SUCESIONES Y SERIES Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica. 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25,...

Transcripción

1 SUCESIONES Y SERIES. Ua sucesió es u cojuto de úmeros ordeados bajo cierta regla específica. E muchos problemas cotidiaos se preseta sucesioes, como por ejemplo los días del mes, ya que se trata del cojuto {,,, 4, 5,..., 9, 0}; o bie cuado por algua razó se tiee solamete al cojuto de los úmeros pares {, 4, 6, 8, 0,... } ; o quizás los oes {,, 5, 7, 9,... }, etc. De cualquier forma, existe siempre ua regla bajo la cual se forma el siguiete elemeto de la sucesió a partir del primero. E el caso del cojuto de los pares y tambié de los oes, la regla es sumar al último úmero formado. La primera parte del estudio de las sucesioes cosistirá e descubrir por simple ituició cuál es dicha regla. Ejemplo : Ivestigar la regla de formació de la siguiete sucesió: 7, 0,, 6, 9,, 5,... Solució: Puede verse fácilmete que cada úmero se forma sumado al que le precede, por lo que esa es la regla. Ejemplo : Ivestigar la regla de formació de la siguiete sucesió:, 4, 9, 6, 5, 6, 49,... Solució: E este ejemplo la sucesió está formada por los cuadrados de cada úmero atural.

2 Ejemplo : Ivestigar la regla de formació de la siguiete sucesió: 8, 4,,,,,, Solució: Aquí cada úmero correspode a la mitad del que le atecede. Esa es la regla. Ejemplo 4: Ivestigar la regla de formació de la siguiete sucesió: 4 4 5,,,,, Solució: E este caso cada umerador correspode a la sucesió de los úmeros aturales mietras que los deomiadores so los cuadrados de,, 4, 5, 6, etc.. ELEMENTO GENERAL DE LA SUCESIÓN El siguiete paso e el estudio de las sucesioes es ecotrar ua maera de escribir matemáticamete la regla de formació de ua sucesió determiada, ua vez que por ituició, como se hizo e el tema aterior, se descubrió ésta. A dicha fórmula se le llama elemeto geeral de la sucesió, ya que a partir de él se puede formar uo por uo todos los demás elemetos. El elemeto geeral de la sucesió debe ser ua fució de, e dode solamete puede tomar valores eteros positivos, de tal maera que cuado se le dé el valor de, al sustituir e la fórmula se obtega el primer elemeto; que cuado, al sustituir e la fórmula se obtega el segudo elemeto; que cuado, al sustituir e la fórmula se obtega el tercer elemeto; y así sucesivamete. Para obteer el elemeto geeral cuado la regla de formació de la sucesió es sumar ua catidad fija, basta seguir estos dos pasos: a) Poer como coeficiete de a esa catidad que se suma; b) agregar u segudo térmio idepediete de, llamado desplazamieto, que es la catidad que hace falta sumar al primer térmio de la fórmula para que cuado se obtega el primer elemeto.

3 Ejemplo : Deducir la fórmula del elemeto geeral de la siguiete sucesió: 5, 7, 9,,, 5,... Solució: Se trata de los úmero oes a partir del 5, lo que sigifica que la regla de formació de esta sucesió es sumar. Por lo tato, el primer térmio de la fórmula es. Para ecotrar el segudo térmio de la fórmula buscada, o sea el desplazamieto, basta hacer e, lo que da () y comparar co el primer elemeto de la sucesió dada que es el 5. La coclusió es que hay que sumar al resultado obteido e () para llegar al 5 (primer elemeto), el cual es el desplazamieto. Por lo tato, el elemeto geeral es a + COMPROBACIÓN: para se obtiee que es el a () + 5 primer elemeto a () + 7 segudo elemeto a () + 9 tercer elemeto 4 a 4 (4) + cuarto elemeto 5 a 5 (5) + quito elemeto Ejemplo : Deducir la fórmula del elemeto geeral de la siguiete sucesió: 9,, 5, 8,, 4... Solució: La regla de formació de esta sucesió es sumar. Por lo tato, el primer térmio de la fórmula es. Para ecotrar el segudo térmio de esta fórmula, o sea el desplazamieto, basta hacer e lo que da () y comparar co el primer elemeto de la sucesió dada que es el 9. La coclusió es que hay que sumar 6 al resultado obteido e () para llegar al 9 (primer elemeto). COMPROBACIÓN: Por lo tato, el elemeto geeral es a + 6 para se obtiee que es el a () primer elemeto a () + 6 segudo elemeto

