Sintaxis y Propiedades. Estructuras

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1 Sintaxis y Propiedades Predicados 1 Estructuras Def [estructura] Una estructura es una secuencia ordenada M =<A, R 1, R n, F 1, F m, {c i i I}> tal que: A es un conjunto no vacío, ( Notacion: A = M ) R 1, R n son relaciones sobre A (n 0) F 1, F m son funciones en A (m 0) c i (i I) son elementos distinguidos de A Ejemplos: < N,Par,,+,*, 0,1> naturales <N,< > CPO de los naturales < Z, +, -, 0 > grupo de los enteros Predicados - Sintaxis 2 1

2 Tipo de Similaridad Def [tipo de similaridad de una estructura] El tipo de similaridad de <A, R 1, R n, F 1, F m, {c i i I}> es una secuencia <r 1,,r n ; a 1,,a m ; k> tal que: R i A ri (1 i n y r i 0 ) F j : A aj A (1 j n y a j 0) k = {c i i I} (el cardinal del conjunto {c i i I} ) Ejemplos: < N,Par,,+,*,0,1> tiene tipo <1,2 ; 2,2 ; 2> <N,< > tiene tipo < 2 ; - ; 0 > < Z, +, -, 0 > tiene tipo <- ; 2,1 ; 1 > Predicados - Sintaxis 3 Alfabeto de Primer Orden Def [alfabeto de un lenguaje de primer orden] Un alfabeto para un lenguaje de primer orden de tipo <r 1,,r n ; a 1,,a m ; k > consiste de los siguientes símbolos: Símbolos de relación: P 1, P 2,, P n, = Símbolos de función: f 1,f 2,, f m Símbolos de constantes: c i tal que i I y I = k Variables: x 1, x 2, x 3,.. Conectivos :,,,,, Cuantificadores:, Auxiliares : ( ), Predicados - Sintaxis 4 2

3 Términos Sea A un alfabeto P 1 P n,f 1...f m,c i (i I) de tipo <r 1 r n ;a 1 a m ;k> Def [términos de un lenguaje de primer orden] El conjunto TERM A de los términos del lenguaje de primer orden con alfabeto A se define inductivamente por: i) x i TERM A (i N) ii) c i TERM A (i I) iii) si t 1... t ai TERM A, entonces f i (t 1,..t ai ) TERM A Predicados - Sintaxis 5 Fórmulas Sea A un alfabeto P 1 P n,f 1...f m,c i (i I) de tipo <r 1 r n ;a 1 a m ;k> Def [FORM] El conjunto FORM A de las fórmulas del lenguaje de primer orden con alfabeto A se define inductivamente por: i) FORM A ii) Si t 1...t rj TERM A, entonces P j (t 1...t rj ) FORM A iii) Si t 1, t 2 TERM A, entonces t 1 = t 2 FORM A iv) Si α, β FORM A entonces (α β) FORM A para {,,, } v) Si α FORM A entonces ( α) FORM A vi) Si α FORM A entonces (( x i )α) y (( x i )α)form A Predicados - Sintaxis 6 3

4 Ejemplos de Términos y Fórmulas Sea A un alfabeto P 1,P 2,f 1,f 2,c 1,c 2 de tipo <1,2; 1,2; 2 > f 2 (c 1,x 4 ) TERM A? f 1 (c 1,x 4 ) TERM A? (( x 1 ) P 2 (f 1 (x 1 ),c 1 )) (( x 2 ) P 1 (x 2 )) FORM A? (( x 2 ) f 2 (x 1, c 2 )) FORM A? (( x 1 )P 1 (x 1, c 1 )) FORM A? (( x 1 ) (( x 2 ) (( x 3 ) P 3 (x 1, x 2, x 3 )))) FORM A? OJO!!! No confundir símbolo de predicado y símbolo de función! f 2 (x 1, c 2 ) TERM y P(x 1 ) FORM Predicados - Sintaxis 7 Reglas de parentización Para simplificar la escritura de las fórmulas, omitimos ciertos paréntesis: Las reglas de precedencia de conectivos son las mismas que para PROP Conectivos de igual precedencia se asocian a la derecha Cuantificadores: el y el tienen igual precedencia que el Predicados - Sintaxis 8 4

