1. LOS NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, RACIONALES E IRRACIO- NALES. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN 1. Calcula: a) 7, , 8 + 1, 25, b)

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1 . LOS NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, RACIONALES E IRRACIO- NALES. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN. Calcula: a) 7, 57 +, 8 +, 5, b) o, c) d) o +, e) (, 7) 4 (, 8) 4, f) ( 4 )5 ( 5 4 )5, g) ( 7 ) 5 ( 9 4 ) 5 h) [ ( ) ] ( ) i) : 4 6 7, j) [ 5, k) 4 4 ] [ ]. Calcula de la forma más efectiva Averigua el mayor número primo de dos cifras que sea primo Escribe las fracciones 50 y 0 como números decimales. 5. Calcula la suma de todos los números enteros para los que 6 x es un número entero.. Demuestra que: a) n N, n n + 6 = 5 n, b) Demuestra que si el cuadrado de un número es múltiplo de, entonces dicho número es múltiplo de c) Demuestra que si el cuadrado de un número es múltiplo de un número primo, entonces dicho número es múltiplo de dicho número d) no es un número racional. Representa gráficamente dicho número. c) no es un número racional. Representa gráficamente dicho número. d) 5 no es un número racional. Representa gráficamente dicho número. e) 8 no es un número racional. Representa gráficamente dicho número. f) t N : t t, g) n N : n + = 6 n, h) n N : n n, i) n N : n = n(n+) j) 0 x +, donde x N, es divisible por seis. k) la suma de los cubos de tres naturales consecutivos es divisible por, l) n N : n + 4n, m) n N : n 6n + n 0 = n n) n N : n+ + n ñ) n N : 8 0 9n + o) n N : (n ) = n p) n N : n = n(n+) q) n N : 7 n+ + n+ r) n N : 4 (n )(n + n) s) El producto de tres números naturales consecutivos es divisible por. t) Son números racionales a) 8,, b) 8,45, c), 5 s) 0, 7 es un número racional que no se puede escribir como una fracción de numerador entero y denominador 444. t), es racional. Represéntalo gráficamente.

2 u) Demuestra o refuta que si p es un número que no es múltiplo de 00, entonces p no es divisible por 7. Enuncia su negación. v) Si m es un número entero, entonces 7 divide a m + m+ + m+. w) Para cada número natural n, se verifica 0! +! + + n = n! n! x) 0 divide a 5n + 5n + 0n, siendo n N arbitrario.. Justifica la afirmacin El conjunto de los números enteros es cerrado respecto de la suma. Para queé operación es o no es cerrado Z. Responde a las mismas cuestiones para los demás conjuntos numéricos que conozcas.. Resuelve en cada caso: a) En N, i) xy=6, ii) xy=6, iii) xy=6, iv) xy=9, v) 4x=5y, vi) 4x=6y, vii) 0x=85y. b) En Z: i) ab+b=5, ii) a-ab=, iii) a + 6 = 5ab, iv) a b = 996, v) x + x y =, vi) ab + a = 6, vii) x y x = 8 4. Averigua los posibles números naturales para los que n + divide a n + 5. Cuántos divisores tienen los números: a) 5, b), c) 540, d) 60, e) ? 6. Busca un número menor que 00 que tenga al menos divisores. 7. Cuáles son los divisores de: a) 5, b) 540, c) 50? 8. Averigua si los úmeros dados son primos: a), b) 7459, c) 4, 9. Averigua las cifras que faltan para que: i) 5*847* sea divisible por 45, ii) 5*4758* sea divisible por 6, iii) 5*4758 sea divisible por 5, iv) 4**, sea divisible por 0, v) A5B sea divisible por 5, vi) 4ab sea divisible por 5, vii) 70A sea divisible por 9, viii) 54B sea divisible por, ix) 4C sea divisible por, x) D4 sea divisible por. 0. Representa en la recta real: a), b), c) 5, d) 7, e) 7, f) 6.. Sin dividir, averigua si: a) 60 y 059 son divisibles por,, 4, 5, 9, 0, b) 996 es divisible por, c) 707 y 545 son divisibles por,, 4, 5, 6, 8, 9, 0,, 5.. Averigua si son primos los números 899 y Descompón en factores primos 6!. 4. Averigua el menor número natural que al dividirlo por 6 y 4 da de resto En dos salas de una biblioteca pública hay 568 y 9 volúmenes respectivamente. Se quiere distribuir en estanterías, todas con igual número de libros, y de la mayor capacidad posible. Cuántos volúmenes debe contener cada una? 6. a) El producto de dos números es 640 y son primos entre sí. Cuánto vale su mínimo común múltiplo? b) El producto de dos números es y su m.c.d. es 70. Cuál es su m.c.m.? 7. En el contorno de un campo trapezoidal se quiere plantar árboles. Se desea que en cada vértice haya un árbol, que todos estén igualmente espaciados y que la distancia entre ellos sea la máxima posible. Los lados del trapecio miden 66, 0 54 y 90 m, respectivamente. Cuántos árboles se necesitan? 