y de sus ángulos internos. SEGÚN SUS LADOS EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO Unidd uno Geometrí y Trigonometrí 4. TRIÁNGULOS 4.1 Definiión y notión de triángulos El triángulo es un polígono de tres ldos. Los puntos donde se ortn se llmn vérties. Los elementos de un triángulo son:

Más detalles

Conceptos básicos de la Teoría de Grafos

Conceptos básicos de la Teoría de Grafos Mtemáti Disret y Lógi 2 Coneptos ásios e l Teorí e Grfos 1. Definiiones A menuo, uno se utiliz un mp e rreters interes oservr omo ir e un puelo otro por ls rreters inis en el mismo. En onseueni se tienen

Más detalles

X. LA ELIPSE DEFINICIÓN DE ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO. La recta que pasa por el punto medio del segmento el, se llama EJE MENOR de la elipse.

X. LA ELIPSE DEFINICIÓN DE ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO. La recta que pasa por el punto medio del segmento el, se llama EJE MENOR de la elipse. X. LA ELIPSE 10.1. DEFINICIÓN DE ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO Definiión Se llm elipse l lugr geométrio de un punto P que se mueve en el plno, de tl modo que l sum de ls distnis del punto P dos puntos fijos

Más detalles

Triángulos y generalidades

Triángulos y generalidades Geometrí Pln y Trigonometrí (ldor) Septiemre Diiemre 2008 INOE 5/1 pítulo 5. Ejeriios Resueltos (pp. 62 63) (1) Los ldos de un triángulo miden 6 m, 7 m y 9 m. onstruir el triángulo y lulr su perímetro

Más detalles

TEMA 8.- TRIGONOMETRÍA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

TEMA 8.- TRIGONOMETRÍA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS TEMA 8.- TRIGONOMETRÍA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS L trigonometrí es l prte de ls mtemátis que estudi ls reliones métris entre los elementos de un tringulo. A) RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrdos en l figur tienen l mism mgnitud (10 uniddes) El vector (+c) + (d+) - c, es de mgnitud: c ) 0 ) 0 c) 10 d) 0 e) 10 d Este

Más detalles

En donde x representa la incógnita, y a, b y c son constantes.

En donde x representa la incógnita, y a, b y c son constantes. FUNCIÓN CUADRÁTICA. Cundo los elementos de un onjunto los elementos de un onjunto se soin medinte un regl de orrespondeni definid por un euión de segundo grdo en, l llmmos funión de segundo grdo o udráti.

Más detalles

Integrales múltiples. Capítulo Integrales dobles. a) Definición: Integral doble sobre un rectángulo. La aproximación: Sumas de Riemann

Integrales múltiples. Capítulo Integrales dobles. a) Definición: Integral doble sobre un rectángulo. La aproximación: Sumas de Riemann Cpítulo Integrles múltiples Se estlee en este pítulo un teorí e integrión pr funiones eslres e vris vriles. L efiniión que proponemos es un generlizión iret e l Integrl e iemnn pr funiones. Peimos, emás,

Más detalles

Matemática Diseño Industrial Cónicas Ing. Avila Ing. Moll CÓNICAS. Directriz. Generatriz

Matemática Diseño Industrial Cónicas Ing. Avila Ing. Moll CÓNICAS. Directriz. Generatriz Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll CÓNICAS Diretriz Genertriz Un superfiie óni está generd por un ret (genertriz) que se mueve poyándose en un urv fij (diretriz) y que ps por un punto fijo

Más detalles

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS . INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS.. INTEGRAL DEFINIDA Se y = f(x) definid pr todo x [, b]. Consideremos un prtiión P del intervlo [, b] P {x 0 = < x < x 2 < < x n = b} Sen P = máx{x i x i }, s n = n m

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL ESPACIO

GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL ESPACIO CAPITULO Espero que l posteridd me jugue on enevoleni no solo por ls oss que he eplido sino tmién por quells que he omitido inteniondmente pr dejr los demás el pler de desurirls René Desrtes. GEOMETRÍA

Más detalles

Matemática Diseño Industrial Trigonometría Ing. Avila Ing. Moll

Matemática Diseño Industrial Trigonometría Ing. Avila Ing. Moll Mtemáti Diseño Industril Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll TRIGONOMETRÍ Es l rm de l mtemáti que tiene por ojeto el estudio de ls reliones numéris que existen entre los elementos retilíneos y ngulres de

