CAPÍTULO 6: RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO (I)
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- Lorena Vargas Santos
- hace 6 años
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1 ÍTULO 6: RELIONES ÉTRIS EN EL TRIÁNGULO (I) Dte Guerrero-hduví iur, 05 FULTD DE INGENIERÍ Áre Deprtetl de Igeierí Idustril y de Sistes
2 ÍTULO 6: RELIONES ÉTRIS EN EL TRIÁNGULO (I) Est or está jo u liei retive oos triuió- Nooeril-SiDerivds.5 erú Repositorio istituiol IRHU Uiversidd de iur
3 UNIVERSIDD DE IUR pítulo 6: Relioes étris e el Triágulo (I). ooiietos revios. Teores GEOETRÍ FUNDENTL Y TRIGONOETRÍ LSES Elordo por Dr. Ig. Dte Guerrero Uiversidd de iur. 43 dipositivs
4 GFT 8/06/05 ÍTULO VI RELIONES ÉTRIS EN EL TRIÁNGULO. ONOIIENTOS REVIOS. ONOIIENTOS REVIOS L líe ás ort que puede trzrse etre dos putos, es el segeto de ret que los ue. El eor segeto que ue u puto o u ret r, es l perpediulr trzd de r. Ddos u puto y u ret r, los segetos oliuos desde r que tiee sus pies equidisttes del pie de l perpediulr so igules. royeió de u segeto sore u ret r es el segeto que ue los pies de ls perpediulres desde y r. Dr.Ig. Dte Guerrero
5 GFT 8/06/05 RELIONES ENTRE ÁNGULOS Y LDOS E todo triágulo, u ldo es eor que l su de los otros dos y yor que su diferei. Deostrió: < + porque es el segeto de ret que ue y. De dode < + < + < + (. prte) Restdo ó de l. desiguldd: - < > - < > - TEORE VI - y de l is for otedríos que ulquier ldo es yor que l diferei de los otros dos. OROLRIO Ls distis yor y eor desde u puto u iruferei, so ls del puto los dos e que ort l iruferei el diáetro que ps por. E el OQ O < OQ + Q O O + O OQ O rdio < Q ( l eor disti) Q < OQ + O ( l yor disti) Q es u puto geério de l iruferei O es el etro de l iruferei O Q Dr.Ig. Dte Guerrero
6 GFT 8/06/05 RELIONES ENTRE ÁNGULOS Y LDOS TEORE VI - Si dos líes querds ovexs tiee extreos oues, l evolvete es yor que l evuelt. Deostrió: Se DE y FGHE ls querds. So ovexs porque, prologdo ulquier ldo, tod l querd qued e u iso seiplo respeto él. F G H N D E L evolvete es DE. F Sudo iero iero ests desigulddes y eliido térios oues e los ieros, G H E N D < + pero: F + F FN < F + + N pero: FN FG + GN G < GN + ND + D pero: G GH + H TEORE VI - F + F < + FG + GN < F + + N GH + H < GN + ND + D HE < H + E HE < H + E F + FG + GH + HE < + ( + ) + (N + ND) + (D + E) siplifido segetos se otiee: F + FG + GH + HE < + + D + DE Dr.Ig. Dte Guerrero 3
7 GFT 8/06/05 RELIONES ENTRE ÁNGULOS Y LDOS TEORE VI - 3 Ddos u ret r y u puto exterior, si se trz desde dos segetos oliuos desigules, es yor el que tiee su pie yor disti del pie de l perpediulr y reíproete. Deostrió: Se E l perpediulr. rologdo E y todo ' siétrio de, veos que: F'<G' o se: F < G, si G está ás lejdo del pie E. r E F G RELIONES ENTRE ÁNGULOS Y LDOS TEORE VI - 4 TEORE VI - 4 E todo triágulo, yor ldo se opoe yor águlo y reíproete. Deostrió: I Hipótesis: Se > Tesis: quereos deostrr que >. prtir de toos '. or ser >, ' erá e el iterior del segeto. 3. Uios ' o, oteeos el triágulo isóseles ' y el Dr.Ig. Dte Guerrero 4
