Tema 8. Derivabilidad y reglas de derivación. 8.1 Derivada de una función

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1 Tema 8 Derivabilidad y reglas de derivació 8. Derivada de ua fució f : I R es derivable e a I si eiste el límite que llamaremos f 0 (a) f() f(a) lim a a Ejercicio 8.. Si f() 3 calcular f 0 () f(a + ) f(a) f 0 (a) f 0 f( + ) f() ( + ) 3 3 () La defiició de derivada es equivalete a decir que eiste u ifiitésimo α a () e a, lim a α a () 0,talque f() f(a) f 0 (a)( a)+α a ()( a) Se llama derivada por la izquierda de a al límite f 0 (a ) a f() f(a) a 0 Se llama derivada por la dereca de a al límite f 0 (a + ) lim a + f() f(a) a lim 0 + f es derivable e a f 0 (a )f 0 (a + ) 5 f(a + ) f(a) f(a + ) f(a)

2 Proposició 8. f es derivable e a f es cotiua e a. La demostració es muy secilla: como es derivable eiste u ifiitésimo α a () tal que tomado límites f() f(a) f 0 (a)( a)+α a ()( a) lim [f() f(a)] [f 0 (a)( a)+α a ()( a)] 0 a a lim f() f(a) a El recíproco o tiee porque ser cierto como se demuestra co la fució f() queescotiuaperooderivablepues f 0 (0 ) lim 0 f() f(0) lim 0 f 0 (0 + ) lim 0 + f() f(0) lim 0 + Apartirdeladefiició de derivada e u puto se defie la fució derivada: f 0 : I R ; f 0 () Ejercicio 8.. Si f() 3 calcular f 0 () f 0 f( + ) f() ( + ) 3 3 () Iterpretació geométrica de la derivada Para defiir la tagete a ua curva y f() e el puto P 0 cosideramos el cojuto de putos P,P,...,P queseaproimaap 0. Lasrectassecates P 0 P,P 0 P,...,P 0 P se aproima a ua recta t que llamamos tagete 6

3 Si ( 0,f( 0 )) y ( i,f( i )) so las coordeadas de los putos P 0 respectivamete, la pediete de la recta secate P 0 P i es m i f( i) f ( 0 ) i 0 y P i cuado el puto P i se aproima al P 0 las abscisas i tiede a 0 ysi llamamos m t a la pediete de la tagete, etoces f( i ) f ( 0 ) m t f 0 ( 0 ) i 0 i 0 7

4 Lapedietedelarectatageteeuputoesigualaladerivadadela fució e ese puto, la ecuació de la recta tagete e ( 0,f( 0 )) será y f( 0 )f 0 ( 0 )( 0 ) Ejercicio 8.. Ecotrar la ecuació de la recta tagete a f() 3 e Como f() 8 y f 0 () la ecuació aterior queda y 8( ) 8.3 Reglas de derivació 8.3. Derivada de ua costate f() k : cte f 0 () 0 f 0 f( + ) f() k k () Derivadadeuacostateporuafució f() k g() f 0 () k g 0 () f 0 () f( + ) f() k g( + ) k g() lim g( + ) g() k lim k g () Derivada de la suma f() g()+l() f 0 () g 0 ()+l 0 () f 0 () f( + ) f() g( + )+l( + ) g() l() lim g( + ) g() l( + ) l() lim + lim g 0 ()+l 0 () 8

5 8.3.4 Derivada del producto f() g() l() f 0 () g 0 () l()+g() l 0 () f 0 () 0 f( + ) f() g( + ) l( + ) g() l() g( + ) l( + ) g() l( + )+g() l( + ) g() l() g( + ) g() l( + ) l() l( + )+ lim g() g 0 () l()+g() l 0 () Derivada del cociete f() g() l() f 0 () g0 () l() g() l 0 () (l()) f 0 f( + ) f() () 0 g( + ) l( + ) g() l() g( + ) l() g() l( + ) l( + ) l() g( + ) l() g() l()+g() l() g() l( + ) l( + ) l() 0 g(+) g() l() g() l(+) l() l( + ) l() g0 () l() g() l 0 () (l()) 9

6 8.3.6 Derivada de la composició O regla de la cadea l() f(g()) l 0 () f 0 (g()) g 0 () l 0 l( + ) l() f(g( + )) f(g()) () f(g( + )) f(g()) g( + ) g() f 0 (g()) g 0 () 0 g( + ) g() Derivada de la fució iversa Decimos que g() es la fució iversa de f() cuado (f g)() y (g f)(), escribiedo g f Si derivamos la epresió f (f ()) usado la regla de la cadea f 0 (f ()) ³f () 0 ³ f () 0 f 0 (f ()) Por ejemplo f() se tiee por fució iversa f () arcse ³ f () 0 (arcse) 0 cos (arcse ) q se (arcse ) 8.4 Derivadas de las fucioes elemetales 8.4. Epoecial f() e f 0 () e f 0 () 0 e + e 0 e e e

7 8.4. Logaritmo f 0 () 0 l( + ) l f() l f 0 () ³ l + à l +! 0 l à +! l 0 à +! l ³ e Potecial f() f 0 () Tomado logaritmos l (f()) l ( ) l derivado esta igualdad f() f 0 () f 0 () f() Trigoométrica f() se f () cos ³ ³ f 0 se( + ) se cos + se () lim cos 0 à +! se ³ cos Para derivar f() cos f() cos se ³ + π µ f 0 () cos + π se Y para derivar f() ta se usamos la regla del cociete cos f 0 () cos sec +ta

8 8.4.5 Hiperbólica f() si e e f 0 () e + e cos f() cos e + e f 0 () e e si f() ta si cos f 0 () 8.5 Derivadas sucesivas cos ta Se defie la derivada eésima o de orde de f como la derivada de la derivada de orde de f. UaepresiómuyiteresateeslafórmuladeLeibitzqueproporcioa la derivada eésima de u producto: Ã! Ã! Ã! Ã! (f g) ) f ) g + f ) g ) f ) g ) + f g ) 0 dode f i) represeta la derivada de orde i de la fució f. Ejemplo 8. Calcular la derivada eésima de se +3 f() se g() f 0 () cos se ³ + π f 00 () cos ³ + π ³ se + π +3 g 0 () ( +3) g 00 () ( ) ( +3) 3 f iv) () cos ³ ³ + π se +3 π g 000 () ( )3 3 ( +3) 4 f ) () se ³ + π g ) () ( )! ( +3) (f() g()) ) Ã! + 0 Ã µ se + π µ se + π! +3 + Ã! µ se ( ) ( )! ( +3) + +( ) π ( +3) Ã! se ( )! ( +3)

9 8.6 Ejercicios sobre derivadas. Putos de la curva y e los cuales la tagete es paralela a la recta y +5. Estudiar la derivabilidad de: (a) f() (b) f() ( ( > e (c) f() a <0 + 0 (d) f() (e) f() (f) f() ( ( 0 0 se se Calcular las derivadas sucesivas de f() 3 4. Calcular las derivadas de las fucioes cos l (e +) +3 ta ( +) e 3 4 arcta ( +) ( cos )cot arcse ³ arcta + arcta cos ( +) l ³ ++ r q + + cos (se ) s + arcta (l ) lq +cos cos 5. Calcular las derivadas -simas de: (a) f() se (b) f() e 3