Más detalles

( ) ( ) El principio de inducción

( ) ( ) El principio de inducción El priipio e iuió U ejemplo seillo pr empezr Si hemos oío hlr e progresioes ritmétis (series e úmeros e form que l iferei etre os oseutivos es siempre l mism, omo,,, 0,) prolemete o será fáil lulr l sum

Más detalles

Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Relaciones fundamentales

Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Relaciones fundamentales B C Mtemátis I - º Billerto Rzones trigonométris de un ángulo gudo. Reliones fundmentles En todo triángulo retángulo BC ls rzones trigonométris (seno, oseno y tngente) de uno de sus ángulos gudos, en este

Más detalles

Aplicaciones de la integral indefinida

Aplicaciones de la integral indefinida Aplicciones_de_l_integrl.n Aplicciones de l integrl indefinid Práctic de Cálculo, E.U.A.T,Grupos ºA y ºB, 2005 Est práctic muestr cómo clculr lguns áres y volúmenes utilizndo integrles. En cd cso dremos

Más detalles

MINISTERIO DE EDUCACION CURSO DE POSTGRADO TERCER CICLO DE EDUCACION BASICA ESPECIALIDAD EN MATEMATICA

MINISTERIO DE EDUCACION CURSO DE POSTGRADO TERCER CICLO DE EDUCACION BASICA ESPECIALIDAD EN MATEMATICA MINISTERIO DE EDUCACION CURSO DE POSTGRADO TERCER CICLO DE EDUCACION BASICA ESPECIALIDAD EN MATEMATICA CURSO 4 TRIGONOMETRIA Y TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS EN EL PLANO CARTA DIDÁCTICA Desripión: Con este

Más detalles

1. AA AB = (-1,1) 2. AA AB = (5,9) 3. AA AB = (-5,-9) 4. AA AB = (1,-1) 3. AA A(1,-4) B(3,-5) < AB = (5,-5) D d A(-1,-2) B(3,2)

1. AA AB = (-1,1) 2. AA AB = (5,9) 3. AA AB = (-5,-9) 4. AA AB = (1,-1) 3. AA A(1,-4) B(3,-5) < AB = (5,-5) D d A(-1,-2) B(3,2) Mr l opión que ontiene el vetor fijo definido por los puntos A(3,4) y B(-2,-5). AA AB = (-1,1) AA AB = (5,9) AB = (-5,-9) AB = (1,-1) Mr tods ls opiones que definen el vetor fijo AB = (-2,1). AA A(-5,-3)

Más detalles

UNIDAD I. El Punto y la Recta

UNIDAD I. El Punto y la Recta SSTEMS E REPRESENTÓN 10 UN SESÓN 3 L Ret: efiniión, trzs y posiiones notles ORE L. LERÓN S. SSTEMS E REPRESENTÓN 10 1.5 L RET Es el eleento geoétrio unidiensionl y puede deterinrse trés de un segento de

Más detalles

DETERMINACIÓN DE LOS PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO EN TÉRMINOS DE SUS LADOS HERNAN DARIO ORTIZ ALZATE

DETERMINACIÓN DE LOS PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO EN TÉRMINOS DE SUS LADOS HERNAN DARIO ORTIZ ALZATE DETERMINACIÓN DE LOS PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO EN TÉRMINOS DE SUS LADOS HERNAN DARIO ORTIZ ALZATE ESPECIALISTA EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS U de A INTRODUCCIÓN En el desrrollo de l geometrí

Más detalles

51 EJERCICIOS DE VECTORES

51 EJERCICIOS DE VECTORES 51 EJERCICIOS DE VECTORES 1. ) Representr en el mismo plno los vectores: = (3,1) b = ( 1,5) c = (, 4) = ( 3, 1) i = (1,0) j = (0,1) e = (3,0) f = (0, 5) b) Escribir ls coorens e los vectores fijos e l

Más detalles

MATRICES. siendo. Ejercicio nº 1.- Ejercicio nº 2.- Dadas las matrices: b) Halla una matriz, X, tal que AX = B. Ejercicio nº 3.-

MATRICES. siendo. Ejercicio nº 1.- Ejercicio nº 2.- Dadas las matrices: b) Halla una matriz, X, tal que AX = B. Ejercicio nº 3.- MTRICES Ejeriio nº - Ejeriio nº - Ds ls mtries: ) Hll n mtriz tl qe Ejeriio nº - Reselve el sigiente sistem mtriil: Ejeriio nº - Cll los vlores e pr qe l mtriz: verifiqe l eión l one l O son respetivmente

Más detalles

ALGEBRA. 1. Si A y B son matrices cuadradas de orden n, se cumple la relación (A-B) 2 = A 2-2AB+B 2?