4 a () tercer elemeto 4 a 4 (4) cuarto elemeto 5 a 5 (5) + 6 quito elemeto Ejemplo : Deducir la fórmula del elemeto geeral de la siguiete sucesió: -,, 5, 9,, 7... Solució: La regla de formació de esta sucesió es sumar 4. Por lo tato, el primer térmio de la fórmula es 4. Para ecotrar el segudo térmio de esta fórmula, o sea el desplazamieto, basta hacer e 4, lo que da 4() 4 y comparar co el primer elemeto de la sucesió dada que es el -. La coclusió es que hay que restar - 7 al resultado obteido e 4() para llegar al - (primer elemeto). Por lo tato, el elemeto geeral es a 4 7 COMPROBACIÓN: para se obtiee que es el a 4() primer elemeto a 4() - 7 segudo elemeto a 4() tercer elemeto 4 a 4 4(4) cuarto elemeto 5 a 5 4(5) - 7 quito elemeto Ejemplo 4: Deducir la fórmula del elemeto geeral de la siguiete sucesió: ,,,,, Solució: La regla de formació del umerador de esta sucesió es sumar 0. Por lo tato, el primer térmio de la fórmula es 0. Para ecotrar el desplazamieto, o sea el segudo térmio de la fórmula e el umerador, basta sustituir e 0, lo que resulta 0() 0 y comparar co el umerador del primer elemeto de la sucesió dada que es el 8. La coclusió es que hay que restar al resultado obteido e 0() para llegar al 8 (primer elemeto).

5 Por lo tato, el elemeto geeral del umerador es 0 -. Por su parte, el deomiador está formado por los úmeros aturales a partir del 5, que equivale a sumar. El primer térmio del deomiador es etoces. Para ecotrar el desplazamieto, o sea el segudo térmio de la fórmula e el deomiador, basta sustituir e, lo que resulta y comparar co el deomiador del primer elemeto de la sucesió dada que es el 5. La coclusió es que hay que sumar 4 al resultado obteido. Por lo tato, el elemeto geeral del deomiador es + 4. De maera que el elemeto geeral de la sucesió dada es a COMPROBACIÓN: para se obtiee que es el a 0() a 0( ) a 0( ) a 4 0( 4) a 5 0( 5) primer elemeto segudo elemeto tercer elemeto cuarto elemeto quito elemeto Ejemplo 5: Deducir la fórmula del elemeto geeral de la siguiete sucesió: ,,,,, Solució: La regla de formació del umerador de esta sucesió so los cuadrados de los úmeros aturales a partir del, o sea existe u desplazamieto de +.

6 Por lo tato, la fórmula del umerador es ( + ). Por su parte, el deomiador está formado por los úmeros oes a partir del 5, que equivale a sumar. El primer térmio del deomiador es etoces. Para ecotrar el desplazamieto, o sea el segudo térmio de la fórmula e el deomiador, basta sustituir e, lo que resulta () y comparar co el deomiador del primer elemeto de la sucesió dada que es el 5. La coclusió es que hay que sumar al resultado obteido. Por lo tato, el elemeto geeral del deomiador es + De maera que el elemeto geeral de la sucesió dada es a ( + ) + COMPROBACIÓN: para se obtiee que es el ( + ) a () primer elemeto ( + ) a ( ) segudo elemeto ( + ) a ( ) tercer elemeto ( 4 + ) 4 a 4 4 ( ) + 6 cuarto elemeto ( 5 + ) 5 a 5 5 ( ) + 49 quito elemeto Ejemplo 6: Deducir la fórmula del elemeto geeral de la siguiete sucesió:,, 4, 8, 6,, 64,...