5 Reglas de Parentización: ejemplos Atención: No confundir las siguientes fórmulas ( x)(α β) y ( x)α β ( x)(α β) y ( x)α β Ejemplo: Parentizar la siguiente expresión: ( x) P 1 (x) P 1 (x) (( x) P 1 (x)) P 1 (x) ((( x) P 1 (x)) ) P 1 (x) ((( x) P 1 (x)) ) ( P 1 (x)) ((( x) P 1 (x)) ) ( ( P 1 (x))) (((( x) P 1 (x)) ) ( ( P 1 (x)))) Predicados - Sintaxis 9 Var, Const, AT Sea A un alfabeto P 1 P n,f 1...f m,c i (i I) de tipo <r 1 r n ;a 1 a m ;k > Def [Var] Var es el conjunto de las variables de ({x i i N}). Def [Const A ] Const A es el conjunto de los símbolos de constante de A ({c i i I}). Def [fórmulas atómicas, AT A ] AT A es el conjunto de fórmulas de FORM A que se obtienen con las cláusulas base (, P j (t 1,...,t rj ), t 1 = t 2 ). Predicados - Sintaxis 10 5

6 Principio de Inducción Primitiva para TERM Sea A un alfabeto P 1 P n,f 1...f m,c i (i I) de tipo <r 1 r n ;a 1 a m ;k > Lema [principio de inducción para TERM A ] Sea una propiedad sobre TERM A. Si se cumple: i) (x) para todo x Var. ii) (c) para todo c Const A. iii) si (t 1 )... (t ai ) entonces (f i (t 1,..t ai )) para todo 1 i m Entonces para todo t TERM A se cumple (t) Predicados - Sintaxis 11 Principio de Inducción Primitiva para FORM Sea A un alfabeto P 1 P n,f 1...f m,c i (i I) de tipo <r 1 r n ;a 1 a m ;k > Lema [principio de inducción para FORM A ] Sea una propiedad sobre FORM A. Si se cumple: i) (α) para todo α atómico. ii) si (α) y (β) entonces (α β) ( {,,, }) iii) si (α) entonces ( α) iv) si (α) entonces (( x)α) y (( x)α) para todo x Var. Entonces para todo α FORM A se cumple (α) Predicados - Sintaxis 12 6

7 Alcance de cuantificadores Def [alcance o radio de acción] El alcance del cuantificador x en la fórmula (( x)α) es la fórmula α. El alcance del cuantificador x en la fórmula (( x)α) es la fórmula α. ( x 1 ) P 1 (x 1 ) ( x 2 ) P 2 (x 1,x 2 ) ( x 2 )( x 1 ) (P 1 (x 1 ) P 2 (x 1, x 2 )) Predicados - Sintaxis 13 Variables Libres y Ligadas Def [ocurrencias libres y ligadas] Una ocurrencia de una variable x en α es ligada si se encuentra bajo alcance de un cuantificador ( x) o ( x), o si es la variable de un cuantificador ( x) o ( x). Si una ocurrencia de una variable x no es ligada en α en se dice que es una ocurrencia libre. Def [variables libres y ligadas] Una variable x es ligada en α si x tiene alguna ocurrencia ligada en α. Una variable x es libre en α si x tiene alguna ocurrencia libre en α. Predicados - Sintaxis 14 7

8 Ocurrencias Libres y Ligadas Ejemplos (( x 1 ) P 1 (x 1 )) ( x 2 ) P 2 (x 1,x 2 ) Ocurrencia ligada Ocurrencia libre ( x 1 ) P 1 (c 1 ) Ocurrencia ligada Predicados - Sintaxis 15 Variables Libres y Ligadas Ejemplo Sea α = ( x 1 ) P 1 (x 1 ) ( x 2 ) P 2 (x 1,x 2 ) x 1 tiene 2 ocurrencias ligadas en α entonces x 1 es ligada en α x 1 tiene 1 ocurrencia libre en α entonces x 1 es libre en α Obs: una ocurrencia de variable en una fórmula es o bien libre o bien ligada (no ambas!) una variable puede ser libre y ligada en una misma fórmula Predicados - Sintaxis 16 8