ALGEBRA. 1. Si A y B son matrices cuadradas de orden n, se cumple la relación (A-B) 2 = A 2-2AB+B 2? ejeriiosemenes.om. Si A B son mtries udrds de orden n, se umple l relión (AB) A ABB?. Siendo que d e f. Hllr el vlor de: g h i ( e) i h g d g i d f ) (d e) f i e h ) h e ) h/ / e/ e i h i f i f. Enuni

Más detalles

Definiciones de seno, coseno OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS. Definiciones de seno, coseno y tangente.

Definiciones de seno, coseno OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS. Definiciones de seno, coseno y tangente. 89566 _ 009-06.qxd /6/08 :55 Págin Trigonometrí INTRODUCCIÓN En est unidd se pretende que los lumnos dquiern los onoimientos ásios en trigonometrí, que serán neesrios en ursos posteriores, sore todo pr

Más detalles

Resolución de triángulos rectángulos

Resolución de triángulos rectángulos Resoluión de triángulos retángulos Ejeriio nº 1.- Uno de los tetos de un triángulo retángulo mide 4,8 m y el ángulo opuesto este teto mide 4. Hll l medid del resto de los ldos y de los ángulos del triángulo.

Más detalles

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

ECUACIONES DE PRIMER GRADO IES Jun Grí Vldemor Deprtmento de Mtemátis TEMA : ECUACIONES º ESO Mtemátis B ECUACIONES DE PRIMER GRADO PASOS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO. Eliminr préntesis si los hy). Eliminr denomindores

Más detalles

VECTORES INGENIERO: PERCY ALFREDO AGRAMONTE LIMACHE

VECTORES INGENIERO: PERCY ALFREDO AGRAMONTE LIMACHE FILIL - REQUIP VECTORES INGENIERO: PERCY LFREDO GRMONTE LIMCHE En el tem nteror hímos menondo qe ls mgntdes físs según s ntrle peden ser lsfds omo eslres o etorles MGNITUD ESCLR: Es qell mgntd qe qed en

Más detalles

GUIA DE TRABAJO # 28. Materia: Matemáticas. Tema: Múltiplos y divisores. Fecha: Profesor: Fernando Viso. Nombre del alumno: Sección del alumno:

GUIA DE TRABAJO # 28. Materia: Matemáticas. Tema: Múltiplos y divisores. Fecha: Profesor: Fernando Viso. Nombre del alumno: Sección del alumno: GUIA DE TRABAJO # 28. Mteri: Mtemátis. Tem: Múltiplos y divisores. Feh: Profesor: Fernndo Viso Nombre del lumno: Seión del lumno: CONDICIONES: Trbjo individul. Sin libros, ni udernos, ni nots. Sin elulres.

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES UNEFA C.I.N.U. Mtemátis Mteril dptdo on fines instruionles por Teres Gómez, de: Oho, A., González N., Lorenzo J. Gómez T. (008) Fundmentos de Mtemátis, Unidd 5: Euiones e Ineuiones, CIU 008, UNEFA, Crs.

Más detalles

1.- VECTORES EN EL PLANO. OPERACIONES. Cualquier vector v tiene dos componentes (v 1. v = (4,3) 1 2 1 2 u v. u = v (u, u ) = (v, v )

1.- VECTORES EN EL PLANO. OPERACIONES. Cualquier vector v tiene dos componentes (v 1. v = (4,3) 1 2 1 2 u v. u = v (u, u ) = (v, v ) º Bchillerto Mtemátics I Dpto e Mtemátics- I.E.S. Montes Orientles (Iznlloz-Curso 0/0 TEMA 8.- GEOMETRÍA ANALÍTICA. PROBLEMAS AFINES Y MÉTRICOS.- VECTORES EN EL PLANO. OPERACIONES. Concepto e vector Un