7 Solució: La regla de formació de esta sucesió es multiplicar por. E casos así e los que e vez de sumar ua catidad fija, se multiplica, el primer térmio está formado por dicha catidad elevada a la potecia y el desplazamieto debe localizarse e el mismo expoete. De maera que, segú la regla aterior, el elemeto geeral sería, pero como cuado se obtiee, se ve que hay u desplazamieto de u elemeto hacia adelate; e otras palabras, es ecesario regresar uo. Por lo tato, la fórmula del elemeto geeral es a -. COMPROBACIÓN: para se obtiee que es el a - 0 primer elemeto a - segudo elemeto a - 4 tercer elemeto 4 a cuarto elemeto 5 a quito elemeto

8 . PROBLEMA INVERSO El problema iverso a lo estudiado e el tema aterior cosiste e que dada la fórmula del elemeto geeral de ua serie, a partir de ella se escriba los primeros k elemetos. Ejemplo : Escribir los primeros cico elemetos de la sucesió: Solució: a + para se obtiee que es el a () + 5 primer elemeto a () + 8 segudo elemeto a () + tercer elemeto 4 a 4 (4) + 4 cuarto elemeto 5 a 5 (5) + 7 quito elemeto Por lo tato, los cico primeros elemetos so: 5, 8,, 4, 7,... Ejemplo : Escribir los primeros seis elemetos de la sucesió: Solució: a 7 para se obtiee que es el ( ) a ( ) a 7 5 primer elemeto 7 segudo elemeto a a a ( ) 7 tercer elemeto 9 ( ) 4 7 cuarto elemeto ( ) 5 7 quito elemeto 5 5 5

9 para se obtiee que es el 6 a ( ) sexto elemeto Por lo tato, los seis primeros elemetos so: 5 5,,,,,, Ejemplo : Escribir los primeros tres elemetos de la sucesió: a Solució: para se obtiee que es el a a a 9 primer elemeto segudo elemeto tercer elemeto Por lo tato, los tres primeros elemetos so: 9,,,... Que tambié se puede escribir así: 0,,,...

10 .4 SERIES Las sucesioes vistas como sucesioes ada más, o sirve realmete para ada, o aporta ada e la resolució de problemas; si acaso su úica utilidad es el ejercicio metal que co ellas se puede realizar, como lo fue e los ejercicios ateriores. Cuado los elemetos de ua sucesió se suma se covierte e series y es allí e dode aparece lo verdaderamete utilizable desde el puto de vista matemático. Se podría decir que para o tratar co desprecio a las sucesioes, puede afirmarse que éstas so las madres de las series porque a partir de las sucesioes se forma las series. Ua serie es la suma de los elemetos de ua sucesió. Como e Álgebra u térmio es cada catidad que se está sumado, etoces e ua serie, e vez de elemetos habrá térmios. Es icorrecto e ua sucesió llamarles "térmios" a los elemetos porque éstos o se está sumado, e cambio, e ua serie sí so estrictamete térmios. Las series puede ser fiitas o ifiitas. Cuado se trata de series ifiitas, para idicar que cotiúa así idefiidamete se escribe putos suspesivos.