9 Esquema de Recursión Primitiva para Term Sea A un alfabeto P 1 P n,f 1...f m,c i (i I) de tipo <r 1 r n ;a 1 a m ;k > Lema [esquema de recursión primitiva para TERM A ] Sean las siguientes funciones: H b : Var Const A B H i : (TERM A x B) ai B, con i {1,,m} Entonces existe una única función F:TERM A B tal que: F(t) = H b (t) si t Var Const A F(f i (t 1,,t ai )) = H i (t 1, F(t 1 ),,t ai,f(t ai )) Predicados - Sintaxis 17 Esquema de Recursión Primitiva para FORM Sea A un alfabeto P 1 P n,f 1...f m,c i (i I) de tipo <r 1 r n ;a 1 a m ;k > Lema [esquema de recursión primitiva para FORM A ] Sean las siguientes funciones: H at : AT A B H : (FORM A x B) 2 B ( {,,, }) H : FORM A x B B H, H : Var A x FORM A x B B Entonces, existe una única función F:FORM A B tal que F(α)= H at (α) si α AT A F(α β) = H (α, F(α), β,f(β)) ( {,,, }) F( α ) = H (α, F(α)) F(( x )α ) = H (x, α, F(α)) F(( x )α ) = H (x, α, F(α)) Predicados - Sintaxis 18 9

10 Variables de un Término Sea A un alfabeto P 1 P n,f 1...f m,c i (i I) de tipo <r 1 r n ;a 1 a m ;k > Def [conj. de variables (libres) de un término] Definimos FV :TERM A P(Var) recursivamente en TERM A : FV(x) = { x } FV(c i ) = si x Var FV(f i (t 1,,t ai )) = FV(t 1 ) FV(t ai ). Predicados - Sintaxis 19 Variables de una Fórmula Def [conj. de variables libres de una fórmula] Definimos FV:FORM A P(Var) recursivamente en FORM A : FV ( ) = FV(P j (t 1,,t rj )) = FV(t 1 ), FV(t rj ) FV(t 1 = t 2 ) = FV(t 1 ) FV(t 2 ) FV(α β) = FV(α) FV(β) ( {,,, }) FV( α ) = FV(α) FV(( x)α) = FV(( x)α ) = FV(α) - { x } Ejercicio: Definir recursivamente en FORM A la función BV:FORM A P(Var) que calcula el conjunto de variables ligadas de una fórmula Predicados - Sintaxis 20 10

11 Terminos y Fórmulas Cerrados Sea A un alfabeto P 1 P n,f 1...f m,c i (i I) de tipo <r 1 r n ;a 1 a m ;k > Def [términos y fórmulas cerradas] Un término t es cerrado si FV(t) =. Una fórmula α es cerrada si FV(α) =. También se dice en este caso que α es una sentencia. Una fórmula α es abierta si no tiene cuantificadores. Notación: TERMc A = {t TERM A t es cerrado} SENT A = {α FORM A α es cerrada } Predicados - Sintaxis 21 Sustituciones en TERM y en FORM Sea A un alfabeto P 1 P n,f 1...f m,c i (i I) de tipo <r 1 r n ;a 1 a m ;k > Def [sustitución de términos en términos] Sean s,t TERM A y x j VAR. Definimos s[t/x j ] del siguiente modo: t si i=j i. x i [t/x j ] = x i si i j ii. c k [t/x j ] = c k iii. f i (t 1,..., t ai ) [t/x j ] = f(t 1 [t/x j ],..., t ai [t/x j ]) Predicados - Sintaxis 22 11