Más detalles

Determinantes. Ejercicio nº 1.-

Determinantes. Ejercicio nº 1.- Deerminnes Ejeriio nº.- Hll el vlor e los siguienes eerminnes. En el pro ), lul, emás, los posiles vlores e pr que el eerminne se ero: Ejeriio nº.- ) Clul el vlor el eerminne: ) Resuelve l euión: Ejeriio

Más detalles

MAGISTER OPOSICIONES AL PROFESORADO Educación Primaria TEMA 22

MAGISTER OPOSICIONES AL PROFESORADO Educación Primaria TEMA 22 MAGISTER OPOSICIONES AL PROFESORADO Euión Primri TEMA LOS NÚMEROS Y EL CÁLCULO NUMÉRICO. NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, FRACCIONARIOS Y DECIMALES. SISTEMAS DE NUMERACIÓN. RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS. OPERACIONES

Más detalles

Determinantes: un apunte teórico-práctico

Determinantes: un apunte teórico-práctico Deterinntes: un punte teório-prátio Definiión d triz udrd se le soi un núero denoindo deterinnte de. El deterinnte de se denot por o por det(). Cálulo de deterinntes Pr un triz de x el deterinnte es sipleente

Más detalles

Ejemplo de cálculo de un portico por el método matricial de la rigidez EJEMPLO DE CÁLCULO POR EL MÉTODO DE LA RIGIDEZ. Fig. 1

Ejemplo de cálculo de un portico por el método matricial de la rigidez EJEMPLO DE CÁLCULO POR EL MÉTODO DE LA RIGIDEZ. Fig. 1 Ejemplo de álulo de un portio por el método mtriil de l rigidez EJEMPLO DE CÁLCULO POR EL MÉTODO DE LA RIGIDEZ Con el fin de resumir en un ejemplo el proeso seguir vmos resolver el pórtio de l figur. Ls

Más detalles

U.T.N. F.R.C.U. Seminario Universitario Matemática. Módulo 6. Trigonometría

U.T.N. F.R.C.U. Seminario Universitario Matemática. Módulo 6. Trigonometría U.T.N. F.R.C.U. Seminrio Universitrio Mtemáti Módulo 6 Trigonometrí L mtemáti ompr los más diversos fenómenos y desubre ls nlogís serets que los unen Joseph Fourier TRIGONOMETRÍA Pr omenzr trbjr on trigonometrí

Más detalles

CONJUNTOS, RELACIONES Y GRUPOS

CONJUNTOS, RELACIONES Y GRUPOS CONJUNTOS, RELACIONES Y GRUPOS. CONJUNTOS. Conjunto Un onjunto está ien definido undo se posee un riterio que permit firmr si un elemento pertenee o no diho onjunto.. Inlusión Un onjunto B está inluido

Más detalles

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO Curso 2011-2012

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO Curso 2011-2012 UNIVERSIDADES ÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID RUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO Curso 20-202 MATERIA: TECNOLOGÍA INDUSTRIAL II MODELO INSTRUCCIONES Y CRITERIOS GENERALES

Más detalles

Resumen creado por Hernán Verdugo Fabiani, profesor de Matemática y Física, abril 2011.

Resumen creado por Hernán Verdugo Fabiani, profesor de Matemática y Física, abril 2011. Reliones métris en un triángulo Resumen redo or Hernán Verdugo Fini, rofesor de Mtemáti y Físi, ril 011. El estudio de un triángulo siemre revestido interés y or ello es ue existen un serie de desriiones,

Más detalles

Todos los ejercicios se escribirán utilizando factores de conversión.

Todos los ejercicios se escribirán utilizando factores de conversión. Ejeriios TIPO e estequiometrí Ftores Conversión 1CI noviemre 011 1 Resumen e ejeriios tipo e estequiometrí Toos los ejeriios se esriirán utilizno ftores e onversión. Oserv que l llve que te re toos los

Más detalles

2. LEYES DE VOLTAJES Y CORRIENTES DE KIRCHHOFF

2. LEYES DE VOLTAJES Y CORRIENTES DE KIRCHHOFF . LEES DE OLTAJES COENTES DE KCHHOFF.. NTODUCCÓN Este pítulo trt e ls leyes e voltjes y orrientes e Kirhhoff llms KL y KCL respetivmente. KL estlee que l sum lgeri e ls ís e voltje en un seueni err e noos

Más detalles