11 Ejemplos de series fiitas so las siguietes: ) ) ) Ejemplos de series ifiitas so las siguietes: 4) ) ) Como ua serie es la suma de los elemetos de ua sucesió, etoces las reglas vistas ateriormete para las sucesioes so aplicables a las series co la úica diferecia que debe hacerse la suma. Es decir, si e las sucesioes existe la fórmula del elemeto geeral que es el que da la regla de formació, e las series es lo mismo, solamete que se llama térmio geeral. E ua serie, se defie la suma de los primeros térmios como s. Por ejemplo, e la serie defiida por el térmio geeral a 4 + 5, se tiee que la suma de los dos primeros térmios es s 9 + la suma de los cuatro primeros térmios es s la suma de los seis primeros térmios es s y así sucesivamete..4. SUMATORIAS Como ua serie es ua sumatoria de térmios, ésta se puede escribir co el símbolo uiversal de sumatoria e Matemáticas, o sea b a a que sigifica que se debe sumar los térmios que resulte desde que a hasta b, dode a y b so los úmeros defiidos que limita desde qué valor hasta qué otro valor deberá efectuarse la suma. Ejemplo : Efectuar la sumatoria 4 7

12 Solució: Sigifica que debe sumarse los térmios que resulte haciedo hasta 4, esto es: para se obtiee que es el a 7() primer térmio a 7() - segudo térmio a 7() - 0 tercer térmio 4 a 4 7(4) - 7 cuarto térmio 4 de maera que Ejemplo : Efectuar la sumatoria 5 Solució: Sigifica que debe sumarse los térmios que resulte haciedo hasta 5, esto es: para se obtiee que es el a - () - primer térmio a - () - segudo térmio a - () 0 tercer térmio 4 a ()4 4 cuarto térmio 5 a ()5 0 quito térmio de maera que

13 .4. FORMULA GENERAL DE UNA SERIE Las series, que como ya se dijo so la suma de los térmios que resulta de ua sucesió, tiee ua fórmula geeral co la cual se puede obteer la suma de los térmios idicados si ecesidad de efectuar la suma misma. E dicha fórmula, la se iterpreta de dos formas, segú se trate de la expresió escrita al lado izquierdo del sigo "igual" o de la escrita a la derecha, de la siguiete maera: cuado: e el lado izquierdo: e el lado derecho: se obtiee el primer térmio. se obtiee el segudo térmio. se obtiee el tercer térmio. se obtiee el resultado de la suma del primer térmio. se obtiee el resultado de la suma de los dos primeros térmios. se obtiee el resultado de la suma de los tres primeros térmios. y así sucesivamete. Por lo proto el alumo o debe preocuparse por saber de dóde o cómo se obtuvo dicha fórmula, sio de saberla aplicar coforme a los ejemplos que sigue. Ejemplo : Obteer la suma de los primeros 5 térmios de ( - ) Solució: Lo primero que debe defiirse es el último térmio del lado izquierdo, o sea el térmio 5º, haciedo 5 e el térmio geeral ( - ), el cual es: (5) - 9. Es idispesable defiir e el lado izquierdo hasta qué úmero se desea sumar, es decir el último térmio de la suma que se quiere obteer su resultado, ya que de lo cotrario carecería de setido hablar del resultado de algo idefiido. Es el equivalete a decir ada más: "hay que sumar + + 5, etcétera. Siempre surgiría la preguta: Hasta dóde? La suma de los primeros quice térmios de la serie se obtiee aplicado la fórmula, co 5 e el lado derecho. Debe etederse que el objetivo de la fórmula es obteer el resultado de la suma si efectuarla, sobretodo cuado el úmero de térmios a sumarse es grade y resulta fastidioso hacer realmete la suma. De maera que

