Continuidad de funciones ( )

Transcripción

1 Cálculo _Comisión Año 07 Continuidad de funciones ( ) I) Continuidad en un punto En ésta representación gráfica de una función (fig. ), es evidente que la misma presenta una discontinuidad, tanto en x = 0 como en x = 3, dado que el dibujo o trazo presenta una interrupción. (fig. ) Si se considera la idea intuitiva de que se dibuja un trazo o línea continua cuando la punta del lápiz no se despega del papel, esto no es lo que ocurre al dibujar la gráfica de la función dada. Pero en el Cálculo infinitesimal, hay que hacer algo más que solamente ver el gráfico para analizar la continuidad o discontinuidad de una función en un punto x cualquiera. x ; si x 0 Tomamos la expresión simbólica de la función 4x 5; si 0 x 3. ; si x 3 Tenemos que en x = 0, la función está definida (es decir, f (0) 0 0 ). Analizando la existencia de ite : x 0 y ( 4x 5) 5 ; como los ites laterales son distintos, la función no tiene x 0 x 0 ite finito en x = 0. El mismo análisis realizado en x = 3: f ( 3) , y los ites laterales son: ( 4x 5) 7 y ( ). Al ser distintos, el ite finito no existe en 3. x 3 x 3 Para la fig. ), la función g viene dada por la expresión g( x) 5 3 x. Analizamos en x = las x mismas condiciones: g (), por ello g(). En cuanto al ite: 0 Apunte elaborado por la prof. Adriana Duarte Guía teórica Continuidad de Funciones

2 Cálculo _Comisión Año 07 3 lim 5 x x x de la función.. Se cumple la existencia de ite finito en el punto x = pero no así de la imagen 5 fig. x 5 ; x 5 En el ejemplo siguiente (fig. 3), la función h se define como: h ( x) x 4x 5. 3 ; si x 5 Analizando el ite: x 5 h( x) x 5 x 5 x 4x 5 x 5 ( x 5)( x 5) ( x )( x 5) x 5 x 5 x Además la función h está definida en 5: h ( 5) 3, pero ese valor es distinto al ite de h cuando x fig.3 Por último, el caso de la función (fig. 4). No está definida y no existe ite finito en ( x ) x =, porque x ( x ).(Posee asíntota vertical en ese punto) Guía teórica Continuidad de Funciones

3 Cálculo _Comisión Año 07 Por los análisis realizados, podemos ver que la continuidad o discontinuidad de una función está relacionada con la existencia o no de la función en el punto y la existencia o no de ite finito en dicho punto. Entonces: para que una función y f (x) sea continua en un punto x = a, se deben cumplir tres condiciones (o hipótesis): ) f ( a) ) 3) x a x a L f ( a) fig. 4 x ; si x 0 Por ejemplo: para la función x, es continua en x = 0?: x ; si x 0 Probando las tres condiciones, tenemos:: ) f (0) 0; x 0 ) x 0 0 y 3) x 0 x 0 ( x) 0 y f (0) 0 x 0 Se cumplen. Por lo tanto, la función es continua en x = 0. x 0 ( x) 0 Discontinuidades En las funciones de las figuras y 3, se cumple la existencia de ite finito en el punto, que es la º condición de continuidad, en cambio, no se cumple la condición (para la función g) y no se cumple la 3º condición (para la función h). Entonces, las funciones presentan una discontinuidad evitable. En la función de la figura, no existe ite finito (se presenta un salto en el gráfico de f, tanto en x= 0 como en x = 3). No se cumple la º condición de continuidad, entonces presenta una discontinuidad esencial o inevitable. Así mismo, la función de la figura 4, no tiene limite finito en x = (en ese punto el limite es infinito), por lo que tampoco se cumple la º condición de continuidad. Se dice que la función posee una discontinuidad infinita en ese punto, y la función tendrá una asíntota vertical. Entonces, la existencia de limite finito en a (y el no cumplimento de las condiciones y/o 3) indica la existencia de discontinuidad evitable en ese punto; la no existencia de ite finito (ites laterales distintos o infinito) indica discontinuidad esencial o inevitable en el punto. Guía teórica Continuidad de Funciones 3