8. En una tienda de comestibles han quedado, de restos de una oferta, 5 latas de espárragos, 90 botellas de oliva y 5 paquetes de galletas. Con el fin de liquidar dichas existencias, el comerciante decide hacer lotes con los tres productos. Para que la venta sea lo más fácil posible, todos los lotes han de estar compuestos por la misma cantidad de cosas, y quiere que cada lote tenga el menor número posible de cosas y que no quede nada de ninguno de los tres productos. En qué consistirá cada lote? Cuántos lotes tendrá que vender? 9. Un estudiante ha comprobado que si coloca sus libros de en no sobra ninguno, y lo mismo sucede si los coloca de 7 en 7 y de 5 en 5. Cuántos libros puede tener? Cuál es la

3 cantidad menor posible? 0. Dos ruedas dentadas de distinto tamaño están colocadas de modo que al girar una de ellas, hace girar a la otra. Si la rueda mayor tiene 0 dientes y la pequeña 6, cuál es el menor número de vueltas que debe girar la mayor para que la menor gire también un número entero de vueltas?. Dos depósitos de agua tienen 40 y 560 litros respectivamente. Qué cantidad ha de tener el camión que va a llevarse el agua para que siempre vaya lleno hasta que se vacíen completamente los depósitos y nunca mezcle el agua de un depósito con la del otro?. Ana ha recogido naranjas y nos propone adivinar cuántas. Para ello nos da las siguientes pistas: hay menos de 400 naranjas y las podemos agrupar en grupos de 8, 4 o 0 sin que sobren ni falten.. De cuántas maneras colocarías 8 compañeros tuyos de forma que hubiera el mismo número de ellos por fila? 4. Cuántos de tus compañeros tienen que unirse a los 5 de la clase de al lado para poder formar grupos de personas? 5. Tres coches de carreras pasan por la línea de meta cada 5, 4 y 8 minutos, respectivamente. Si salen juntos a las de la mañana, a qué hora coincidirán? 6. Si agrupamos los alumnos de una clase de 4 en 4, de 5 en 5, de 6 en 6, de 8 en 8 y de 9 en 9, siempre sobran. Cuántos alumnos puede haber? Cuál es el menor número posible? 7. Demuestra: a) Si un número es múltiplo de 7, entonces el doble es un múltiplo de 4. b) Si un número tiene sus tres cifras iguales, entonces es múltiplo de 7. c) Los números decimales 8, y 0,8 son números racionales. d) El número 0, 7 es un número racional que no se puede escribir como fracción de numerador entero y denominador 44. e) Si p es un número entero múltiplo de 00, entonces tiene que ser divisible por 7. Enuncia su negación. f) Para cualquier número entero m se verifica que 7 divide a m + m+ + m+. g) Dado cualquier número natural n, se verifica que 0 divide a 5n + 5n + 0n. h) Si n N, entonces 0! +! + + n = n! n! 8. Cierta cantidad de carbón se transporta, primero en camiones de 5 t de capacidad, y luego, en vagones de 0 t. En ambos casos, el carbón cabe exactamente. Si la cantidad de carbón está entre 400 y 500 t, calcula cuánto carbón se transporta. 9. Paquito va a visitar a su abuela cada 8 días, y Rocío cada días. Hoy han estado los dos juntos, cuándo volverán a coincidir? 0. Un grupo de amigos monta en la noria, pagando un total de 65 coronas. A continuación monta otra pandilla y pagan 5. Cuánto cuesta la entrada? Cuántas personas tiene cada grupo?. Tres bombillas se encienden y apagan, instantaneamente, cada 5 segundos, 0 segundos y 45 segundos, respectivamente. Si cuando empezamos a contar el tiempo han coincidido encendidas las tres: a) cada cuaántos segundos volverán a estar encendidas las tres?, b) cuántas veces coincidirán encendidas a lo largo de esa primera hora?. Cuántos múltiplos de hay entre 70 y 70?. Determina los divisores de 80 que sean a su vez múltiplos de Busca un número que sea divisible por 70 y que esté comprendido entre 50 y 0.