14 Nótese que e el lado izquierdo del segudo regló o debe poerse el valor de 5, de la siguiete maera: falso! Es falso, o e el setido de que doscietos veiticico o sea igual a doscietos veiticico, lo que es verdadero, sio e el setido de que e ese lado izquierdo o se realizó igua operació; simplemete se está afirmado que la suma de hasta + 9 es igual a 5. Poerlo sigifica que e el lado izquierdo se realizó la operació suma de cada térmio y eso es falso. Tambié obsérvese que debe poerse e cocreto el decimoquito térmio, e este caso el + 9, que se obtuvo de sustituir 5 e el térmio geeral - Ejemplo : Obteer la suma de los primeros 75 térmios de ( + ) Solució: Lo primero que debe defiirse es el último térmio del lado izquierdo, o sea el térmio septuagésimo quito, haciedo 75 e el térmio geeral, el cual es 75. Es idispesable defiir e el lado izquierdo hasta qué úmero se desea sumar, es decir el último térmio de la suma que se quiere obteer su resultado, ya que de lo cotrario carecería de setido hablar del resultado de algo idefiido. Equivaldría a decir ada más: "hay que sumar + +, etcétera. Siempre surgiría la preguta: Hasta dóde?. La suma de los primeros seteta y cico térmios de la serie se obtiee aplicado la fórmula, co 75 e el lado derecho. Debe etederse que el objetivo de la fórmula es obteer el resultado de la suma si efectuarla, sobretodo cuado el úmero de térmios a sumarse es grade y resulta fastidioso hacer realmete la suma. De maera que 75( 75 + ) Nótese que e el lado izquierdo NO debe poerse el valor de 850 de la siguiete maera: 75( 75 + ) falso! Es falso, o e el setido de que dos mil ochocietos cicueta o sea igual a dos mil ochocietos cicueta, lo que es verdadero, sio e el setido de que e ese lado izquierdo o se realizó igua operació; simplemete se está afirmado que la suma de hasta 75 es igual a 850. Poerlo sigifica que e el lado izquierdo se realizó la operació suma de cada térmio y eso es falso.

15 Tambié obsérvese que debe poerse e cocreto el septuagésimo quito térmio, e este caso el 75 que se obtuvo de sustituir 75 e el térmio geeral. Ejemplo : Obteer la suma de los primeros diez y seis térmios de Solució: Lo primero que debe defiirse es el último térmio del lado izquierdo, o sea el térmio 6º haciedo 6 e el térmio geeral, el cual es La suma de los primeros diez y seis térmios de la serie se obtiee aplicado la fórmula, co 6 e el lado derecho. Debe etederse que el objetivo de la fórmula es obteer el resultado de la suma si efectuarla, sobretodo cuado el úmero de térmios a sumarse es grade y resulta fastidioso hacer realmete la suma. De maera que

16 .5 PROGRESIONES U caso particular de series de mucha aplicació práctica es el de las llamadas progresioes, de las cuales se estudiará e este curso solamete las progresioes aritméticas y las progresioes geométricas..5. PROGRESIONES ARITMÉTICAS Ua progresió aritmética (p.a.) es aquella e la que cada térmio, después del primero, se forma sumado ua catidad fija al térmio precedete. A dicha catidad fija se le llama diferecia. Ejemplos de progresioes aritméticas so los siguietes: * (diferecia: + 6 ) * (diferecia: - 0 ).5.. FÓRMULAS E las progresioes aritméticas existe cico variables: el primer térmio, el último térmio, el úmero de térmios, la diferecia y la suma de todos esos térmios. Coocidas tres de ellas se puede calcular las otras dos co la utilizació de las tres fórmulas que se deducirá a cotiuació: Sea: a primer térmio de la p.a. l último térmio de la p.a. úmero de térmios d diferecia de la p. a. s suma de los térmios. Etoces el primer térmio es a el segudo térmio es a + d el tercer térmio es a + d + d a + d el cuarto térmio es a + d + d a + d el quito térmio es a + d + d a + 4d y así sucesivamete. De maera que, cosiderado que se tiee térmios, el último térmio es l a+ ( - ) d ( ) La suma de los térmios viee dada por la fórmula

17 s a + l ( ) ( ) o bie, sustituyedo () e (): s a+ ( - ) d ( ) Co esas fórmulas, coocidas tres de las cico variables, se puede calcular las otras dos. Ejemplo : El primer térmio de ua p.a. es y el último 58. Sabiedo que costa de 7 térmios, hallar la diferecia y la suma de esos 7 térmios. Solució: E esta caso se tiee coocidos a ; l 58 ; 7. Para obteer la diferecia d se utiliza la fórmula ( ): l a+ ( - ) d sustituyedo valores: 58 + (7 - )d d 6 6d 6 9 d 6 4 y para obteer la suma de esos diecisiete térmios, co la fórmula sustituyedo valores: s a + l ( ) 7 s + 58 s 680 ( ) Ejemplo : El primer térmio de ua p.a. es - y el último 45. Sabiedo que la suma de todos sus térmios es de 7, calcular el úmero de térmios de que costa dicha progresió y escribirla completa.