8 GFT 8/06/05 + ( exterior ) > + > > luego > (lqqd) TEORE VI - 4 TEORE REÍROO : > > Vos deostrrlo plido el étodo de deostrió lldo "por reduió l surdo". E efeto: Si fuese < se tedrí <, lo ul irí otr l hipótesis. Si fuese se tedrí, esto tié irí otr l hipótesis. Luego dee ser >. I I RELIONES ENTRE ÁNGULOS Y LDOS TEORE VI - 5 Si dos triágulos tiee dos pres de ldos respetivete igules y el águlo opredido desigul, los ldos opuestos so tié desigules y el águlo yor orrespode l ldo yor. Deostrió: D Se y ''' tles que: HIÓTESIS: '', '', > TESIS: Quereos deostrr que > ''. Trsportos '' sore (de for que oiid).. Trzos l isetriz de ' que ort e D. 3. or ser D de l isetriz: D D' D D'. 4. E el D' '' < 'D + D D + D lqqd Dr.Ig. Dte Guerrero 5
9 GFT 8/06/05 RELIONES ENTRE ÁNGULOS Y LDOS TEORE VI - 6 TEORE REÍROO Si '', '', > ' > Euirlo y deostrrlo TEORE VI - 5 Si dos triágulos tiee dos pres de ldos respetivete igules y el águlo opredido desigul, los ldos opuestos so tié desigules y el águlo yor orrespode l ldo yor. RELIONES ETRIS EN TRINGULOS RETNGULOS TEORE VI - 7 E todo triágulo retágulo, l ltur sore l hipoteus es edi proporiol etre los segetos e que l divid. Quereos deostrr que h x Deostrió: Los y ~ ddo que tiee tres águlos igules: ( ) ; ( ) y pues so retos, por lo tto: h Luego: h x Lqqd h h Dr.Ig. Dte Guerrero 6
10 GFT 8/06/05 RELIONES ETRIS EN TRINGULOS RETNGULOS TEORE VI - 8 E todo triágulo retágulo, u teto es edi proporiol etre l hipoteus y su proyeió sore ell. Deostrió: Los ~ ddo que tiee tres águlos igules: ; y pues so retos, por lo tto: x ddo que ; y se tiee: x oo los tetos tiee ls iss propieddes tié x. h TEORE DE ITGORS TEORE VI - 9 RELIONES ETRIS EN TRINGULOS RETNGULOS El udrdo de l logitud de l hipoteus es igul l su de los udrdos de ls logitudes de los tetos. Deostrió: x x por el teore VI-8 ; sudo iero iero h + ( + ) + Lqqd Dr.Ig. Dte Guerrero 7
11 GFT 8/06/05 TEORE DE ITGORS TEORE VI - 9 RELIONES ETRIS EN TRINGULOS RETNGULOS or su iterés edótio y por yudr profudizr el oepto de áre, iluios otr deostrió: De l ispeió de l figur, se dedue que el áre del udrdo grde es 4 vees el áre del triágulo, ás. Es deir: TOTL 4 ( TRIÁNGULO ) + UDRDO ( ) 4 x + 4 x + RELIONES ETRIS EN TRINGULOS RETNGULOS GENERLIZIÓN DEL TEORE DE ITGORS TEORE VI - 0 El udrdo del ldo opuesto u águlo gudo (otuso) es igul l su de los udrdos de los otros dos, eos (ás) el dole produto de uo de ellos por l proyeió del otro sore él. Deostrió: r el ldo opuesto u águlo gudo h + ( - ) ( ) h H Dr.Ig. Dte Guerrero 8
12 GFT 8/06/05 TEORE VI - 0 RELIONES ETRIS EN TRINGULOS RETNGULOS GENERLIZIÓN DEL TEORE DE ITGORS Deostrió: r el ldo opuesto u águlo otuso h ( + ) h H REÍROO DEL TEORE DE ITGORS TEORE VI - RELIONES ETRIS EN TRINGULOS RETNGULOS TEORE VI- Si e u triágulo, el udrdo de u ldo es igul l su de los udrdos de los otros dos, el triágulo es retágulo y el águlo opuesto l ldo es el águlo reto. Dr.Ig. Dte Guerrero 9
