Departamento de Matemática Aplicada a la I.T. de Telecomunicación

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1 Departamento de Matemática Aplicada a la I.T. de Telecomunicación ASIGNATURA: ESTADÍSTICA Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS CONVOCATORIA: ENERO 22/23 FECHA: 9 de Enero de 23 Duración del examen: 3 horas Fecha publicación notas: 5 de enero de 23 Fecha revisión examen: 8 de enero de 23 SOLUCIONES. punto Sean A, B y C tres sucesos con probabilidad no nula, tales que A es independiente de B C y de B C. Prueba que A es independiente de C. A es independiente de C si y solo si P A C P A P C. P A C P A C Ω P [A C B B] P [A C B A C B] Puesto que A C B A C B los sucesos A C B y A C B son incompatibles, se tiene que P [A C B A C B] P A C B + P A C B. Por ser A independiente de B C, P A C B P A P C B Por ser A independiente de B C, P A C B P A P C B. Por tanto, P A C P A C B + P A C B P A P C B + P A P C B P A [P C B + P C B] P A P [C B C B] P A P [C B B] P A P C Ω P A P C 2.,5 puntos En una bolsa que contiene monedas hay una con doble cara y las 9 restantes son correctas. Una persona selecciona una de ellas al azar y la lanza tres veces. a Cuál es la probabilidad de obtener cara en los tres lanzamientos? b Sabiendo que en los tres lanzamientos se ha obtenido cara, cuál es la probabilidad de que la moneda elegida al azar sea la que tiene doble cara? Sean los sucesos Mc seleccionar la moneda correcta, F seleccionar la moneda falsa y C i obtener cara en el lanzamiento í-ésimo, con i, 2, 3. Si S es el suceso obtener cara en los tres lanzamiento, S se puede expresar como C C 2 C 3. a P S P C C 2 C 3. Aplicando el Teorema de la Probabilidad Total, con el sistema completo de sucesos {M c, F }, para el resultado de cada experimento P S P Mc P S/Mc + P F P S/F P S 7 8 3, 225

2 b Para obtener P F/S aplicamos el Teorema de Bayes P F/S P S/F P F P S , ,5 puntos La variable aleatoria continua X tiene una función de distribución dada por si x < F x ax 2 si x 5 b si x > 5 a Determina los valores de a y b. b Calcula P X 2 c Calcula P X 3 > 8 d Calcula la función de densidad de X. a Por ser F función de distribución b c lím F x, por tanto b x + Además la función de distribución de X debe ser continua por ser continua la variable aleatoria, esto es F 5 lím F x 25a a /25 x 5 + si x < F x x 2 /25 si x 5 si x > 5 P X 2 P < X 2 F 2 F 3 25 P X 3 > 8 P X > 2 F d Si f es la función de densidad de X, fx F x en los puntos de continuidad de f, por tanto si x < fx 2x/25 si < x < 5 si x > 5 4. punto La función de probabilidad conjunta de la variable aleatoria bidimensional X, Y es X \Y 3 c 3c 2 2c 6c 4 4c 2c

3 a Halla la constante c y las funciones de probabilidad marginales. b Calcula P X < Y y P X > Y. c Calcula la covarianza entre X e Y. a Para hallar la constante c sumamos todas las probabilidades e imponemos que debe valer P X, Y + P X, Y 3 + P X 2, Y + P X 2, Y 3+ +P X 4, Y + P X 4, Y 3 c + 3c + 2c + 6c + 4c + 2c 28c c 28 Para hallar la función de probabilidad marginal de X sumamos las probabilidades conjuntas por filas X i 2 4 PXi 4c c c Para hallar la función de probabilidad marginal de Y sumamos las probabilidades conjuntas por columnas Y j 3 PYj 7c c b P X < Y P X, Y 3 + P X 2, Y 3 3c + 6c 9c 9 28 P X > Y P X 2, Y + P X 4, Y + P X 4, Y 3 2c + 4c + 2c c Cov[X, Y ] E[XY ] E[X]E[Y ] E[X] E[Y ] E[XY ] c + 3 3c + 2 2c c + 4 4c c 2c Así, Cov[X, Y ] E[XY ] E[X]E[Y ] punto Sean X, X 2,..., X variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con media 75 y varianza 225. Utiliza el Teorema Central del Límite para calcular un valor aproximado de la probabilidad de X +... X que la media aritmética de esas variables difiera de la esperanza común a todas ellas en menos de 4 unidades. Para una secuencia X, X 2,..., X de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con E[X i ] 75 y V [X i ] 225 i {, 2,... } el Teorema Central del Límite afirma que Z X X sigue, aproximadamente, una distribución normal de media y varianza, o equivalentemente X X tiene, aproximadamente una distribución normal de media 75 y desviación típica 225. X +... X Si X entonces, P X 75 < 4 P 4 < X 75 < 4 P 4 < X +... X 75 < 4 P 4 < X +... X 75 < 4