18 Solució: E esta caso se tiee coocidos a - ; l 45 ; s 7. Para obteer el úmero de térmios de que costa se utiliza la fórmula: s a + l ( ) sustituyedo valores: ( 4 ) ( 45) y para escribir completa la progresió aritmética se requiere saber la diferecia. Calculádola co la fórmula sustituyedo valores: l a+ ( - ) d ( - )d d 48 d d 4 así que la p.a. completa referida es: Coviee comprobar co la calculadora que efectivamete la suma de todos estos térmios da el resultado obteido a través de la fórmula, o sea s 7. Ejemplo : solució: Para la p.a , calcular la suma de los primeros 0 térmios y el último térmio dicha progresió y escribirla completa. E esta caso se tiee coocidos a - 9 ; 0 ; d 5 (basta restar u térmio meos el aterior). Para obteer la suma de los primeros 0 térmios se utiliza la fórmula: s a+ ( - ) d sustituyedo: 0 s + [ ( 9) ( 0 ) 5]

19 [ ( ) ] s s 5 ( ) s 5 Para calcular el último térmio se emplea la fórmula sustituyedo: l a+ ( - ) d l (0 - )5 l (9)5 l l 6 de maera que la progresió aritmética completa es Coviee comprobar co la calculadora que efectivamete la suma de todos estos térmios da el resultado obteido a través de la fórmula, o sea s 5. Ejemplo 4: Ua p.a. que costa de 4 térmios, comieza e - 6. Si la suma de sus 4 térmios es cero, calcular el último térmio y escribirla toda completa para explicarse por qué la suma da cero. Solució: E esta caso se tiee coocidos a - 6 ; 4 ; s 0. Para obteer el úmero de térmios de que costa, utiliza la fórmula: s a + l ( ) sustituyedo: ( 6 ) ( 6+ l) 0 6+l l 6 para escribir completa la p.a. se requiere saber la diferecia. Calculádola co la fórmula sustituyedo valores: l a+ ( - ) d

20 6-6 + (4 - )d d 5 d d 4 así que la progresió aritmética completa es: Es fácil ver que la suma da cero, ya que es simétrica, es decir, para cada úmero positivo existe uo egativo que al sumarse se aula. Ejemplo 5: Ua progresió aritmética termia e. Si la suma de sus térmios es s 76 y la diferecia es d, calcular el primer térmio y el úmero de térmios de que costa. Solució: E esta caso se tiee coocidos l ; s 76 ; d. Para obteer el primer térmio, se utiliza la fórmula: sustituyedo: s a + l ( ) 76 ( a + ) 5 ( a + ) (6.) Resulta ua ecuació co dos icógitas. Etoces, de acuerdo a la ley de las ecuacioes que dice que se ecesita tatas ecuacioes como icógitas se tega para que el sistema tega solució, se requiere dos ecuacioes. La seguda se obtiee, igual que la aterior, co otra de las fórmulas de progresioes aritméticas. De maera que empleado ahora la fórmula y sustituyedo: l a+ ( - ) d a + ( - ) a + - a 4 - (6.) Se tiee ya dos ecuacioes co dos icógitas, de maera que sustituyedo el valor de (6.) e la ecuació (6.), se obtiee que 5 (4 - + ) 5 (7 - )