4 Cálculo _Comisión Año 07 Propiedades de funciones continuas Si dos funciones f y g son continuas en x = a, entonces: ) (f + g) será continua en a; ) (f g) es continua en a; 3) (f.g) es continua en a y 4) (f:g) es continua en a, siempre que g ( a) 0. 5) La función compuesta f g es continua en a g es continua en a y f continua en g(a). 6) Todas las funciones polinómicas son continuas para cualquier valor x de su dominio al igual que las funciones potencia del tipo y x n, n impar. 7) Para las funciones potencia del tipo y x n, n par, con dominio de su dominio, y a derecha de 0 0, serán continuas en todo punto II) Continuidad en un conjunto Una función f es continua en un conjunto de puntos (intervalo) si y sólo si es continua en cada punto de ese conjunto. Sea I = (a; b) un intervalo abierto. La función es continua en I es continua x: x (a;b). Sea I = [a; b] un intervalo cerrado. La función es continua en I es continua x: x (a;b), a derecha de a y a izquierda de b. La función es continua a derecha de a f ( b). x b f ( a) y es continua a izquierda de b x a Guía teórica Continuidad de Funciones 4

5 Cálculo _Comisión Año 07 Desde el punto de vista gráfico, la idea de continuidad en un intervalo se refleja en un trazo sin saltos ni interrupciones en todo el intervalo. Es decir, si la función es continua en I y alcanza dos valores reales y distintos f ( x ) y f ( x ), entonces alcanza también todos los valores comprendidos entre ambos números reales. Cuando una función es continua en un intervalo cerrado [a; b], f(a) > 0 y f(b) < 0, entonces existe un punto interior al intervalo donde la función se anula. O sea, existe por lo menos un punto del interior que es un cero de la función. Esta propiedad, conocida como Teorema de Bolzano (o teorema de los ceros de las funciones continuas) tienen importancia en el cálculo de raíces de cualquier polinomio de coeficientes reales. Problema: Analizar si la ecuación 4 5 x 3 x 4 0 dada tiene soluciones reales Solución: Para utilizar el Teorema se toma la función x x 4, que al ser polinómica, es 9 3 continua en todo su dominio. Si se exploran los signos de la imagen en ciertos puntos, por ejemplo, en x = -, x = 0, x = y x =, tenemos: f(-) < 0; f(0) < 0; f() < 0 y f() > 0. Entonces, el teorema se cumple en [;] y la solución de la ecuación estará en un punto interior al intervalo. En la representación gráfica de la función se observa que, efectivamente, existe un cero en ese intervalo: Guía teórica Continuidad de Funciones 5

6 Cálculo _Comisión Año 07 El Teorema de Bolzano se considera como un caso particular del siguiente teorema: Teorema del valor intermedio Si f es continua en [a;b] y k es un valor comprendido entre f(a) y f(b), entonces existe un punto c, interior al intervalo [a;b], donde la función alcanza el valor k. En otras palabras, c es la pre-imagen de k a través de f, siempre que f sea continua en el intervalo cerrado [a;b]. Teoremas de Weierstrass º teorema: Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a;b], entonces f está acotada en dicho intervalo. Es decir, los valores de la función pertenecen a un conjunto acotado. Existe un valor k real tal que para todo valor de dicho conjunto f(x), se cumple f(x) k. º teorema: Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a;b], entonces alcanza en dicho intervalo un máximo y un mínimo absolutos. Definiciones: f(c) es mínimo absoluto de f en C si y sólo si f(c) no supera a ninguno de los valores f(x) que alcanza la función en dicho conjunto C, o sea: x C, f(x) f(c). f(c) es máximo absoluto de f en C si y sólo si f(c) no es superado por ninguno de los valores f(x) que alcanza la función en dicho conjunto C, o sea: x C, f(x) f(c).) En el ejemplo anterior, la función tiene un máximo absoluto f(c) =, cuando c = / y tiene un mínimo absoluto f(c) = -, cuando c = 3 /. Ejemplo: La función 5 x, tiene como dominio el intervalo [-5; 5]. Además es continua en dicho intervalo. Alcanza su máximo absoluto f(c) = 5 cuando c = 0 y su mínimo f(c) = 0, tanto en c = -5 como en c = 5, es decir, en los extremos del intervalo. La demostración del teorema requiere conocimientos que están por encima de las exigencias de éste curso. Guía teórica Continuidad de Funciones 6