4 P 4 < 225 X +... X < 4 P < Z < Φ Φ Φ Φ, por la simetría de distribución normal de media y varianza. Consultando las tablas obtenemos P X 75 < 4 2 Φ2, 67 2, 9962, punto El número de pasajeros que usan diariamente un autobús urbano es una variable aleatoria que sigue aproximadamente una distribución normal. En 2 días elegidos aleatoriamente se observa que la media muestral es x 54, 4 y la cuasidesviación típica es s 7, 24. Estima puntualmente y obtén un intervalo de confianza al 9 % para el número medio de pasajeros del autobús. Nota: Sea X una variable aleatoria con distribución t de Student con grados de libertad. La siguiente tabla muestra los valores de su función de distribución en diferentes abscisas x,7,9,95,363,7959 P X x.5,75,8,89,9,95 Sea X la variable aleatoria número de pasajeros que usan diariamente el autobús X Nµ, σ, con ambos parámetros desconocidos. Sabemos que X µ S / n t n donde X es el estadístico media muestral y S la cuasidesviación típica muestral. Teniendo en cuenta la simetría de la función de densidad de una variable aleatoria con distribución t n y llamando x,95 a su cuantil de orden,95, será P P x,95 X µ S / n x,95, 9 X x,95 S n µ X + x,95 S n,9 Un intervalo de confianza al 9 % para µ será S S X x,95, X + x,95 n n En la muestra, x 54, 4, s 7, 24 y n 2 Observando la tabla adjunta, x,95, , , es el intervalo de confianza pedido y la estimación puntual de µ es x 54, 4

5 7. punto Un partido obtuvo el 25 % de votos en las últimas elecciones. Se toma hoy una muestra de 5 electores y el 22 % votaría de nuevo a ese partido. Contrasta, con un nivel de significación de α,5, si la proporción de votantes de ese partido no se ha modificado. Sea p la proporción de votantes del partido en la población. Debemos contrastar la hipótesis nula H : p, 25 frente a la hipótesis alternativa H : p, 25 Si H es cierta y X el número de votos obtenidos por el partido en la muestra X, 25n, 25, 25n N, El valor del estadístico en la muestra es, 22 5, 25 5, 25, 25 5,549 p-valor 2 P Z <, 549 2F Z, F Z, 549 2, 24, 24 siendo F Z la función de distribución de la variable aleatoria Z N,. Como p-valor >, 5, no hay evidencia para rechazar que la proporción de votantes del partido es del 25 % puntos Sea Xt, con t >, un proceso Gaussiano estacionario de media cero y función de autocorrelación R X τ e τ y sea B una variable aleatoria normal de media cero, varianza σ 2 e independiente del proceso Xt. Sea Y t a Xt + B t, siendo t > y a una constante real distinta de. a Halla la media y la función de autocorrelación de Y t. Es un proceso E.S.A.? b Halla las distribuciones de primer orden del proceso Y t. c Halla la distribución de la variable aleatoria bidimensional X + 2X3, 3X3 +. a E[Y t] ae[xt] + teb R Y t, t + τ E[Y ty t + τ] E[aXt + BtaXt + τ + Bt + τ] E[a 2 XtXt + τ + at + τbxt + atbxt + τ + tt + τb 2 ] a 2 E[XtXt + τ] + at + τe[bxt] + ate[bxt + τ] + tt + τe[b 2 ] a 2 R X τ + at + τe[b]e[xt] + ate[b]e[xt + τ] + tt + τ[varb + E[B] 2 ] a 2 e τ + tt + τσ 2 En las dos últimas igualdades se ha tenido en cuenta que B y Xt son independientes, por consiguiente E[BXt + τ] E[B]E[Xt + τ] y E[BXt] E[B]E[Xt] El proceso no es E.S.A. porque R Y no depende exclusivamente de τ.

6 b Para cada valor de t fijo, la variable aleatoria Y t se puede escribir como Y t a t Xt B y el vector aleatorioxt, B sigue una distribución normal bidimensional puesto que Xt y B son variables aleatorias normales independientes. VAR[Xt] R X E[Xt] 2 COVXt, B, por ser Xt y B independientes. Entonces, Xt N B 2, σ 2 Por tanto para cada valor de t fijo, Y t sigue una distribución normal. Sus parámetros son: E[Y t] a t Var[Y t] a t σ 2 a t a 2 + t 2 σ 2 c Se verifica que X + 2X3 3X X X3 + Sabemos que Xt es un proceso normal estacionario con E[Xt], VAR[Xt] y COVX, X3 R X 2 E[Xt] 2 e 2 De manera que si µ es el vector de medias y M la matriz de covarianzas X e 2 N X3 2 µ, M e 2 Se verifica que X + 2X3 3X3 + N 2 µ, M siendo µ M 2 3 e 2 e e 2 6 3e 2 6 3e 2 9