13 GFT 8/06/05 ROIEDDES DE LS ISETRIES TEORE VI - ) L isetriz iterior de u águlo de u triágulo divide l ldo opuesto e dos segetos proporioles los otros dos ldos. Se el Si V es l isetriz de, quereos deostrr que rologos y llevos sore él el ldo, oteiedo el triágulo isóseles '. V ROIEDDES DE LS ISETRIES TEORE VI - ) L isetriz iterior de u águlo de u triágulo divide l ldo opuesto e dos segetos proporioles los otros dos ldos. Los águlos y so igules Y su, por ser águlo extero. oo so igules, d uo ide /, es deir: / Tié so igules l V, lo que idi que ' es prlel V. plido el teore de Thles, se otiee: V Dr.Ig. Dte Guerrero 0
14 GFT 8/06/05 ROIEDDES DE LS ISETRIES TEORE VI - ) L isetriz exterior de u águlo de u triágulo o ldos desigules ort l ldo opuesto, deterido sore él dos segetos sustrtivos proporioles los otros ldos Se el Se D l isetriz exterior de D deteri e el ldo opuesto () dos segetos sustrtivos (que se superpoe) y D ROIEDDES DE LS ISETRIES TEORE VI - Todo ', se for el triágulo isóseles ', verifiádose que: 90º - / + D + D 80º y D D, por tto: D D 90º - / D, por tto: y ' so prlels. D Dr.Ig. Dte Guerrero
15 GFT 8/06/05 ROIEDDES DE LS ISETRIES TEORE VI - plido el teore de Thles: D ' D D ÁLULO DE L ÁLTUR Y L EDIN TEORE VI - 3 L ltur orrespodiete l ldo de u triágulo tiee u logitud dd por l fórul: h p (p - )(p - )(p - ) ( ++) p E dode, y so ls logitudes de los ldos y p es el seiperíetro. h h - + ( + - ) / ( + - ) / 4 Dr.Ig. Dte Guerrero
16 GFT 8/06/05 ÁLULO DE L ÁLTUR Y L EDIN TEORE VI - 3 ( + - ) - 4 h h + - (+ ) x ( - + ) h h ( +) - -( - ) x (++)(+ - )(+ - )( - +) 4 h ++ p + - (p - ) ÁLULO DE L ÁLTUR Y L EDIN TEORE VI - 3 (++)(+ - )(+ - )( - +) 4 h p (p - ) (p - ) (p - ) h h p (p - )(p - )(p - ) Dr.Ig. Dte Guerrero 3
17 GFT 8/06/05 ÁLULO DE L ÁLTUR Y L EDIN L edi orrespodiete l ldo de u triágulo tiee u logitud dd por l fórul: TEORE VI q h ÁLULO DE L ÁLTUR Y L EDIN TEORE VI - 4 or el teore VI-0, geerlizió del Teore de itágors E el Q, pr u águlo gudo y Q, pr u águlo otuso, teeos: + +( +( Despejdo : ) - ) + + q q Q q h Dr.Ig. Dte Guerrero 4
18 GFT 8/06/05 ÁRE DEL TRIÁNGULO EN FUNIÓN DE LOS LDOS TEORE VI - 5 Fórul de HERÓN: S h Sustituyedo h por su vlor (teore VI-3), oteeos: h p (p - )(p - )(p - ) S p (p - )(p - )(p - ) TEORE VI - 6 ÁRE DEL TRIÁNGULO EN FUNIÓN DEL RDIO DE L IRUNFERENI INSRIT El áre del triágulo es igul l seiperíetro iruferei isrit. por el rdio de l El áre del triágulo es l su de ls de los triágulos O, O y O; uys ses so los ldos del triágulo y sus lturs so el rdio r de l iruferei isrit. Luego: S r + r + S r ( ) r r S r p Dode p seiperíetro Dr.Ig. Dte Guerrero 5
19 GFT 8/06/05 TEORE VI - 7 ÁRE DEL TRIÁNGULO EN FUNIÓN DE LOS LDOS Y DEL RDIO DE L IRUNFERENI IRUNSRIT El áre de u triágulo es igul l produto de los otros tres ldos divididos por utro vees el rdio de l iruferei irusrit. Se el triágulo y su iruferei irusrit. O H Trzos H, ltur de. Uiedo o el etro O de l iruferei, oteeos. Los s H y so seejtes TEORE VI - 7 ÁRE DEL TRIÁNGULO EN FUNIÓN DE LOS LDOS Y DEL RDIO DE L IRUNFERENI IRUNSRIT y so s isritos que Los s H y so seejtes: r el iso ro H H h O H H H R h R h R Dr.Ig. Dte Guerrero 6
