TRIÁNGULOS. APM Página 1

Transcripción

1 TRIÁNGULOS 1. Definición de triángulo. 2. Propiedades de los triángulos. 3. Construcción de triángulos Conociendo los tres lados Conociendo dos lados y el ángulo que forman Conociendo dos ángulos y el lado que los une. 4. Clasificación de los triángulos según la longitud de sus lados. 5. Clasificación de los triángulos según la medida de sus ángulos. 6. Igualdad de triángulos. 7. Las mediatrices y el circuncentro. 8. Las bisectrices y el incentro. 9. Las medianas y el baricentro. 10. Las alturas y el ortocentro. 11. La recta de Euler. Los contenidos que vamos a aprender en este tema se ajustan a los contenidos del Bloque de Geometría de 1º ESO citados en el Decreto 69/2007, de , por el que se ordena el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria en la Comunidad Autónoma de Castilla-La Mancha (DOCM ) Clasificación de triángulos a partir de diferentes criterios. Estudio de algunas propiedades y relaciones los triángulos. Construcciones geométricas sencillas utilizando regla y compás: mediatriz, bisectriz, mediana y altura. Uso de herramientas informáticas para construir, simular e investigar relaciones entre elementos geométricos. APM Página 1

2 1. DEFINICIÓN DE TRIÁNGULO. Un triángulo es un polígono de tres lados y tres ángulos. 2. PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS. a) La suma de las longitudes de dos lados de un triángulo siempre es mayor que la longitud del tercer lado. b) La suma de los ángulos de un triángulo es 180º. Veamos una demostración de esta propiedad. Si nuestros alumnos dibujan un triángulo en una hoja de papel y siguen las instrucciones que a continuación se observan en el dibujo, demostrarán esta propiedad. APM Página 2

3 3. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS Conociendo los tres lados. Conocemos los segmentos m, n y p, que son los lados de nuestro triángulo. 1. Dibujamos el segmento m. 2. Con centro en uno de los extremos del segmento m, trazamos una circunferencia de radio la longitud del segmento n. 3. Con centro en el otro extremo trazamos otra circunferencia de radio la longitud del segmento p. 4. El punto donde se cortan la dos circunferencia es el tercer vértice del triángulo. Los lados n y p irán desde los extremos del segmento m a dicho punto. Puedes observar que hay dos puntos. Por tanto, habrá dos posibles triángulos. APM Página 3

4 3.2. Conociendo dos lados y el ángulo que forman. Conocemos los segmentos m, n y el ángulo Â. 1. Representamos el segmento m y, sobre él, el ángulo Â. 2. Sobre el otro lado del ángulo Â, marcamos la longitud del segmento n. 3. El tercer lado, es el que une el extremo libre del lado n con el extremo libre del lado m Conociendo dos ángulos y el lado que los une. Conocemos el segmento m y los ángulos A y E. 1. Dibujamos el segmento m. 2. Transportamos el ángulo  a un extremo del segmento. 3. Transportamos el ángulo E al otro extremo del segmento. 4. El punto C en el que se cortan los lados de los ángulos A y E será el tercer vértice del triángulo y limitará los dos lados desconocidos. APM Página 4

5 4. IGUALDAD DE TRIÁNGULOS. Dos triángulos son iguales si los lados y los ángulos de uno son iguales, respectivamente, a los del otro. Veamos un ejemplo: De la construcción de triángulos se deducen los siguientes criterios de igualdad de triángulos: a) Dos triángulos son iguales si tiene los tres lados iguales, respectivamente. b) Dos triángulos son iguales si tienen dos lados y el ángulo comprendido iguales, respectivamente. c) Dos triángulos son iguales si tienen un lado y dos ángulos contiguos iguales, respectivamente. APM Página 5

6 5. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN LA MEDIDA DE SUS LADOS. Equiláteros: Los tres lados tienen la misma longitud y, como consecuencia, los tres ángulos también son iguales. Isósceles: Tienen dos lados iguales y uno desigual. Como consecuencia, tienen dos ángulos iguales. Escalenos: Tienen los tres lados distintos y, por tanto, los tres ángulos también son diferentes. APM Página 6

7 6. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOS. Acutángulos: Tienen los tres ángulos agudos (menores de 90º). Rectángulos: Uno de los ángulos es recto (90º). Obtusángulo: Uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90º). APM Página 7

8 7. LAS MEDIATRICES Y EL CIRCUNCENTRO. Recordemos que la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a él que pasa por su punto medio. Por tanto, si cada lado de un triángulo es un segmento, cada lado tendrá su mediatriz y, como consecuencia, un triángulo tendrá tres mediatrices. Si las dibujas, qué observas? Efectivamente se cortan en un punto, llamado circuncentro. Como todos los puntos de la mediatriz de un segmento están a la misma distancia de los dos extremos del mismo, entonces el circuncentro está a la misma distancia de los vértices del triángulo. Por tanto, si dibujas la circunferencia que tiene por centro el circuncentro y pasa por los tres vértices, estarás dibujando la circunferencia circunscrita. Así, podemos decir que: Las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares a los lados que pasan por sus puntos medios. Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que se llama circuncentro y que es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo. APM Página 8

9 Dependiendo del tipo de triángulo, así será la posición del circuncentro. Veamos el siguiente cuadro. TRIÁNGULO ACUTÁNGULO RECTÁNGULO OBTUSÁNGULO Posición del circuncentro 8. LAS BISECTRICES Y EL INCENTRO. Recordemos que la bisectriz de un ángulo es la semirrecta con origen en el vértice del ángulo que lo divide en dos ángulos iguales. Por tanto, si cada triángulo tiene tres ángulos, cada ángulo tendrá su bisectriz y, como consecuencia, un triángulo tendrá tres bisectrices. incentro. Si las dibujas, qué observas? Efectivamente se cortan en un punto, llamado Así, podemos decir que: Las bisectrices de un triángulo son las semirrectas con origen en los vértices que dividen sus ángulos respectivos en dos ángulos iguales. Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto que se llama incentro y que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo, esto significa que los lados son tangentes a esta circunferencia. APM Página 9

10 Veamos un dibujo representativo. 9. LAS MEDIANAS Y EL BARICENTRO. Las medianas de un triángulo son las rectas que pasan por un vértice y el punto medio del lado opuesto. Un triángulo tiene tres medianas. Dibújalas. Qué observas? Efectivamente, las medianas de un triángulo se cortan en un punto que se llama baricentro o centro de gravedad. APM Página 10

11 10. LAS ALTURAS Y EL ORTOCENTRO. La altura sobre un lado de un triángulo es el segmento determinado por el vértice y el pie de la perpendicular trazada por él. Un triángulo tiene tres alturas. Si las dibujas puedes observar que se cortan en un punto. Las rectas que contienen a las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto que se llama ortocentro. Dependiendo del tipo de triángulo, así será la posición del ortocentro. Veamos el siguiente cuadro. TRIÁNGULO ACUTÁNGULO RECTÁNGULO OBTUSÁNGULO Posición del ortocentro APM Página 11

12 11. LA RECTA DE EULER. Si en un triángulo cualquiera dibujamos el ortocentro (O), el baricentro (G) y el circuncentro (C), podemos observar que pertenecen a una recta. Esta recta se denomina recta de Euler. Veamos el dibujo. APM Página 12