12 Sustitución de Variables Libres por Términos en Fórmulas (1) Sea A un alfabeto P 1 P n,f 1...f m,c i (i I) de tipo<r 1 r n ;a 1 a m ;k> Def [sustitución de términos en fórmulas] Sea t TERM A, x j VAR y α FORM A. Definimos α[t/x] del siguiente modo: i. [t/x j ] = ii. P j (t 1,..., t rj ) [t/x j ] = P j (t 1 [t/x j ],..., t rj [t/x j ]) iii. (t 1 = t 2 ) [t/x j ] = (t 1 [t/x j ] = t 2 [t/x j ]) iv.(α β) [t/x j ] = (α [t/x j ] β [t/x j ]) ( {,,, }) v. ( α)[t/x j ] = (α[t/x j ]) ( x i )(α[t/x j ]) si i j vi. (( x i ) α)[t/x j ] = (( x i ) α) si i=j (( x i )a )[t/x j ] --- análogo a (( x i ) α)[t/x j ] --- Predicados - Sintaxis 23 Ejemplos de Sustitución Sea L un lenguaje de tipo <1,2;2,2;2> P 1 (f 2 (x 1,x 2 ))[x 1 /x 2 ] = P 1 (f 2 (x 1,x 1 )) (P 1 (x 1 ) P 2 (c 1,x 3 ))[c 2 /x 1 ] = (P 1 (c 2 ) P 2 (c 1,x 3 )) (( x 1 ) P 2 (x 1,x 3 ))[c 3 /x 3 ] = (( x 1 ) P 2 (x 1,c 3 )) (( x 1 ) P 2 (x 1,x 3 ))[c 1 /x 1 ] = (( x 1 ) P 2 (x 1,x 3 )) (( x 1 ) P 2 (x 1,x 3 ))[x 1 /x 3 ] = (( x 1 ) P 2 (x 1,x 1 )) cambia totalmente el sentido! No queremos estas situaciones! Predicados - Sintaxis 24 12

13 y := 45; Ejemplo trucho print (sumar2(y)); FUNCTION sumar2(x:int):int; BEGIN VAR y:int; y := 2; sumar2 := x+y END Identificaré las dos variables, y devolveré 4 Si acá pongo y y acá pongo y Ejemplo trucho (cont.) El ejemplo anterior no es real. Los lenguajes tipo Pascal implementan pasajes de parámetro por copia o por referencia, y no realizan una sustitución textual del código, como nosotros. Sin embargo, igualmente ilustra la dificultad de no considerar el contexto en que se realiza una sustitución. 13

14 Que falló en el último caso? (( x 1 ) P 2 (x 1,x 3 ))[x 1 /x 3 ] = (( x 1 ) P 2 (x 1,x 1 )) la variable x 3 estaba libre en (( x 1 ) P 2 (x 1,x 3 )) al sustituir x 3 por x 1 (que es la variable que cuantifica el ), queda ligada: (( x 1 ) P 2 (x 1,x 1 )) y lo mismo hubiera pasado si en vez de [x 1 /x 3 ] se pone [t/x 3 ] con x 1 FV(t). El problema ocurre cuando hacemos (( x i )α)[t/x] y x i está en t : x i FV(t) luego, pedimos que x i FV(t) Hay algunos casos en que no hace falta pedir esa condición. Entre ellos está cuando la sustitución no se realiza porque x FV(( x i ) α) Término Libre para una Variable Def [término libre para una variable] Sean t TERM,α FORM: t está libre para x en α si se cumple alguna de las siguientes condiciones: i. α es atómica ii. α = (α 1 α 2 ) y t está libre para x en α 1 y en α 2 iii. α = ( α 1 ) y t está libre para x en α 1 iv. α = ( x i ) α 1 y ( x FV(( x i )α 1 ) o x i FV(t) y t está libre para x en α 1 ) v. α = ( xi) α análogo que ( xi) α De ahora en adelante sólo aplicaremos la sustitución α[t/x] cuando t esté libre para x en α. Si esto no sucede: no se puede aplicar la sustitución! Predicados - Sintaxis 28 14