21 Se trata de ua ecuació de segudo grado que se resuelve co la fórmula de segudo grado: b b 4ac ± a ± ( )( ) ( ) ± 7 ± 9 8 Como se obtuviero dos solucioes, sigifica que existe dos progresioes aritméticas que tiee como último térmio l, diferecia d y cuya suma es s 76. Efectivamete, esas dos progresioes aritméticas so: a) Para 9 El primer térmio, sustituyedo e la fórmula a + ( - ) d, es a + (9 - )() a + 8 a - 5 Por lo tato, la primera progresió es: cuya suma se puede obteer fácilmete sumado úicamete del + 6 hasta el +, ya que los demás térmios se aula por pares, ya que existe u - 5 y u + 5 que se aula, u - 4 y u + 4 que se aula, etc. Así que la suma se reduce a s que se puede obteer tambié co la fórmula s a + l ( )

22 s 9 + s 76 ( 5 ) b) Para 8 El primer térmio, sustituyedo e la fórmula a + ( - ) d, es a + (8 - )() a + 7 a 6 Por lo tato, la progresió es: cuya suma es la misma que e la caso aterior, es decir s Ejemplo 6: El cuarto térmio de ua p.a. es y el décimo es 5. Calcular la suma de los primeros térmios. Solució: Para resolver este problema existe dos métodos: método : Se basa e que cualquier parte o subcojuto de ua progresió aritmética es a su vez por sí misma ua progresió aritmética co la misma diferecia d que la total. Por ejemplo, de la p.a , el subcojuto es por sí misma ua progresió aritmética co la misma diferecia d que la origial. De tal maera que si el cuarto térmio de ua p.a. es y el décimo es 5, puede cosiderarse este segmeto como ua p.a. por sí misma, o sea, como si el primer térmio fuera a y el último l 5, co 7 térmios. A partir de ellos puede obteerse su diferecia, que es la misma de la p.a. origial. De maera que utilizado la fórmula sustituyedo valores: a + ( - )d 5 + (7 - )d 5 + 6d 6d d d Ahora cosiderado el subcojuto que va del primero al cuarto térmio, se tiee que

23 4, y d, co lo que puede calcularse su primer térmio co la fórmula sustituyedo valores: a + ( - )d a + ( 4 ) a + a Este primer térmio tambié es el primer térmio de la p.a. origial, de maera que e este mometo ya se tiee los siguietes datos sobre la p.a. origial: a d de maera que para obteer la suma de esos primeros térmios se emplea la fórmula y sustituyedo valores: s a + ( - ) d s ( ) ( ) + s 4 ( ) + s 5 método : Se basa e la defiició de cada térmio, o sea que el primer térmio es el segudo térmio es el tercer térmio es a a + d a + d

24 el cuarto térmio es el quito térmio es a + d a + 4d etc., de tal maera que el cuarto térmio es y el décimo térmio es a + d (6.) a + 9d 5 (6.4) de maera que se tiee dos ecuacioes co dos icógitas a + d (6.) a + 9d 5 (6.4) por suma y resta, cambiádole de sigo a la primera ecuació se obtiee - a + d - a + 9 d 5 6 d d sustituyedo e la ecuació (6.) : a + a + a Así que la suma de los primeros trece térmios, co a, d y, se obtiee co la fórmula y sustituyedo valores: s a + ( - ) d

25 s ( ) ( ) + s 4 ( ) + s 5

26 .5. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Ua progresió Geométrica (p.g.) es aquella e la que cada térmio, después del primero, se forma multiplicado ua catidad fija al térmio precedete. A dicha catidad fija se le llama razó. Ejemplos de progresioes geométricas so los siguietes: * (razó: + ) * (razó: ) FÓRMULAS E las progresioes geométricas, igual que e las aritméticas, existe cico variables: el primer térmio, el último térmio, el úmero de térmios, la razó y la suma de todos esos térmios. Coocidas tres de ellas se puede calcular las otras dos co la utilizació de ua de las tres fórmulas que se deducirá a cotiuació: Sea: a primer térmio de la p.g. último térmio de la p.g. úmero de térmios r razó de la p. g. s suma de los térmios. Etoces, el primer térmio es a el segudo térmio es ar el tercer térmio es (ar)r ar el cuarto térmio es (ar )r ar el quito térmio es (ar )r ar 4 y así sucesivamete. De maera que, cosiderado que se tiee térmios, el último térmio es l ar (5) La suma de los térmios viee dada por la fórmula s a ar r para r (6)