20 GFT 8/06/05 ÁRE DEL TRIÁNGULO EN FUNIÓN DE LOS LDOS Y DEL RDIO DE L IRUNFERENI IRUNSRIT El áre de u triágulo es igul l produto de los otros tres ldos divididos por utro vees el rdio de l iruferei irusrit. O H R h S 4 R h TEORE VI - 7 4R Sustituyedo S por su vlor ddo e l fórul de Heró, se otiee: p (p - )(p - )(p - ) LUGRES GEOÉTRIOS NOTLES TEORE VI - 8 El lugr geoétrio de los putos del plo uy su de udrdos de distis dos putos fijos y es ostte, es u iruferei o etro e el puto edio de. DEOSTRIÓN: Se u puto que uple l odiió usd. Lldo l disti E el O : d ( ) + + ( ) d d E el O : d ( ) + - ( ) o / Dr.Ig. Dte Guerrero 7
21 GFT 8/06/05 d d LUGRES GEOÉTRIOS NOTLES El lugr geoétrio de los putos del plo uy su de udrdos de distis dos putos fijos y es ostte, es u iruferei o etro e el puto edio de. ( ( ) + ) + - ( + ( ) ) K - 4 d + d O se: dee ser ostte; y tié or tto está e u iruferei de etro O y rdio. K + TEORE VI - 8 d / o d LUGRES GEOÉTRIOS NOTLES TEORE VI - 9 El lugr geoétrio de putos del plo uy diferei de udrdos de distis dos putos fijos del iso y (tods e ese orde) es ostte, es u ret perpediulr. DEOSTRIÓN: Se u puto que uple: - d d K E el : d ( ) + - ( ) H d d E el : d ( ) + + ( ) H / H Dr.Ig. Dte Guerrero 8
22 GFT 8/06/05 El lugr geoétrio de putos del plo uy diferei de udrdos de distis dos putos fijos del iso y (tods e ese orde) es ostte, es u ret perpediulr. d LUGRES GEOÉTRIOS NOTLES d ( ) + - x H ( ) + + x H TEORE VI - 9 d d d - d K x H K H te / Luego está sore l perpediulr e el puto H, o se H. H LUGRES GEOÉTRIOS NOTLES TEORE VI - 0 El lugr geoétrio de los putos del plo uy rzó de distis putos fijos del iso, y, es u ostte K, es:. U iruferei (iruferei de poloio) uyo etro se hll e l ret, si K.. L editriz de, si K. K Dr.Ig. Dte Guerrero 9
23 GFT 8/06/05 LUGRES GEOÉTRIOS NOTLES TEORE VI - 0 Trzos l ret r que ps por los putos y Uios los putos y o u segeto Oteeos los putos y N, de tl for que se verifi: N k N K N r LUGRES GEOÉTRIOS NOTLES TEORE VI - 0 Se ue los putos, pr forr el royetos los segetos y E el trzos l isetriz iterior y isetriz exterior De uerdo o el teore de ls isetries, firos que: isetriz iterior N N isetriz exterior N Dr.Ig. Dte Guerrero 0
24 GFT 8/06/05 LUGRES GEOÉTRIOS NOTLES TEORE VI - 0 N N N k N isetriz iterior N N isetriz exterior N LUGRES GEOÉTRIOS NOTLES TEORE VI - 0 Seos que ls isetries iterior y exterior for u águlo de 90 or tto el ro N es u seiiruferei de diáetro N y el lugr geoétrio de los putos que verifi l odiió / K es u iruferei de diáetro N K N Dr.Ig. Dte Guerrero
25 GFT 8/06/05 LUGRES GEOÉTRIOS NOTLES TEORE VI - 0 El lugr geoétrio de los putos del plo uy rzó de distis putos fijos del iso, y, es u ostte K, es:. U iruferei (iruferei de poloio) uyo etro se hll e l ret, si K.. L editriz de, si K. K N Dr.Ig. Dte Guerrero
RESUMEN TEÓRICO. 8 Colaterales externos: 2 y 7, 1 y 8. Son suplementarios
RSUMN TÓRI Águlos * Águlos opleetrios so dos águlos uy su vle u águlo reto. * Águlos supleetrios so dos águlos uy su vle u águlo llo. * Águlos dyetes (1ª figur) so dos águlos oseutivos uyos ldos o oues
CAPÍTULO 4: RELACIÓN ENTRE ÁNGULOS Y ARCOS DE CIRCUNFERENCIA (III)
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Unidd uno Geometrí y Trigonometrí 4. TRIÁNGULOS 4.1 Definiión y notión de triángulos El triángulo es un polígono de tres ldos. Los puntos donde se ortn se llmn vérties. Los elementos de un triángulo son:
Criterios de igualdad entre triángulos.