4 4 5. Busca un número que sea divisor de 64, que esté comprendido entre 5 y 0 y sea múltiplo de Averigua el mayor número de seis cifras que sea múltiplo de. Cuál es el menor? 7. Un número de dos cifras es primo. Qué valor puede tener la cifra de las unidades? 8. Carlos y María han comprado lápices, él a 45 pesetas y ella a 0 pesetas cada uno. Ambos han gastado la misma cantidad. Cuántos lápices han comprado cada uno si entre los dos se han gastadado a los sumo 500 pesetas? 9. Calcula el mcd y el mcm de los números dados en cada caso: a) 44 y 506, b) 4, 56 y 0, c) 55, 95 y 70, d) 480 y 00, e) 675 y 6, f) 450 y 80 g) 86 y 080, h) 585 y En una autopista de 700 km de longitud encontramos una gasolinera cada 40 km, un área de descanso cada 0 km y un puesto de socorro cada 45 km. Calcula en qué puntos kilométricos podemos encontrar juntos: a) una gasolinera y un área de descanso, b) una gasolinera y un puesto de socorro, c) un área de descanso y un puesto de socorro y d) los tres equipamientos a la vez, 4. Cuál es el menor número de cuatro cifras que es múltiplo de 0 y y 5 a la vez? 4. El mcm de dos números es 60 y su mcd es. Uno de ellos es 6, calcula el otro. 4. Tres amigos se entrenan en una pista de atletismo circular. El primero tarda 60 segundos en dar una vuelta, el segundo 85 segundos y el tercero 65. Cada cuánto tiempo vuelven a coincidir en la línea de salida? 44. Queremos dividir dos piezas de tela de 0 m y m respectivamente, en trozos de igual longitud Cuál es la máxima longitud que pueden tener los trozos? Cuántos trozos obtendremos de cada pieza de tela? 45. Queremos dirvidir tres barras de hierro, de 80mm, 70 mm y 600 mm respectivamente, en trozos iguales de la mayor longitud posible. Calcula la longitud de cada trozo y el número de trozos que obtendremos de cada una de las barras. 46. Dos líneas de autobuses urbanos coinciden en la misma parada a las ocho de la mañana. Si la frecuencia de paso es de 0 y minutos, cada cuánto tiempo volverán a coincidir en la parada? Cuántas veces lo harán entre las ocho y las doce de la mañana? 47. EL producto de dos números es 8 y su mcd es 6. Calcula su mcm. 48. EL producto de dos números es 4 y su mcd es 9. Calcula su mcm. 49. EL producto de dos números es 88 y su mcm es 4. Calcula su mcd. 50. EL producto de dos números es 84 y su mcm es 48. Calcula su mcd. 5. Dos números son primos entre sí y su producto es igual a 78. Calcula su mcm. 5. EL producto de dos números es 60 y su mcd es 9. Calcula su mcm. 5. Escribe tres números comprendidos entre 5000 y 6000 que al dividirlos entre 5 den de resto. 54. Enrique colecciona postales. Tiene 80 postales espa nolas y 44 extranjeras. Quiere colocarlas en álbunes de modo que: -en un álbun estén las españolas y en otro las extranjeras, - las páginas de los dos álbunes tengan el mismo número de postales y - no quede ninguna postal sin colocar. Cuál es el maypor número de postales que puede colocar en cada página? 55. Un grupo de amigos va de merienda. LLevan dos barras de pan, una de 4 cm de longitud y la otra de 54 cm. Quieren cortarlas de modo que los trozos tengan la misma longitud (número entero de cm. Cuál es la mayor longitud que puede tener cada trozo? Cuántos trozos se obtienen con las dos barras?