27 o bie s a rl r para r (7) Co esas fórmulas, coocidas tres de las cico variables, se puede calcular las otras dos. Ejemplo : El primer térmio de ua p.g. es 6 y el último 8. Sabiedo que costa de 5 térmios, hallar la razó y la suma de esos 5 térmios. Solució: E esta caso se tiee coocidos a 6 ; l 8 ; 5. Para obteer la razó r se utiliza la fórmula (5): sustituyedo: - l ar 8 6 r 8 6 r 8 6 r 4 (5 - ) 4 r r ± y para obteer la suma de esos cico térmios, co la fórmula s a rl r sustituyedo valores: s s

28 s s COMPROBACIÓN: Los cico térmios de la p.g. so: Primer térmio: 6 segudo térmio: ( 6 ) tercer térmio: ( 4 ) cuarto térmio: ( 6 ) quito térmio: ( 54 ) Así que la p.g. y su suma es: Ejemplo : El último térmio de ua p.g. es 9. y la razó r -. Obteer el primer térmio sabiedo que costa de 7 térmios. Calcular la suma. Solució: E esta caso se tiee coocidos 9 ; r - ; 7. Para obteer el úmero de térmios de que costa se utiliza la fórmula: sustituyedo: - l ar 9 a (- ) 7-9 a (- ) a a a 9 64 La suma se obtiee utilizado la fórmula

29 s a rl r sustituyedo valores: s s ( ) ( ) ( ) s 9 COMPROBACIÓN: El primer térmio es el segudo térmio es ( - ) - 6 el tercer térmio es - 6 ( - ) el cuarto térmio es ( - ) - 4 el quito térmio es - 4 ( - ) 48 el sexto térmio es 48 ( - ) - 96 el séptimo térmio es - 96 ( - ) 9 así que la p.g. completa referida es: Ejemplo : El primer térmio de ua progresió geométrica es 7, el último térmio es y la razó es r 0;. obteer la suma de esos térmios y determiar de cuátos térmios costa. Solució: E esta caso se tiee coocidos a 7 ; ; r 0.. Para obteer la suma utiliza la fórmula: s a rl r sustituyedo: s ( ) s Para calcular el úmero de térmios debe emplearse la fórmula - l ar

30 o bie s a ar r E cualquiera de los dos casos la icógita es que aparece como expoete. Para despejarla después de hacer sustitucioes es ecesario utilizar logaritmos. E caso ecesario, e el apédice se ecuetra u repaso de logaritmos. Utilizado la primera de estas fórmulas: - l ar (0.) Por la ley de las igualdades, aplicado logaritmos e ambos lados se obtiee: log log 0. - Y por las propiedades de los logaritmos, pasado el expoete del argumeto como coeficiete del logaritmo: despejado: log ( - ) log 0. log log Ejemplo 4: La razó e ua progresió geométrica es r 0., el primer térmio es 5 y la suma es s ; determiar de cuátos térmios costa. Solució: E esta caso se tiee coocidos a 5 ; r 0. y s Para obteer el úmero de térmios se utiliza la fórmula:

31 s a ar r sustituyedo valores: (. ) ( - 0.)( ) 5-5 (0.) (0.) (0.) (0.) Por la ley de las igualdades, aplicado logaritmos e ambos lados se obtiee: log log 0. Y por las propiedades de los logaritmos, pasado el expoete del argumeto como coeficiete del logaritmo: despejado: log log 0. 6 log log 0. Cotestado la preguta: Costa de seis térmios la p.g.