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For. e Geoetrí For. e Geoetrí TRNGUO 1. TEOREM ONE ORE ETRE ) uo se trz isetries iteriores. X = 90 + ) uo se trz isetries eteriores. = 90 - ) uo se trz u iterior u eterior. Z Z =. TEOREM E E ME M N MN
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Algunas funciones elementales
Apédice B Algus fucioes eleetles B Fució poteci -ési U fució poteci -ési es u fució de l for f ( ) dode l se es u vrile y el epoete u úero turl Es l for ás secill de ls fucioes polióics f ( ) Ls fucioes
PSU Matemática NM-4 Guía 13: Ángulos y Triángulos
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cos sa, a 10 cm. Calcula el valor de los ángulos agudos, y la c) Factorizando y expresando cos 2 1 sen 2,se obtiene: medida de los catetos.
0 Demuestr, de form rzond, ls siguientes igulddes: lul el ángulo de elevión del Sol sore el orizonte, se ) ( sen ) ose o se siendo que un esttu proyet un somr que mide otg os tres vees su ltur. ) ( sen
GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO
GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO Definiión de triángulo Se llm triángulo un onjunto { ABC,, } de tres puntos no linedos del plno. Los puntos A, B y C reien el nomre de vérties del triángulo. Los segmentos (o en
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4. Trigonometría II. c) c 2 b 2 a 2 2ba cos C c 11,17 cm a A 61,84. B 38,11 se n B sen C d) A B C 180 A 70 a b 5,32. l 40 sen.
9 ) os 11,17 m se n 61,84 38,11 se n d) 180 70 se n 5,3 se n 10,48 lul un ulquier de ls lturs de los triángulos resueltos en el ejeriio nterior y utilízl después pr lulr su áre. Pr resolver este ejeriio
Integral de Riemann. Tema Sumas inferiores y superiores Particiones de un intervalo Sumas inferiores y superiores
4 Mtemátis I : Cálulo itegrl e IR Tem 3 Itegrl de Riem 3. Sums iferiores y superiores 3.. Prtiioes de u itervlo Defiiió 26.- Se llm prtiió de u itervlo errdo [, ] ulquier ojuto fiito de putos P = {,,...,
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TRIÁNGULO: Superfiie pln limitd por tres segmentos o ldos que se ortn dos dos en tres vérties. NOMNLTUR: Los vérties se nombrn on letrs minúsuls y los ldos on letrs myúsuls emplendo l mism letr que el
TEOREMA DE PITÁGORAS
TEOREMA DE PITÁGORAS 1.- El ldo de un udrdo mide 10 m. Cuánto mide su digonl? (Aproxim el resultdo hst ls déims)..- Ls digonles de un romo miden 15 m y 17 m, respetivmente. Cuánto miden sus ldos? (Aproxim
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Triángulos congruentes
Leión#4 Triángulos ongruentes y triángulos similres Ojetivos Aplir ls propieddes de triángulos ongruentes Aplir ls propieddes de ongrueni Aplir ls propieddes de triángulos similres Aplir el teorem de Pitágors
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TEM: MTRICES Y DETERMINNTES: MTRICES: U triz de diesió, es u tbl ford por fils y colus. j i siedo ij,.,,., ) ( Por ejeplo: Se ll Mtriz Fil l que tiee u sol fil, ejeplo: Se ll Mtriz Colu l que tiee u sol
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perspectiva cónica & proyección de sombras
expresión grái rojs mioletti primer ño este ossier es sólo un poyo el ontenio pso en lses, pensno en reorzr oneptos que pueen ser un tnto omplejos e explir... y más, e entener. l prouni on l que se ps
Resolución de triángulos rectángulos
Resoluión de triángulos retángulos Ejeriio nº 1.- Uno de los tetos de un triángulo retángulo mide 4,8 m y el ángulo opuesto este teto mide 4. Hll l medid del resto de los ldos y de los ángulos del triángulo.
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. U teléoo óil opera o odas eletroagétias de reueia = 9 0 8 Hz. a) Deterie la logitud de oda y el úero de oda e el. b) Si la oda etra e u edio e el que su eloidad de propagaió se redue a 3/4, razoe qué
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l: ldo 12 Los polígonos y l circunferenci 1. Polígonos lcul cuánto mide el ángulo centrl mrcdo en los siguientes polígonos: P I E N S Y L U L R l: ldo R R? R? R R? R R? R E l: ldo l: ldo F E 360 : 3 =