5 56. Un barril se puede llenar con un número exacto de garrafas de 5 l de capacidad. También pueden llenarse con garrafas de l y de l. a) Cuál es la menor capacidad que puede tener el barril? b) Si en el barril caben más de 60 l y menos de 00 l, cuál es su capacidad? 57. Tres barcos coinciden en Barcelona el de enero de 997. El primero sale cada 5 días, el segundo cada 0 y el tercero cada. a) Cuándo volverán a coincidir en Barcelona los tres barcos la próxima vez? Y el primero y el tercero? 58. En la clase de Luis hay menos de 0 alumnos. Si se forman en filas de 4, quedan completas todas las y no sobra ningún alumno. Lo mismo ocurre si se forman en filas de 7. Cuántos alumnos hay? 59. Cómo son entre sí los cocientes que resultan de dividir dos números entre el mcd de ambos? 60. Juan y su padre caminan juntos. Parten de un punto. Cuando Juan da un paso, avanza cm, su padre avanza 60 cm en cada paso. Suponiendo que ambos han dado el primer paso a la vez, calcula el espacio que ha de rrecorrer cada uno hasta que vuelvan a coincidir dando el paso. 6. La clase de primero A tiene alumnos y la de primero B tiene 6. Quieren organizar un concurso con motivo de la fiesta de Navidad y pretenden distribuir a los alumnos en equipos de igual número de participantes, de modo que no sobre ni falte ninguno y que no se mezclen los grupos. Cuántos alumnos podrán entrar en cada equipo como máximo? 6. Tres aviones de línea regular salen del aeropuerto cada días, cada días y cada 8 días, respectivamente. Cada cuántos días saldrán a la vez los tres aviones? 6. Queremos embaldosar una sala de 08 m de largo y 0 m de ancho con baldosas cuadradas de la mayor superdicie posible. ACuál será la superficie de una de estas baldosas y cuántas nos harán falta? 64. Averigua un número comprendido entre 65 y 40 que sea múltipo de Los hijos de la familia Garrido son viajantes de comercio. El mayor vuelve a casa cada 5 días, el mediano cada 0 y el menor cada 5. El día de Navidad lo pasan los tres con sus padres. a) Cuándo volverá a reunirse toda la familia la próxima vez? b) Cuanto tiempo ha de pasar para que vuelvan a estar juntos el día de Navidad? 66. El número de la matrícula del coche de Sofía tiene 4 cifras, es múltioplo de 9, 4 y y termina en 8. Averigua dicho número. 67. Averigua el menor número, mayor que 0, que al dividirlo por,, 4, 5 y 6 da de resto. 68. El producto de la edad de una diseñadora de modas por la de su gato y por el número de la casa en la que vive es 705. Cuántos años tiene la diseñadora? Y el gato? 69. Calcula de la forma más efectiva Sol: Tenemos 40 platos de porcelana china y 560 de porcelana de Modra, iguales todos ellos en forma y tamaño. Deseamos colocarlos sin mezclarlos en cajas que contengan la misma cantidad de platos. Qué capacidad puede tener cada caja? Cuál es la capacidad mayor posible? En este último caso, cuántas cajas serían necesarias para cada tipo de plato? 69. Simboliza mediante expresiones algebraicas cada una de las siguientes afirmaciones: a) número natural arbitrario que no sea par, b) número entero arbitrario que al dividirlo por tiene resto 9, c) Suma de tres números pares consecutivos. 5