15 Ejemplos x 2 está libre para x 1 en ( x 1 )P 1 (x 1,x 3 ) pues x 1 FV(( x 1 )P 1 (x 1,x 3 ) cualquier t está libre para x 2 en ( x 1 )( x 2 )P 1 (x 1,x 2 ) pues x 2 FV(( x 1 )( x 2 )P 1 (x 1,x 2 )) f(x 3,x 1 ) no está libre para x 2 en ( x 3 )P 2 (x 2 ) pues x 2 FV(( x 3 )P 2 (x 2 )) y x 3 V(f(x 3,x 1 )) (aunque f(x 3,x 1 ) está libre para x 2 en P 2 (x 2 )) Predicados - Sintaxis 29 Ejemplos f(x 3,x 1 ) no está libre para x 2 en ( x 4 )( x 3 )(x 3 = x 2 ) pues x 2 FV(( x 4 )( x 3 )(x 3 = x 2 )) y f(x 3,x 1 ) no está libre para x 2 en ( x 3 )(x 3 = x 2 ) pues x 2 FV(( x 3 )(x 3 = x 2 )) y x 3 V(f(x 3,x 1 )) (aunque x 4 V( f(x 3,x 1 ))) Predicados - Sintaxis 30 15

16 Sustitución Simultánea Def [sustitución simultánea] t [t 1,..., t n / x 1,..., x n ] es el resultado de sustituir las ocurrencias de cada x i por t i en t simultáneamente (i=1,...,n) α [t 1,..., t n / x 1,..., x n ] se define análogamente CUIDADO! No es lo mismo sustitución simultánea que composición de sustituciones: x 1 [x 2,c 2 /x 1,x 2 ] = x 2 x 1 [x 2 /x 1 ][c 2 /x 2 ] = x 2 [c 2 /x 2 ] = c 2 Predicados - Sintaxis 31 Notación: [α(x), α(t)] Para simplificar la notación α[t/x], en matemática se utilizan (meta)expresiones de la forma α(x) o α(x,y,z). Esta notación no implica que las variables listadas ocurren libres en la fórmula ni que la fórmula no tiene otras variables libres que no sean las listadas... Sólo se utiliza para escribir informalmente la sustitución: Por ejemplo, α(t) notará el resultado de sustituir t por x en α(x), α(s,t,u) notará el resultado de sustituir s por x, t por y y u por z en α(x,y,z). Predicados - Sintaxis 32 16

17 $ y Fórmulas Libres para $ Agregamos a la definición de FORM una cláusula más: $ FORM ($ es una variable de fórmula, la usamos como comodín para sustituír una fórmula en otra) Def [fórmula libre para $] Sean α,ϕ FORM. Entonces ϕ está libre para $ en α si se cumple alguna de las siguientes condiciones: i. α es atómica ii. α = (α 1 α 2 ) y ϕ está libre para $ en α 1 y en α 2 iii. α = ( α 1 ) y ϕ está libre para $ en α 1 iv. α = ( x i )α 1 o α = ( x i )α 1 y ( $ no ocurre en α 1 o x i FV(ϕ) y ϕ está libre para $ en α 1 ) Predicados - Sintaxis 33 Sustitución de Fórmulas en Fórmulas Def [sustitución de fórmulas en fórmulas] Sean α,ϕ FORM tal que ϕ está libre para $ en α. Definimos α[ϕ/$] del siguiente modo: α si α $ i. si α es atómica, entonces α[ϕ/$] = ϕ si α=$ ii. (α β) [ϕ/$] = (α[ϕ/$] β[ϕ/$]) iii. ( α)[ϕ/$] = (α[ϕ/$]) iv. (( x i )α)[ϕ/$] = ( x i )(α[ϕ/$]) v. (( x i )α)[ϕ/$] = ( x i )(α[ϕ/$]) Predicados - Sintaxis 34 17

18 Resumen de Sintaxis de la Lógica de Predicados de Primer Orden. Se definieron dos familias de lenguajes: Uno para representar elementos del universo. Otro para representar afirmaciones sobre esos elems. Se definieron los principios de Inducción y Recursión primitivas para esos lenguajes con el objetivo de: Hacer demostraciones Definir funciones recursivamente sobre esos lenguajes. Resumen de Sintaxis de la Lógica de Predicados de Primer Orden. Se estudiaron los aspectos sintácticos que introducen las variables y se definieron algunos conceptos relativos a eso: Ocurrencia Libre y Ligada de una Variable. Término libre para una variable en una fórmula dada. Se definieron funciones de sustitución: De una variable por un término en fórmulas y términos. De fórmulas en fórmulas. 18

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